2024學(xué)年上海某中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考試卷（附答案解析）

2024學(xué)年同濟(jì)大學(xué)二附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考試卷

滿(mǎn)分：150分，完成時(shí)間：120分鐘

一、填空題（本題滿(mǎn)分54分，共12小題，第1-6題每題4分，7-12題每題5分）

1.在空間中，如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)，那么這兩條直線的位置關(guān)系是.

2.半徑為2的球的表面積為.

3.已知長(zhǎng)方體4sCD-ZHCQI的棱=AB=2,則異面直線8。與qG所成角的余弦值

為.

4.在四面體尸一48c中，若底面48c的一個(gè)法向量為且CP=（2,2，T）,則頂點(diǎn)尸到底

面48c的距離為.

5.已知一圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為.

6.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形0HBe',且047/8'。'，

OA'=2B'C=4（A'B'=2,則該平面圖形的面積為.

7.三棱錐尸一Z5C中，三條側(cè)棱上4=PB=PC,則頂點(diǎn)尸在平面N8C內(nèi)的射影。是V4BC的

.（填“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”）

8.在空間四邊形ABCD中，E,EG,8分別是邊48,BC,CD,Z）/的中點(diǎn)，若四邊形對(duì)角線=2,

71

對(duì)角線AC與BD所成的角為1,則FH=______.

9.如圖，在圓柱a0i內(nèi)有一個(gè)球”該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱a01的體積為

匕

匕，球。的體積為達(dá)，則匕的值是

10.已知二面角0一4s一6為30。，尸是半平面a內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)尸到平面廳的距離是1,則點(diǎn)尸在平面廳內(nèi)

的投影到4B的距離是.

11.如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓

錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了4周，則圓錐的母線長(zhǎng)為

12.如圖，正方體48。?！?81G3的棱長(zhǎng)為%點(diǎn)P在正方形4BCD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).平面區(qū)域

W由所有滿(mǎn)足444P區(qū)之下的點(diǎn)p組成，則四面體尸一48C的體積的取值范圍.

二、選擇題（共4小題，第13、14題每題4分，15、16題每題5分）

13.已知直線/和平面則“/垂直于。內(nèi)的兩條直線”是“‘工夕”的（）.

A,充分非必要條件B,必要非充分條件C.充要條件D,非充分非必要條件

14.把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為1:4,母線（原圓錐母線在圓臺(tái)中的部分）

長(zhǎng)為12,則原圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A.16B.18C.20D.22

15.加、〃為空間中兩條直線，a、力為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（）

①二面角的范圍是［0,句；

②經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；

③若加、〃為兩條異面直線，mua,〃u/3,mlI/3,貝

④若加、〃為兩條異面直線，且加//a,〃//a,加//，,“//￡,則a//，.

A.0B.1C.2D.3

2

16.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱

垂直于底面的四棱錐稱(chēng)之為“陽(yáng)馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)為“鱉席”.如圖，在塹堵

45C—481G中，2。，8。，且24=43=2.下列說(shuō)法第諾的是（）

A.四棱錐B—Z/CG為“陽(yáng)馬”

B.四面體4GCS為“鱉腌”

2

C.四棱錐8-Z/CG體積的最大值為§

D.過(guò)/點(diǎn)作于點(diǎn)E,過(guò)￡點(diǎn)作EEL48于點(diǎn)凡則面/昉

三、解答題（本題滿(mǎn)分78分，共5小題）

17.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD—481G2中，M、N、P分別是GA、CCP的中點(diǎn)?

（1）證明："N//平面4a8/1.

（2）求異面直線尸已與兒W所成角的大小.（結(jié)果用反三角表示）

18.如圖，已知E4=/C=PC=/8=a,PA1AB,NC_L48,M為/C的中點(diǎn).

3

（1）求證：平面NBC;

（2）求直線尸8與平面48c所成角的大小.

19.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐尸-4片G。一下部的形狀是

正四棱柱4BCD-（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高產(chǎn)。?的4倍.

（1）若4B=6m,POX=2m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,當(dāng)尸。為多少時(shí)，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是多少？

20.如圖，45是圓柱的底面直徑，AB=2,尸Z是圓柱的母線且尸2=2,點(diǎn)。是圓柱底面圓周上的點(diǎn).

