2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（學(xué)生版）

第84講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

知識梳理

知識點(diǎn)一、變量間的相關(guān)關(guān)系

1、變量之間的相關(guān)關(guān)系

當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫

相關(guān)關(guān)系.由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著非

常重要的作用.我們可以通過收集大量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其

中的規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷.

注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一

種確定的關(guān)系，而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是

伴隨關(guān)系.

2、散點(diǎn)圖

將樣本中的幾個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（%,%）?=1,2,…,ri）描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)

圖.根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

（1）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)

關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)，如圖（1）所示；

（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)

關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)，如圖（2）所示.

（1）（2）

3、相關(guān)系數(shù)

若相應(yīng)于變量x的取值玉，變量y的觀測值為則變量x與y的相關(guān)系數(shù)

〃__n___

X（%一%）（%-v）X%%-nxy

J7--------=,一二,通常用r來衡量x與y之間的線

/n_n_|n_In_

（%_x）2次（y-y）2JXx：-"X9y'i-ny9

Vi=li=lVi=lVi=\

性關(guān)系的強(qiáng)弱,的范圍為一1<〃<1.

(1)當(dāng)廠>0時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)廠<0時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

(2)越接近1,表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；”越接近0,表示兩個(gè)變量間幾

乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.當(dāng)卜|=1時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上.

(3)通常當(dāng)M>0—75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

知識點(diǎn)二、線性回歸

1、線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系(相關(guān)關(guān)系)的方法.

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(xi，%),(尤2,>2)，…，(用,如)，其回歸方程y=bx+a

的求法為

〃__n__

-x)(y,-y)-nxy

b=-----------二號---------

4=14=1

a=y—bx

_1n—1n——

其中，x=—,Yxi,y=-y\yi，(x,y)稱為樣本點(diǎn)的中心.

n,=in,=i

2、殘差分析

對于預(yù)報(bào)變量y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值％,通過回歸方程得到的y稱為預(yù)

測值，觀測值減去預(yù)測值等于殘差，自稱為相應(yīng)于點(diǎn)(4y)的殘差，即有自=%-夕,.殘

差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始

數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.

(1)殘差圖

通過殘差分析，殘差點(diǎn)(占在)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較

合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

(2)通過殘差平方和。=分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型

1=1

的擬合效果越好；反之，不合適.

(3)相關(guān)指數(shù)

用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：片=1一上」_L.

Z=1

K越接近于1,說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

知識點(diǎn)三、非線性回歸

解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換

元將陌生的非線性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程.

求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸

方程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測，注意計(jì)算要

細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤.

1、建立非線性回歸模型的基本步驟：

（1）確定研究對象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；

（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非

線性關(guān)系）；

（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用

反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)模型等）；

（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型

是否合適等.

知識點(diǎn)四、獨(dú)立性檢驗(yàn)

1、分類變量和列聯(lián)表

（1）分類變量：

變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

（2）列聯(lián)表：

①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.

②2x2列聯(lián)表.

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和匕它們的取值分別為｛不，x?｝和｛%,為｝，其樣

本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為

為總計(jì)

aba+b

x2cdc+d

總計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d

從2x2列表中，依據(jù)‘一與工的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系.

a+bc+d

2、等高條形圖

(1)等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等

高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.

(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)，-與工相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.

a+bc+d

3、獨(dú)立性檢驗(yàn)

計(jì)算隨機(jī)變量/丁+以胃之)；…)利用/的取值推斷分類變量X和Y是否

獨(dú)立的方法稱為z2獨(dú)立性檢驗(yàn).

a0.100.050.0100.0050.001

兀2.7063.8416.6357.87910.828

【解題方法總結(jié)】

常見的非線性回歸模型

(1)指數(shù)函數(shù)型y=c/(a>0且0工1,c>0)

兩邊取自然對數(shù)，lny=ln?即Iny=lnc+xlna,

令|y,Iny,原方程變?yōu)閥=]nc+x，lna,然后按線性回歸模型求出Ina,Inc.

[x=x

(2)對數(shù)函數(shù)型y=〃lnx+a

令,原方程變?yōu)閥'=6x'+“，然后按線性回歸模型求出b,a.

x=lnx

(3)幕函數(shù)型y二以〃

兩邊取常用對數(shù)，Igy=坨體〃)，即Igy=〃lgx+lga,

令0,=產(chǎn)＞，原方程變?yōu)閥'=7zx'+lga,然后按線性回歸模型求出”，Iga.

