2025高考數(shù)學復習必刷題：統(tǒng)計（學生版）

第83講統(tǒng)計

知識梳理

知識點一、抽樣

1、抽樣調(diào)查

(1)總體：統(tǒng)計中所考察對象的某一數(shù)值指標的全體構(gòu)成的集合稱為總體.

(2)個體：構(gòu)成總體的每一個元素叫做個體.

(3)樣本：從總體中抽取若干個個體進行考察，這若干個個體所構(gòu)成的集合叫做總體

的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量.

2、簡單隨機抽樣

(1)定義

一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取〃個個體作為樣本

(wWN),如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫

做簡單隨機抽樣.這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本.

(2)兩種常用的簡單隨機抽樣方法

①抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號

簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取w次，就得到一個容

量為”的樣本.

②隨機數(shù)法：即利用隨機數(shù)表、隨機數(shù)骰子或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)進行抽樣.這里僅

介紹隨機數(shù)表法.隨機數(shù)表由數(shù)字0,1,2,…，9組成，并且每個數(shù)字在表中各個位置

出現(xiàn)的機會都是一樣的.

注意：為了保證所選數(shù)字的隨機性，需在查看隨機數(shù)表前就指出開始數(shù)字的橫、縱位

置.

(3)抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況

抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況，

但是當總體容量很大時，需要的樣本容量也很大時，利用隨機數(shù)法抽取樣本仍不方便.

(4)簡單隨機抽樣的特征

①有限性：簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體

進行分析.

②逐一性：簡單隨機抽樣是從總體中逐個地進行抽取，便于實踐中操作.

③不放回性：簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣，便于進行有關(guān)的分析和計算.

④等可能性：簡單單隨機抽樣中各個個體被抽到的機會都相等，從而保證了抽樣方法的

公平.

只有四個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣.

3、分層抽樣

(1)定義

一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地

抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽

樣.

分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的.

(2)分層抽樣問題類型及解題思路

①求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算.

②己知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比

例式進行計算.

樣本容量

③分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比=蜂卷=

各層樣本數(shù)量,,

各層個體數(shù)量

注意：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽?。?竺

㈠=1,2,…#)個個體(其中，是層數(shù)，w是抽取的樣本容量，乂是第，層中個體的個

數(shù)，N是總體容量).

知識點二、用樣本估計總體

1、頻率分布直方圖

(1)頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法

頻率

端歪x組距=頻率.

頻數(shù)頻數(shù)

②武)量=頻率'命第=樣本容量，樣本容量X頻率=頻數(shù).

③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于1.

2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算

(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.設(shè)中位數(shù)為x,利用x左

（右）側(cè)矩形面積之和等于0.5,即可求出x.

（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面

積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和，即有工二國網(wǎng)+網(wǎng)月+…+七衛(wèi)，其中當為每個小

長方形底邊的中點，為每個小長方形的面積.

3、百分位數(shù)

（1）定義

一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等

于這個值，且至少有（100-0%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

（2）計算一組〃個數(shù)據(jù)的的第p百分位數(shù)的步驟

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

②計算i=p%.

③若，不是整數(shù)而大于i的比鄰整數(shù)j,則第p百分位數(shù)為第/項數(shù)據(jù)；若，是整數(shù)，則

第p百分位數(shù)為第i項與第i+1項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

（3）四分位數(shù)

我們之前學過的中位數(shù)，相當于是第50百分位數(shù).在實際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常

用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)

據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).

4、樣本的數(shù)字特征

（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.

②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間

兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平.

③平均數(shù)：〃個樣本數(shù)據(jù)公尤2,…,7的平均數(shù)為1=>+"2+…,反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平

n

均水平，公式變形：=nx.

Z=1

5、標準差和方差

（1）定義

①標準差：標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)

據(jù)是和々,…,X”，X表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標準差

s=-尤）2+（x-x）2+■-■+（x?-x）2].

Vn2

②方差：方差就是標準差的平方，即$2=—[（玉-”了+卜-左丁+…+⑸-幻」.顯然,

n

在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上,方差與標準差是一樣的.在解決實際問題時，多采用標準差.

（2）數(shù)據(jù)特征

標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大小.標準差、方差越大，則數(shù)據(jù)

的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.反之亦可由離散程度的大小推

算標準差、方差的大小.

