2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：隨機(jī)事件、頻率與概率

第88講隨機(jī)事件、頻率與概率

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1、隨機(jī)試驗(yàn)

我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示.

我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：

(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；

(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè),但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.

知識(shí)點(diǎn)2、樣本空間

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E

的樣本空間，一般地，用.Q.表示樣本空間，用。表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有“個(gè)

可能結(jié)果外，g,…,%,則稱樣本空間為有限樣本空間.

知識(shí)點(diǎn)3、隨機(jī)事件、確定事件

(1)一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示，

為了敘述方便，我們將樣本空間。的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)

的事件稱為基本事件.當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.

(2)。作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生,

所以?？倳?huì)發(fā)生，我們稱。為必然事件.

(3)空集0不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為。為不可能事件.

(4)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件.

知識(shí)點(diǎn)4、事件的關(guān)系與運(yùn)算

①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件A和事件3,如果事件A發(fā)生，則事件3一定發(fā)生，這

時(shí)稱事件3包含事件A(或者稱事件A包含于事件3),記作或者A=與兩個(gè)集

合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：

不可能事件記作0,任何事件都包含不可能事件.

②相等關(guān)系：一般地，若且稱事件A與事件3相等.與兩個(gè)集合的并集

類比，可用下圖表示：

③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件3發(fā)生，則稱此事件為

事件A與事件3的并事件（或和事件），記作AB（或A+8）.與兩個(gè)集合的并集類比,

可用下圖表示:

④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件3發(fā)生，則稱此事件為

事件A與事件8的交事件（或積事件），記作AB（或回）.與兩個(gè)集合的交集類比，可

用下圖表示:

知識(shí)點(diǎn)5、互斥事件與對(duì)立事件

（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中,事件A和事件3不能同時(shí)發(fā)生，即A3=0,則稱事

件A與事件3互斥，可用下圖表示:

如果A，4,…，A"中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件4，.A,,

彼此互斥.

（2）對(duì)立事件：若事件A和事件3在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即AB=Q

不發(fā)生，A3=0則稱事件A和事件3互為對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記為

（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系

①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件,而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外,

還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生.

②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”

的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件.

知識(shí)點(diǎn)6、概率與頻率

（1）頻率：在"次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)上稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)％與

總次數(shù)，的比值的k，叫做事件A發(fā)生的頻率.

n

（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率交總是接近于某個(gè)常數(shù),

n

并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).

(3)概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率V隨著試驗(yàn)

n

次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率尸(A),因此可以用頻率人來(lái)估計(jì)概率尸(A).

n

必考題型全歸納

題型一：隨機(jī)事件與樣本空間

例1.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合

A,8的四個(gè)命題：

①若任取xeA,則xe3是必然事件；

②若任取彳e4,則xe3是不可能事件；

③若任取xeB,則xeA是隨機(jī)事件；

④若任取則xeA是必然事件.

其中正確的命題有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】因?yàn)榧螦是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合2中存

在元素不是集合A中的元素，作出其韋恩圖如圖：

對(duì)于①：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合2中的元素，任取xeA,則xe3是必然事

件，故①正確；

對(duì)于②：任取xeA,則尤eB是隨機(jī)事件，故②不正確；

對(duì)于③：因?yàn)榧螦是集合8的真子集，

集合B中存在元素不是集合A中的元素，

集合B中也存在集合A中的元素，

所以任取則xeA是隨機(jī)事件，故③正確；

對(duì)于④：因?yàn)榧螦中的任何一個(gè)元素都是集合8中的元素，

任取尤拓8,則x拓A是必然事件，故④正確；

所以①③④正確，正確的命題有3個(gè).

故選：c.

例2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（）

A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100。（2,必會(huì)沸騰B.走到十字路口，遇到紅燈

C.長(zhǎng)和寬分別為a力的矩形，其面積為必D.實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根

【答案】B

【解析】A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會(huì)沸騰，是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題

思；

B.走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件；故本選項(xiàng)符合題意；

C.長(zhǎng)和寬分別為。力的矩形，其面積為仍是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；

D.實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根，是必然事件.故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

例3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中黑色球2

個(gè)，記為耳、B2,白色球2個(gè)，記為叱、W2,從袋中任意取2個(gè)球，請(qǐng)寫(xiě)出該隨機(jī)試驗(yàn)一

個(gè)不等可能的樣本空間：—.