P

（1）求圓柱的表面積；

（2）證明：平面平面R4C；

（3）若ZC=1,。是尸3的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段尸”上，求CE+E。的最小值.

21.已知點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為2的菱形48CD所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在底面48CD上的射影是NC與AD的

交點(diǎn)。，已知NA4￡>=60°,△PD8是等邊三角形.

（1）求證：AC1PD-

4

（2）求點(diǎn)。到平面尸8C的距離；

（3）若點(diǎn)E是線段40上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)E在何處時(shí)，直線PE與平面P8C所成的角最大？求出最大

角的正弦值，并說(shuō)明點(diǎn)E此時(shí)所在的位置.

同濟(jì)大學(xué)第二附屬中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷

滿(mǎn)分：150分，完成時(shí)間：120分鐘

一、填空題（本題滿(mǎn)分54分，共12小題，第1-6題每題4分，7-12題每題5分）

1.在空間中，如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)，那么這兩條直線的位置關(guān)系是.

【答案】平行或異面

【解析】

【分析】根據(jù)空間中兩直線的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】空間中的直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩直線要么平行，要么是異面直線.

故答案為：平行或異面

2.半徑為2的球的表面積為.

【答案】16%

【解析】

【分析】代入球的表面積公式：S表=4加廢即可求得.

【詳解】?;R=2,

，由球的表面積S表=4兀叱公式可得，

S球表=4X〃X22=16〃，

故答案為：16萬(wàn)

【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積公式;屬于基礎(chǔ)題.

3.已知長(zhǎng)方體48co-4B1G2的棱=力4=1，AB=2,則異面直線8。與耳G所成角的余弦值

為.

【答案】^##-45

55

【解析】

【分析】由定義說(shuō)明ND8c是異面直線AD與耳G所成角或其補(bǔ)角，然后計(jì)算.

5

【詳解】因?yàn)锽QJ/BC,所以NDBC是異面直線AD與4G所成角或其補(bǔ)角,

BC_1_#>

在直角ABDC中，BD=yJCD2+CB1=V5，cosNCBD=

茄—71—7

故答案為：叵.

5

4.在四面體尸—4BC中，若底面4BC的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(1,1,0),且麗=(2,2,—1),則頂點(diǎn)尸到底

面ABC的距離為

【答案】2亞

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)面距公式代入計(jì)算即可得.

\n-CP\|2+2|4l

【詳解】由點(diǎn)面距公式得?=0=2框.

MlA/FTFV2

故答案為：2亞.

5.已知一圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為.

【答案】2〃

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖與圓錐側(cè)面的關(guān)系求出圓錐底面圓半徑即可計(jì)算得解.

【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為廠，則該圓錐底面圓周長(zhǎng)為2萬(wàn)r,

因圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一半徑為2的半圓，則半圓弧長(zhǎng)為2〃，

依題意，2"尸=2"，解得廠=1,

顯然圓錐的母線長(zhǎng)/=2,則圓錐側(cè)面積S=m7=2〃,

所以圓錐的側(cè)面積為2〃.

故答案為：2〃

6.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形O/'B'C',且。47/5'。'，

OA'=2B'C=4,AB'=2,則該平面圖形的面積為.

6

【答案】120

【解析】

【分析】首先求出0C,再畫(huà)出平面圖形，從而求出其面積.

【詳解】因?yàn)椤?'=28'。'=4,A'B'=2,所以0C'=J（4—2『+22=2血，

由直觀圖可得如下平面圖形，則。4=2BC=4,0C=20C=4A/2;

所以S/BC=1X（2+4）X4A/2=12^.

故答案為：1272

7.三棱錐尸―Z8C中，三條側(cè)棱上4=P8=PC,則頂點(diǎn)尸在平面Z8C內(nèi)的射影。是VZ8C的

.（填“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”）

【答案】外心

【解析】

【分析】由已知可得頂點(diǎn)P在底面4BC上的射影。到底面三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即。為V48c

的外心.