（3）平均數(shù)、方差的性質(zhì)

如果數(shù)據(jù)玉,々，……，七的平均數(shù)為最，方差為S',那么

2

①一組新數(shù)據(jù)玉+b,x2+b,...xn+b的平均數(shù)為尤+b,方差是s.

②一組新數(shù)據(jù)...,axn的平均數(shù)為ax,方差是/s?.

③一組新數(shù)據(jù)叫+b,ax2+b,...,axn+Z?的平均數(shù)為ax+b,方差是a2s

必考題型全歸納

題型一：隨機抽樣、分層抽樣

例1.（2024?全國?高三專題練習）某工廠為了對產(chǎn)品質(zhì)量進行嚴格把關(guān)，從500件產(chǎn)品

中隨機抽出50件進行檢驗，對這500件產(chǎn)品進行編號001,002,500,從下列隨機數(shù)

表的第二行第三組第一個數(shù)字開始，每次從左往右選取三個數(shù)字，則抽到第四件產(chǎn)品的編

號為()

283931258395952472328995

721628843660107343667575

943661184479514096949592

601749514068751632414782

A.447B.366C.140D.118

例2.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知某班共有學生46人，該班語文老師為了了解

學生每天閱讀課外書籍的時長情況，決定利用隨機數(shù)表法從全班學生中抽取10人進行調(diào)

查.將46名學生按01,02,…，46進行編號.現(xiàn)提供隨機數(shù)表的第7行至第9行:

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695565719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù),

則得到的第8個樣本編號是（）

A.07B.12C.39D.44

例3.（2024?全國?高三專題練習）現(xiàn)要完成下列2項抽樣調(diào)查：

①從10盒酸奶中抽取3盒進行食品衛(wèi)生檢查；

②東方中學共有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名.為了

了解教職工對學校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本.

較為合理的抽樣方法是（）

A.①抽簽法，②分層隨機抽樣B.①隨機數(shù)法，②分層隨機抽樣

C.①隨機數(shù)法，②抽簽法D.①抽簽法，②隨機數(shù)法

變式1.（2024?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學?？茧A段練習）在二戰(zhàn)期間，技術(shù)先

進的德國坦克使德軍占據(jù)了戰(zhàn)場主動權(quán)，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對盟軍具有非常重要的

戰(zhàn)略意義，盟軍請統(tǒng)計學家參與情報的收集和分析工作.在繳獲的德軍坦克上發(fā)現(xiàn)每輛坦

克都有獨一無二的發(fā)動機序列號，前6位表示生產(chǎn)的年月，最后4位是按生產(chǎn)順序開始的

連續(xù)編號.統(tǒng)計學家將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法推斷德軍

每月生產(chǎn)的坦克數(shù).假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)為N,繳獲的該月生產(chǎn)的〃輛坦克編號

從小到大為毛，巧，L,xn,繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機獲取的，繳獲坦克的

編號4，巧，L,Z,相當于從［1,N］中隨機抽取的”個整數(shù)，這幾個數(shù)將區(qū)間［0,N］分

成（W+1）個小區(qū)間（如圖）.可以用前"個區(qū)間的平均長度土估計所有5+1）個區(qū)間的平均

n

N

長度」7,進而得到N的估計.如果繳獲的坦克編號為：35,67,90,127,185,245,

n+1

287.則可以估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為（）

III____________________|____I?

0即…NX

A.288B.308C.328D.348

變式2.（2024?江蘇?高三江蘇省梁豐高級中學校聯(lián)考階段練習）為了慶祝中國共產(chǎn)黨第

二十次全國代表大會，學校采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從高一1002人，高二

1002人，高三1503人中抽取126人觀看“中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會”直播，那么

高三年級被抽取的人數(shù)為（）

A.36B.42C.50D.54

變式3.（2024?北京?高三強基計劃）某校共2017名學生，其中每名學生至少要選A,B

兩門課中的一門，也有些學生選了兩門課.已知選A的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在70%到

75%之間，選8的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在40%到45%之間.則下列結(jié)論中正確的是

（）

A.同時選A,8的可能有200人B.同時選A,8的可能有300人

C.同時選A,8的可能有400人D.同時選A,8的可能有500人

變式4.（2024?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名

青年人，從中按比例用分層隨機抽樣的方法抽取，人，若抽取的老年人與青年人共21名，

則〃的值為（）

A.15B.30C.32D.36

【解題方法總結(jié)】

不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的.