[x=Igx

（4）二次函數(shù)型y=汝2+。

令廠,=［，原方程變?yōu)榱?法'+。，然后按線性回歸模型求出匕，

a.

\x=x

（5）反比例函數(shù)型y=a+2b型

x

令,1，原方程變?yōu)閂=Zu'+Q,然后按線性回歸模型求出b,a.

x=-

x

必考題型全歸納

題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系

例L（2024?河北?高三校聯(lián)考期末）下列四幅殘差分析圖中，與一元線性回歸模型擬合精

度最高的是（）

「殘差十殘差

40040

20020

A.0B.

0

2.4,6.8101214觀測24.6810-1214觀測

-200-20

時(shí)間,-時(shí)間

-400-40

「殘差「殘差

10004

5002

cD.

J00

2-4.6B.10L214觀測4.68101214^i]

-500-2???時(shí)間

-1000-4

例2.（2024?天津薊州?高三?？奸_學(xué)考試）對兩個(gè)變量x,y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相

關(guān)系數(shù)6=0.8995,對兩個(gè)變量“，v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn),得線性相關(guān)系數(shù)4=49568,

則下列判斷正確的是（）

A.變量x與y正相關(guān),變量〃與v負(fù)相關(guān),變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

B.變量x與y負(fù)相關(guān),變量〃與V正相關(guān),變量X與〉的線性相關(guān)性較強(qiáng)

C.變量x與y正相關(guān),變量a與v負(fù)相關(guān),變量a與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)

D.變量x與y負(fù)相關(guān),變量a與v正相關(guān),變量比與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)

例3.（2024?寧夏吳忠?高三鹽池高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的散點(diǎn)圖中，若去掉

點(diǎn)尸，則下列說法正確的是（）

??

..P

*

------------------------------------>

OX

A.樣本相關(guān)系數(shù)「變大

B.變量x與變量》的相關(guān)程度變?nèi)?/p>

C.變量x與變量y呈正相關(guān)

D.變量X與變量，的相關(guān)程度變強(qiáng)

變式1.（2024.四川成都.高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知建筑地基沉降預(yù)測對于保證施工安全，

實(shí)現(xiàn)信息化監(jiān)控有著重要意義.某工程師建立了四個(gè)函數(shù)模型來模擬建筑地基沉降隨時(shí)間

的變化趨勢，并用相關(guān)指數(shù)、誤差平方和、均方根值三個(gè)指標(biāo)來衡量擬合效果.相關(guān)指數(shù)

越接近1表明模型的擬合效果越好，誤差平方和越小表明誤差越小，均方根值越小越

好.依此判斷下面指標(biāo)對應(yīng)的模型擬合效果最好的是（）

A.

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9498.4910.499

B.

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9334.1790.436

C.

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9971.7010.141

D.

相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值

0.9972.8990.326

變式2.（2024?高三課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對，A,8兩變量的線性相關(guān)

性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和根如下表：

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

m106115124103

則能體現(xiàn)4B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

變式3.（2024.河北石家莊.統(tǒng)考三模）觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對

隨機(jī)誤差的假定的是（）

“殘差

100-

-100-----1-----1-----1-----1-----1---->

020406080100觀測時(shí)間

B.

力殘差

4■

2

-40100200300400500600700800900IODO*

觀測時(shí)間

￡殘差

1500

1000

500

C.0

-500

-1000

-1500

020406080100觀測時(shí)間

。殘差

200

150

100

50

-50

-100

-150

?2001...........................................——>

0102030405060708090100觀測時(shí)間

變式4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別對一組變量進(jìn)行線性相

關(guān)試驗(yàn)，并分別計(jì)算出相關(guān)系數(shù)小則線性相關(guān)程度最高的是（）

甲乙丙T

r0.870.910.580.83

A.甲B.乙C.丙D.T

變式5.（2024.全國?高三專題練習(xí)）給出下列有關(guān)線性回歸分析的四個(gè)命題:

①線性回歸直線未必過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的中心（食歹）；

②回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線；

③當(dāng)相關(guān)系數(shù)廠>0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；

④如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r就越接近于1.

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解題方法總結(jié)】

判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法

（1）畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到

右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

（2）樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；川越接近于1,相關(guān)性越

強(qiáng).

（3）經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)石>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)，<0時(shí)，負(fù)相關(guān).

