2025屆廣東梅縣某中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷及答案解析

廣東梅縣東山中學(xué)

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三中段考試試卷(數(shù)學(xué)科)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)

選項(xiàng)是正確的.

1,已知集合/小阿1)則,集合”{小2—3X<。},則ZU5=()

A.(0,2]B,[2,3)C.(0,+動(dòng)D.[2,+a))

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合4臺(tái)，由并集的定義求解即可.

【詳解】由ln(x-l)20可得：x>2,所以Z=[2,+e),

由V—3x<0可得：0<x<3,所以8=(0,3),

所以NU3=(0,+8).

故選：C.

2.若—是—2<x<a的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是().

A.a>2B.a>2

C.a<2D.tz<2

【答案】B

【解析】

【分析】利用充分不必要條件的定義，結(jié)合集合的包含關(guān)系求解即得.

【詳解】由—是—2<x<a的充分不必要條件，得{x[—l<x<2}￡{x|—2<x<a},則a>2,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是a>2.

故選：B.

3.若復(fù)數(shù)z滿足(1—3i)z=3—i(i為虛數(shù)單位)，則z的模目=()

A.|B.1C.5D.5

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】由（1—3i）2=3—i,

3-i_(3-i)(l+3i)_3+9i-i-3i2_6+8i_34.

l-3i(l-3i)(l+3i)l-9i21055

故選：B.

71

4.已知a=3°”,b=log4,c=cos，則（）

0518

A.c>b>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.

【詳解】由4=30-4〉3°=1，

b=logo,54<log051=0,

所以0<c<l,

所以Q>c>b.

故選：D.

5.若數(shù)列｛%｝滿足（"1".=（及+1”“_1（“之2）嗎=2,則%=（）

A.2B,6C.12D.20

【答案】D

【解析】

a”n+1

【分析】由已知條件變形可得工=—7,然后累乘法可得見,即可求出包

%n-\

/\/\〃+1

【詳解】由5-1)%=(〃+I”“T得一,

an-l〃—]

a?%a334572+1.1、

%=%------Xx——=2x—x—x—x---x---=n(n+l)(zz>2),

Cl-yan_xI23n-l

a4=4（4+1）=20.

故選：D

6.如圖所示，在△4SC中，M為線段8c的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，AG=2GM過點(diǎn)G的直線

八一一一.—.41

分別交直線4S,ZC于尸，0兩點(diǎn).設(shè)45=x/P（x〉0）,NC=>0）,則---的最小

九~?乙y-I-L

值為（）

33

A.-B.—C.3D.6

42

【答案】B

【解析】

【分析】由中點(diǎn)和三等分點(diǎn)得到就=；（萬+就），結(jié)合方=xNA（x〉0）,AC=yAQ（y>0）.得到

AG=^AP+LAQ,

33

41

由三點(diǎn)共線得到x+y=3,利用均值不等式中“1的代換”求得一-+一；的最小值.

x+2y+1

____>1_..___k.

【詳解】因?yàn)镸為線段3C的中點(diǎn)，所以4M=5（48+/C）,又因?yàn)榈?2而，所以

—?2——?1—?—?

AG=-AM=-（AB+AC）,

又方=xQ（x〉0）,AC=yAQ（y>0）,則就=：刀+會(huì)而，

而尸，G,0三點(diǎn)共線，所以：+]=1,即x+>=3,

則

+^—=—r（x+2）+（j+i）~i41、“x+24（v+l）'1x+24（y+1）

LVV-------1------4+-----+-^——^+1>—5+2

x+2v+16'〃x+2v+l76y+1x+2~6y+1x+2

x+24(y+1)

當(dāng)且僅當(dāng)一;二u',即％=2,y=l時(shí)取等號(hào).

＞+lx+2

故選：B.

7.若直線歹=依+6是曲線y=e、x—1和＞=01的公切線，則實(shí)數(shù)人的值是()

A.e-1B.eC.0D.1

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)直線＞=日+6與曲線＞=1、y=ei分別相切于點(diǎn)2(西,爐一1)、8(%,利用導(dǎo)

數(shù)求出曲線y=e"-1在點(diǎn)A處的切線方程，以及曲線;；=61在點(diǎn)8處的切線方程，可得出關(guān)于占、x2

的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得左的值.