題型二：統(tǒng)計圖表

例4.（多選題）（2024?河北石家莊?高三校聯(lián)考期中）恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個

人消費支出總額的比重，它在一定程度上可以用來反映人民生活水平.恩格爾系數(shù)的一般

規(guī)律：收入越低的家庭，恩格爾系數(shù)就越大；收入越高的家庭，恩格爾系數(shù)就越小.國際

上一般認為，當恩格爾系數(shù)大于0.6時，居民生活處于貧困狀態(tài)；在0.5-0.6之間，居民生

活水平處于溫飽狀態(tài)；在0.4-0.5之間，居民生活水平達到小康；在0.3-0.4之間，居民生

活水平處于富裕狀態(tài)；當小于0.3時，居民生活達到富有.下面是某地區(qū)2022年兩個統(tǒng)計

圖，它們分別為城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)統(tǒng)計圖和城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入統(tǒng)計圖，請你

依據(jù)統(tǒng)計圖進行分析判斷，下列結(jié)論錯誤的是（）

城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)(％)

35_____________________________________________31.6

3028.327.427.728.326.1

2522.7[~]23.1口23.8口24_

20—

15—

10—

5—

20172018201920202021

口城鎮(zhèn)居民口農(nóng)村居民

圖1

城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收人（元）

140000

120000

8326284793

100000

7735279132題92

80000

6000040。8240Z884屋50系甌

40000

43878

20000

20172018201920202021

農(nóng)村居民城鎮(zhèn)居民

圖2

A.農(nóng)村居民自2017年到2021年，居民生活均達到富有

B.近五年城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入差異最大的年份是2020年

C.城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)差異最小的年份是2019年

D.2022年該地區(qū)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的生活水平已經(jīng)全部處于富有狀態(tài)

例5.（多選題）（2024?河北唐山?遷西縣第一中學校考二模）2022年的夏季，全國多地

迎來罕見極端高溫天氣.某課外小組通過當?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計了當?shù)仄咴路萸?0天每天的最

高氣溫與最低氣溫，得到如下圖表，則根據(jù)圖表，下列判斷正確的是（）

B.七月份前20天中最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差

C.七月份前20天最高氣溫的平均數(shù)高于40℃

D.七月份前10天（1—10日）最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差

例6.（多選題）（2024?山西忻州?高三校聯(lián)考開學考試）航海模型項目在我國已開展四

十余年，深受青少年的喜愛.該項目整合國防、科技、工程、藝術(shù)、物理、數(shù)學等知識，主

要通過讓參賽選手制作、遙控各類船只、艦艇等模型航行，普及船艇知識，探究海洋奧

秘，助力培養(yǎng)未來海洋強國的建設(shè)者.某學樣為了解學生對航海模型項目的喜愛程度，用比

例分配的分層隨機抽樣法從某校高一、高二、高三年級所有學生中抽取部分學生做抽樣調(diào)

查.已知該學校高一、高二、高三年級學生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級

學生有32人，則下列說法正確的是（）

A.該校高一學生人數(shù)是2000

B.樣本中高二學生人數(shù)是28

C.樣本中高三學生人數(shù)比高一學生人數(shù)多12

D.該校學生總?cè)藬?shù)是8000

變式5.（多選題）（2024?湖南株洲?高三校考階段練習）某公司統(tǒng)計了2024年1月至6

月的月銷售額（單位：萬元），并與2022年比較，得到同比增長率數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示

的統(tǒng)計圖，則下列說法正確的是（）

注：同比增長率=（今年月銷售額一去年同期月銷售額）;去年同期月銷售額x100%.

B.2024年1月至6月的月銷售額的第60百分位數(shù)為8

C.2024年1月至6月的月銷售額的中位數(shù)為9.5

D.2022年5月的月銷售額為10萬元

變式6.（多選題）（2024?廣東梅州?統(tǒng)考三模）某公司經(jīng)營五種產(chǎn)業(yè)，為應(yīng)對市場變

化，在五年前進行了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使公司總利潤不斷增長，今年總利

潤比五年前增加了一倍，調(diào)整前后的各產(chǎn)業(yè)利潤與總利潤的占比如圖所示，則下列結(jié)論錯

誤的是（）

傳媒因手

書

73傳?

