2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：隱圓問(wèn)題（學(xué)生版）

第62講隱圓問(wèn)題

必考題型全歸納

題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)

例L（2024?天津北辰?高三天津市第四十七中學(xué)?？计谀┢矫鎯?nèi)，定點(diǎn)A,B,C,D

滿足|。川=|。8|=|￡>。|=2,DA-DB=DB-DC=DC-DA=-2,動(dòng)點(diǎn)尸，M滿足|AP|=1,

PM=MC，則IBM『的最大值為（）

.37+673?37+2庖?4349

.-----------1J.-------------L.

4444

例2.（2024?全國(guó)?高一階段練習(xí)）已知。,。是單位向量，a.b=O,若向量c滿足

\c-a+b\=l,則|c-6|的取值范圍是（）

A.[72-1,5/2+1]B.[1,V2+1]C.[0,2]D.[0-1,6+1]

例3.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知單位向量￡與向量6=（0,2）垂直，若向量;滿足

\a+b+c\=l,則1的取值范圍為（）

A.[1,^-1]B.[與，與1C.[75-1,75+1]D.|鋁,3

變式1.（2024.湖北武漢.高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果圓

（彳-0）2+"-0）2=8上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為四,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（—3,3）B.（-1,1）

C.（-3,1）D.（-3,—l）U（l,3）

變式2.（2024.新疆和田?高二期中）如果圓（x-cz）2+（y-1）2=1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原

點(diǎn)的距離為2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)

A.（-2V2,0）o（0,2>/2）B.卜2/20)

C.(-1,0)U(0,1)D.(-1,1)

變式3.（2024?新疆?高三兵團(tuán)第三師第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,

C,￡＞滿足|￡＞4|=|。8|=|￡＞。|=2,DABC=DBAC=DCAB=O,動(dòng)點(diǎn)P,拉滿足

IAP|=1,PM=MC＞則18M『的最大值為

變式4.（2024?安徽池州?高一池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)。與A、

B、（:滿足|。*=|￡）8|=|￡）口，DADB=DBDC=DCDA=-8^動(dòng)點(diǎn)尸、以滿足

AP=2，PM=MC＞則IBM『的最大值為.

題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值

例4.（2024?四川廣元.高二四川省劍閣中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，

尸（2,2）,。（-4,0）為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)/在直線x=-1上，動(dòng)點(diǎn)N滿足NO2+NQ2=16,則

\PM+PN\的最小值為

例5.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知A,8,C,。四點(diǎn)共面，BC=2,AB2+AC2=20,

CD=3CA＞貝！118。|的最大值為.

例6.（2024?浙江金華?高二校聯(lián)考期末）已知圓C:（x+iy+（y-2）2=l,點(diǎn)A（—l,0）,

8（1，。）.設(shè)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，令4=|以「+解「，則d的最小值為.

變式5.（2024.高二課時(shí)練習(xí)）正方形A8CD與點(diǎn)尸在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長(zhǎng)為

1,且則|尸刈的取值范圍為.

變式6.（2024?上海閔行.高二?？计谀┤鐖D，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)尸在△

UUUULUUU

ABC所在的平面內(nèi)，且|PA『+|尸8F+|PC|2=a（"為常數(shù)），滿足條件的點(diǎn)尸有無(wú)數(shù)個(gè)，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

B

變式7.（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)P在AABC所

在的平面內(nèi)，且|尸4『+阿F+|PC『=a（a為常數(shù)），下列結(jié)論中正確的是

A.當(dāng)0<。<1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)尸有且只有一個(gè)

B.當(dāng)。=1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)尸有三個(gè)

C.當(dāng)“>1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)尸有無(wú)數(shù)個(gè)

D.當(dāng)。為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)總是有限個(gè)

題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°

例7.（2024?湖北武漢?高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓

C:（x-l）2+（y-3）2=10和點(diǎn)M（5j）,若圓C上存在兩點(diǎn)4,8使得例，修，則實(shí)數(shù)f的取

值范圍是.

例8.（2024.江蘇南京?金陵中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：（x—1）2+。-4）2=10和點(diǎn)

M（5,。，若圓C上存在兩點(diǎn)A,B,使得則實(shí)數(shù)f的取值范圍是

例9.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)加eR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線〃a->=。和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線

》+“）；-4〃7-3=0交于點(diǎn)尸，貝！||R4|+|P@的取值范圍是（）

A.[后2⑸B.[275,5]

C.[5,50]D.[5,10]

變式8.（2024?陜西西安?高二西安市鐵一中學(xué)校考期末）設(shè)〃zeR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線

無(wú)+my=。和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)尸（羽y）,則|PA|-|Pfi|的最大值是

（）

A.75B.V10C.5D.10

變式9.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)meR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+畋=0和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直

線〃a-y-機(jī)+3=0交于點(diǎn)P（尤,y）,貝!||尸+|尸8『的值為（）

A.5B.10C.叵D.V17

2

變式10.（2024?全國(guó)?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)〃zeR,動(dòng)直線乙：x+my=0過(guò)定點(diǎn)A,動(dòng)

直線4：皿一1加+3=0過(guò)定點(diǎn)8,且4，'交于點(diǎn)尸（x,y）,則|網(wǎng)+|冏的最大值是

（）

A.710B.275C.5D.10

變式11.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)向量a,b,C滿足|。|=也|=1,a-b=^,