【詳解】設(shè)直線＞=區(qū)+3與曲線y=e。1、^=廣分別相切于點(diǎn)2(西爐—1)、5(%,*T),

對(duì)函數(shù)y=e'—1求導(dǎo)得y'=e"則左=e$，

曲線y=e，-1在點(diǎn)A處的切線方程為y—9+1=e%(x—xj,即y=e』x+(1—xje』—1,

對(duì)函數(shù)y=e'T求導(dǎo)得/=el,則左=e＞2T,

x21

曲線y=e'T在點(diǎn)B處的切線方程為y—e*2T=e^\x-x2)，即y=e>2Tx+(l-xje"-,

再=0

k=ex1=e*2T

x2=l

所以，?,化簡可得<

X2

b=(1-石)e*-1=(l-x2)ek=1

b=0

故選：D.

8.已知＞=/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，若＞=/(2x+l)的最小正周期為1,則下列說法中正確的個(gè)數(shù)

是(

①/②出Ml卜。

④/(X)的一條對(duì)稱軸為X=；

③/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(1,0)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)條件得出周期，結(jié)合周期性、對(duì)稱性可得答案.

【詳解】因?yàn)椋?/(2x+l)的最小正周期為1,所以/(2(x+l)+l)=/(2x+l)；

即/(2x+3)=/(2x+l),所以2是y(x)的周期；

因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以=0，②正確；

/(；)+/圖=/(￡|+/(一￡|=/(；)―/圖,不一定為零，①不正確；

因?yàn)?(》+2)=/(》)=一/(一對(duì)，所以/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(1,0),③正確；

通過題目條件無法得出/(x)的一條對(duì)稱軸為x=~,④不正確；

2

故選：B

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.ufl=(1,2),b=,則()

A.當(dāng)m=2時(shí)，a//b

B.當(dāng)機(jī)=3時(shí)，

1_

C.當(dāng)機(jī)=—3時(shí)，)在日上的投影向量為一一b

2

D.當(dāng)加＜2時(shí)，a,B的夾角為鈍角

【答案】BC

【解析】

【分析】由題意，根據(jù)向量1、B的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則、投影向量的概念，對(duì)各選項(xiàng)逐一

加以分析，即可得到本題的答案.

【詳解】對(duì)于A,若加=2,則3=(2,—1),則1義(—1)一2X2=-5H0,則用B不平行，故A不正確；

對(duì)于B,若機(jī)=3,則1一53=(1,2)-5(3,-1)=(一14,7),

可得萬?(]一5分)=-14+2x7=0,所以9_1_(萬一53),故B正確；

對(duì)于C,若加=—3,則5.3=-3-2=_5，

a-b-1-

向量m在B上的投影向量為(")b=-jb,故c正確；

11

對(duì)于D,若冽二一不，即6r=(—不,一1),

1--

此時(shí)G=-,6,可知點(diǎn)人的夾角為兀，不是鈍角，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.已知函數(shù)/(x)=sin[x+]J—cos[g+x],則下列說法正確的是()

A./(x)的圖像可由y=拒sinx的圖像向左平移§個(gè)單位得到

B./(力圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C./(x)在區(qū)間0,|上單調(diào)遞減

D.若a,/(?)=5cos2a,則cos2a=《

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)三角恒等變換，化簡函數(shù)/(x),根據(jù)圖像平移判斷A；利用整體代入法可判斷B和C；利用

同角三角函數(shù)關(guān)系與二倍角公式轉(zhuǎn)化即可求cos2a的值，從而判斷D選項(xiàng)

[詳解]/(x)=sin-cos+x[=cosx-sinx=V2cos[x+：]，

將了=J^sinx的圖象向左平移?個(gè)單位所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)為

y=&sin[x+：]=cosx+sinxwf(x),故A錯(cuò)；

因?yàn)?[；]=3cos]=0,所以/(x)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B對(duì)；

兀713兀

令2析<%+—<2攵兀+兀,左eZ,所以2左?！?lt;x<2EdkeZ,

4449

所以/(x)=J^sin[x+a]的遞減區(qū)間是2左兀一1,24兀+~^keZ,

令左=0,所以-A等是/(x)=&sin|x+；卜勺一個(gè)遞減區(qū)間，

,TT《/TT^TT

又0,-c,所以/(x)在區(qū)間0,-上單調(diào)遞減，故C對(duì);