2^32%J\

25%寸雜志

K\5y\

2*23%7

房地產(chǎn)卷房地產(chǎn)試卷

調(diào)整前調(diào)整后

A.調(diào)整后傳媒的利潤增量小于雜志

B.調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤有所下降

C.調(diào)整后試卷的利潤增加不到一倍

D.調(diào)整后圖書的利潤增長了一倍以上

變式7.（多選題）（2024?福建福州?福州三中校考模擬預(yù)測）某調(diào)查機構(gòu)對我國若干大

型科技公司進行調(diào)查統(tǒng)計，得到了從事芯片、軟件兩個行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和

“90后”從事這兩個行業(yè)的崗位分布雷達圖，則下列說法中一定正確的是（）

90后從事芯片、軟件芯片、軟件行業(yè)

行業(yè)崗位的分布從業(yè)者年齡分布

A.芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，“90后”占總?cè)藬?shù)的比例超過50%

B.芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計崗位的“90后”人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的25%

C.芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”比“80后”多

D.芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場崗位的人數(shù)比“80前”的總?cè)藬?shù)多

變式8.（多選題）（2024?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）某地環(huán)保部門公布了該地A,8兩個景區(qū)

2016年至2022年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù).現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的

散點圖，則由該圖得出的下列結(jié)論中正確的是（）

數(shù)

天

34O

32O

30O1

301

2X0上293￡80上283一,293

260________________▲262上266▲262

240.254?254人255一

皴。217.203、

02016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年年份

?景區(qū)A▲景區(qū)B

A.景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254

B.景區(qū)8這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的第80百分位數(shù)為280

C.這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標準差比景區(qū)8的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標準差

大

D.這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)3的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)

大

【解題方法總結(jié)】

統(tǒng)計圖表的主要應(yīng)用

扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；

折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢；

條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.

題型三：頻率分布直方圖

例7.（2024?四川成都?高三成都七中?？茧A段練習）某區(qū)為了解全區(qū)12000名高二學生

的體能素質(zhì)情況，在全區(qū)高二學生中隨機抽取了1000名學生進行體能測試，并將這1000名

的體能測試成績整理成如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，這1000名學生平均

成績的估計值為.

例8.（2024?云南?統(tǒng)考二模）某大學有男生2000名.為了解該校男生的身體體重情

況，隨機抽查了該校100名男生的體重，并將這100名男生的體重（單位：kg）分成以下

六組：［54,58）、［58,62）、［62,66）、［66,70）、［70,74）、［74,78］,繪制成如下的頻率分布

該校體重（單位：kg）在區(qū)間[70,78]上的男生大約有人.

例9.（2024?全國?高三專題練習）2022年12月4日是第九個國家憲法日，主題為“學習

宣傳貫徹黨的二十大精神，推動全面貫徹實施憲法”，某校由學生會同學制作了憲法學習問

卷，收獲了有效答卷2000份，先對其得分情況進行了統(tǒng)計，按照[50,60）、[60,70）.........

[90,100]分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中工=.

變式9.（2024?上海浦東新?高三上海市建平中學?？奸_學考試）從某小學所有學生中隨

機抽取100名學生，將他們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其

中樣本數(shù)據(jù)分組口。0,11。），口1。，120）,[120,130）,[130,140）,[140,150）,若要從身高在

[120,130）,[130,140）,口40,150）三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法抽取12人參加一項

活動，則從身高在口30,140）內(nèi)的學生中抽取的人數(shù)應(yīng)為.

變式10.（2024?上海普陀?高三曹楊二中校考階段練習）某校調(diào)查了200名學生每周的

自習時間（單位:小時），制成了如圖所示的的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，這200名學

生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)為：.

變式11.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高三海拉爾第一中學?？茧A段練習)某蔬菜批發(fā)市場

銷售某種蔬菜.在一個銷售周期內(nèi)，每售出1噸該蔬菜獲利500元，未售出的蔬菜低價處

理，每噸虧損100元.統(tǒng)計該蔬菜在過去的100個銷售周期內(nèi)的市場需求量所得頻率分布直

方圖如下：

(1)求圖中a的值并求100個銷售周期的平均市場需求量；

(2)若經(jīng)銷商在下一個銷售周期購入19。噸該蔬菜，設(shè)>為銷售周期所得利潤(單位：

元)，x為該銷售周期的市場需求量(單位：噸)，求x,y的函數(shù)關(guān)系式，并估計銷售的利

潤不少于86000元的概率.

