2025屆南寧市某中學高三數學上學期10月考試卷（附答案解析）

2025屆南寧市一中高三數學上學期10月考試卷

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的

答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答

題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

^4=(xez|-5<x3<10),5=(xly=In(x+14cA

?已知集合i?PLi”,則zn5=()

A,{0,1,2}B.{0,1}C{1,2}D.{-1,0,1,2}

2.已知a,beR,且a幺—33i=i+2i,其中i是虛數單位，則a+6=()

b+i

A.2B.-2C.-4D.-6

3.已知定義域為R的函數/(x)不是偶函數，則()

A.Vxe+f(x)0B.Vxe-f(x)0

C.3x0eR,/(-xo)+/(xo)^OD.3x0eR,/(-x0)-/(x0)0

4.已知一組數據2西+1,2%+l,2w+1,2%+1的平均數是3,方差為%則數據再，9,￡，匕的平均數

和方差分別是()

333c

A.1,1B,1,2C.—,—D.一,2

242

5.已知遞增的等差數列｛4｝的前〃項和為S“，/+4=19,4%=70，則以=()

A.70B.80C.90D.100

—?—?1—>2-1—?2—?一3--1—?一2—?5—?

6.在VZ8C中，=—8C，若a=—A8+—ZC,b=—N8+—ZC,c=—A8+—ZC,貝聯(lián))

2334477

A.|Z)|>|tz|>|c|B,Ml>Id〉IdC.a>c|>Z?D.c>iz>

7.已知函數/(x)=sin[ox+1■卜0〉0)在區(qū)間0,-1

內既有最大值，又有最小值，則。的取值范圍是

()

B-c[*

8.不等式(4+4)對所有的正實數XJ恒成立，貝心的最大值為(

A.2B.V2D.1

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.如圖，已知48為圓錐S。的底面的直徑，SA=2,C為底面圓周上一點，弧5c的長度是弧ZC的

長度的2倍，異面直線S3與ZC所成角的余弦值為:，則().

4

B.圓錐SO的側面積為2兀

C.直線SO與平面"C所成的角大于30°

D.圓錐SO的外接球的表面積為也

3

2

10.已知拋物線C1：r=4x,C2:y=8x的焦點分別為大,月，若48分別為Q,C2上的點，且直線AB

平行于x軸，則下列說法正確的是()

A.若4F；則B.若|/同=：,△鳥48是等腰三角形

C.若則四邊形片￡48是矩形D.四邊形片鳥48可能是菱形

11.設Q〉0,定義在R上的函數/(x)滿足=1,且次歹出/(x+y)=/(x)/(a—y)+/(y)/(a—x),則

()

2

A./(o)=oB.f(2a-x)=f(x)

C./(x)為偶函數D./(2025a)=1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(1-2x)。+3x)6的展開式中，含必的項的系數為.(用數字作答)

13.在平面直角坐標系xQy中，若角。的終邊過點(-3,-4),角乃的終邊與角a的終邊關于x軸對稱,

則sin(a-/)=

22

14.已知橢圓。：1+3=1(?！?〉0)的左焦點為片，若片關于直線＞=2x的對稱點A恰好在C上,

\BF,|

且直線/月與。的另一個交點為3,則/為=-

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知VABC的內角48,C所對的邊分別為a,b,c,bsinA=m(acosB-c).

(D求角A的大??；

(2)求Ji—Z的最大值.

sin25+sin2C

16.如圖，在四棱錐P—Z8C。中，平面/BCD,PD=CD=2,AD=AB=1,ABLDA,

ABUCD,點”是棱PC的中點.

(1)求證：BM//平面RID；

(2)求平面與平面BA。所成銳二面角的余弦值.