【答案】｛B也，用/為叱｝（答案不唯一）

【解析】從袋中任取2個(gè)球，

共有如下情況BB,4嗎,BtW2,當(dāng)叱,生暝四叫.

其中一個(gè)不等可能的樣本空間為。=｛2也出叱，芻叱｝，

此樣本空間中兩個(gè)黑球的情況有1個(gè)，一黑一白的情況有2個(gè)，是不等可能的樣本空間.

故答案為：。=｛與與，4叱,為叱｝.（答案不唯一）

變式1.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試

驗(yàn)樣本空間為.

【答案】｛0,123｝

【解析】因?yàn)閷⒁幻队矌艗伻?，其正面朝上的次?shù)可能為0」,2,3,

所以該試驗(yàn)樣本空間為｛0,1,2,3｝.

故答案為：｛0,123｝.

變式2.（2024?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)樣本空間a=｛l,2,3｝,則a的不同事件的總數(shù)

是.

【答案】8

【解析】集合{1,2,3}的子集個(gè)數(shù)為23=8,所以O(shè)的不同事件的總數(shù)是8,

故答案為：8

變式3.(2024?全國(guó)?高一專題練習(xí))從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中

次品數(shù)，其樣本空間為.

【答案】{0,123,4}

【解析】由分析可知取出的4件產(chǎn)品的次品個(gè)數(shù)為0,1,2,3,4,

所以樣本空間為{0,1,2,3,4},

故答案為:{0,123,4}.

【解題方法總結(jié)】

確定樣本空間的方法

(1)必須明確事件發(fā)生的條件.

(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出問(wèn)題的答案.特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，

按規(guī)律去寫(xiě)，要做到既不重復(fù)也不遺漏.

題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

例4.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))端午節(jié)是我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，記事件A="甲端午節(jié)來(lái)寶雞

13

旅游”，記事件3="乙端午節(jié)來(lái)寶雞旅游”，且尸(A)=]，P(B)=-,假定兩人的行動(dòng)相互

之間沒(méi)有影響，則尸(A或=()

A.-B.—C.-D.-

61244

【答案】A

13

【解析】依題意尸(A)=],P(5)=：且A、5相互獨(dú)立，

13135

所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+---x-=-.

故選：A.

例5.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知事件A與事件B互斥，記事件方為事件8對(duì)立事

件.若尸(A)=0.6,P(B)=0.2,則尸(A+耳)=()

A.0.6B.0.8C.0.2D.0.48

【答案】B

【解析】因?yàn)槭录嗀與事件5互斥，所以AQB,

所以尸(A+月)=P(B)=1-P(B)=0.8.

故選：B

例6.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮

彈，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都擊中飛機(jī)”，事件2表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都未擊

中飛機(jī)”，事件C表示隨機(jī)事件“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，事件。表示隨機(jī)事件“至少有一

枚炮彈擊中飛機(jī)”，則下列關(guān)系不正確的是（）

A.A^DB.B0=0

C.A<JC=DD.A2B=BDD

【答案】D

【解析】“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”包含兩種情況:一種是恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)，

另一種是兩枚炮彈都擊中飛機(jī).所以BD=0,

“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒(méi)擊中或第一枚沒(méi)擊中第二枚擊中，

所以AuC=。，

又3。包含該試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)，為必然事件，

而事件AuB表示“兩個(gè)炮彈都擊中飛機(jī)或者都沒(méi)擊中飛機(jī)”，所以4口3工2口￡）.

故選：D

變式4.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某家族有X,y兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)

X性狀的概率為A,出現(xiàn)y性狀的概率為5，x,y兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為A,則該

成員x,y兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

15101515

【答案】B

【解析】設(shè)該家族某成員出現(xiàn)X性狀為事件A,出現(xiàn)Y性狀為事件

則X,y兩種性狀都不出現(xiàn)為事件7c豆，兩種性狀都出現(xiàn)為事件AC3,

49

所以，^（A）=-,P（B）=--P

所以，P（AB）=1-P（A耳=R，

又因?yàn)镻（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）,

所以，P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=j，

故選：B

變式5.（2024?上海長(zhǎng)寧?統(tǒng)考一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)；設(shè)事件A為：至少

一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；事件B為：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)；事件A的概率為尸（A）,事件B的概率為

尸⑻；貝口-尸（Ac3）是下列哪個(gè)事件的概率（）

A.兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)B.至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)

C.兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)D.至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)

【答案】D

【解析】由題意，事件Ac3為：兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)，

由概率1-尸（Ac3）指的是事件的對(duì)立事件的概率，

則事件Ac5的對(duì)立事件為：至少有一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，或者至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù).