【解題方法總結(jié)】

(1)利用頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù);

(2)利用頻率分布直方圖估計總體.

（3）頻率分布直方圖的縱坐標是繁，而不是頻率.

組距

題型四：百分位數(shù)

例10.（2024?上海?高三專題練習）以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學競賽決賽的15人的成績（單

位:分），分數(shù)從低到高依次：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,則這15人成

績的第80百分位數(shù)是.

例11.（2024?上海浦東新?高三上海市建平中學校考階段練習）某校為了了解高三年級

學生的身體素質(zhì)狀況，在開學初舉行了一場身體素質(zhì)體能測試，以便對體能不達標的學生

進行有針對性的訓練，促進他們體能的提升，現(xiàn)從整個年級測試成績中抽取100名學生的

測試成績，并把測試成績分成[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六組，繪制

成頻率分布直方圖（如圖所示）.其中分數(shù)在[90,100]這一組中的縱坐標為“，則該次體能

測試成績的80%分位數(shù)約為分.

例12.（2024?安徽?校聯(lián)考二模）國慶節(jié)前夕，某市舉辦以“紅心頌黨恩、喜迎二十大”

為主題的青少年學生演講比賽，其中10人比賽的成績從低到高依次為：85,86,88,88,

89,90,92,93,94,98（單位：分），則這10人成績的第75百分位數(shù)是.

變式12.（2024?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第四中學校?？计谀┮阎唤M數(shù)據(jù)：

24,30,40,44,48,52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為.

變式13.（2024?全國?高三專題練習）為了養(yǎng)成良好的運動習慣，某人記錄了自己一周

內(nèi)每天的運動時長（單位：分鐘），分別為53,57,45,61,79,49,x,若這組數(shù)據(jù)的第

80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3,則％=（）

A.58或64B.59或64C.58D.59

【解題方法總結(jié)】

計算一組”個數(shù)據(jù)的的第p百分位數(shù)的步驟

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

②計算i=p%■

③若，不是整數(shù)而大于，的比鄰整數(shù)j,則第p百分位數(shù)為第，項數(shù)據(jù)；若，.是整數(shù)，則

第p百分位數(shù)為第i項與第i+1項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

題型五：樣本的數(shù)字特征

例13.（多選題）（2024?廣東惠州?高三統(tǒng)考階段練習）有一組樣本數(shù)據(jù)：4%，…,飛，

其平均數(shù)為2,由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：見,馬，…，演,2,那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定

有相同的（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.極差

例14.（多選題）（2024?吉林?高一榆樹市實驗高級中學校校聯(lián)考期末）已知數(shù)據(jù)1：

3，巧，L，xn,數(shù)據(jù)2：2玉-1,2X2-1,L,則下列統(tǒng)計量中，數(shù)據(jù)2不是

數(shù)據(jù)1的兩倍的有（）

A.平均數(shù)B.極差C.中位數(shù)D.標準差

例15.（2024?貴州黔東南?凱里一中?？寄M預(yù)測）“說文明話、辦文明事、做文明人，

樹立城市新風尚！創(chuàng)建文明城市，你我共同參與！”為宣傳創(chuàng)文精神，華強實驗中學高一

（2）班組織了甲乙兩名志愿者，利用一周的時間在街道對市民進行宣傳，將每天宣傳的次

數(shù)繪制成如下頻數(shù)分布折線圖，則以下說法不正理的為（）

甲、乙志愿者宣傳次數(shù)的頻數(shù)分布折線圖

A.甲的眾數(shù)小于乙的眾數(shù)B.乙的極差小于甲的極差

C.甲的方差大于乙的方差D,乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)

變式14.（2024?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）某學校對班級管理實行量化打分，每周一

總結(jié)，若一個班連續(xù)5周的量化打分不低于80分，則為優(yōu)秀班級.下列能斷定該班為優(yōu)秀

班級的是（）

A.某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83,中位數(shù)為81

B.某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83,方差大于0

C.某班連續(xù)5周量化打分的中位數(shù)為81,眾數(shù)為83

D.某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83,方差為1

變式15.（2024?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知一組數(shù)據(jù):2,3,4,6,m,則下列說法