【詳解】如圖，設(shè)頂點(diǎn)P在底面4SC內(nèi)的射影為。，則PO1?平面4SC,

連接。4,OB,0C,

???OA,OB,0C在平面ABC內(nèi),

7

，POLOA,POVOB,POIOC,

???^POA,\POB,△R9C都是直角三角形，

PA=PB=PC,

，APOA,VPOB和4Poe三個(gè)三角形全等，

從而有。4=O5=OC,

所以。為VZBC的外心.

故答案為：外心.

8.在空間四邊形中，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，若四邊形對(duì)角線ZC=BZ)=2,

7T

對(duì)角線/C與AD所成的角為1,則FH=

【答案】1或百

【解析】

J727r

【分析】由題意可知四邊形EEG/f為菱形，且知菱形相鄰的兩個(gè)角分別為女,三，再由所給邊長(zhǎng)即可求

33

得FH的長(zhǎng).

【詳解】如圖,

由分別是血,3C,CD,D4的中點(diǎn)，得EFIIACIIHG,EF=HG==AC=\,

2

1兀

EH//BDI/FG,EH=FG=-BD=\,則四邊形ENG笈為菱形，又ZC與5。所成的角為g,

7T7r27r

于是直線EE與￡笈所成角為二，即菱形ENG//的邊長(zhǎng)為1,相鄰兩個(gè)內(nèi)角分別為烏,」，

333

712.717T

即NFEH=—或NFEH=—,當(dāng)=—時(shí)，F(xiàn)H=EF=1,

333

2兀

當(dāng)ZFEH=§時(shí)，F(xiàn)H=2￡Fsin60°=色，

所以FH=1或FH.

故答案為：1或6

9.如圖，在圓柱a。內(nèi)有一個(gè)球。，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱aOi的體積為

8

匕，球。的體積為V2,則的值是

【解析】

【詳解】設(shè)球半徑為廠，則V=4=|?故答案為1.

點(diǎn)睛:空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、

錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則

常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

10.已知二面角&-48-6為30。，P是半平面。內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到平面廳的距離是1,則點(diǎn)尸在平面。內(nèi)

的投影到AB的距離是.

【答案】V3

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)尸在平面廳內(nèi)的投影為點(diǎn)。，作尸于點(diǎn)0,連接。。，證明N尸即為二面角

a—28—，的平面角，再解Rt△尸。。即可.

【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)尸在平面廳內(nèi)的投影為點(diǎn)。，則尸。，尸，尸。=1,

作尸0,48于點(diǎn)。，連接O。，

因?yàn)楫a(chǎn)。,尸，OQ,ABu(3,所以尸0，/8,尸0，。。，

又POLAB,POcPQ=P,PQ,POu平面POQ,

所以48,平面產(chǎn)

又O0u平面產(chǎn)所以48，。。，

所以APOQ即為二面角a-AB-13的平面角，

9

所以/尸。。=30°,

在RtZ\POQ中，ZPOQ=30°,PQ=\,

所以00=百，

即點(diǎn)P在平面B內(nèi)的投影到AB的距離是V3.

故答案為：V3.

11.如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓

錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了4周，則圓錐的母線長(zhǎng)為

【答案】12

【解析】

【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,求出以S為圓心，”為半徑的圓的面積以及圓錐的側(cè)面積，根據(jù)題意，列

出方程即可求得答案.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/，則以S為圓心，為半徑的圓的面積為兀/，

又圓錐的側(cè)面積為兀X3X/=3JI/,

因?yàn)楫?dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了4周，

所以兀尸=4*3兀/,解得/=12,

故答案為：12

12.如圖，正方體4BCD-ZQIGA的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸在正方形48CD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).平面區(qū)域

少由所有滿(mǎn)足4引4P區(qū)2店的點(diǎn)P組成，則四面體尸-4BC的體積的取值范圍.

10

【解析】

【分析】連接/P,由線面垂直的性質(zhì)得到42,4P，再由勾股定理求出094P區(qū)2,即可得到尸以A

為圓心2為半徑的;圓面上，再根據(jù)腺NBC=%詠4PBe，得到當(dāng)「在邊上時(shí)四面體的

A1zli1Jzii1ClJIAxlJ\,y

體積最大，當(dāng)P在邊48的中點(diǎn)時(shí)四面體的體積最小，再根據(jù)面體的體積公式計(jì)算可得取值范圍.