/(tz)=cosa-sina=5cos2a=5(cos2a-sin2a\=5(cosa-sina)(cosa+sina),

因?yàn)閍e所以cosa-sina>0,

貝15(cosa+sina)=l,即cosa+sina=一,

2.2-L/,T*

平方得cosa+sina+2cosi?sina=—,則2coseisina=-----,

2525

「

所以(cosa-sinqxMa+sin2a-2cosa,sina=l+^="

2525

則cosa—sina=一,

5

177

所以cos2a=cos2a-sin2?a=(cosa-sintz)(cosa+sina)=-x—=一,故D對(duì);

,八75525

故選：BCD

11.因表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[—0.5]=-1,[1.1]=1,已知函數(shù)/(x)=[x],下列結(jié)論正確的

有()

A.若xw(0,l),則/(一司+^〈—/(x)+—

B./(^+v)</(x)+/(j)

<2A20

c.設(shè)g(x)=/(2氐)+/右,則&(左)=401

左=1

(V14]、40

D.所有滿足/(機(jī))=/(〃)m,ne0,—的點(diǎn)(m,〃)組成的區(qū)域的面積和為一

kL3JJ9

【答案】AD

【解析】

【分析】A,由題目信息計(jì)算/(x),/(一力即可得答案；

B,通過舉特例可判斷選項(xiàng)正誤；

C,利用石。2.236結(jié)合題目信息可判斷選項(xiàng)正誤；

D,由信息畫出(見〃)所在坐標(biāo)系區(qū)域即可判斷選項(xiàng)正誤.

【詳解】A選項(xiàng)，由題xe(O,l)時(shí)，/(x)=0,/(-x)=-l,

1131

則/（一》）+4=—1+]=<—/（冷+^，故A正確;

B選項(xiàng)，取x=2.5,y=3.5,則/（x+y）=46）=6>5=/（2.5）+/（3.5）,

故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，石a2.236n26a4.472，則當(dāng)x>0時(shí)，/（2氐）2/（4x）,

則力（2限）2%（4左）=4+8+…+80=^^^=840,

k=lk=12

又貝Ijfg（左）=￡/（26左）+￡/■［得］2840W401,故C錯(cuò)誤；

k=lk=\k=\

D選項(xiàng),由題要使/（機(jī)）=/（〃），則根,〃e［0,1）,或私［1,2）,或私％e［2,3）,

14

或％〃e[3,4）,或m,ne4,y,所表示區(qū)域如下圖陰影部分所示:

則(見〃)區(qū)域面積為：4+fy-4

=—,故D正確.

9

故選：AD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知非零向量方,3滿足|叫=2出|,且(5—B>B=o，則m與彼的夾角為

71

【答案】一##60°

3

【解析】

【分析】設(shè)|初=2舊|=2/(/〉0),進(jìn)而根據(jù)g―B>B=o求出五年，然后根據(jù)平面向量夾角公式求得答

案.

【詳解】由題意，設(shè)歷|=2他|=2/（/〉0）,又僅一3>3=0=>展3=廬=〃，設(shè)）與B的夾角為6,

,—*2

a-bt1~…兀

所以cos8二—h=-7=—,所以e=一.

|aPI2t223

7T

故答案為：一

3

Iny

13.設(shè)實(shí)數(shù)刃>0,若對(duì)\/xe（0,+co）,不等式------20恒成立，則機(jī)的取值范圍為

m

【答案】m>-

e

【解析】

Inx

【分析】構(gòu)造函數(shù)/（x）=xe*判定其單調(diào)性得加xNlnx,分離參數(shù)根據(jù)恒成立求^=即可.

xmax

【詳解】由emx--20=mxemx>xlnx=tax-ebj：

m

構(gòu)造函數(shù)/(可=屁<工,。)=>/'(x)=(x+l)e">0,

，/'(x)在(0,+e)為增函數(shù)，則mx-emx>lnx-elnx=mx>Inx

Inx

即對(duì)Vxe（0,+oo）,不等式mx>\nx恒成立，則Vxe(0,+<?),m>

xmax

x./x1-lnx

構(gòu)造函數(shù)g(x)=——-

X?X

令g，(x)〉O,得0<x<e；令g'(x)<0,得％〉e；

.??g（X）=也在（o,e）上單調(diào)遞增，在（e,+8）上單調(diào)遞減,

X

二.g(x)max=g(e)=!，即機(jī)'J.

