2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：數(shù)列的基本知識(shí)與概念

第40講數(shù)列的基本知識(shí)與概念

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、數(shù)列的概念

（1）數(shù)列的定義：按照二定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每二個(gè)數(shù)叫做這個(gè)

數(shù)列的項(xiàng).

（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限

子集｛1,2,…，77｝）為定義域的函數(shù)%=/伽）當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所

對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.

（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法.

知識(shí)點(diǎn)二、數(shù)列的分類(lèi)

（1）按照項(xiàng)數(shù)有限和無(wú)限分:

遞增數(shù)列：an+l>an

遞減數(shù)列：a>a

（2）按單調(diào)性來(lái)分:n+ln

常數(shù)列：%=%=C（常數(shù)）

擺動(dòng)數(shù)列

知識(shí)點(diǎn)三、數(shù)列的兩種常用的表示方法

（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛%｝的第"項(xiàng)與序號(hào)〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，

那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）遞推公式：如果己知數(shù)列｛%｝的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）

開(kāi)始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式

就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

【解題方法總結(jié)】

[,n=l

（1）若數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為通項(xiàng)公式為%,則%=*

,n>2,neN

注意：根據(jù)S“求知時(shí)，不要忽視對(duì)”=1的驗(yàn)證.

（2）在數(shù)列伍“｝中，若。,最大，貝,若a,最小，貝/""""a.

[%Nan+l[an<an+1

必考題型全歸納

題型一：數(shù)列的周期性

,、1

例1.（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列｛a,｝中，已知%>。，4=1,%+2=—且

4十1

〃100—〃96，則％022+。3=（）

A.-B.C.@D.一〃

2222

【答案】C

1a11

【解析】由%+2=F，可得1]r，

"96+1

1

因?yàn)?00=。96，所以1110%，整理得《6+。96-1=。，

%6+1

由于%＞。，解得須=避工A/5-11V5-1

從而內(nèi)8=7，=

+1”100()=

?962佝8+12

A/5-I

可知為6=%8=%00=…=%022=

2

11

因?yàn)椤?=q+12'所以“2022+。3=

2

故選：C.

例2.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列｛4｝中,%=7,々=24,對(duì)所有的正整數(shù)〃都有

4+1=”“+4+2，則4。24=()

A.-7B.24C.-13D.25

【答案】B

??i=

【解析】由+an+an+2得an+2=an+l+an+3,

兩式相加得?！?3=-%，

aa

?e,n+6=~n+3=，

.??｛%｝是以6為周期的數(shù)列，

而2024=337x6+2,

??02024="2=24?

故選：B.

例3.（2024?江西贛州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列｛4｝可以用如下方法定義：

4+2=。.+。"，且卬=的=1,若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列也,｝,則數(shù)

列｛2｝的第100項(xiàng)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由題意有?！?2=凡+1+?！?，且％=%=1，

若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列也J,

b

則4=1,b2=l,4=2,2=3,仇=1，6=0>b7=1,bs=l,b9=2...,

則數(shù)列也」是以6為周期的周期數(shù)列，

貝1J400=^6x6+4=&=3,

則數(shù)列｛￡｝的第100項(xiàng)為3,

故選：D.

變式1.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知數(shù)列｛%｝中，4=；4+1=1-，522）,貝=

/an

（）

A.1B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】數(shù)列｛4｝中，

2an

A111c111

可知”2=1-7=-1,%=1-不=2,&=1一丁=5=。1，

故數(shù)列｛風(fēng)｝是以3為最小正周期的周期數(shù)列，

所以“2014="671x3+1=%=耳?

故選：A

變式2.（2024.全國(guó)?高三對(duì)口高考）設(shè)函數(shù)一定義如下，數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%=5,且對(duì)任意自

然數(shù)均有%+1=/（%）,則Zoos的值為（）

X12345

/（尤）41352

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【解析】由對(duì)任意自然數(shù)均有X向=/（毛），且X°=5,

可得%=/（%）=/（5）=2,x2=f（xl）=f（2）=l,^3=/（^2）=f（1）=4,

4=/（&）=/（4）=5,x5=/（X4）=/（5）=2,...,

所以數(shù)列｛尤“｝是4項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為2,1,4,5,

所以%2005=%501x4+l=Xi=.