不正確的是（）

A.若m=7,則平均數(shù)為4.4B.若m=4,則眾數(shù)為4

C.若機=6,則中位數(shù)為4D.若加=10,則方差為40

變式16.（2024?貴州銅仁?高二貴州省銅仁第一中學?？奸_學考試）根據(jù)氣象學上的標

準，連續(xù)5天的日平均氣溫低于10。。即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記

錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計算得到結(jié)果如

下：

①平均數(shù)元＜4；

②平均數(shù)x＜4且極差小于或等于3；

③平均數(shù)于＜4且標準差sV4；

④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4.

則4組樣本中一定符合入冬指標的共有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

變式17.（2024?天津河東?高一統(tǒng)考期末）數(shù)學興趣小組的四名同學各自拋擲骰子5

次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，四名同學的部分統(tǒng)計結(jié)果如下：

甲同學：中位數(shù)為3,方差為2.8；乙同學：平均數(shù)為3.4,方差為1.04；

丙同學：中位數(shù)為3,眾數(shù)為3；丁同學：平均數(shù)為3,中位數(shù)為2.

根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是同學.

變式18.（2024?云南大理?高一校考階段練習）根據(jù)氣象學上的標準，連續(xù)5天的日平

均氣溫低于10℃即為入冬.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)

（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7,眾數(shù)為6；②乙地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,極差為3；

③丙地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,中位數(shù)為4；④丁地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6,方差小于

3.

則肯定進入冬季的地區(qū)是（）

A.甲地B.乙地

C.丙地D.丁地

變式19.（2024?河北滄州?高二肅寧縣第一中學?？茧A段練習）氣象意義上的春季進入

夏季的標志為連續(xù)5天的日平均溫度不低于22°C.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均

氣溫的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲地：5個數(shù)據(jù)是中位數(shù)為24,眾數(shù)為22；

②乙地：5個數(shù)據(jù)是中位數(shù)為27,總體均值為24；

③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8

則肯定進入夏季的地區(qū)有

A.①②③B.①③C.②③D.①

變式20.（2024?吉林長春?高一長春市第五中學校考期末）下列命題中是真命題的是

（）

A.一組數(shù)據(jù)2,1,4,3,5,3的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同；

B.有A、B、C三種個體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A個體數(shù)為9,則

樣本容量為30；

C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5,則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的

是甲；

D.一組數(shù)1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的80%分位數(shù)為4.

【解題方法總結(jié)】

（1）平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述波動大小.

（2）方差的簡化計算公式：s2=%（x：+x；+…+靖-癡1或?qū)懗?/p>

S?+—+*）_￡,即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

題型六：總體集中趨勢的估計

例16.（2024?湖北孝感?高二孝昌縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）文明城市是反映城

市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文

明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識

競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不

低于40分的整數(shù)）分成六段：［40,50）,［50,60）,…，［90,100］得到如圖所示的頻率分布

（1）求頻率分布直方圖中。的值；

（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；

⑶已知落在［50,60）的平均成績是61,方差是7,落在［60,70）的平均成績?yōu)?0,方差是

4,求兩組成績的總平均數(shù)三和總方差,2.

例17.（2024?河南南陽?高一統(tǒng)考期末）2022年入冬以來，為進一步做好疫情防控工

作，避免疫情的再度爆發(fā)，A地區(qū)規(guī)定居民出行或者出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將A

地區(qū)20000個居民一周的口罩使用個數(shù)統(tǒng)計如下表所示，其中每周的口罩使用個數(shù)在6以

024681012x/口罩使用個數(shù)

（1）求引力的值，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完善上面的頻率分布直方圖；（只畫圖，不要過程）

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計A地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的75%分位數(shù)和中位數(shù)；（四舍

五入，精確到0』）

（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計A地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的平均數(shù)以及方差.（每組數(shù)據(jù)

用每組中點值代替）

例18.（2024?河北邯鄲?高二?？奸_學考試）某工廠在加大生產(chǎn)量的同時，狠抓質(zhì)量管

理，不定時抽查產(chǎn)品質(zhì)量.該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取了100個，將其質(zhì)

量指標值分成以下六組：[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100].得到如下頻率分布直方

⑴求出直方圖中m的值；

(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標值的平均數(shù)和60%分位

數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，60%分位數(shù)精確到0.01).