題型二：一元線性回歸模型

例4.（2024?天津薊州?高三?？奸_學(xué)考試）為研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下，隨時(shí)間變化的

繁殖情況，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：

天數(shù)x（天）3456

繁殖個(gè)數(shù)y（千個(gè)）2.5344.5

由最小二乘法得y與x的線性回歸方程為y=Q7x+a，則當(dāng)x=7時(shí)，繁殖個(gè)數(shù)y的預(yù)測值

為（）

A.4.9B.5.25C.5.95D.6.15

例5.（2024?湖南長沙?高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某社區(qū)為了豐富退休人員的業(yè)余文

化生活，自2018年以來，始終堅(jiān)持開展“悅讀小屋讀書活動(dòng)”.下表是對2018年以來近5年

該社區(qū)退休人員的年人均借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):

年份20182019202020212022

年份代碼X12345

年人均借閱量y（冊）%%162228

（參考數(shù)據(jù)：￡*=90）通過分析散點(diǎn)圖的特征后，年人均借閱量》關(guān)于年份代碼x的回

1=1

歸分析模型為y=5x+機(jī)，則2024年的年人均借閱量約為（）

A.31B.32C.33D.34

例6.（2024?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知x,y的對應(yīng)值如下表所示:

X02468

y1m+l2m+l3m+311

若y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為y=L6x+0.6,則（）

A.2B.3C.4D.5

變式6.（2024?廣西南寧?南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某單位在當(dāng)?shù)囟c(diǎn)幫扶某村種植一種

草莓，并把這種原本露天種植的草莓搬到了大棚里，獲得了很好的經(jīng)濟(jì)效益.根據(jù)資料顯

示，產(chǎn)出的草莓的箱數(shù)無（單位：箱）與成本y（單位：千元）的關(guān)系如下：

X102030406080

y%%為%%%

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可以認(rèn)為x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請用最小二乘法求出線性回歸方程

y=bx+a（a,g用分?jǐn)?shù)表示）

（2）某農(nóng)戶種植的草莓主要以300元/箱的價(jià)格給當(dāng)?shù)卮笮蜕坛┴?，多余的草莓全部?00

元/箱的價(jià)格銷售給當(dāng)?shù)匦∩特?據(jù)統(tǒng)計(jì)，往年1月份當(dāng)?shù)卮笮蜕坛葺男枨罅繛?0

箱、100箱、150箱、200箱的概率分別為木，I-根據(jù)回歸方程以及往年商超草

莓的需求情況進(jìn)行預(yù)測，求今年1月份農(nóng)戶草莓的種植量為200箱時(shí)所獲得的利潤情

況.（最后結(jié)果精確到個(gè)位）

66

附：Z（x，-可（％-刃=790,2%=54,在線性回歸直線方程￡=嬴+&中

Z=11=1

,ta-?。▂-歹）

b=--------,a=y-bx.

Z=1

變式7.（2024.江西?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某新能源汽車銷售部對今年1月至7月的銷售量

進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分析，因不慎丟失一些數(shù)據(jù)，現(xiàn)整理出如下統(tǒng)計(jì)表與一些分析數(shù)據(jù)：

月份1月2月3月4月5月6月7月

月份代號X1234567

銷售量y（單位：萬輛）15.6mns37.739.644.5

其中歹=31.2.

⑴若根，“，5成遞增的等差數(shù)列，求從7個(gè)月的銷售量中任取1個(gè)，月銷售量不高于27

萬輛的概率；

7

⑵若Z5-才=670.48,X與〉的樣本相關(guān)系數(shù)r=0.99,求V關(guān)于x的線性回歸方程

Z=1

y=bx+a,并預(yù)測今年8月份的銷售量（3精確到0.1）.

-磯y-y）

附：相關(guān)系數(shù)廠=I「〃線性回歸方程5>=嬴+0中斜率和截距的最小二

歸"4（…『

V1=1i=i

乘估計(jì)公式分別為5=a=y—bx.

參考數(shù)據(jù)：2.65,,670.48125.89.

