2025屆山東青島高三11月調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含答案）

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準(zhǔn)考證號

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需要改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若集合A={—2,—1,0,1,2},B={x|ln（l-x）＜2},則4口43=（）

A.{2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{-2,-1,0}

2.已知a,b都是實(shí)數(shù)，那么“a〉6”是“〉血”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

只要將函數(shù)y=cos12x+gj的圖象（

3.要得到函數(shù)y=sin2x的圖象,)

TV7T

A.向右平移二個(gè)單位B.向左平移烏個(gè)單位C.向左平移二個(gè)單位D.向右平移？個(gè)單位

661212

4.已知平面向量Z,B滿足同=2同=2,且cos,則B在Z方向上的投影向量為（）

1-1一1-1-

A.—aB.一aC.—aD.一a

6633

5.函數(shù)/(%)=/"COS71X的大致圖象為（)

6.“克拉茨猜想”又稱“3〃+1猜想”，是德國數(shù)學(xué)家洛薩?克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會上公布的一個(gè)

猜想：任給一個(gè)正整數(shù)力如果〃是偶數(shù)，就將它減半；如果〃是奇數(shù)，就將它乘3后加1.不斷重復(fù)這樣的

運(yùn)算,經(jīng)過有限步后，最終都能夠得到1.若〃經(jīng)過5次運(yùn)算后首次得到1,則〃的所有不同取值的和為()

A.16B.32C.37D.5

7.若正數(shù)m萬滿足2+1082〃=3+1083匕=1086(〃+“)，則,+()

JJab

A.128B.108C.2D.1

8.定義在R上的函數(shù)/(x)對V%i,x2G[0,+8),都有一</+Xix2+君，且

x1-x2

f(x)-f(-x)=2x3,則不等式/(x)+l+3%>/(l+x)—3/的解集為()

A.[-]+ooJB.C.[―D.[一吟一句

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知三條直線/,m,n和三個(gè)平面a,B,y,則(

A.若/〃加，I//n,則加〃〃B.若/ua,al。,則/_L￡

C.若/〃0，/〃力，則D.若0門￡=/，lLY,則a_Ly

10.已知函數(shù)=Jsin%+Jcosx,貝U()

JT

%=；是、=〃力圖象的一條對稱軸

A./(x)的定義域2伍2左兀+萬(GZ)B.

C.”X)在區(qū)間],上單調(diào)遞增3

D.的最大值為2%

11.已知實(shí)數(shù)X,y滿足(x—丁)2+1+/-4=0,則()

A.x+yW2B.x+y2-2y12C.x-y，———D.x-yW———

三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.

12.已知等差數(shù)列{a“}(〃eN*)中q,a2,成等比數(shù)列，a5=13,則為=.

13.已知曲線丁=e*在x=-1處的切線與曲線y=o+lnx相切，則“=.

14.已知集合A={3,4,…,”+2}(“23,neN*),若集合MqA,且M中的所有元素之和為奇數(shù)，稱

M為A的奇子集，則A的所有“奇子集元素之和”的總和為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.(13分)

設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2acosC=2。-Gc

(1)求A；

,V3-1

(2)若c=2,AABC內(nèi)切圓半徑r=------,求a.

2

16.(15分)

已知數(shù)列{aj滿足：4=；，2〃a“+i=(〃+1)4,neN*.

(1)求數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式；

⑵記印表示不超過尤的最大整數(shù)，2-,求2

k=}Lk=l_

17.(15分)

如圖，在四棱錐尸-A2CD中，底面ABCD為矩形，PD=AD=1,平面24。_L平面ABCD,平面PCD1.

平面A2CZ),平面E4D與平面夾角為45°.

A

(1)點(diǎn)尸，A,B,C,。均在同一球面上，求該球的體積；

(2)點(diǎn)E,F,G分別在棱AB,BC,PB上,當(dāng)AEFG為等邊三角形時(shí)，求直線A。與平面EEG所成角的

正弦值

18.（17分）

已知函數(shù)〃%)="+尸—2—4(a〉0且awl),當(dāng)左=0時(shí)，/(x)^0.

(1)求a；

(2)若/⑼為的極小值，求上的取值范圍；

16、歷,廣

(3)證明：8——^<(ln2)"<672-8.