故選：D.

變式6.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設(shè)河=

“甲元件故障"，N="乙元件故障”，則表示該段電路沒(méi)有故障的事件為（）

A.MDNB.MDNC.MCND.MN

【答案】c

【解析】因甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)，線路沒(méi)有故障，即甲、乙都沒(méi)有故障.即事件而和獷同

時(shí)發(fā)生，即事件而C而發(fā)生.

故選：C.

變式7.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知P（A）=0.3,P（3）=0.1,若8=A,貝

P（AB）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】A

【解析】由于所以P（AB）=P（3）=0.L

故選：A

【解題方法總結(jié)】

事件的關(guān)系運(yùn)算策略

（1）互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生.

（2）進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)

可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用

Venn圖分析事件.

題型三：頻率與概率

例7.（2024?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在一個(gè)口袋中放有加個(gè)白球和

〃個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學(xué)生分別從口袋中每次摸一個(gè)球，記錄顏色

后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計(jì)概率，若從口袋中

隨機(jī)摸1個(gè)球，則摸到紅球概率的估計(jì)值為.（小數(shù)點(diǎn)后保留一位小數(shù)）

【答案】0.7

【解析】由題意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，摸到紅球的次數(shù)共

348次，

所以摸到紅球概率的估計(jì)值為34就8》0.7.

故答案為：0.7

例8.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）下列說(shuō)法：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05,則從

中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正

面的概率是0.51；③隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0,

即尸（A）趨近于0,則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，

則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是點(diǎn)；⑥隨機(jī)事件的頻率就是這個(gè)事件發(fā)生的概率；其中正確的

有.

【答案】③⑤

【解析】概率指的是無(wú)窮次試驗(yàn)中，出現(xiàn)的某種事件的頻率總在一個(gè)固定的值的附近波

動(dòng)，這個(gè)固定的值就是概率.

①通過(guò)概率定義可以分析出，出現(xiàn)的事件是在一個(gè)固定值波動(dòng)，并不是一個(gè)確定的值，則

本題中從該批產(chǎn)品中任取200件，應(yīng)該是10件次品左右，不一定出現(xiàn)10件次品，錯(cuò)誤；

②100次拋硬幣的試驗(yàn)并不是無(wú)窮多次試驗(yàn)，出現(xiàn)的頻率也不是概率，事實(shí)上硬幣只有兩

個(gè)面，每個(gè)面出現(xiàn)的概率是相等的，所以因此出現(xiàn)正面的概率是0.5,錯(cuò)誤；

③隨機(jī)事件的概率是通過(guò)多次試驗(yàn)，算出頻率后來(lái)估計(jì)它的概率的，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)多了，

這個(gè)頻率就越來(lái)越接近概率，所以隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，正確；

④隨機(jī)事件A的概率趨近于0,說(shuō)明事件A發(fā)生的可能性很小，但并不表示不會(huì)發(fā)生，錯(cuò)

樂(lè)'口；

1R9

⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是箴=玲，正確；

⑥根據(jù)概率的定義，隨機(jī)事件的頻率只是這個(gè)事件發(fā)生的概率的近似值，它并不等于概

率，錯(cuò)誤；

綜上，正確的說(shuō)法有③⑤.

故答案為：③⑤

例9.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在對(duì)于一些敏感性問(wèn)題調(diào)查時(shí)，被調(diào)查者往往不愿意給正

確答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法.調(diào)查人員設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、

大小、質(zhì)地完全相同的50個(gè)黑球和50個(gè)白球，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個(gè)球，

若摸到黑球則需要如實(shí)回答問(wèn)題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實(shí)回答問(wèn)題

二：你是否在考試中做過(guò)弊.若100人中有52人回答了“是”，48人回答了“否”.則問(wèn)題二

“考試是否做過(guò)弊"回答“是”的百分比為（以100人的頻率估計(jì)概率）.

【答案】54%/0.54

【解析】由題意可知，每名調(diào)查者從袋子中抽到1個(gè)白球或黑球的概率均為0.5,

所以，100人中回答第一個(gè)問(wèn)題的人數(shù)為100x0.5=50,則另外50人回答了第二個(gè)問(wèn)題，

在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率為T(mén)，即摸到黑球且回答“是”的人數(shù)為

50x-=25,

2

則摸到白球且回答“是”的人數(shù)為52-25=27,

所以，問(wèn)題二“考試是否做過(guò)弊”且回答“是”的百分比為治=0.54=54%.