17.中國體育代表團在2024年巴黎奧運會上取得了優(yōu)異的成績.為了解學生對奧運會的了解情況，某校

組織了全校學生參加的奧運會知識競賽，從一、二、三年級各隨機抽取100名學生的成績(滿分：100

分，各年級總人數相等)，統(tǒng)計如下：

3

年級[0,60)[60,100]

一年級4060

二年級2575

三年級1090

學校將測試成績分為及格(成績不低于60分)和不及格(成績低于60分)兩類，用頻率估計概率，所

有學生的測試成績結果互不影響.

(1)從一、二年級各隨機抽一名學生，記X表示這兩名學生中測試成績及格的人數，求X的分布列和

數學期望；

(2)從這三個年級中隨機抽取兩個年級，并從抽取的兩個年級中各隨機抽取一名學生，求這兩名學生測

試成績均及格的概率.

22

18.已知雙曲線C:三一t=1(。>0,6>0)的兩條漸近線方程為x±2y=0,2(2后,1)為C上一點.

a"b"

(1)求雙曲線。的方程；

(2)若過點A的直線/與。僅有1個公共點，求/的方程；

(3)過雙曲線。的右焦點/作兩條互相垂直的直線4,。，且4與。交于"兩點，記"N的中點84

與C交于P,。兩點，記的中點為￡>.若G(0,、6)，求點G到直線8。的距離的最大值.

19.已知函數~~-+6ZX+/?(X-1)3(其中a/wR).

(1)當a〉0]=0時，證明：/(X)是增函數；

(2)證明：曲線=/(x)是中心對稱圖形；

r\X

(3)已知awO,設函數g(x)=」,—+ex-/(x)+6(x-l)3+(6-l),若g(x)20對任意的xeR恒

2+1

h—ci

成立，求——的最小值.

a

4

2025屆南寧市一中高三數學上學期10月考試卷

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的

答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答

題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

^4=(xez|-5<x3<10),5=fx|y=In(x+1)14cA

i.已知集合i?i〃，則zn5=()

A,{0,1,2}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式化簡集合A,求出函數的定義域化簡集合8,再利用交集的定義求出求解即得.

【詳解】依題意，^={xeZ|-V5<x<V10}={-l,0,l,2},S={x|x>-l),

所以/。5={0,1,2}.

故選：A

a—3i

2.已知a/eR,且幺3=i+2i,其中i是虛數單位，則a+6=()

b+i

A.2B.-2C.-4D.-6

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意，由復數的運算代入計算，結合復數相等列出方程，即可得到結果.

【詳解】由紇包=l+2i可得a—3i=0+i)(l+2i),即a—3i=伍―2)+(2b+l)i,

b+i

a=b-2[a=-4

所以〈C7o,解得t，則Q+6=—6.

2Z?+1=—3b=-2

故選：D

5

3.已知定義域為R的函數/(x)不是偶函數，則()

A.VxeR,/(-x)+f(x)0B.VxeR,/(-x)-f(x)0

C.3x0eR,/(-xo)+/(xo)^OD.3x0eR,/(-x0)-/(x0)0

【答案】D

【解析】

【分析】根據偶函數的概念得VxeR,/(-x)-/(x)=0是假命題，再寫其否定形式即可得答案.

【詳解】定義域為R的函數/(x)是偶函數。VxGR,/(-x)-/(%)=0,

所以/(x)不是偶函數。*oeR,/(-xo)-/(xo)^O.

故選：D.

4.已知一組數據2西+1,2%+1,2七+1,25+1的平均數是3,方差為4,則數據再，匕的平均數

和方差分別是()

A.1,1B,1,2C.D.-,2

242

【答案】A

【解析】

【分析】根據題意，由平均數與方差的性質列出方程，代入計算，即可求解.

【詳解】設數據再，/%的平均數和方差分別是嚏，$2,

則數據2石+1,2%+1,2遍+1,2x4+l的平均數是(21+1),方差是4s2,

所以(2嚏+1)=3,解得1=1，4s2=4,解得§2=1，

即數據再，x2,%，%的平均數和方差分別是1,1.