變式21.(2024?福建?高二校聯(lián)考開學考試)小晟統(tǒng)計了他6月份的手機通話明細清

單，發(fā)現(xiàn)自己該月共通話100次，小晟將這10。次通話的通話時間(單位：分鐘)按照

(0,4),[4,8),[8,12),[12,16),[16,20),[20,24]分成6組,畫出的頻率分布直方圖如圖

所示.

⑴求a的值;

⑵求通話時間在區(qū)間[4,12)內(nèi)的通話次數(shù)；

(3)試估計小晟這100次通話的平均時間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).

變式22.（2024?浙江溫州?高二樂清市知臨中學?？奸_學考試）為了迎接新高考，某校

舉行物理和化學等選科考試，其中，600名學生化學成績（滿分100分）的頻率分布直方

圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：第一組［45,55）,第二組［55,65）,第三組［65,75）,第

四組［75,85）,第五組［85,95）.已知圖中第三組頻率為0.45,第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a,b的值;

⑵估算高分（大于等于80分）人數(shù)；

（3）估計這600名學生化學成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）和

中位數(shù).（中位數(shù)精確到0.1）

變式23.（2024?湖北武漢?高二統(tǒng)考開學考試）某學校為了了解老師對“民法典”知識的

認知程度，針對不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識競答，滿分100分（95分及以上

為認知程度高），結(jié)果認知程度高的有心人，按年齡分成5組，其中第一組：［20,25）,第

二組：［25,30）,第三組：［30,35）,第四組：［35,40）,第五組：［40,45］,得到如圖所示的

頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這〃，人年齡的第75百分位數(shù);

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取40人，擔任“民法典”知識的宣傳使者.

①若有甲(年齡23),乙(年齡43)兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第一組和第五組

被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人恰有一人被選上的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1,第五組宣傳使者的年齡的平均

數(shù)與方差分別為42和2,據(jù)此估計這用人中35-45歲所有人的年齡的方差.

【解題方法總結(jié)】

頻率分布直方圖的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標.

(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.

(3)平均數(shù):平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點值與對應(yīng)頻率之積的和.

題型七：總體離散程度的估計

例19.(2024?高一課時練習)某學校高一100名學生參加數(shù)學考試，成績均在40分到100

分之間，學生成績的頻率分布直方圖如下圖：

（I）估計這1。0名學生分數(shù)的中位數(shù)與平均數(shù)；（精確到0.1）

⑵某老師抽取了10名學生的分數(shù)：小與七，…，/，已知這10個分數(shù)的平均數(shù)元=90,標準

差s=6,若剔除其中的100和80兩個分數(shù)，求剩余8個分數(shù)的平均數(shù)與標準差.

（參考公式：［無；一疝*

s=|------------

n

例20.（2024?四川綿陽?綿陽中學?？级＃?022年4月16日，神舟十三號載人飛船返

回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標志

著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段圓滿完成.并將進入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)人們對天文

學的興趣，開展了天文知識比賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結(jié)果認知程度

高的有機人，這加人按年齡分成5組，其中第一組：［20,25）,第二組：［25,30）,第三

組：［30,35）,第四組：［35,40）,第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已

知第一組有10人.

頻率

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這，"人的第80百分位數(shù)（中位數(shù)=第50百分位數(shù)）；

（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任“黨章黨史”的宣傳使者.

①若有甲（年齡36）,乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組

被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和,第五組宣傳使者的年齡的平均

數(shù)與方差分別為42和1,據(jù)此估計這根人中35?45歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差.

例21.（2024?北京?高三?？茧A段練習）某學校為了解學生的體質(zhì)健康狀況，對高一、

高二兩個年級的學生進行體質(zhì)健康測試.現(xiàn)從兩個年級學生中各隨機抽取20人，將他們的

測試數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下:

高一高二

6439058

962381458

9852172339

9776464578

8305026

402

《國家學生體質(zhì)健康標準》的等級標準如下表.規(guī)定：測試數(shù)據(jù)次0,體質(zhì)健康為合格.