\/iiidx\/ee

故答案為：m>—.

e

"2x+4（x<0）r>2

14.已知函數(shù)/(x)=<?'/，方程［〃明一+"（》）+1=0有六個(gè)不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)6的取值范

圍是

17

【答案】一1，-2

【解析】

【分析】由題意首先得出當(dāng)且僅當(dāng)0</W4時(shí)，關(guān)于x的方程/（》）=/的根的個(gè)數(shù)最多，進(jìn)一步可將原問

題等價(jià)轉(zhuǎn)換為一元二次方程根的分布問題，從而列出不等式組即可求解.

【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出了(X)的圖象以及直線^=/如圖所示,

發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)0</W4時(shí)，關(guān)于X的方程/(x)=，的根的個(gè)數(shù)最多，且有3個(gè)根，

而關(guān)于t的一元二次方程產(chǎn)+4+1=0最多有兩個(gè)根，

若方程+"(x)+l=0有六個(gè)不相等實(shí)根，

則當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于t的一元二次方程產(chǎn)+4+1=o有兩個(gè)不同的根％,才2，且0<4,7244,

A=b2-4>0

八八

0<—b<417

所以當(dāng)且僅當(dāng)<2,解得一—<b<-2,

/（0）=1>04

/（4）=46+17>0

即實(shí)數(shù)6的取值范圍是［-

故答案為：一":

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)換為一元二次方程根的分布問題，由此即可順利得解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(a—cXsinZ+sinC)=(b-Gcbin5

(1)求角N的大小；

TT

(2)若〃=2,C=-求△45。的面積.

4f

7T

【答案】(1)A=-

6

⑵V3+1

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理即可求解；

(2)利用正弦定理和三角形面積公式即可求解.

【小問1詳解】

由(Q-c)(sin4+sinC)=(Z?-J^，sinB以及正弦定理得(a-c)(a+c)=僅一JGc)b,即

222

Q2_H=/_Cbc，b+c-a=Cbc，

Z)2+(?―Q243bc_y[3

所以cos4二

2bc2bc

因?yàn)殓踖(O,兀)，所以Z=巴.

6

【小問2詳解】

2④

由正弦定理得—二=—J,.?.。=竺比===20,

smAsmCsinA

2

.兀兀兀.兀

又sin5=sin(4+C)=sm—cos—+cos—sm—

6464

1V2V3V2V2+V6

=——X---------1--------X--------=-------------------

22224

/\ABC的面積為工℃sin5='x2x2后x返+"=^3+1.

224

16.已知函數(shù)/(x)=x(x—a?+b在％=1處取得極大值.

(1)求。的值；

(2)若/(x)有且只有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【答案】(1)a=3

(2)-4<6<0

【解析】

【分析】(1)由題意可得/'。)=0,可求出。的值，然后就。的值進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得出實(shí)數(shù)。的值；

(2)分析函數(shù)/(x)的單調(diào)性與極值，根據(jù)函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)b的不等式組，由此可

解得實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【小問1詳解】

解：因?yàn)?(x)=x(x-a)2+￡>,則/'(%)=3》2一4ax+/,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在x=l處取得極大值，則/'(1)="—4。+3=0,解得。=1或a=3.

當(dāng)a=1時(shí)，/'(X)=3x2-4x+1=,

由/'(x)>0得x〈工或x>l；由/'(x)<0得;<x<l.

此時(shí)，函數(shù)/(X)在上遞減，在(1,+8)上遞增，

則/(X)極小值為了⑴，不合題意;

當(dāng)a=3時(shí)，/'(X)=3--12x+9=3(x-l)(x-3),

由/'(x)〉0得x<l或x>3；由/'(x)<0得l<x<3；

所以，函數(shù)/(x)在(-8,1)上遞增，在。,3)上遞減,

此時(shí)，函數(shù)/(力極大值/⑴，合乎題意.

綜上，a=3.

【小問2詳解】

解：由(1)可知，a-3,f(x)=x(x-3)-+b,

函數(shù)/(X)的增區(qū)間為(—8,1)、(3,+8),減區(qū)間為(1,3)。

所以，函數(shù)/(x)極大值/⑴=4+6,極小值"3)=6,

7⑴=b+4〉0

又因?yàn)?(x)有且只有3個(gè)零點(diǎn)，則<U(3)=.<0，解得-4<，<。,

因此，實(shí)數(shù)b的取值范圍是(-4,0).