故選：A

5.已知遞增的等差數列｛%｝的前〃項和為s“，%+牝=19,a2a5=70，則工=()

A.70B.80C.90D.100

【答案】D

【解析】

【分析】設等差數列｛%｝的公差為d,由題意結合等差數列的通項公式求出為,d即可結合等差數列前"

6

項和公式Slt=na.+"("T)d計算得解.

【詳解】設等差數列｛4｝的公差為d,

q+41+5d=19,

(d3

則由題得<(%+4)(％+41)=70,解得<_2，

d>0⑼一

Xx7

所以S&=8x2+;一x3=100.

故選：D.

—?—?1--2一1—?2—?一3—?1—?一2—?5—?

6.在VZ8C中，=—8。一，若。=—Z8+—ZC,b=—A8+—ZC,c=—N8+—ZC,貝式)

2334477

A.|Z)|>|tz|>|c|B,|Z?|>|c|>|a|C.同>|c|>例D.|c|>|tz|>|b|

【答案】B

【解析】

-----?------?1------>2___

【分析】先由氏41C=58C求出|荏|=|前唧6=C,接著由余弦定理結合數量積的運算律計算得

—.—.2b2-a2

ABAC=——,再由平面向量模的求法即可計算比較得解.

2

【詳解】設V/5C的角/、B、C的對邊為0、b、c,

因為方?反；=!■前2,所以_方.(/_在)=3(/_刀了，

-----***21*2**1*2___立.

所以—Z8.ZC+A8=2AC-ab-ac+-ab，故方=元，

所以|西=|祠,即6=c,

—?—?〃+/_/2b2—a2

所以Z8ZC=bccos/=bcx^^——=———,

2bc2

4

+

9-

7

.竺工士i—＞

99299

9——-23——?—?1----?2

=—AB+-AB-AC+—AC——c

小|2網1681616821616

同丁匕益+；就;4——-2zu--------?—//+型.2^+至j-旦2

=——4B+-AB-AC+—AC

494949494924949

因為所以麻＞|己Cl4，即問＞上|＞同.

故選：B.

7.已知函數/（x）=sin；/G＞0）在區(qū)間0,］內既有最大值，又有最小值，則口的取值范圍是

()

A.1,+4B.m|,+"C.1|,+4D.受\］|,+”

【答案】C

【解析】

TT

【分析】由條件求出GX+—的范圍，結合正弦函數的性質列不等式可求結論.

6

7T

【詳解】因為0?x＜—,^＞0,

2

所以女VGX+工＜（3G+1）工,

666

jr3

由已知，（3G+1）—＞一兀，

二762

Q

所以?！?,

3

所以。的取值范圍是||,+力］

故選：C.

8.不等式（4+4）三5聲對所有的正實數xj恒成立，貝心的最大值為（）

A.2B.J2C.—D.1

4

【答案】D

8

【解析】

入41-Jx+y八14x+Jy

【分析】由題意可得t＜,令加=、廠〉0,則有一==冷_,

\x+yjyminylx+yjym+v

1='+且，結合基本不等式求得力21,于是有加21,從而得答案.

m22x+y

【詳解】解：因為xj為正數，所以&+亦＞0,

一,也.Jx+y、

,則有可（?廠）

min'

y/x+yjy

萬Jx+.y-14x+Jy

令m=—廠'廠>0,則一=廠片』,

<x+y]ym72.*+y

x+y+2y[xy_1歷1,歷

所以一V二--------------1-----S--1---f=二1,

m2(x+y)2x+y22向

當且僅當％二V時，等號成立,

所以一J"<1，m2>1,

m

又加＞0,所以加＞1,

即畢21,

y/x+yjy

V2-Jx+y

所以--7=----7=~的最小值為1,

7x+7y

所以，VI,

即/的最大值為1.

故選：D.