故選：B.

變式3.（2024?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在數(shù)列｛%｝中，已知

%=2,2=3,當(dāng)2時(shí)，。“+1是的個(gè)位數(shù)，則％）23=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】因?yàn)?=2,%=3,當(dāng)〃22時(shí)，?！?1是的個(gè)位數(shù)，

月^以=6,=8,〃5=8,〃6=4,cij=2,cig=8,cig=6,%。=8,〃】1二8,

%=4,

可知數(shù)列｛風(fēng)｝中，從第3項(xiàng)開(kāi)始有?！?6=%,

即當(dāng)"23時(shí)，。”的值以6為周期呈周期性變化，

又2023+6=337..」,

故。2023=。1=2.

故選：C.

變式4.（2024.北京通州.統(tǒng)考三模）數(shù)列｛%｝中，4=2,g=4,??_1?,i+1=an｛n>2）,則

。2023=（）

A.-B.1C.2D.4

42

【答案】C

【解析】因?yàn)?=2,%=4,an_xan+l=(??(?>2),令〃=2,貝!|%%=。2，求得的=2,

令〃=3,貝|。2。4=43，求得〃4=；，令〃=4,則。3。5=。4，求得%=:,

令〃=5,貝!]。4。6=。5，求得。6=；，令〃=6,貝1]〃5%=。6，求得。7=2,

令〃=7,則。6。8=%，求得。8=4,....,

所以數(shù)列｛為｝的周期為6,則的023=4=2.

故選：C

【解題方法總結(jié)】

解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

題型二：數(shù)列的單調(diào)性

例4.（2024?北京密云?統(tǒng)考三模）設(shè)數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S"，貝『'對(duì)任意"eN*,%>。"

是“數(shù)列母｝為遞增數(shù)列''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不是充分也不是

必要條件

【答案】A

【解析】數(shù)列｛%｝中，對(duì)任意〃eN*,an>0,

則S“=S“T+a”>S,T，〃22,

所以數(shù)列｛S“｝為遞增數(shù)列，充分性成立；

當(dāng)數(shù)列⑸｝為遞增數(shù)列時(shí)，Sn>Sn_t,n>2,

即S,i+a“>Si，所以4>0,九22,

如數(shù)列-1,2,2,2,…,不滿(mǎn)足題意，必要性不成立；

所以“對(duì)任意〃eN*,??>?！笔恰皵?shù)列電｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選:A

例5.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足％=a>0,a“+i=-d+r%（"eN*）,若

存在實(shí)數(shù)乙使｛0｝單調(diào)遞增，則〃的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】A

【解析】由｛風(fēng)｝單調(diào)遞增，得％=-4+%>%,

由4=Q>。，得?！?gt;0,

?，.1>%+1(〃￡N*).

九=1時(shí)，得/>々+1①,

〃=2時(shí)，得/〉一片+均+1,即（〃一1），<（々+1）（〃一1）②,

若，=1,②式不成立，不合題意；

若a>l,②式等價(jià)為，va+1,與①式矛盾，不合題意.

綜上，排除B,C,D.

故選：A

例6.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足

2+生+…+墨川”—*）,一若數(shù)列也｝為單調(diào)遞增數(shù)列,則彳的

取值范圍是（

3

1-+8D1

A-B.—,+00C.8—,+oo

22

【答案】A

【解析】由今+*+…+M="（”eN*）可得?+*+…+篇="-1（心2）,

兩式相減可得名=1,則4=2”,“22,

當(dāng)〃=1時(shí)，+1可得q=2滿(mǎn)足上式，故氏=2ReN*）,

所以勿=2（20-1）-"2+4",

因數(shù)列也｝為單調(diào)遞增數(shù)列，即VneN*,bn+l-bn>0,

則幾(2加一l)-(〃+l)2+4(〃+l)-[/l(2"-l)-n2+4n]=2-2"-27?+3>0.