（a-c）-（&-c）=0,貝ljlc|的最小值是（）

A.B.C.6D.1

22

變式12.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)41-加，0）,B（l+m,O）,若圓C：

/+/_8了一8>+31=0上存在一點(diǎn)尸，使得PAL依，則實(shí)數(shù)加的最大值是（）

A.4B.5C.6D.7

變式13.（2024?江西宜春?高一江西省萬(wàn)載中學(xué)?？计谀┮阎?6是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂

直的單位向量，若向量c滿足（"c>（2b-c）=0,則向的最大值是（）

A.V2B.2C.5/5口.日

變式14.（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量

c滿足（a-c）（b-c）=0,則，的最大值是（）

A.1B.2

C.72D.立

2

變式15.（2024?湖北武漢?高二校聯(lián)考期中）已知°和6是平面內(nèi)兩個(gè)單位向量，且

若向量c滿足（"。＞僅-。）=0,則。的最大值是（）

A.走+1B.避土1C.72D.73

22

變式16.（2024.黑龍江哈爾濱.高三哈爾濱市第一中學(xué)校?？计谥校┮阎蛄縜,b是平面

內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足（。-。）?僅-2c）=0,則同的最大值是（）

A.72B.9C.也D.倉(cāng)

225

題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值

例10.（2024?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)向量￡,b,c滿足同=忖=1,a-b=~,

（a-c,b-c）=60°,貝!||c|的最大值等于.

例11.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為8正方形ABCD中，點(diǎn)刈為BC的中點(diǎn)，N是

AD上一點(diǎn)，&DN=3NA,若對(duì)于常數(shù)加，在正方形ABQ）的邊上恰有6個(gè)不同的點(diǎn)P，

UUUU1UUU

使得PM?PN=m，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

例12.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，連接對(duì)角線BD,已知

CD=9,BD=16,ZBDC=90°，sinA=1,則對(duì)角線AC的最大值為（）

A.27B.16C.10D.25

變式17.（2024?全國(guó)?高考真題）設(shè)向量兄仇c滿足|a|=網(wǎng)=2,a.b=—2,

（a-c,b-c）=60°9則，的最大值等于

A.4B.2C.0D.1

變式18.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面內(nèi)，設(shè)A、5為兩個(gè)不同的定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)尸滿足：

尸4依=左2（%為實(shí)常數(shù)），則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.不能確定

變式19.（2024.全國(guó).高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AB//CD,A5=2,

CD=4,8c=A￡>=逐,E和尸分別為與BC的中點(diǎn)，對(duì)于常數(shù)九，在梯形ABCD的四

條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得=2成立，則實(shí)數(shù)彳的取值范圍是

D-f)

變式20.（2024.江蘇.高一專(zhuān)題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,尸分別為

AD,2C的中點(diǎn)，如果對(duì)于常數(shù)幾，在正方形A3CO的四條邊上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)

P,使得PE?尸尸=彳成立，那么九的取值范圍是（）

A.（0,2]B.（0,2）C.（0,4]D.（0,4）

題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值

例13.（2024.四川宜賓.高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘

著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻

而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)，阿波羅尼斯圓就是他

\MQ\

的研究成果之一.指的是：己知?jiǎng)狱c(diǎn)時(shí)與兩定點(diǎn)2P的距離之比濯="%那

\MP\

么點(diǎn)〃的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)〃的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為

x2+y2=l,其中，定點(diǎn)。為x軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)尸的坐標(biāo)為卜若點(diǎn)3。，1），則

31Mpi+|MB|的最小值為（）

A.710B.而C.V15D.V17

例14.（2024?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿

基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯

圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,8的距離之比為

2（A>0,A^l）,那么點(diǎn)Af的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系

中，圓。:/+產(chǎn)=1、點(diǎn)+則和點(diǎn)?o,￡）,加為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則21M4|-|MB|的

最大值為（）

A.-B.叵C.-D.正

2222

例15.（2024?湖南張家界?高二統(tǒng)考期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、

阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究

成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的

是：己知?jiǎng)狱c(diǎn)以與兩定點(diǎn)A,8的距離之比為>0,2*1）,那么點(diǎn)H的軌跡就是阿波

羅尼斯圓.如動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A］，0；3（5,0）的距離之比為|時(shí)的阿波羅尼斯圓為

x2+y2=9.下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：已知圓0:爐+丁=4上的動(dòng)點(diǎn)”和

定點(diǎn)A（-LO）,3（1,1）,則2|阿+|MB|的最小值為（）

A.2+710B.V21C.V26D.V29

變式21.（2024?廣東東莞?高三東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）對(duì)平面上兩點(diǎn)A、B,滿足

普=幾（2#1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命

\P8\

名為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)4B是此圓的一對(duì)阿波羅點(diǎn).不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)

于此圓的另一個(gè)點(diǎn)組成一對(duì)阿波羅點(diǎn)，且這一對(duì)阿波羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)

在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，系數(shù)幾只與阿波羅點(diǎn)相對(duì)于圓的位置有關(guān).已知AQ。），

PA1

8（4,0）,0（0,3）,若動(dòng)點(diǎn)P滿足隹=彳，則21Pq+|尸耳的最小值是________.

rD2

變式22.（2024?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲

線論》中有一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：在平