2025高考數(shù)學(xué)壓軸導(dǎo)數(shù)大題訓(xùn)練：函數(shù)中的同構(gòu)問題（學(xué)生版+解析）

專題11函數(shù)中的同構(gòu)問題

考情分析

近年來同構(gòu)函數(shù)頻頻出現(xiàn)在模擬試卷導(dǎo)數(shù)解答題中，高考真題中也出現(xiàn)過同構(gòu)函數(shù)的身影，同構(gòu)法是將不

同的式子通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子，通過整體思想或換元等將問題轉(zhuǎn)化的方

法，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式、不等式問題中，

或利用函數(shù)單調(diào)性定義確定函數(shù)單調(diào)性，利用此方法求解某些導(dǎo)數(shù)壓軸題往往能起到秒殺效果.

解題秘籍

(一)同構(gòu)函數(shù)揭秘

同構(gòu)式是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式，導(dǎo)數(shù)中同構(gòu)函數(shù)問題大多屬于指對跨階問題，比如

1+尤與x+ln尤屬于“跨階函數(shù)“，而e'+lnx屬于“跳階函數(shù)”，對于指對跳階的函數(shù)問題，直接求解，一般

是通過隱零點代換來簡化，并且有很大局限性，有些題若采用指對跨階函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)，可將跳階函數(shù)問題

轉(zhuǎn)化為跨階函數(shù)問題，從而使計算降階，通常構(gòu)造的同構(gòu)函數(shù)有以下幾類：/a)=xeXJ(x)=;dnx,

/(JC)=x+e',/(x)=x+Inx,/(x)=e%-x+a,/(x)=lnx-x+a等，在一些求參數(shù)的取值范圍、零點個數(shù)、

不等式證明、雙變量問題中，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)等問題中常通過構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)求解.

利用同構(gòu)函數(shù)解題要注意一些常見的湊形技巧，如；尤=m，"=111上友工=產(chǎn)1*f=6，/，等.

X

【例1】(2024屆江蘇省蘇州市高三下學(xué)期三模)已知函數(shù)〃x)=lnx+依+l,aeR.

⑴討論的單調(diào)性；

⑵當(dāng)aW2時，證明：^^<e2x.

X

【解析】(1)函數(shù)〃%)=依+以+l,aeR的定義域為(0,+8),且/(無)=，+。.

X

當(dāng)時,Vxe(0,+oo)，V〈x)」+a>0恒成立,所以/(x)在區(qū)間(0,+力)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時，令?='+〃=1+=0,解得X=-L,

xxa

當(dāng)x《0,-J時，1(%)>0J(x)在區(qū)間［上單調(diào)遞增,

當(dāng)時，尸(x)<OJ(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時，/(X)在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間,上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)時，因為尤>0,所以要證工只要證明生上生上14e?，即可,

無x

即要證lm:+2x+14xe2*,等價于e2Mll"21nx+2x+l(*).

令g(x)=e"—x—l,則g<x)=e*-l,

在區(qū)間(-%。)上,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；在區(qū)間(0,+功上，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)2g@=e0-0-l=0,所以e，2x+l(當(dāng)且僅當(dāng)X=0時等號成立)，

所以(*)成立，當(dāng)且僅當(dāng)2尤+lnr=0時，等號成立.

又/?(%)=2》+111%在(0,+00)上單調(diào)遞增，=--1<0,//(1)=2>0,

所以存在使得2毛+1嗎,=0成立.綜上所述，原不等式成立.

【例2】(2024屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第質(zhì)量檢測)已知函數(shù)/(力=32+]標(biāo)+依在x=l處的切線/和

直線x+y=0垂直.

⑴求實數(shù)。的值；

⑵若對任意的圣馬40,2],x產(chǎn)/，都有"即一"」)了；+<>〃成立(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，求

e1-e^

實數(shù)相的取值范圍.

【解析】(1)由函數(shù)/(%)=f+111*+依，可得/'(x)=2x+，+a,可得/'⑴=a+3

因為函數(shù)在x=l處的切線/和直線x+y=0垂直，所以廣(1)=1,

即a+3=1,解得a——2.

(2)解：不妨設(shè)0<玉<々<2,貝Ijd—e超v0,

因為對任意的為々6(0,2],X產(chǎn)無2,都有了區(qū))一/(%)-X：+只>m成立,

x,%2

可得/(為)一/(%2)一+兀；〈根(e*—e?),即/(xj-xf-me</(x2)-xf-me,

設(shè)g(x)=/(x)-f-〃M，貝i」g(X)<g(尤2)，故g(x)在(0,2]單調(diào)遞增，

從而有g(shù)'(x)=1-2-me^>0,即租V-2]在(0,2]上恒成立,

設(shè)〃(?=/[-2),則現(xiàn)《〃⑴而。，

因為〃'(尤)=-2)+[一[)=e-?①<才V2),

令〃(x)>0,即2/一彳一1=(2》+1)(彳-1)>0,解得1<%W2,

令〃（x）＜0,即2/-尤—l=（2x+l）（x—l）＜0,解得Ovxvl,

所以/z（x）在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,2］單調(diào)遞增，

又因為以1）=一，故耳力在（0,2］上最小值/幻而廣一，所以機(jī)〈―，

實數(shù)機(jī)的取值范圍是1一雙-，.

（二）尤e*型同構(gòu)

【例3】（2024屆廣西貴港市高考模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=aem「nx+ln"+l.