整理得2廠〃一3,

A2"-32n-l2n-35—2〃

令q,=下「,〃￡N*,

。〃+1c及2"+i2〃2n+i

C

當(dāng)〃《2時(shí)，cn+i>cn,當(dāng)〃23時(shí),7+1<n，

于是得。3=］是數(shù)列｛g｝的最大項(xiàng)，即當(dāng)”=3時(shí)，笑?取得最大值從而得

o2b8

所以％的取值范圍為ui/>3.

O

故選：A

變式5.(2024.天津武清?高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)

公式為4,=加+〃+1,貝!!“%>-；”是“｛%｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】B

【解析】由題意得數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列等價(jià)于對(duì)任意

neN*,an+1-an=［左(w+l)~+w+2］一(加？+"+l)=2萬(wàn)2+無(wú)+1>0,恒成立，

即人>_對(duì)任意〃eN*恒成立，

2n+l

因?yàn)?；7二<0,且可以無(wú)限接近于0,所以上20,

所以，，左>-g，，是，，｛4｝為遞增數(shù)列，，的必要不充分條件，

故選：B

變式6.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為凡=1-32〃，貝廣2<1”是

“數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，

則%+1—a”=［(〃+1)-32("+1)］—-32”)

—+2〃+1--3丸］-(“-3%〃)

—2〃+1—3X>0,

BP3Z<2M+1

由〃EN*,所以有32<2xl+l=3o/i<l,

反之，當(dāng)X<1時(shí)，an+l-an>Q,則數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，

所以“九<1”是“數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列”的充要條件，

故選：C.

變式7.（2024?江蘇南通高三期末）已知數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，且4IS」，"”",

U,n>6

則實(shí)數(shù)f的取值范圍是（）

A.（2,3）B.[2,3）C.件3）D.（1,3）

【答案】C

[（3——8,n<6

【解析】因?yàn)?=Ie,，｛%｝是遞增數(shù)列，

[t,n>6

3—Z>0

所以”>1,解得￡<f<3,

（3-r）x6-8<z

所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為[%],

故選：C

變式8.（2024.全國(guó).高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛見(jiàn)｝滿(mǎn)足q+i=log2（4+l）,若｛%｝是遞增數(shù)

列，則外的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,72）C.（-1,0）D.（1,+8）

【答案】A

【解析】因?yàn)椋?｝是遞增數(shù)列，所以。"<。用，即a“<log2（%+l）.

如圖所示，作出函數(shù)y=x和y=log2（x+l）的圖象，

由圖可知，當(dāng)xe（O,l）時(shí)，x<log2（x+l）,且log2（x+l）e（0,l）.

故當(dāng)4?0,1）時(shí),q<k>g2（%+l）=%且

依此類(lèi)推可得4<a2<a3<---,

滿(mǎn)足｛4｝是遞增數(shù)列，即4的取值范圍是（。,1）.

變式9.(2024.甘肅張掖.高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，其前〃

項(xiàng)和5"=1?+2〃+加,則實(shí)數(shù)〃2的取值范圍是().

A.(-2,+oo)B.(-oo,-2)C.(2,+co)D.(-co,2)

【答案】A

【解析】因?yàn)椋グ?。“<0,所以數(shù)列｛q｝為遞減數(shù)列，

當(dāng)“22時(shí)，a”=S“一S“_]=_，廠+2“+機(jī)一[—(〃-1)+2[z—1)+=—2M+3,

故可知當(dāng)“22時(shí)，｛4｝單調(diào)遞減，

故｛%｝為遞減數(shù)列，只需滿(mǎn)足出<4，BP-l<l+m^>m>-2.

故選：A

【解題方法總結(jié)】

解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的3種方法

作差比較法根據(jù)an+l-an的符號(hào)判斷數(shù)列｛對(duì)｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列

根據(jù)―(4>0或?！?lt;0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷

作商比較法

an

數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

題型三：數(shù)列的最大(小)項(xiàng)

例7.(2024.湖南邵陽(yáng)?邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))數(shù)列｛2〃-1｝和數(shù)列｛3〃-2｝的公共項(xiàng)

從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛?！埃瑪?shù)列也｝滿(mǎn)足：包=/，則數(shù)列也｝的最大項(xiàng)等于.