17.己知1=(一1,2C),b=-22),函數(shù)

sinx-cosx?smxcosxf(x)=a-b.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式及對(duì)稱中心;

兀a2jjE5兀4,AA./士

(2)若/一+—----,且一<a<TI,求sma的值.

12236

(3)在銳角△48C中，角N,B,C分別為a,b,c三邊所對(duì)的角，若6=百，/(臺(tái))=1，求△48C

周長的取值范圍.

(兀kn?

【答案】⑴

/(x)=2sin(2%+-^,對(duì)稱中心為一二+二,0,kGZ

I122J

⑵3艮6

6

(3)(3+后3向

【解析】

【分析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積的定義，二倍角公式及輔助角公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(2)由/(烏+0]=—逆得出sin(a+三〕再根據(jù)兩角差的正弦公式計(jì)算即可；

(3)由/(8)=1得出3=],根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式及輔助角公式，將轉(zhuǎn)化

為三角函數(shù)，根據(jù)△NBC為銳角三角形得出/的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出范圍即可求解.

【小問1詳解】

f(x)=(cos2x-sin2x)+273sinxcosx-V3sin2x+cos2x=2sin2x+—.

6

..兀T.兀/c7C

令2xH——ku,貝Ux=----1---,左wZ,

6122

(兀左兀A

函數(shù)的對(duì)稱中心為一二十二,。，keZ.

I122J

【小問2詳解】

5兀7兀兀4兀(it、痛

—<a<兀，..—<aH—<—,..COSOLH——----,

6633{3)3

.(兀、兀(兀、.兀

sma=sm=sma+—cos——cosa+—sm—=

I3；3I3；3

【小問3詳解】

由/(8)=1可得2sin(25+：1=1,即sin\2B+：1=g

jr

又0<8<兀，所以3=§

b_c_a_y/3

由正弦定理有sin5sinCsin/J1

V

ds"

所以a+c=2sin/+2sinC=2sin/+2sin=2sin4+2

2

7

=3sinN+V3cosA=2百sin

2

因?yàn)椤?8C為銳角三角形，所以《，解得Ze

0<C<-

[2

所以Z+：e則2也sin^+^e(3,2君J

所以3<a+cW2G，則3+G<a+b+cW3G，

所以△48C的周長的取值范圍為(3+6,36]

18.設(shè)函數(shù)/(x)=2e*+2sinx-(a+l)x.

⑴當(dāng)a=l時(shí),求/(%)在[0,+8)上的最小值;

⑵若g(x)與/(X)關(guān)于歹軸對(duì)稱，當(dāng)X20時(shí)，/(x"g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)2

(2)o<3

【解析】

【分析】(1)先將a=l代入/(x),然后求導(dǎo)得到/'(x)=2e'+2cosx-2,再求導(dǎo)得到

/〃(x)=2e=2sinx,因?yàn)閤e[0,+s),就得到二階導(dǎo)大于等于0恒成立，得到一階導(dǎo)單調(diào)遞增，然后判

斷一階導(dǎo)大于等于0恒成立，然后得到原函數(shù)單調(diào)性，求得最小值；

(2)先利用兩個(gè)函數(shù)的互對(duì)稱得到g(x),然后代入不等式/(x)之g(x),整理得

ex-e-JC+2sinx-(a+1)x>0,構(gòu)造函數(shù)〃(x)=e*--工+2sinx-(a+l)x,得至!]〃(0)=0,然后利用

端點(diǎn)效應(yīng)得到a<3,最后判斷其充分性即可.

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=2ex+2sinx-2x,

所以/'(x)=2ex+2cosx-2,

令尸(x)=2ex+2cosx-2,

得廠'(x)=2ex-2sinx,

因?yàn)閤20,得e"21,sinx?l,

所以尸(x)=2ex-2sinx>0,故以(l)=/'(%)=2ex+2cosx-2在［0,+8)單調(diào)遞增;

所以/'(x"/'(O)=2,

所以f(x)-2e'+2sinx_2x在［0,+oo)單調(diào)遞增,

故/(x)在［0,+oo)上的最小值為/(0)=2.