變式8.（2024?四川成都?高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度

在6℃~22℃之間，一農(nóng)學(xué)實(shí)驗(yàn)室研究人員為研究溫度無（C）與綠豆新品種發(fā)芽數(shù)y

（顆）之間的關(guān)系，每組選取了成熟種子50顆，分別在對應(yīng)的8℃~14℃的溫度環(huán)境下進(jìn)

行實(shí)驗(yàn)，得到如下散點(diǎn)圖:

35

30

25

20

15

10

5

°789101112131415x

_7__7_

其中y=24,X(%-x)(y-y)=70,X"7)2=176.

i=l?=1

(1)運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？

(2)求出y關(guān)于X的線性回歸方程，=院+機(jī)并預(yù)測在19℃的溫度下，種子的發(fā)芽的顆數(shù).

參考公式：相關(guān)系數(shù)」=I「_)_，回歸直線方程恒%+3其中

(苦-

Vi=li=l

n__

X(x,-x)(%-y)___

b=-------z——，B=7-/.參考數(shù)據(jù)：V77-8.77.

2(±-X)2

4=1

變式9.(2024.安徽亳州.蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積無(單

位：公頃)和野生動(dòng)物數(shù)量y的關(guān)系，某研究小組將該地區(qū)等面積花分為400個(gè)區(qū)塊，從

中隨機(jī)抽取40個(gè)區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)(%,%)(i=l,2,,40),部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

X2.73.63.23.9

y50.663.752.154.3

40404040

經(jīng)計(jì)算得：2>=16。，?=2400,工(七-元『=160,^(x,.-x)(y;-y)=1280.

Z=1Z=1Z=1Z=1

(1)利用最小二乘估計(jì)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一

坐標(biāo)系xOy下，橫坐標(biāo)無，縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積尤和野生動(dòng)物數(shù)量y一致.設(shè)前

者與后者的斜率分別為K，k2,比較左，心的大小關(guān)系，并證明.

附：y關(guān)于尤的回歸方程y=a+灰中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:

n__

Y.x.y.-nx-y^x^-nxy

5———，屋“院，i=l

，X；-nx

i=l

【解題方法總結(jié)】

求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟

甘算出工,歹,或￡（x,-x）（y,-y）,!

金（箝-三尸的值

__________________________________J

（步驟二H利用公式計(jì)算系數(shù)￡,3

0二二二二二二二二二

題型三：非線性回歸

例7.（2024?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若需要刻畫預(yù)報(bào)變量卬和解釋變量X的相關(guān)關(guān)系，且

從已知數(shù)據(jù)中知道預(yù)報(bào)變量w隨著解釋變量x的增大而減小，并且隨著解釋變量x的增

大，預(yù)報(bào)變量卬大致趨于一個(gè)確定的值，為擬合卬和x之間的關(guān)系，應(yīng)使用以下回歸方程

中的（6>0,e為自然對數(shù)的底數(shù)）（）

A.w-bx+aB.w--b]nx+aC.w=-bs/x+aD.w=be~x+a

例8.（2024?全國?高三專題練習(xí)）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)

算市場規(guī)模持續(xù)增長.己知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場規(guī)模

y與年份代碼x的關(guān)系可以用模型y=（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)

z=lny,得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：

年份2018年2019年2020年2021年2022年

年份代碼X12345

云計(jì)算市場規(guī)模y/千萬元7.4112036.666.7

z=\ny22.433.64

由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程z=0.52尤+a,則2025年該科技公司云計(jì)算市場規(guī)模y的估計(jì)值

為（）

A.e508B.e5-6C.e612D.e6-5

例9.（多選題）（2024?福建廈門?廈門一中校考三模）在對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行回

歸分析時(shí)，若兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，可以建立含兩個(gè)待定參數(shù)的非線性模型，并引

入中間變量將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，再利用最小二乘法進(jìn)行線性回歸分析.下列選項(xiàng)為四個(gè)同

學(xué)根據(jù)自己所得數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖建立的非線性模型，且散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)均位于第一象限，則

其中可以根據(jù)上述方法進(jìn)行回歸分析的模型有（）

x+c.