7

【答案】-/1.75

4

【解析】數(shù)列｛2"-1｝和數(shù)列｛3〃-2｝的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為:

L7,13,…，該數(shù)列為首項(xiàng)為1,公差為6的等差數(shù)列，

所以?！?6〃-5,

6”+16n-511-6〃

i+ln2〃+1T~~2n+1

所以當(dāng)時(shí)，bn+.bn<0,即打>4>%>…，

又偽<么，

7

所以數(shù)列｛2｝的最大項(xiàng)為第二項(xiàng)，其值為:.

..7

故答案為：—.

4

例8.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))記S“為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若%=2"\貝U

2

(?-3?)-log2(S?+1)的最小值為.

【答案】T

【解析】依題意，數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，則S"=H=2"-1,

于是(/-3〃>log2(S“+l)=〃3-3〃2,令b"=n3-3n2,

32322

則有bn+1-bn=(n+1)-3(n+1)-(n-3n)=3n-3n-2,

顯然當(dāng)時(shí)，3〃2—3w-2>0,即6用>2，因此當(dāng)“22時(shí)，數(shù)列也J是遞增的，

又4=-2也=一4,所以(/一3/2).log2(S?+l)的最小值為-4.

故答案為：—4

例9.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=18,an+1—an=3n,則」的最小

n

值為_(kāi)________

【答案】9

【解析】由已知可得，an+i=an+3n,

所以當(dāng)時(shí)，有%=凡一+3(〃-1).

則有

—18,

a2=4+3x1,

a3=%+3x2,

L

%=%+3(〃—1)，

兩邊分別相加可得，%+%+/+,,,+〃〃=4+2+，，一i+18+3x1+3x2+,??+3(〃—1)

(n-l)(3+3n-3)3n(n-l)

=〃]+%+?,,+%一]+18+=%+出+…+--------F18,

2

所以%=嗎二11+18.

當(dāng)〃=1時(shí)，4=18滿(mǎn)足條件.

所以，

所以%=3+電金+史.3

n2〃2〃2

3x18_3

設(shè)/⑴=

2x2

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)0<x<2有時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2道時(shí)，/(x)單調(diào)遞

增.

3x3183立+史-3=9,

又〃3)=---+一]=9，/(4)=

23242

所以，當(dāng)"=3或〃=4時(shí)，%有最小值為9.

n

故答案為：9.

變式10.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))己知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4=1,g=64,

anan+2=ka^l+l,若應(yīng)是｛4｝唯一的最大項(xiàng)，則上的取值范圍為

【答案】

【解析】因?yàn)?4+2=如工，所以巴旦=&嘰，又％=1,電=64,

an+\an

所以幺紅是首項(xiàng)為64,公比為4的等比數(shù)列，則&包=64VT=26/t,

I%J冊(cè)

6

則6=2?也生?%=26人"2.》k"T….2jt°-l=C6"-6,T'F

an-\〃〃-2axZk

246310

a.5>a.2)t>2%./口i

因?yàn)椋ナ牵鹮｝唯一的最大項(xiàng)，所以6,即1224k7k3'解得立,

4'

a5>%

即左的取值范圍為

故答案為:4'T

2n-l,n<4,

變式11.(2024?高三課時(shí)練習(xí))數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為?！?右。5是

—n2+(a—l)n,n>5,

｛qj中的最大項(xiàng)，則a的取值范圍是

【答案】[9,12]

【解析】當(dāng)"W4時(shí)，4=2"-1單調(diào)遞增,

因此〃=4時(shí)，取得最大值為g=15,

22

當(dāng)〃25時(shí)，an=-n+(a-l)n=-(?-~~)+>

因?yàn)閼?yīng)是｛4｝中的最大項(xiàng)，

5

所以J2"解得9VaV12,

、一25+5(。-1)215

故答案為：[9,12].

2

變式12.(2024?北京?高三北京八中校考階段練習(xí))數(shù)列｛?！埃校琣n=-n+lln(n^N*),

則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是.