【小問2詳解】

由題得g(%)=/(-x)=2e-x-2sinx+(4z+l)x,

得當(dāng)0時(shí)，2e"+2sinx-(tz+1)x>2e~x—2sinx+(a+l)x恒成立，

整理得e"—e—"+2sinx—(a+l)x20恒成立，

令h(x)=e*—e-“+2sinx—(a+l)x,

顯然，"0)=0,

要使0時(shí)，e、—+2sinx—(a+l)x20恒成立，

則〃(0”0,

/⑴=ex+e—“+2COSX-(Q+1),

所以有/z/(0)=e°+e°+2COS0—(Q+1)20=QW3,

驗(yàn)證，當(dāng)。43時(shí)，

令G(x)=ex+e~x+2COSX-(Q+1),

G'(x)=e*-e~x-2sinx,

令=e"-b-2sinx,

H，(x)=e*+-2cosx>2Je'e-*-2cosx=2-2cosx>0,

故〃(x)=e'-尸-2sinx在［0,+oo)單調(diào)遞增；

所以刀(x)2?(O)=e°—e°—2sinO=O,

故G(x)=e*+e-T+2cosx-(a+1)在［0,+動(dòng)單調(diào)遞增；

所以G(x)NG(0)20,

故〃(x)=e*-e~x+2sinx-(a+l)x在［0,+動(dòng)單調(diào)遞增；

所以〃(x)2〃(0)=0,

故aW3符合題意.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：〃(x)=e-er+2sinx-(a+l)x20恒成立，顯然〃(0)=0,我們由函數(shù)圖像可

知，在x=0時(shí)，〃(x)=e=er+2sinx-(a+l)x不可能單調(diào)遞減，所以可知〃'(0)之0,然后求得

a<3,此時(shí)aW3為e，-e-“+2sinx-(a+l)x20恒成立的必要條件，我們還需要利用a<3去判斷

e-v—e'+2sinx—(a+l)x>0恒成立，證明aW3為e&-eA+2sinx—(a+1)x20恒成立的充分條件.

19.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.具體做法如下：如圖，設(shè)廠是

/(X)=0的根，首先選取/作為r的初始近似值，若/(x)在點(diǎn)(比0,/(均))處的切線與x軸相交于點(diǎn)

(x1,0),稱占是r的一次近似值；用占替代/重復(fù)上面的過程，得到馬，稱/是廠的二次近似值；一直

重復(fù)，可得到一列數(shù)：%,不，x“，.…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)

Xi，%(〃eN*)近似值相等時(shí)，該值即作為函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)r.

(1)若〃力=/+3/+》一3,當(dāng)/=0時(shí)，求方程/(x)=0的二次近似值(保留到小數(shù)點(diǎn)后一位);

(2)牛頓法中蘊(yùn)含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)g(x)=e*-3在

點(diǎn)(2,g(2))處的切線，并證明：ln3<l+]；

e

(3)若〃(x)=x(l-lnx),若關(guān)于x的方程/z(x)=a的兩個(gè)根分別為占，x2<x2),證明:

/一方>e-ea.

【答案】(1)1.8(2)e2x-y-e2-3=0,證明見解析

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意分別計(jì)算出看,%,取乙得近似值即為方程/(行=0的二次近似值；

(2)分別求出g(2),g'(2),即可寫出函數(shù)g(x)在點(diǎn)(2,g(2))處的切線方程；設(shè)

m(x\=lnx-1--,x>1,證明出加(x)V加(e?),得出加(3)<加化之)，即可證明；

e

(3)先判斷出0<%<1<%2<e,然后輔助證明兩個(gè)不等式/z(x)〉」一(x—e)(lVx<e)和

2x(lVxVe)即可.

【小問1詳解】

=3x2+6x+1,

當(dāng)Xo=O時(shí)，/,(o)=l,/(x)在點(diǎn)(0,—3)處的切線方程為歹+3=x,

與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為(3,0),所以玉=3,

/⑶=46,/(%)在點(diǎn)(3,54)處的切線方程為4一54=46(x—3),

與x軸的交點(diǎn)為|1|,o],所以方程/(x)=0的二次近似值為1.8.

【小問2詳解】

由題可知，g(2)=e2-3,gr(x)=ex,gr(2)=e2,

所以g(x)在(2,g(2))處的切線