故答案為：54%.

變式8.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%,現(xiàn)采

用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生。到9之

間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，再

以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為.

【答案】0.25/y

4

【解析】20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191、271、932、812、393,

其頻率為京=025,以此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為0.25.

故答案為：0.25

變式9.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試

驗(yàn)，其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，剩余的人無(wú)療效，則沒(méi)有明顯療

效的頻率是.

193

【答案】0.386/—

500

【解析】由題意可得沒(méi)有明顯療效的人數(shù)為500-307=193,

所以沒(méi)有明顯療效的頻率為*=0.386,

故答案為：0.386

變式10.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))若隨機(jī)事件A在〃次試驗(yàn)中發(fā)生了,"次，則當(dāng)試

驗(yàn)次數(shù)〃很大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率3來(lái)估計(jì)事件A的概率，即

n

尸(A)。.

【答案】一

n

【解析】在相同的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)在隨機(jī)事件A發(fā)生

的概率

P(A)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，這個(gè)性質(zhì)成為頻率的穩(wěn)定性.因此，可以用事件A發(fā)生的

頻率%來(lái)估計(jì)事件A的概率，即尸(A)。%.

nn

故答案為：-

n

變式11.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%,現(xiàn)

采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率，先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9

之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定2,4,6,8表示命中十環(huán)，0,1,3,5,7,9表示未命中

十環(huán)，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)

數(shù)：321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965據(jù)

此估計(jì)，小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率約為.

【答案】0.3

【解析】由題意，隨機(jī)數(shù)組421,292,274,632,478,663共6個(gè)，表示恰有兩次命中十

環(huán)，

所以概率為尸=三=0.3.

20

故答案為：0.3.

變式12.(2024?廣東廣州?高三鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí))長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視

力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1

小時(shí)，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)

生，則他近視的概率約為.

【答案】0.375

【解析】設(shè)該學(xué)校人數(shù)為x,依題意得，近視的人數(shù)為0.4%,玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)的人有

0.2x,近視人數(shù)為0.卜，于是玩手機(jī)小于1小時(shí)但又近視的人數(shù)為(0.4-0.1)x=0.3x,玩

手機(jī)小于1小時(shí)的總?cè)藬?shù)為(1-0.2)x=0.8x,這類人的近視率約為粵=0.375.

故答案為：0.375

變式13.(2024?上海浦東新?高三華師大二附中?？茧A段練習(xí))袋中有10個(gè)球，其中有

加個(gè)紅球，”個(gè)藍(lán)球，有放回地隨機(jī)抽取1000次，其中有597次取到紅球，403次取到藍(lán)

球，則其中紅球最有可能有個(gè).

【答案】6

597m/

【斛析】----=一

100010

所以紅球最有可能有6個(gè).

故答案為：6

【解題方法總結(jié)】

(1)概率與頻率的關(guān)系

頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值,

通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能

性的大小

（2）隨機(jī)事件概率的求法

通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率

一■會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就

@是事件的概率，

題型四：生活中的概率

例10.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某購(gòu)物網(wǎng)站開(kāi)展一種商品的預(yù)約購(gòu)買(mǎi)，規(guī)定每個(gè)手

機(jī)號(hào)只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過(guò)搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購(gòu)買(mǎi)到該商品.規(guī)則如下：（i）

搖號(hào)的初始中簽率為0.19；（ii）當(dāng)中簽率不超過(guò)1時(shí)，可借助“好友助力”活動(dòng)增加中簽

率，每邀請(qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加0.05.為了使中簽率超過(guò)0.9,

則至少需要邀請(qǐng)______位好友參與到“好友助力”活動(dòng).

【答案】15

【解析】因?yàn)閾u號(hào)的初始中簽率為0.19,所以要使中簽率超過(guò)0.9,需要增加中簽率

0.9-0.19=0.71,

因?yàn)槊垦?qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加0.05,

所以至少需要邀請(qǐng)蔗而=14.2,所以至少需要邀請(qǐng)15位好友參與至IJ“好友助力”活動(dòng).

故答案為：15

例11.（2024?江西吉安?江西省泰和中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲

箱中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球，99個(gè)黑球.隨機(jī)地抽取一箱，再?gòu)娜〕?/p>

的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球，我們可以認(rèn)為這球是從—箱中取出的.

【答案】甲.