【答案】30

【解析】設(shè)/(〃)=—r+ibz,則該數(shù)列當(dāng)〃=段時(shí)，小)取最大值，

又因?yàn)閍〃=f2+1皿〃cN*),而5<g<6,

故當(dāng)九=5或〃=6時(shí)，此數(shù)列取最大項(xiàng)，其值為例=3。，4=3。,

故此數(shù)列最大項(xiàng)的值是：30

故答案為：30

變式13.（2024?全國(guó).高三專(zhuān)題練習(xí)）已知優(yōu)+2022（HeN+，reR）,若數(shù)列｛瑪｝中

最小項(xiàng)為第3項(xiàng)，貝Me.

【答案】（5,7）

【解析】因?yàn)?"）=f-比+2020開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為％=^,

則由題意知=5t7

222

所以re（5,7）.

故答案為：（5,7）.

變式14.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列《“｝的通項(xiàng)公式為a,=n-5+2，則。"的

最小值為.

【答案】1-A/3/-V3+1

2

【解析］因?yàn)開(kāi)yjn2+2=

"+4n2+2

易知數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列,

所以數(shù)列｛4｝的最小項(xiàng)為為,即最小值為1-6.

故答案為：1-石

【解題方法總結(jié)】

求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法

（1）將數(shù)列視為函數(shù)/（X）當(dāng)xdM時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)/（無(wú)）的類(lèi)型作出相

應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出了（元）的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。?/p>

項(xiàng).

（2）通過(guò)通項(xiàng)公式凡研究數(shù)列的單調(diào)性，利用22）確定最大項(xiàng)，利用

a

UNn+1

卜522）確定最小項(xiàng).

V4+1

（3）比較法：若有叫「a-1）_/（=>0或時(shí)4>1,則的乜,則數(shù)

列S，，｝是遞增數(shù)列，所以數(shù)列｛“，，｝的最小項(xiàng)為4=/（I）；若有4+「%=/（77+1）-/（77）<0

或%>0時(shí)巴旦<1,則凡+1<“，，則數(shù)列｛""｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列｛4，｝的最大項(xiàng)為

a?

4=/（I）-

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問(wèn)題

例10.（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何

學(xué)，它的研究對(duì)象普遍存在于自然界中，因此又被稱(chēng)為“大自然的幾何學(xué)”.按照如圖1所

示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個(gè)樹(shù)形圖.若記圖2中第〃行黑圈的個(gè)數(shù)為與,則

()

Q第1行

O第2行

??一第3行

圖1圖2

A.110B.128C.144D.89

【解析】已知〃“表示第〃行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)么表示第〃行中的白圈個(gè)數(shù)，

則由于每個(gè)白圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈和一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈和2

個(gè)黑圈，

所以4+1=2?！?么，bn+i=an+bn,

又因?yàn)閝=。，偽=1,

所以。2=1，月=1;

%=2X1+1=3,4=1+1=2；

a4=2x3+2=8,%=3+2=5；

%=2x8+5=21,b5=8+5=13；

4=2x21+13=55,4=21+13=34；

%=2x55+34=144.

故選：c.

例11.(2024.云南保山.統(tǒng)考二模)我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一

書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.楊輝三角也可以看

做是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項(xiàng)，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)

列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,則此數(shù)列的第56項(xiàng)為()

A.11B.12C.13D.14

【解析】由題意可知：若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1,2,3,

4，,

可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，則

可得當(dāng)〃=10,所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為55,第56項(xiàng)為12,

故選：B.

例12.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù).如

三角形數(shù)1,3,6,10,第〃個(gè)三角形數(shù)為嗎W=+3”.記第〃個(gè)左邊形數(shù)為

222

以下列出了部分攵邊形數(shù)中第〃個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)：

11Q1

N(n,3)=a"?+萬(wàn)幾;正方形數(shù)：N(〃4)=〃2；五邊形數(shù)：N(n,5)=-n2--n；六邊形數(shù)：

N(〃,6)=2/—〃，可以推測(cè)N(〃水)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(20,23)=()

A.4020B.4010C.4210D.4120

【解析】由題意可得：N(a,3)N(",4)=："2+2",

2222

2

N(〃,5)=-—n,A^(n,6)=—n--n.