【點睛】方法點睛：對于恒成立問題，常采用參變分離法，只需求出分離后的函數（代數式）的最值即可得

解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.如圖，己知48為圓錐SO的底面的直徑，SA=2,C為底面圓周上一點，弧8c的長度是弧ZC的

長度的2倍，異面直線S8與ZC所成角的余弦值為：，則（）.

4

9

s

B.圓錐SO的側面積為2兀

C.直線S。與平面"C所成的角大于30°

D.圓錐SO的外接球的表面積為回

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項，作出輔助線，設底面圓的半徑為,，根據異面直線的夾角余弦值和余弦定理得到r=l,

從而得到圓錐的體積；B選項，根據側面積公式求出答案；C選項，作出輔助線，得到直線S。與平面

所成角的平面角為NOST,并求出其正切值，得到NOST<30°；D選項，找到外接球球心，并根據半

徑相等得到方程，求出外接球半徑，得到外接球表面積.

【詳解】A選項，連接C。并延長交圓于點尸，連接4P,AP,

因為48為圓錐S。的底面的直徑，弧3C的長度是弧ZC的長度的2倍，

TTTT

故四邊形/CAP為矩形，ZCAB=ZABP=-,ZCBA=ZBAP=-,則AP///C,

36

異面直線SB與BP所成角等于異面直線SB與AC所成角，

因為SA=2,所以SB—SP=2,

設底面圓的半徑為廠，則5尸=廠，

故cos'pi”尸-SJ工！

解得廠=1，

2SB-BP4r4

則由勾股定理得50=屈二蠢=A萬=6，

故圓錐S。的體積為［兀./.so=但，A正確;

33

10

B選項，圓錐SO的側面積為?！?2兀，B正確；

C選項，取ZC的中點7,連接ST,OT,則O7LZC,STLAC,

又OTnST=T,OT,STu平面SOT,故平面SOT,

過點。作OELST于點E,由于O￡u平面SOT,則OEL/C,

又STnZC=T,ST,ZCu平面S/C,故平面S/C,

故ZOST即為直線SO與平面SAC所成的角，

6—

其中07=。。5/巴=火，則^/八@7OT21，

20tan=---二一產=一

32OSM2

由于tan30°=也〉,，且^=1211X在0,‘上單調遞增，故NOST<30。，C錯誤;

32I2；

D選項，由對稱性可知，外接球球心。在OS上，連接0C,

設圓錐SO的外接球半徑為R,則O0=SO—及=g—R,

由勾股定理得0c2+。。2=。。2,即1+(6—2

=R2,解得R=國’

故圓錐SO的外接球的表面積為4兀氏2=4兀XD正確.

故選：ABD

【點睛】方法點睛：解決與球有關的內切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位置.對于外切的

問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內接幾何體的問題，注意球心到各個頂點

的距離相等，解題時要構造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用

勾股定理求得球的半徑

2

10.已知拋物線C1：/=4x,C2:y=8x的焦點分別為大,乙，若43分別為G，G上的點，且直線AB

11

平行于X軸，則下列說法正確的是（

A.若4F；則|48|=；B.若△鳥4B是等腰三角形

C.若則四邊形片乙48是矩形D.四邊形片可能是菱形

【答案】ABC

【解析】

【分析】不妨設/（久1斤）,8（%2，，）（丫>0），則歹2=4%1=8工2，Xj>x2>0,對于A,由題意求出國=1和

%=g即可求解MBI；對于B,由題意得否-％=g，進而可求出45兩點坐標，從而求出怩H和火目

即可判斷；對于C,由題意先得馬=1，接著求出外，進而求出[48|=|片閭，和一軸即可得解；對

于D,先假設四邊形片g48是菱形，再推出矛盾即可得解.