【解析】分別求出甲箱中取到白球的概率和乙箱中取到白球的概率，由此進(jìn)行判斷.甲

箱有99個(gè)白球1個(gè)黑球，

，隨機(jī)地取出一球，得白球的可能性是9急9，

乙箱中有1個(gè)白球和99個(gè)黑球，從中任取一球，得白球的可能性是擊，

由此看到，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多.

既然在一次抽樣中抽得白球，當(dāng)然可以認(rèn)為是由概率大的箱子中抽出的.

我們作出推斷是從甲箱中抽出的.

故答案為：甲

例12.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）有以下說(shuō)法：

①一年按365天計(jì)算，兩名學(xué)生的生日相同的概率是工;②買(mǎi)彩票中獎(jiǎng)的概率為0.001,那么

365

買(mǎi)1000張彩票就一定能中獎(jiǎng);③乒乓球賽前，決定誰(shuí)先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個(gè)數(shù)

字中各抽取1個(gè)，再比較大小，這種抽簽方法是公平的;④昨天沒(méi)有下雨，則說(shuō)明“昨天氣象局的

天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%”是錯(cuò)誤的.

根據(jù)我們所學(xué)的概率知識(shí)，其中說(shuō)法正確的序號(hào)是

【答案】①③

【解析】根據(jù)“概率的意義”求解，買(mǎi)彩票中獎(jiǎng)的概率0.001,并不意味著買(mǎi)100。張彩票一定

能中獎(jiǎng)，只有當(dāng)買(mǎi)彩票的數(shù)量非常大時(shí)，我們可以看成大量買(mǎi)彩票的重復(fù)試驗(yàn),中獎(jiǎng)的次數(shù)為

n

（D0O5

昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%,是指可能性非常大，并不一定會(huì)下雨.

說(shuō)法②④是錯(cuò)誤的，而利用概率知識(shí)可知①③是正確的.

故答案為①③.

【解題方法總結(jié)】

概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)

生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)頻率向概率靠近，只要次

數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率.

題型五：互斥事件與對(duì)立事件

例13.（2024?四川眉山?仁壽一中校考模擬預(yù)測(cè)）袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1

個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）

A.至少有一個(gè)白球；都是白球B.至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球

C.至少有一個(gè)白球；紅、黑球各一個(gè)D.恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球

【答案】C

【解析】對(duì)于A,至少有一個(gè)白球和都是白球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A

不是；

對(duì)于B,至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，B不

是；

對(duì)于C,至少有一個(gè)白球和紅、黑球各一個(gè)的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是

互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，C是；

對(duì)于D,恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，D不

是.

故選：C

例14.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，

那么互斥而不對(duì)立的事件是（）

A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球

B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球

C.恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球

D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球

【答案】C

【解析】對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)

都是黑球，，這兩個(gè)事件不是互斥事件，，A不正確；

對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅

球一個(gè)黑球，.1B不正確；

對(duì)于C：事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任

取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是紅球，.??兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，；.C正

確；

對(duì)于D：事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，

,這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，；.D不正確；

故選：C.

例15.（2024?四川宜賓?統(tǒng)考三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向

上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大

于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（）

A.事件1與事件3互斥B.事件1與事件2互為對(duì)立事件

C.事件2與事件3互斥D.事件3與事件4互為對(duì)立事件

【答案】B

【解析】由題可知，事件1可表示為：A={1,3,5},事件2可表示為：8={2,4,6},

事件3可表示為：C={4,5,6},事件4可表示為：。={1,2},

因?yàn)锳C={5},所以事件1與事件3不互斥，A錯(cuò)誤；

因?yàn)锳c5為不可能事件，AuB為必然事件,

所以事件1與事件2互為對(duì)立事件，B正確；

因?yàn)?C={4,6},所以事件2與事件3不互斥，C錯(cuò)誤；

因?yàn)镃cO為不可能事件，CuO不為必然事件，

所以事件3與事件4不互為對(duì)立事件，D錯(cuò)誤；

故選：B.

變式14.（2024?廣西柳州?柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必

修一、二共四本書(shū)中任取兩本書(shū)，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）

A.至少有一本政治與都是數(shù)學(xué)B.至少有一本政治與都是政治

C.至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)D.恰有1本政治與恰有2本政治

【答案】D

【解析】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書(shū)內(nèi)任取2本書(shū)，

可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，

“至少有一本政治“包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”.

對(duì)于A,事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學(xué)”是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事

件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,事件“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事件：“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，因此兩個(gè)

事件都包含事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事

件，但是不對(duì)立，故D正確.