2222

k—O4-k

由此可歸納N(",幻=77,

23—24—23

所以N(20,23)=^―x2()2+x20=4010,

故選：B.

變式15.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對(duì)“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研

究，若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，則這樣的數(shù)稱(chēng)為三

角形數(shù)，如1,3,6,10,15,21,...這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，.?.都是三角

形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列｛q｝類(lèi)似地，數(shù)1,4,

9,16,…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列｛%｝中，第二個(gè)正方形數(shù)是（）

A.28B.36C.45D.55

【解析】由題意可得，三角數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)為4=匹m，

則三角數(shù)列的前若干項(xiàng)為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,

設(shè)正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為｛%｝,則a="2,

其前若干項(xiàng)為1,4,9,16,25,36,49,

在三角數(shù)列｛%｝中，第二個(gè)正方形數(shù)是36.

故選：B.

變式16.（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開(kāi)始用數(shù)字

來(lái)表達(dá)這個(gè)世界.在《乾坤譜》中，作者對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”進(jìn)行了一系列推論，用來(lái)

解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖.該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,60,72,若記該數(shù)列為｛%｝,貝|。2。2「％必=（）

太極

天一?-------0

+

I―地二（2）=2

乾+

天三?）------含地二（2）=4

地四（4）=8

坤天五含地四（4）=12

--------地六（6）=18

天七----------含地六（6）=24

譜

天九…1---------------------含地八（8）=40

.............................................1.I..|（10）=50

A.2018B.2020C.2022D.2024

【解析】由題設(shè)中的數(shù)據(jù)可知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足：%「出1=2〃，=2〃，

故a2021-a2020=2x1010=2020,

故選：B.

變式17.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）觀察下列各式：

a+b=l；

a1+b2=3;

a3+b3=4;

6?+/=7;

a5+b5=11;

L

則不+〃。=（）

A.28B.76C.123D.10

【解析】設(shè)優(yōu)+9=〃〃）,則

/（3）=/。）+/（2）=4"⑷=/（2）+/（3）=71（5）=/（3）+/（4）=ll,…

通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)：/（"）=〃〃-1）+〃"-2）,從而

/（6）=/（4）+/（5）=18,/（7）=/（5）+/（6）=29,/（8）=/（6）+/（7）=47,

/（9）=/（7）+/（8）=76,/（10）=/（8）+/（9）=123,

故那+*=123,

故選：C.

變式18.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對(duì)“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研

究，若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，則這樣的數(shù)稱(chēng)為三

角形數(shù)，如1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，.?.都是三角

形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列｛4｝.類(lèi)似地，數(shù)1,4,

9,16,…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列｛%｝中，第二個(gè)正方形數(shù)是（）

A.36B.25C.49D.64

【解析】由題意可得，三角數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)為為=當(dāng)辿，則三角數(shù)列的前若干項(xiàng)為1,

3,6,10,15,21,28,36,45,55,...?

設(shè)正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為抄“｝,則2其前若干項(xiàng)為1,4,9,

16,25,36,49,.

???在三角數(shù)列｛“〃｝中，第二個(gè)正方形數(shù)是36.

故選：A.

【解題方法總結(jié)】

特殊值法、列舉法找規(guī)律

題型五：數(shù)列的恒成立問(wèn)題

例13.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛。”｝的通項(xiàng)公式%=102"，前〃項(xiàng)和是

S",對(duì)于V"eN*,都有Sn<Sk,則k=

【答案】5

【解析】

如圖，為>=1。元和y=2'的圖象，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,

因?yàn)?=10-2=8>0,所以

因?yàn)椤?=50-32=18>0,a6=60—64=—4<0,所以5<x§<6,

結(jié)合圖象可得,當(dāng)〃式1,5］時(shí)，10〃>2",即%>0,

當(dāng)〃e［6,+co）時(shí)，10〃<2",即?！?lt;。，所以當(dāng)〃=5時(shí)，S.取得最大值，即左=5.

故答案為：5.

例14.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%…+《，若k2為恒成

nn+12n

立，則實(shí)數(shù)上的最小值為.