【詳解】連接/尸，如圖所示，

因?yàn)?/J■平面48cD,4Pu平面48cD,所以

2

???|4川=4,由444Pl<2若，\AXP\=AP\+\AA^，則區(qū)2；

所以尸在以A為圓心2為半徑的9圓面上，由題意可知，VPABC=VA=-\AA\S^,

A1ZliLJLzli1PljBy^CCl1IA22B?CL

1132

所以當(dāng)尸在邊上時(shí)，四面體尸—48C的體積的最大值是一x—X4X4X4=L.

323

所以當(dāng)尸在邊48的中點(diǎn)時(shí)，邑尸況的面積取得最小值，此時(shí)SxBc=gx4x2=4,

所以四面體尸—48C的體積的最小值是:x4x4=?,所以匕>一四€,

「1632

故答案為：?

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：

求解三棱錐體積的最值問(wèn)題，要找準(zhǔn)突破口，也即是按三棱錐的體積公式「=」S/z,

3

通常會(huì)有以下兩種：

①如果底面積固定，則通過(guò)找高的最值來(lái)進(jìn)行求解;

11

②如果高已知確定，則求底面積的最值來(lái)進(jìn)行求解（如本題）.

二、選擇題（共4小題，第13、14題每題4分，15、16題每題5分）

13.已知直線/和平面則“/垂直于a內(nèi)的兩條直線”是”的（）.

A,充分非必要條件B,必要非充分條件C.充要條件D,非充分非必要條件

【答案】B

【分析】利用直線與平面垂直的判定定理，即可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知：

如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.

而“/垂直于0內(nèi)的兩條直線”，沒(méi)有滿(mǎn)足相交，

所以不一定能推出直線與平面垂直，

但是如果一條直線與平面垂直，一定能推出這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，

即可得：”/垂直于。內(nèi)的兩條直線”是“/_La”的必要不充分條件.

故選：B.

14.把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為1:4,母線（原圓錐母線在圓臺(tái)中的部分）

長(zhǎng)為12,則原圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A.16B.18C.20D.22

【答案】A

【分析】根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得，幾何體如下圖所示：

CD1

取軸截面可知，圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為——=—,且CD/IAB,BD=12,

AB4

7~?T~\1[o-i

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/，根據(jù)相似比可得J=——=解得/=16,

ABEBI4

即原圓錐的母線長(zhǎng)為16.

故選：A.

15.m、〃為空間中兩條直線，a、夕為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（）

12

①二面角的范圍是[0,兀）；

②經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面;

③若加、〃為兩條異面直線，mua,nu/0,則〃//a.

④若加、〃為兩條異面直線，且加///〃///加//，,〃//夕，則a///.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用二面角的取值范圍可判斷①，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)可判斷②，利用線面平行的判定方法可判斷③,

利用線面平行的性質(zhì)以及面面平行的判定定理可判斷④

【詳解】對(duì)于①，二面角的范圍是[0,可，①錯(cuò)；

對(duì)于②，若三點(diǎn)共線，則經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面，②錯(cuò)

對(duì)于③，若加、〃為兩條異面直線，mua,nuB，mlI[3,則〃與?？赡芷叫幸部赡芟嘟?，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，因?yàn)閙//%加//6，過(guò)直線加作平面7,使得/Pla="萬(wàn)口/=。，

由線面平行的性質(zhì)定理可得mlla,ml1b,則a//6,

因?yàn)閍<Za,bua,則a//a,

因?yàn)椤?/a,”//，，過(guò)直線”作平面。，使得eCla=d,?n0=c,

由線面平行的性質(zhì)定理可得〃//c,〃//d,則c//d,

因?yàn)閏<za,dua,貝i]c//a,

若a//c,則加〃〃，這與加、〃為兩條異面直線矛盾，故。相交,

又因?yàn)閍,cu萬(wàn)，所以&//6，故④對(duì)，

故選：B

13

16.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱

垂直于底面的四棱錐稱(chēng)之為“陽(yáng)馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)為“鱉席”.如圖，在塹堵