2

A.y=cxx+c2xB.y=

x+c2

D.y=

C.y=cr+ln(x+c2)

變式10.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知變量的關(guān)系可以用模型y=在""擬合，設(shè)

z=lny,其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下.由上表可得線性回歸方程z=3x+a,貝必=（）

X12345

z2451014

23

A.JB.rC.eD.e

變式IL（2024?全國?高三專題練習(xí)）某校課外學(xué)習(xí)小組研究某作物種子的發(fā)芽率〉和溫度

x（單位：C）的關(guān)系，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖判斷，最適宜作為

A.y=a+bxB.y=a+bx1(b>0i)

C.y=a+bexD.y=a+b\nx

變式12.（2024?全國?高二專題練習(xí)）蘭溪楊梅從5月15日起開始陸續(xù)上市，據(jù)調(diào)查統(tǒng)

計(jì)，得到楊梅銷售價(jià)格（單位：0元/千克）與上市時(shí)間/（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表所

z5：

時(shí)間〃（單位：天）102070

銷售價(jià)格Q（單位：元/千克）10050100

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)模型中選取一個(gè)描述楊梅銷售價(jià)格。與上市時(shí)間t的變化關(guān)

系：Q=at+》,Q=a〃+"+c,Q=a-Z/,Q=a-log/.利用你選取的函數(shù)模型，在以下四個(gè)日

期中，楊梅銷售價(jià)格最低的日期為（）

A.6月5日B.6月15日C.6月25日D.7月5日

變式13.（2024?四川瀘州?高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）抗體藥物的研發(fā)是生物

技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗

體藥物的一個(gè)重要方面.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)

據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物

攝入量為x（單位：mg）,體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：AU/mL）.

10101010

2a

Z=IZ=1i=li=i

29.2121634.4

九

12-

10-

8-

6-

4-

2-

62468101214161820222426%

（1）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇、=。/作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量尤的回歸方程，將

y=cx"兩邊取對數(shù)，得lny=lnc+dlnx,可以看出也彳與Iny具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)

參考數(shù)據(jù)建立》關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測抗體藥物攝入量為25mg時(shí)，體內(nèi)抗體數(shù)量》的

值；

（2）經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正態(tài)分布

N:(0.48,0.032),那這種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為多少？

附：①對于一組數(shù)據(jù)(4M(i=l,2,L/0),其回歸直線>=例+。的斜率和截距的最小二乘

__

z%匕一〃〃口

估計(jì)分別為萬二三------,a=v-M

-nil

i=l

②若隨機(jī)變量z~N(〃,),則有尸(〃-<Z<〃+。)Q0.6826,

PQi—2b<Z<//+2cr)?0.9544,P(ju—3cr<Zv〃+3b)?0.9974；

③取e=2.7.

變式14.(2024?江西贛州?高三?？茧A段練習(xí))為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)

⑴在圖中作出繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的散點(diǎn)圖，并由散點(diǎn)圖判斷y=5x+&("花為常

數(shù))與g=c盧/(qq為常數(shù)，且cpOqwO)哪一個(gè)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變

化的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)對于非線性回歸方程勺=°盧/為常數(shù)，且6>0,°2W0),令z=lny,可以得到繁

殖個(gè)數(shù)的對數(shù)z關(guān)于天數(shù)尤具有線性關(guān)系及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

6°66

￡(七一可^(x,.-x)(z,.-z)

XyZ-可(y-刃

i=li=li=l

3.5062.833.5317.50596.5712.09

（i）證明：“對于非緝隹回歸方程亍=/W，令z=lny,可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對數(shù)z關(guān)于

天數(shù)x具有線性關(guān)系（即2=歷+6,/,6為常數(shù)）”；

（ii）根據(jù)（i）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小

數(shù)）.

附：對于一組數(shù)據(jù)（%,片）,（4,嶺），，（““，乙），其回歸直線方程。=氏+&的斜率和截距的

￡（%-萬）（匕-"）

最小二乘估計(jì)分別為B=J-------------,a=v-pu.

i=l

變式15.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶八中校考階段練習(xí)）在正常生產(chǎn)條件下，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，

可以認(rèn)為化肥的有效利用率近似服從正態(tài)分布N（0.54,0.022）,而化肥施肥量因農(nóng)作物的種

類不同每畝也存在差異.

⑴假設(shè)生產(chǎn)條件正常，記X表示化肥的有效利用率，求P（XN0.56）；

（2）課題組為研究每畝化肥施用量與某農(nóng)作物畝產(chǎn)量之間的關(guān)系，收集了10組數(shù)據(jù)，并對

這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.其中每畝化肥施用量

為x（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為?。▎挝唬喊俟铮?/p>

川

10-

8

6

4

2

1?1?????1?1?1?1

O24681012141618202224262830x

參考數(shù)據(jù):

1010101010101010

X%%儲ZxExD

Z=1Z=11=1i=\i=l1=1i=li=l

65091.552.51478.630.5151546.5

tj=Inxt,zi=Iny;（z=1,2,…，10）.