3

【答案】1/1.5

［解析］,?*Q〃+1—Q〃=--------1-------------------------1----------------<0,

2n+l2〃+2n2〃+12n+22n

33

???數(shù)列｛〃”｝為單調(diào)遞減數(shù)列，①〃)儂=4=5.從而％

3

即女的最小值為不.

2

3

故答案為：—

例15.(2024?河南鄭州?高三校聯(lián)考階段練習(xí))數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足又，小(〃22,且

〃cN*),4=2,對(duì)于任意〃cN*有丸＞%恒成立，則丸的取值范圍是.

【答案】|,+，|

1

【解析】…一%二E

111

22x323

111

323x434

111

434x545

111

—“I-----------------

一nx(n+l)nn+1

從而可得?！?q=7------7

2〃+1

即見(jiàn)='!—~＞因?yàn)橐?jiàn)＜京,所以，

2n+l22

故答案為：|，+°0)

變式19.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))數(shù)列也J滿(mǎn)足4=/+M+2,若不等式%Na4恒成

立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

A.[—9,—8]B.[-9,-7]C.(—9,—8)D.(-9,-7)

【答案】B

【解析】+加+2=(〃+:)--^-+2,

???不等式42%恒成立，

3.5＜--＜4.5,

2

解得-9”＜一7,

故選：B.

變式20.（2024.河北唐山.高三唐山一中校考階段練習(xí)）數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足

“用=二二，若不等式4+&+???+—<〃+%,對(duì)任何正整數(shù)〃恒成立，則實(shí)數(shù)力的最

4-4a“%a2an+l

小值為

A.-B.-C.-D.-

4488

【答案】A

2345n

【解析】依題意%==牙。4=元,〃5=五…，由此可知〃"=2（九+0，所以

11

^=1+.x=i+-f--一—1所以生+幺+…+吐=〃+1+￥"--------匚］

an“（”+2）n+1）axa2an+i212n+2n+3）

二+…+^2±1<〃+幾對(duì)任何正整數(shù)〃恒成立，即彳之工.

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式.

【解題方法總結(jié)】

分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.

題型六：遞推數(shù)列問(wèn)題

例16.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛q｝滿(mǎn)足%009=夜，且

%+4=2%-2（〃eN*）,則數(shù)列的前2009項(xiàng)之和為.

【答案】2008+72/.72+2008

【解析】由an+lan=2a“+i—2（〃wN*）,得??+1=――,則

'/L~an

2211

a2=--------=-------x一=1+T-------

2-%

???數(shù)列｛風(fēng)｝是以4為周期的數(shù)列，二的009=弓=3.

2

由an+i=,_可得?=2+,5——A/29%=2—^2，

^~an

「.%+%+/+.?,+%oo9=502(%+a?+/+%)+%=502x4+\/2=2008+A/2.

故答案為：2008+0.

例17.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）正項(xiàng)數(shù)列｛風(fēng)｝中，%+1=京廣，6=1，猜想通項(xiàng)公式

為〃“二_________

1

【答案】

3n-2

a11+3?！?_1

【解析】方法一:由%+i=r—得—=——^=一+3,所以一為等差數(shù)列，且公差為

1+3%an+lanan[an\

3,首項(xiàng)為1,故上=l+3（〃-l）=3w-2,故氏=

a

n3n—2

11

7_1

方法二：由。1=1得〃2=a2a3

3

1+34]_1_/1+1。

47

由此可猜想%=不—

3n-2

故答案為：??=—1—

3n-2

例18.（2024?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足。用>4,%,=2a“+l,寫(xiě)出一個(gè)符

合上述條件的數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式______.

【答案】a?=n-l（答案不唯一）

【解析】由出“=24+1得：％+1=2（%+1）,

則當(dāng)4=〃-1時(shí)，an+l=n,:.a2n+l=2n,故凡="-1（〃€1'<'）滿(mǎn)足遞推關(guān)系，

又見(jiàn)+1-%=〃一（=-1）=1>°，滿(mǎn)足％”>%，

滿(mǎn)足條件的數(shù)列｛%｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為：??=?-1.

故答案為：an=n-\（答案不唯一）.

變式21.（2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引

入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”，即1,1,2,3,5,8,13,21,