45C—481G中，2。，8。，且24=43=2.下列說(shuō)法惜誤的是（）

A.四棱錐B—Z/CG為“陽(yáng)馬”

B.四面體4GCS為“鱉席”

2

C.四棱錐8-Z/CG體積的最大值為§

D.過(guò)/點(diǎn)作AE±A{B于點(diǎn)E,過(guò)E點(diǎn)作EF±A1B于點(diǎn)F,則AXB±面AEF

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)“陽(yáng)馬”和“鱉膈”的定義，可判斷A,B的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)/C=5C時(shí)，四棱錐B-Z/CG

體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意可證48,平面進(jìn)而判斷D的正誤.

【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為“塹堵”，

在塹堵NBC—481G中，ACLBC,側(cè)棱力4,平面Z8C,

A選項(xiàng)，Z4,8C，又/CL8C,且24nze=2,則平面Z/CG，

四棱錐8—Z/CG為“陽(yáng)馬”，故A正確；

B選項(xiàng)，由ZCLBC,即4G，BC，又4G，GC且3Cccc=c,

4G1平面BBgc,：.4G±Be-則v48G為直角三角形，

又由3C_L平面44CC，得A48C為直角三角形，由“塹堵”的定義可得A4CC為直角三角形，ACCIB

為直角三角形，，四面體4cle5為“鱉膈”，故B正確;

14

C選項(xiàng)，在底面有4=2。2+8。222ZC.BC，即NC4CV2,當(dāng)且僅當(dāng)ZC=BC=亞時(shí)取等號(hào)，

11244

V

B-AACC^-SAAccxBC=-AA^xACxBC=-ACxBC<-,最大值為一，故C錯(cuò)誤；

D-33，333

D選項(xiàng)，因?yàn)镋F上A1B,AEcEF=E,所以/田，平面4EE，故D正確；

故選：C

三、解答題（本題滿(mǎn)分78分，共5小題）

17.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD—481GA中，M、N、P分別是GA、力4的中點(diǎn).

（1）證明：MV//平面48用4.

（2）求異面直線「已與"乂所成角的大小.（結(jié)果用反三角表示）

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

中屈

（2）arccos-----

10

【解析】

【分析】（1）構(gòu)造線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.

（2）根據(jù)線線平行，找出異面直線所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.

【小問(wèn)1詳解】

如圖：連接2逐，D?.

因?yàn)?8c0—ZnCQi為正方體，所以48//CR?

15

又，M、N分別是G。、CG的中點(diǎn)，所以?xún)篧//C。，

所以MN//A[B,Z0u平面45與4，W平面所以跖V//平面48片4.

【小問(wèn)2詳解】

如圖：連接PC、PD,

因?yàn)閮篧//C2,所以/PRC即為異面直線兒w與尸〃所成的角，設(shè)為e.

在VPCD]中，PDl=y/PAf+AxDl=Vl+4=75，CDX=272,

PC=YIPA^+AB^+BC2=Jl+4+4=3-

所以c°se=*"LPJ5.-9回.

2xD[P-D[C2x75x27210

Vio

所以異面直線尸〃與兒W所成的角為:arccos---

10

18.如圖，已知％=4C=PC=N8=a,PA1AB,NC48,M為/C的中點(diǎn).

(1)求證：PM,平面/5C；

(2)求直線尸8與平面/5C所成角的大小.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)arcsin—

16

【解析】

【分析】（1）推導(dǎo)出PM_L/C,PMVAB,由此能證明PM_L平面/8C；

（2）連結(jié)BM,則ZPBM是直線PB和平面ABC所成的角，由此能求出直線PB和平面ABC所成的角.

【小問(wèn)1詳解】

證明：因?yàn)锳PZC為等邊三角形，且M為ZC的中點(diǎn)，

所以

又PA_LAB,ACLAB,且

所以氏4,平面P/C.

又PM在平面上4C內(nèi)，所以氏

因?yàn)閆8c/C=/,且BZLPAf,PMX.AC,

所以PM，平面ABC.