【詳解】由題意得用（1,0）,月（2,0）,不妨設a（xi，y）,B（x2，y）（y>0），

2

則y=4X]=8X2,Xj>x2>0,

對于A,因為4FJL48,又直線48平行于x軸，所以/々_Lx軸，

所以$=1,故了=J^=2,》2=

￡_￡_4解得發(fā)警

483

[84⑹(44⑹

所以Z

12

所以IM=12-|^+"警)*,I加J(2-：［+"竽)￥

所以優(yōu)/卜怩卻,\F2A\+\AB\>\F2B\,所以△乙48是等腰三角形，故B正確；

對于C,若BF［LB4,又直線28平行于x軸，所以8月，x軸，

所以x?=l,故了=^8X2=2V2,xl==2,

故|/卻=忖—引=1=|單』，"口軸，所以四邊形片鳥4B是矩形，故C正確；

對于D,若四邊形斗348是菱形，則［48|=|G閭=1,即％-%=1即三-二=1，

48

所以y=2后，所以/(2,2亞),8(1,2立)，

所以可得區(qū)旬=陽四=2行則四邊形片348不是菱形，矛盾，

所以四邊形斗348不是菱形，故D錯誤.

故選：ABC.

11.設a>0,定義在R上的函數/(%)滿足/(。)=1,且

Vx,jeR,/(x+y)=/(x)/(a-j)+/(y)/(?-x),則()

A./(O)=OB./(2a—x)=/(x)

C./(x)為偶函數D./(2025a)=1

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A,令x=a,y=o,又/(a)=l,即可求得/(0)=0；對于B,令V=。，再由

/(a)=l,/(O)=O,即可推得/(2a—x)=/(x)；對于C,令了=一》，可得/(x)+/(—x)=0,從

而/(x)為奇函數；對于D,可推得/(x+4a)=/(x),即/(x)的周期為4a,則

f(2025a)=f(506x4a+a)=f(a)=1.

【詳解】對于A,令x=a,y=0,得/(a)=/(a)/(a)+/(O)/(O),

13

因為/(。)=1，所以/(0)=0,故A正確；

對于B,令了=。，代入可得/(x+a)=/(x)/(O)+/(a)/(a—x),

因為/(。)=1，/(0)=0>所以/(x+4)=/("x),

從而/(2a—x)=/(x),故B正確；

對于C令y=f,代入得/(0)=/(》)/(。+》)+/(-》)/("工)，

又因為對VxeR,/(a+x)=/(a-x)恒成立且不恒為0,

所以/(%)+/(-x)=0,從而/(x)為奇函數,

又/(x)不恒等于0,故C錯誤；

對于D,因為/(x+2a)=/(-x)=-/(x),

所以/(x+4tz)=-/(x+2a)=/(x),

所以4a為/(x)的周期，

所以/(2025a)=f(506x4a+a)=f(a)=l,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(1-2x)(l+3x)6的展開式中，含￥的項的系數為.(用數字作答)

【答案】99

【解析】

【分析】先求二項式(1+3x)6的展開式的通項，再由乘法法則求出?！?x)(1+3x)6的展開式中含%2的項

即可得解.

【詳解】由題意得(1+3尤)6的展開式的通項為￡+1=鼠(3x)'=3'鼠￡,

22

所以(1-2x)(1+3x)6的展開式中，含爐的項為3廢以一2x.3cxi=99x,

所以展開式中含公的項的系數為99.

故答案為：99.

13.在平面直角坐標系xQy中，若角0的終邊過點(-3,-4),角尸的終邊與角。的終邊關于x軸對稱，

14

則sin(<z-0)=

24

【答案】—##0.96

25

【解析】

【分析】由條件，根據三角函數定義可求sina,C0S6Z,根據對稱性可求sin",cos",結合兩角差正

弦公式求結論.