等級優(yōu)秀良好及格不及格

測試數(shù)據(jù)[90,100][80,89][60,79][0,59]

(1)從該校高二年級學生中隨機抽取一名學生，試估計這名學生體質(zhì)健康合格的概率；

(2)從兩個年級等級為優(yōu)秀的樣本中各隨機選取一名學生，求選取的兩名學生的測試數(shù)據(jù)平

均數(shù)大于95的概率；

(3)設(shè)該校高一學生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為工用，高二學生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方

差分別為兀,s；，試比較X與E、s：與s；的大小.(只需寫出結(jié)論)

變式24.(2024?廣西?高一期末)某中學400名學生參加全市高中數(shù)學競賽，根據(jù)男女

學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)

據(jù)分成7組：[20,30),[30,40),…，怪0,90],并整理得到如下頻率分布直方圖：

f頻率/組距

0.04------------------------------1—1

0.02----------------------------------------

o.oi-------

)~~~~~I1111r

o2030405060708090分數(shù)

(1)由頻率直方圖求樣本中分數(shù)的中位數(shù)；

⑵已知樣本中分數(shù)在[40,50)的學生有5人，試估計總體中分數(shù)小于40的人數(shù)；

(3)已知樣本中男生與女生的比例是3:1,男生樣本的均值為70,方差為10,女生樣本的均

值為80,方差為12,請計算出總體的方差.

變式25.(2024?湖北武漢?高一期末)某中學為了貫策教育部對學生的五項管理中的體

質(zhì)管理，對高一年級學生身高進行調(diào)查，在調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽

樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男34人，其平均數(shù)和方差分別為170.5和15,抽

取了女生16人，其平均數(shù)和方差分別為160.5和35.

(1)由這些數(shù)據(jù)計算總樣本的平均數(shù)；

(2)由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計.

參考數(shù)據(jù)：(15+3.22)x34=858.16,(35+6.82)x16=1299.84

變式26.(2024?湖北武漢?高一期末)為了監(jiān)控某種裝件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢

驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).其中于元近似為

樣本平均數(shù)，s近似為樣本的標準差，用樣本平均數(shù)方和標準差s能夠反映數(shù)據(jù)取值的信

息.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(元-3s,元+3s)之外的零

件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進

行檢查.下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:

9.910.110.210.29.99.810.110

10.210.39.110.19.99.910.110.2

116

經(jīng)計算得元=白20.280,16x0.282?

16,=1

1.25,15x10.062?1518.05,V0.026?0.16,其中為為抽取的第i個零件的尺寸，i=l,2,…,16.

(1)利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？

(2)剔除叵-3s,元+3s)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計樣本平均數(shù)元和樣本標準差,(精確

到0.01).

變式27.（2024?廣西玉林?高一校聯(lián)考期末）某學校為了了解高二年級學生數(shù)學運算能

力，對高二年級的300名學生進行了一次測試.已知參加此次測試的學生的分數(shù)

玳，=1,2,…,300）全部介于45分到95分之間，該校將所有分數(shù)分成5組：

[45,55）,[55,65）,...,[85,95],整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值

（1）求加的值，并估計此次校內(nèi)測試分數(shù)的平均值元；

（2）學校要求按照分數(shù)從高到低選拔前30名的學生進行培訓，試估計這30名學生的最低分

數(shù)；

⑶試估計這300名學生的分數(shù)%1=1,2,…,300）的方差S2,并判斷此次得分為52分和94

分的兩名同學的成績是否進入到了巨-2s,元+2s]范圍內(nèi)？

22

（參考公式：s=-^f\Xi-x）,其中力為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：V129?11.4）

幾1=1

變式28.（2024?黑龍江牡丹江?高一牡丹江一中?？计谀?月23日是世界讀書日，樹

人中學為了解本校學生課外閱讀情況，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從全校學

生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，分別得到

40名男生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間（單

位：小時）的頻率分布直方圖.（以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值）

男生一周課外閱讀時間頻數(shù)分布表

小時頻數(shù)

[0,2)9

[2,4)25

[4,6)3

[6網(wǎng)3

(1)從一周課外閱讀時間為［4,6)的學生中按比例分配抽取6人，再從這6名學生中選出2名

同學調(diào)查他們閱讀書目.求這兩人都是女生的概率;

⑵分別估計男生和女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)U；

(3)估計總樣本的平均數(shù)5和方差小.

參考數(shù)據(jù)和公式：男生和女生一周課外閱讀時間