【小問(wèn)2詳解】

解：連結(jié)W,由（1）知PM_L平面48C,

所以NPBM是直線尸8和平面48。所成的角.

7T

又△尸48為等腰直角三角形，且NR4B=—,

2

所以PB=Qa-

PMV6

因?yàn)镻A/LBN,所以Tn/P/?”=

PB一4

則/PBM=arcsin

4

17

所以直線網(wǎng)和平面45c所成的角的大小等于arcsinJ.

4

19.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐尸-4片4。一下部的形狀是

正四棱柱4BCD-（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高尸。?的4倍.

（1）若48=6m,POX=2m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,當(dāng)尸。為多少時(shí)，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是多少？

【答案】（1）312m3

（2）3拒，288V2m2

【解析】

【分析】（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對(duì)應(yīng)公式求解;

（2）先根據(jù)面積關(guān)系建立函數(shù)解析式，5（X）=16V2-^X2（36-X2）,然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求其最值.

【小問(wèn)1詳解】

由尸。］=2知OO］=4尸。］=8.

因?yàn)?4=AB-6,

所以正四棱錐尸—4AGA的體積%=；?.Pq=；x62x2=24(m3);

正四棱柱ABCD—48］G。］的體積=AB"-00=6x8=288(m^).

所以倉(cāng)庫(kù)的容積%=曝+%=24+288=312(m3).

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)尸&=xm,下部分的側(cè)面積為S(x),

則00,=4xm,4G=J36-=也.,367,

18

S(x)=44耳.00]=16缶，36-f=16A/2-^X2(36-X2),(0<x<6),

iS/(x)=x2(36-x2)=-x4+36x2=-(X2-18)2+324，

當(dāng)/=18,即x=3后時(shí)，/(初皿=324,S(x)max=288^2.

即當(dāng)P。為3?時(shí)，下部分正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是288cm2.

20.如圖，48是圓柱的底面直徑，AB=2,P4是圓柱的母線且尸2=2,點(diǎn)。是圓柱底面圓周上的點(diǎn).

（1）求圓柱的表面積；

（2）證明：平面PBCL平面P/C；

（3）若NC=1,。是網(wǎng)的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段尸/上，求CE+ED的最小值.

【答案】⑴6兀

（2）證明見(jiàn)解析（3）V5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)圓柱求表面積公式即可求解.

（2）先證3cL平面P/C,再利用面面垂直的判定定理判定即可.

（3）先分析得將AP/C繞著尸/旋轉(zhuǎn)到尸c',使其與尸48共面，且C'在48的反向延長(zhǎng)線上，當(dāng)。,

E,C三點(diǎn)共線時(shí)，?！?即的最小值為。'。，通過(guò)解三角形求C'。即可.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)題意，圓柱的底面半徑廠=——=1,圓柱的高場(chǎng)=P2=2,

2

圓柱的上下底面積和為2s底=如r=2兀，圓柱的側(cè)面積為S惻=2兀＞耳=4兀，

所以圓柱的表面積為S=2S底+5側(cè)=6兀

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知，尸2，底面45。，5Cu底面48C,則

19

由直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得8C±AC,

又產(chǎn)2口2。=2,P4u平面P/C，NCu平面上4C,

所以平面R4C,又因?yàn)?Cu平面尸8C,

所以平面PBC1平面PAC

【小問(wèn)3詳解】

C

將AP4c繞著PA旋轉(zhuǎn)到PC',使其與PAB共面，

且C'在48的反向延長(zhǎng)線上，當(dāng)D,E,C'三點(diǎn)共線時(shí)，

CE+EZ）的最小值為CQ,

因?yàn)槭?=2，AB=2,PA1AB,PB=>JpA2+AB2=272'

DA7711I—

tanAPBA=——=-=l,所以=—,BD=-BP=y/2,BC=BA+AC=2+1=3,所以在

AB242

三角形C'5￡>中，

由余弦定理可得CZ>=+2x3xg_x*=6，

所以CE+ED的最小值為V5.

21.已知點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為2的菱形48CD所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在底面48CD上的射影是NC與AD的

交點(diǎn)。，已知NA4￡>=60°,△PD8是等邊三角形.

（1）求證：AC1PD-