【詳解】因為角a的終邊過點（-3,-4）,

4-33

所以sina=—cosa=

5，J(—3『+(一4/5'

又角B的終邊與角a的終邊關于x軸對稱,

43

所以sin夕=1，cos0=-w

24

所以sin(a-7?)=sinacosf3-cosasin[3二—

24

故答案為：—

25

22

14.已知橢圓。：*+本=1,〉6〉0）的左焦點為片，若片關于直線＞=2x的對稱點A恰好在。上,

且直線/月與。的另一個交點為3,則

M印

【答案】-##0.2

5

【解析】

【分析】求出點耳（-c,0）關于直線＞=2x對稱點A的坐標，進而求出|2片|,|^|,再結合橢圓定義及

勾股定理求出I即可.

%二13c

X.+C2Xi=

【詳解】設片（―c,0）關于直線＞=2x的對稱點2（苞,%），由〈，解得<y

4c

ZL=2J1=-

、2-2T

即釁S,令橢圓右焦點》（。,0），則|，々|=4

15

n3

氣c,而點A在橢圓。上，由|/周+以月|=2a,得。=而。

6

設|比"=機，則|8與|=2?！?盂?！?，顯然/耳團月的中點都在直線歹=2x上,

則/與平行于直線歹=2x,從而2鳥，2片，在RtxNB鳥中,(m+

\BF|

解得加=4＞。，所以匕X、

5V5\AFX\5

故答案為：

5

【點睛】思路點睛：橢圓上一點與兩焦點構成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關的

計算或證明常利用勾股定理、正弦定理、余弦定理、|尸耳|十|「￡|=2。，得到0,c的關系.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知VABC的內角4民C所對的邊分別為a,b,c,bsinA=@（acosB-c）.

（D求角A的大??；

（2）求sdZ的最大值.

sin25+sin2C

2兀

【答案】（1）/=胃；

⑵3

2

【解析】

【分析】（1）由題意結合正弦定理和sinC=sinAcosB+cosAsinB即可求解.

222

（2）先由（1）結合余弦定理得a=b+c+bc,接著由正弦定理角化邊得一,sm-Z=1+

sin25+sin2C+c2

再結合基本不等式即可求解.

【小問1詳解】

16

因為bsinZnV^acosB—c),sinC=sin(+5)=sincosB+cosAsinB,

所以由正弦定理得

sin5sin/=>/3(sin/cosB-sinC)=V3sin^4cosJ3-A/3sin^4cosJ3-V3COSAsinB=一geos/sin5,

又Be(0,n),故sinBwO,所以sin/=-g'cosZ即tanZ=-6，

又/e（O,兀），所以/=^.

【小問2詳解】

由（1）^4=—,所以由余弦定理得/=/?2+02-2bccos/=/+02+兒，

sin2Ab2+c2+bc.be.be3

所以由正弦定理得

sin25+sin2Cb2+c2b-+c-Zr+c-2面72

當且僅當b=c時等號成立.

sin2A3

所以的最大值為

sin25+sin2C2

16.如圖，在四棱錐P—Z8C。中，PC平面/BCD,PD=CD=2,AD=AB=1,ABLDA,

ABUCD,點〃是棱PC的中點.

（1）求證：BM//平面為D;

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵半

【解析】

【分析】（1）取尸。的中點￡,連接ME,AE,根據￡是尸〃的中點，得到EM7/48,EM=AB,

從而四邊形腔是平行四邊形，得到ZE//5M,再利用線面平行的判定定理證明；

（2）以D為坐標原點，DA,DC,OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，求得

17

平面8DW的一個法向量元=Qr,y,z）,平面為5的一個法向量加=（1,3,3）,設平面為3與平面8Mo所

成銳二面角的大小為仇由cos。=cos（〃,加）=匕昌求解.