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，法與尸c/,哪一個(gè)適宜作為該農(nóng)作物畝產(chǎn)量>關(guān)于每畝化

肥施用量x的回歸方程（給出判斷即可，不必說明理由）；

（ii）根據(jù)（i）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立V關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測每畝化肥施用

量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量V的值.（e合2.7）

附：①對于一組數(shù)據(jù)的，匕）H=1,2,3,…，?）,其回歸直線/=￡"+&的斜率和截距的

-riuv

最小二乘估計(jì)分別為6=W---------,&=心

-nu2

Z=1

②若隨機(jī)變量XN（"）,貝—b<Xv〃+b）p0.6827,

—2b<X<ju+2b）?0.9545.

變式16.（2024.重慶.高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某公司為了解年研發(fā)資金投入量x（單位:億

元）對年銷售額y（單位:億元）的影響.對公司近12年的年研發(fā)資金投入量羽?和年銷售額

yi的數(shù)據(jù)，進(jìn)行了對比分析，建立了兩個(gè)模型:①>=&+//,②R=e疝"，其中。，｝

九f均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值.令

%=啟、=lny,（z,=l,2,3,…,12）,經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：

12c*…）2

X￡（XT）uV

Z=1i=l

20667724604.20

七ITZ（蒼-x）（匕-v）

Z=1Z=1

312502153.0814

(1)請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？

(2)(i)根據(jù)分析及表中數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于x的回歸方程；

(ii)若下一年銷售額y需達(dá)到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量尤是多少億元?

附:①相關(guān)系數(shù)丫=I「1t，回歸直$=4+%中公式分別為

Jxa--)2X(y.-y)2

Vi=li=l

nn__

^(x;-x)(j,.-y)￡x^-nx-y

②參考數(shù)據(jù)：308=4x77,790?9.4868,e44998?90.

變式17.(2024?江蘇鎮(zhèn)江?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既?經(jīng)觀測，長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)V與

溫度x有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度占和產(chǎn)卵數(shù)%1=1,2,,10)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處

理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表.

1010101010

口z%￡（占-可

Z=11=1Z=1i=\Z=1

36054.5136044384

10c101010

Z（—）一目（—）（y-歹）￡（&-元）（%-歹）

Z=1i=\i=lZ=1

3588326430

[10

表中4=6，z，=ln%,7=6Zz,.

1Uj=i

九

350-

300-

250-

200-

150-

100-

50-

1tl?????.

°202224262830323436x

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx,y=n+my[x與y=qe。"哪一個(gè)適宜作為V與x之間的回歸方

程模型并求出》關(guān)于x回歸方程；(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有6個(gè)魚卵，其中“死卵”有2個(gè)；第二批中

共有8個(gè)魚卵，其中“死卵”有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一批，然后從該批次中隨機(jī)取出2個(gè)魚

卵，求取出“死卵”個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：對于一組數(shù)據(jù)(%,%),(%,匕)，(％/“)，其回歸直線v=e+例的斜率和截距的最小二

'（%-江）（匕一#）

乘估計(jì)分別為夕=J=1------------,a=v-jBu.

L/—\2

Z=1

變式18.(2024?廣西南寧?南寧三中?？家荒?數(shù)據(jù)顯示中國車載音樂已步入快速發(fā)展期，

隨著車載音樂的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善，市場將持續(xù)擴(kuò)大，下表為2018—2022年中國車載

音樂市場規(guī)模(單位：十億元)，其中年份2018—2022對應(yīng)的代碼分別為1-5.

年份代碼x

車載音樂市場規(guī)模了2.83.97.312.017.0

(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型、=。力，擬合＞與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方

程；

(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關(guān)于X的回歸方程后，預(yù)測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模.

參考數(shù)據(jù):

5

e°$24e°4727

V1.6

i=l

1.9433.821.71.626.84

_I5

其中匕=In%,v=-2,v,.

3z=i

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,匕），（%，%），L,（〃/“）其回歸直線y=a+m，的斜率和截

-nU'V

距的最小二乘法估計(jì)公式分別為P=――

_2，a=v-/3u?