19.(17分)

如果一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)，或是對有理數(shù)進(jìn)行有限次加、乘和開二次方根運(yùn)算的結(jié)果，或是對這些結(jié)果繼續(xù)進(jìn)

行有限次加、乘和開二次方根運(yùn)算的結(jié)果，則稱這個(gè)實(shí)數(shù)為可解數(shù).如果一個(gè)角的正弦值和余弦值都是可解

數(shù)，則稱這個(gè)角為可解角.如：30°,45°,120°角都是可解角.

(1)判斷2+6，孤是否為可解數(shù)(無需說明理由)；

(2)證明：72°角是可解角；

(3)已知每個(gè)可解數(shù)。都是某些整系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)〃耳=%+。逮+4必+~+。/'(?eN)的零點(diǎn)，

這些多項(xiàng)式中，尤的最高次數(shù)"最小，且系數(shù)4，%，/，…，4的最大公約數(shù)為1的多項(xiàng)式函數(shù)稱為a

的最小多項(xiàng)式函數(shù).任一可解數(shù)a的最小多項(xiàng)式函數(shù)中x的最高次數(shù)"必為2m(根eN).例如：血的最

小多項(xiàng)式函數(shù)不是g(x)=(爐-2^X=X3-2X,而是/(x)=x2-2.

證明：20°角不是可解角，并求整數(shù)度數(shù)的銳角中最小的可解角.

青島市2024年高三年級部分學(xué)生調(diào)研檢測

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1-8：CBDAACBB

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.AD10.ABD11.BC

三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.

2

12.25或13；13.-；14.〃（a+5）x2”-3

四、解答題：本題共5小題，共77分.

15.（13分）

解：（1）由正弦定理得2sinAcosC+GsinC=2sinB

因?yàn)锽=TI-(A+C),所以sinB=sin(A+C)

所以2sinAcosC+百sinC=2(sinAcosC+cosAsinC)

即cosA=、一,且Ae(0,7t),所以A=P

26

(2)S^BC=1(a+Z?+c)r=|(a+Z?+2)r

又因?yàn)镾^=~bcsvaA=-b

BC22

ii卜一、

所以—b=—(o+Z，+2)r,即r=-------=——

22V'a+b+22

所以。=收一2①

由余弦定理得/=/+4-2揚(yáng)②

解得。=1

16.（15分）

解：（1）由題知：.=

n+12\n

因?yàn)殓?工00,所以數(shù)列[%]是以工為首項(xiàng)，工為公比的等比數(shù)列

12[n]22

所吟V，所以

、12〃ie12n

(2)因?yàn)間4=萬+齊+…+吩，或4=齊+百+…+訶

J___1

H4.WE11S1111?22"

兩式作差得—/——I—TH—rH---1--------7=----7"

2tfk222232"2"+i」

~2

所以fa*=2-n+2

k=\2"

13

易求得a二—,2=0,b=-

238

〃+3n+2n+3-2n-4士2<0,所以1葉2］是遞減數(shù)列,

因?yàn)槿f丁一亍

2n+12n+12nI

、t,t八九+2,<czrn+2t

當(dāng)〃22時(shí)，0<----Wl,0W1------<1

2nT

LL1I7C"+2n+2n+2,,n+2n+2

所以￡=2--—2-----=2----1--+1-----=1-----

2"2"2”2"