故選:D.

變式15.（2024?全國(guó)?高二）袋內(nèi)分別有紅、白、黑球3,2,1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而

不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）

A.至少有一個(gè)白球；都是白球B.至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球

C.恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球D.至少有一個(gè)白球；紅、黑球各一個(gè)

【答案】D

【解析】對(duì)于A,“至少有一個(gè)白球”說(shuō)明有白球，白球的個(gè)數(shù)可能為1或2,

而“都是白球”說(shuō)明兩個(gè)全是白球，這兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，故A中事件不是互斥的；

對(duì)于B,當(dāng)兩球一個(gè)白球一個(gè)紅球時(shí)，“至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)紅球”均發(fā)生，故

不互斥；

對(duì)于C,“恰有一個(gè)白球”，表示黑球個(gè)數(shù)為?；?,即可能是一個(gè)白球和一個(gè)黑球，

這與“一個(gè)白球一個(gè)黑球,，不互斥；

對(duì)于D,“至少一個(gè)白球”發(fā)生時(shí)，“紅、黑球各一個(gè)“不會(huì)發(fā)生，故二者互斥，

從袋中任取2個(gè)也可能是兩個(gè)紅球，即二者可能都不發(fā)生，故二者不對(duì)立，

故選：D

變式16.（多選題）（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）從1,2,3,L,9中任取三個(gè)不同的

數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對(duì)立事件的有（）

A.“三個(gè)都為偶數(shù)”和“三個(gè)都為奇數(shù)”B.“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“至多有一個(gè)奇數(shù)”

C.“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“三個(gè)都為偶數(shù)”D.“一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)”和“兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇

數(shù)”

【答案】AD

【解析】從1~9中任取三數(shù)，按這三個(gè)數(shù)的奇偶性分類，有四種情況：

（1）三個(gè)均為奇數(shù)；（2）兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；（3）一個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù)；（4）三個(gè)均為偶

數(shù)，所以選項(xiàng)A、D是互斥但不是對(duì)立事件，選項(xiàng)C是對(duì)立事件，選項(xiàng)B不是互斥事件.

故選：AD.

【解題方法總結(jié)】

1、準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也

可以同時(shí)不發(fā)生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生,

既有且僅有一個(gè)發(fā)生.

2、判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；

兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.

題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率

例16.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知事件A,B,C兩兩互斥，若P（A）=:,

1Q

P（C）=iP（AB）*,則P?C）=.

J，J

【答案】I

【解析】因?yàn)槭录嗀,B,C兩兩互斥,

所以P（A8）=P（A）+P（8）=R,

A

因?yàn)槭ǎ?：所以p（8）=、_p（A）=1m,

111o

又因?yàn)槭╟）=§,所以尸（2uC）=P（2）+P（C）=§+m=§,

故答案為：：.

例17.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某單位派出了6名主力隊(duì)員和5名

替隊(duì)員組成代表隊(duì)參加比賽.如果隨機(jī)抽派5名隊(duì)員上場(chǎng)，則主力隊(duì)員多于替補(bǔ)隊(duì)員的概率

為.

【答案墓

【解析】將主力隊(duì)員上場(chǎng)的人數(shù)記為X,

貝l]X>5-X,X>|,

則所求概率為P（x>3）=尸（X=3）+P（X=4）+尸（X=5）

或C；+或C；?C_281

///462'

故答案為：

462

例18.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是和棋的概率是

7,則甲不輸?shù)母怕蕿開(kāi)___.

4

【答案咤

【解析】記甲獲勝為事件4和棋為事件A

易知A,B互斥,

1211

所以，甲不輸?shù)母怕蕿?+§=丘.

故答案為：-

變式17.（2024?四川眉山?高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）一個(gè)盒子內(nèi)裝有若干個(gè)大小相同的紅

球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,

那么從盒中摸出1個(gè)球，摸出黑球或紅球的概率是.

【答案】0.75

【解析】因?yàn)橐粋€(gè)盒子內(nèi)裝有若干個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，則從中摸出1個(gè)球，

摸出紅球，白球和黑球的事件兩兩互斥，

又摸出紅球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,

所以摸出黑球的概率是1-0.45-0.25=0.3,

所以從盒中摸出1個(gè)球，摸出黑球或紅球的概率是045+0.3=0.75,

故答案為：0.75.

變式18.（2024?福建廈門(mén)?廈門(mén)一中校考模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，箱子里有10

個(gè)大