-nu

Z=1

變式19.（2024.安徽合肥?合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）當(dāng)前移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)已融入社會生活的

方方面面，深刻改變了人們的溝通、交流乃至整個(gè)生活方式4G網(wǎng)絡(luò)雖然解決了人與人隨時(shí)

隨地通信的問題，但隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)快速發(fā)展，其已難以滿足未來移動(dòng)數(shù)據(jù)流量暴漲的需

求，而5G作為一種新型移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)，不但可以解決人與人的通信問題，而且還可以為

用戶提供增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)、虛擬現(xiàn)實(shí)、超高清（3。）視頻等更加身臨其境的極致業(yè)務(wù)體驗(yàn)，更重要

的是還可以解決人與物、物與物的通信問題，從而滿足移動(dòng)醫(yī)療、車聯(lián)網(wǎng)、智能家居、工業(yè)控

制、環(huán)境監(jiān)測等物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用需求，為更好的滿足消費(fèi)者對5G網(wǎng)絡(luò)的需求，中國電信在某地

區(qū)推出了六款不同價(jià)位的流量套餐，每款套餐的月資費(fèi)尤（單位：元）與購買人數(shù)y（單

位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：

套餐ABCDEF

月資費(fèi)X（元）384858687888

購買人數(shù)y（萬人）16.818.820.722.424.025.5

對數(shù)據(jù)作初步的處理，相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:

6666

i=li=li=li=l

75.324.618.3101.4

其中匕=1叫g(shù)=lny,且繪圖發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)（”,外）（區(qū)注6）集中在一條直線附近.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；

⑵已知流量套餐受關(guān)注度通過指標(biāo)T（x）=土受來測定，當(dāng)T（x”俘，翼時(shí)相應(yīng)的流量

套餐受大眾的歡迎程度更高，被指定為“主打套餐”.現(xiàn)有一家四口從這六款套餐中，購買不

同的四款各自使用.記四人中使用“主打套督”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望.

附：對于一組數(shù)據(jù)（匕⑼?…，（匕，④），其回歸方程0=加+口的斜率和截距的最小

n

Z（匕-"）,（啰i一5）

二乘估計(jì)值分別為另=—............,a=ai-bv

石（匕-于

Z=1

【解題方法總結(jié)】

換元法變成一元線性回歸模型

題型四：列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

例10.（2024.廣東佛山.華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測）四川省將從2022年秋

季入學(xué)的高一年級學(xué)生開始實(shí)行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科

目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對部分高一學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，

制作出如下兩個(gè)等高條形圖，根據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（）

聞2

A.樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)

B.樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)

C.樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多

D.樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)

例11.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在新高考改革中，浙江省新高考實(shí)行的是7選3的3+3

模式，即語數(shù)外三門為必考科目，然后從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)

（含信息技術(shù)和通用技術(shù)）7門課中選考3門.某校高二學(xué)生選課情況如下列聯(lián)表一和列聯(lián)

表二（單位:人）

選物理不選物理總計(jì)

男生340110450

女生140210350

總計(jì)480320800

表一

選生物不選生物總計(jì)

男生150300450

女生150200350

總計(jì)300500800

表二

試根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析物理和生物選課與性別是否有關(guān)（）

2

|7/42n(ad-bc)7

PIT：Y----------------------n=a+b+c+d.a=P

(a+b)(c+d)(Q+C)(b+d)I

a0.150.100.050.0250.010.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.選物理與性別有關(guān)，選生物與性別有關(guān)

B.選物理與性別無關(guān)，選生物與性別有關(guān)

C.選物理與性別有關(guān)，選生物與性別無關(guān)

D.選物理與性別無關(guān)，選生物與性別無關(guān)

例12.（2024.全國?高三專題練習(xí)）通過隨機(jī)詢問相同數(shù)量的不同性別大學(xué)生在購買食物時(shí)

是否看營養(yǎng)說明，得知有士的男大學(xué)生“不看”，有:的女大學(xué)生“不看”，若有99%的把握

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認(rèn)為性別與是否看營養(yǎng)說明之間有關(guān)，則調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為（）

A.150B.170C.240D.175

變式20.（2024?全國?高三專題練習(xí)）針對時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對學(xué)生性別和喜

歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生、女生人數(shù)均為5根（根€1＜）人，

男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的,4，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的3:零假

設(shè)為HQ：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別

不獨(dú)立，則機(jī)的最小值為（）

附：―取"/產(chǎn)打八附表

［a+b）［c+a）［a+c）［b+a）

a0.050.01

Xa3.8416.635

A.7B.8C.9D.1