11網|叫

【小問1詳解】

證明：取尸D的中點￡,連接ME,AE,

因為E是尸。的中點，”是PC的中點，

所以EA///。。，EM=-DC=l,XABI/CD,AB=1,

2

所以EM//4B,EM=AB,

所以四邊形工的屋是平行四邊形，所以4E//BM,

又NEu平面為D,8Mz平面為。，所以BM//平面為D

【小問2詳解】

解：因為P￡）_L平面NBCD,DA,DCu平面/BCD,

所以PDLZD,PDLDC,又4B_LD4,ABHCD,所以

以。為坐標原點，DA,DC,DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

則。（0,0,0）￥（0,0,2）,4（1,0,0）,8（1,l,0）,C（0,2,0）,所以M（0?！梗?

設平面50河的一個法向量五=（%,y,z）,又。5=（1,1,0）,DM=（0,1,1）,

n-DB=x+y=0,

所以——.

n-DM=y+z=0,

令x=l,解得V=-1,z=l.

所以平面BMD的一個法向量五二（1,一1,1）.

設平面為3的一個法向量加=（萬萬，3,又后=（—1,0,2）,28=（0,1,0）,

m?AP=一。+2c=0,

所以4一

m-AB=b=0.

令。=2,解得b=0,c=1,

18

所以平面PAB的一個法向量比=（2,0,1）,

設平面PAB與平面BMD所成銳二面角的大小為仇

?.\n-m\3

所以cos。=cos（w,m）=匕W=.]-I==—

1'71\n\\m\71+1+1x74+15

即平面PAB與平面BMD所成銳二面角的余弦值為叵.

5

17.中國體育代表團在2024年巴黎奧運會上取得了優(yōu)異的成績.為了解學生對奧運會的了解情況，某校

組織了全校學生參加的奧運會知識競賽，從一、二、三年級各隨機抽取100名學生的成績（滿分：100

分，各年級總人數相等），統(tǒng)計如下：

年級[0,60)[60,100]

一年級4060

二年級2575

三年級1090

學校將測試成績分為及格（成績不低于60分）和不及格（成績低于60分）兩類，用頻率估計概率，所

有學生的測試成績結果互不影響.

（1）從一、二年級各隨機抽一名學生，記X表示這兩名學生中測試成績及格的人數，求X的分布列和

數學期望；

（2）從這三個年級中隨機抽取兩個年級，并從抽取的兩個年級中各隨機抽取一名學生，求這兩名學生測

試成績均及格的概率.

【答案】（1）答案見解析

200

【解析】

【分析】（1）寫出X所有可能得取值，然后分別求出其對應概率，列出表格，即可得到分布列，再由期

望的公式代入計算，即可得到結果；

（2）根據題意，由互斥事件概率公式代入計算，即可得到結果.

【小問1詳解】

一年級學生及格的頻率為%=3,不及格的頻率為a=2,

10051005

19

753251

二年級學生及格的頻率為7^=7,不及格的頻率為工=一，

10041004

三年級學生及格的頻率為9二0匕9=二，不及格的頻率為10上=一1,

1001010010

X的所有可能取值為0,1,2,3,

則尸(X=0)=2xL=_L,p(x=l)=-x-+-x-=—,

\75410\7545420

p(X=2)=-x-=—,

,75420

所以X的分布列為：

X012

199

P

102020

19927

所以X的期望為E（X）=0x—+￡=+2*二=」

v710202020

【小問2詳解】

由題意可知，抽到一、二年級，一、三年級，二、三年級的概率都是一，

3

所以抽到的兩名學生測試成績均及格的概率為

?133139139111

JT=—X—X—+—X—X1——X—X—=--------.

35435103410200

18.已知雙曲線C:二一與=1（?！?,6〉0）的兩條漸近線方程為x±2y=0,2（2亞,1）為。上一點.

a~b~

（1）求雙曲線。的方程；

（2）若過點A的直線/與C僅有1個公共點，求/的方程；

（3）過雙曲線C的右焦點F作兩條互相垂直的直線4,4，且4與。交于“，"兩點，記"N的中點B,12

與C交于P,。兩點，記尸。的中點為Z）.若G（0,、6）,求點G到直線AD的距離的最大值.

2

【答案】（1）土