1

n=\

27

綜上，bn=<

n+2

1-〃三2

17.（15分）

解：（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以A。LCD

又因?yàn)槠矫鍼CD，平面ABCD,且平面PCDfl平面A5CD=CD,A￡>u平面ABCD,

所以平面尸CD,所以同理：CD工PD

又因?yàn)锳Dp|CD=。，所以PD1■平面ABC。

由題知NADB=45°,由平面ABC。為矩形知：ZDAB^90°,

所以乙43。=45°,所以AD=A8=1,ABC。為正方形，

記尸8中點(diǎn)為0,可求得：0P=0A=0B=0C=0D=2,

V3

所以O(shè)為該球的球心，其半徑R=OB=—

2

4、/3

因此，該球的體積v=—兀&=乙兀

32

（2）若平面EFG與平面PAC不平行，

依平行性，不妨將點(diǎn)G放在點(diǎn)P的位置，不妨設(shè)E不在A的位置，

22

則GE=’尸。2+力后2,EF=^BE+BF<V2,不合題意

若平面用G//平面點(diǎn)則普嘿/書FGEG

~CP~~AP

所以EF=FG=EG,所以AEFG為等邊三角形，

又因?yàn)槠矫鍱EG〃平面E4C,兩平面的法向量共線，

所以直線AD與平面EFG所成角等于AD與平面PAC所成角

下面提供向量法和幾何法兩種參考解法：

（法1）以。為原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,則

尸（0,0,1）,￡>（0,0,0）,0,0）,C（0,1,0）,

_/\n,PA=0

設(shè)平面南C的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,貝_____.,

n-PC=0

x-z=0-/、

所以《，令z=l,得〃=（1,1,1

j—z=0

顯然而=（1,0,0）,設(shè)AO與平面出C所成角為凡

\DA-I^i73

V33

（法2）連結(jié)AC,BD交于點(diǎn)。,在直角APDO'中，過。做

因?yàn)锳CJ.3。，AC1PD,PDC\BD=D,PD,BDu平面PBO,

所以AC,平面尸友），

所以AC，?！?，又因?yàn)镈H_LPO',ACC\PO'=O',

所以。4_L平面PAC,

所以ZDAH為AD與平面PAC所成角

在直角APDO'中，DHPO'=PDDO',解得DH=好

3

DH43

設(shè)AD與平面E4C所成角為凡則sin9=

AD-V

18.（17分）

解：(1)/(x)=ax\na-c~x

由〃0)=0知，的最小值為〃0)

所以/(0)=0

解得In〃=1,即a=e

(2)顯然/(力為偶函數(shù)，只需研究冗20的情況，

/(x)=ex-e-x-2kx

若kWL貝ij/(x)2e?—。一“一2%,令"(%)=e*—6一"一2九，

則"(尤)=ex+e"-222je-7—220,

所以〃(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增

所以〃x)N〃((x)>〃⑼=0,在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

依對稱性，“X)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，

故/(0)為極小值

2x_2kex+1

若k>l,f(x)=e-e-x-2kx,令g(x)=〃x),g\x)=e-2k=-e一

e

令g'(x)=0,即e2*-2左1+1=0,

me=k+y]k2-1(e*=Z-42—1<0舍),所以x=ln(0+J12—1)

因?yàn)間<0)=2—24<0,7r(0)=0

當(dāng)xe(0,In(左+J/時(shí),g<x)<0,在(0,ln(1+“，-1))上單調(diào)遞減,

所以〃x)在(0,ln(左+“2_3上均小于0

所以/(x)在(0,ln(%+后可上單調(diào)遞減，而/(0)=0,故不合題意，

綜上，左的取值范圍為左W1

(3)結(jié)合(2)：令人=1,則/(lnJ5)=浮一2—(in收丁〉0,

解得(In2)2<68-8

,

令ln0=ln(左+J/2一11gpg(lnV2)=0,得左=『>1,

則/(lnV5)=孚一2—孚(in后『<0,解得(也2)2〉8—^^,

所以8—^^^<(ln2)2<6行—8

19.(17分)

解：(1)2+百是可解數(shù)，)汨5是可解數(shù),次不是可解數(shù)

(2)設(shè)e=72。，則sin5a=sin360°=0

又sin5a=sin+4。)=sin。cos4。+cosasin4a

=sin6z^2cos22a-l)+2cosasin2acos2a

22

=sina(2(l—2sin2-ij+4sin6Z^i-sincif^l-2sma)

=sina(16sin，?！?0sin?。+5)=0

因?yàn)閟inawO,所以16sin4a—20sin2a+5=0,

解方程16sin,a-20sin2a+5=0,得sin72°=血+2也是可解數(shù)，

4

又cos72°=Jl-sii?72。顯然是可解數(shù),所以72°角是可解角

(3)先證明20°角不是可解角.

因?yàn)閏os3x=cosxcos2x-sinxsin2x

=cosx(2cos2x-lj-2sin2xcosx

=cosx(2cos2x-l)-2(l-cos2x)cosx

=4cos3x-3cosx

1R

所以一二cos60°=4cos3200-3cos20°,

2

BPcos20°是/(x)=8/一6%—1的零點(diǎn)

根據(jù)已知結(jié)論，若cos20。是可解數(shù)，那么它的最小多項(xiàng)式函數(shù)最高次項(xiàng)次數(shù)只能是1或2,

即/(%)=8丁—6%—1有整系數(shù)一次或二次因式，

(法1)