X

（1）當(dāng)。=1時，請判斷了（X）的極值點的個數(shù)并說明理由；

⑵若/（x）＞2a2-a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】（1）當(dāng)。=1時，/（x）=e，一巴"，xe（0,+s）,

X

x

所以/'（X）=/+嗎=『e：lnx,令依無）=+lnx,貝?"（尤）=（尤?+2%）e+

XXX

當(dāng)xe（0,+co）時，〃（x）＞0,在（0,+8）上單調(diào)遞增，

又以；）=手一出2＜。，3）=e,；/（x）存在唯一零點看,且不€（；,1）,

當(dāng)尤€（0,飛）時，f\x）＜0,/（x）在（0,%）上單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(尤o，+co)時，f\x)>0,/(x)在(與,+00)單調(diào)遞增.

/(x)有一個極小值點％,無極大值點.

(2)/(x)=ae"-lnX+lnfl+1^2a2—a恒成立，

/.axe"-[ln(ax)+l]^2?2x-〃元恒成立，/.axe"-[ln(ax)+1]+ax^lc^x恒成立.

令t=ax,貝lJ/￡(0,+8),「.2qKe'一山’+1+1恒成立.

t

設(shè)g(x)=e"-見出.，由(1)可知g(%)的最小值為g(%).

x

-lnA,)

又以不)=x：e與+Inx0=0,毛砂=^-=---lnx0=-eInx0.(*)

七%

設(shè)m(x)=xe”,當(dāng)%>0時，加(%)=(%+1把"〉0,「.皿%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

.XQE(―,1),XQ>0,—Inx0>0,

當(dāng)1

由(*)知加(％)=加(一In%),.?.%=—in%,即e°=1.

%

...g(x°)=e』一^^」一匕=1,

X。4X()

:.2a<M=2,.\a<l,又a〉0,的取值范圍為(?！?

(三)(%+〃)Inx型同構(gòu)

]nY

【例4】(2023屆福建省寧德市高三高考前最后一卷)已知函數(shù)〃尤)=丁+〃?(相€中.

⑴討論函數(shù)/(x)的零點的個數(shù)；

ax.1\

(\修/⑺(.+1)，求實數(shù)〃的取值范圍.

【解析】(1)令/(%)=電m+機(jī)=0,則更三=一相，記g(x)=電工則g<x)=，

X,XXlX?'

當(dāng)x>e時,g'(x)<0,此時g(x)在(e,+oo)單調(diào)遞減,

當(dāng)0〈尤<e時,g'(x)>0,此時g(x)在(0,e)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=e時，g(_r)取極大值也是最大值g(e)=：,

又g(l)=0,而當(dāng)l<x時，g(x)>0,故當(dāng)0<x<l時，g(x)<0,當(dāng)1<無時，g(x)>0,作出g(尤)的圖象

如下：

因此當(dāng)-加時，BPm<--,g(x)=T”無交點，此時“X)無零點，

ee

i]

當(dāng)-機(jī)=&或-m《0時，即根=一一或加之。，g(x)=-機(jī)有一個交點，此時/(%)有一個零點,

當(dāng)。＜-777＜』時，即二＜〃Z＜0,g（X）=TH有兩個交點,此時〃力有2個零點,

ee

綜上可知：當(dāng)冽＜」時，"X）無零點，

e

當(dāng)初■或相WOy（x）有一個零點，當(dāng)」＜〃z＜。，“X）有2個零點，

ee

(ax.i\

1得〃刈優(yōu)+1)等價于:

對任意尤>0,恒有方(e6+1)NInf(尤2+1),

令網(wǎng)x)=(x+l)lnx,則不等式等價于產(chǎn)(產(chǎn))2網(wǎng)爐),

y_1_1

由于k(x)=ln%+----,

令加⑺=hix+"I川⑺=工一二二%為1,

xxxx

當(dāng)0<x<1,加⑺<0,制%)單調(diào)遞減，當(dāng)1>1,<'(尤)>0,加(%)單調(diào)遞增,所以F'(%)=m(x)>m(l)=2>0,

故外力在（0,+。）單調(diào)遞增，

由F（e^）＞尸任）得e-＞好對任意x＞0恒成立，

兩邊取對數(shù)得辦N2Inxn3N皿對任意x＞0恒成立,

2x

故（尤）所以故。的范圍為02工。

2'-2eee

（四）e"+雙+〃型同構(gòu)

【例5】（2024屆福建省漳州市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知函數(shù)/（%）=敏+%+1.

⑴討論了（九）的單調(diào)性；

X—1

⑵當(dāng)x＞l時，/（x）＞ln----+x,求實數(shù)。的取值范圍.

a

【解析】（1）依題意，得r（x）=ae"+l.

當(dāng)a20時，f\x）＞0,所以/（九）在（-co,+8）單調(diào)遞增.

當(dāng)Q＜0時，令/'（%）＞0,可得％〈一ln（-a）；令/'（x）＜0,可得%＞-ln（-a）,

所以/（九）在（-8,-ln（—々））單調(diào)遞增，在（―ln（-a）,+oo）單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時，/（九）在（-8,+8）單調(diào)遞增；當(dāng)〃＜0時，/（九）在（-哈-皿-々））單調(diào)遞增，在（-ln（-a）,+oo）

單調(diào)遞減.

Y—1x—1

(2)因為當(dāng)x>l時，/(%)>In--------1-x,所以〃e"+x+l>ln-------Fx,

aa

即elnex+x+1>ln(x-1)-In?+x,

即ex+hlfl+\na+x>ln(x-1)+x-1,

即ex+hlfl+x+lna>e^+lnCx-1).

令h(x)=Qx+x,則有h(x+Ina)>/z(ln(x-1))對Vxe(1,+oo)恒成立.

因為〃(%)=1+1>0,所以久%)在(f,+8)單調(diào)遞增，

故只需％+lna>ln(%_l),

即Ina>ln(x-1)一％對Vx￡(1,+久)恒成立.

12-x

令產(chǎn)(%)=ln(x—1)—%,貝I」廠'(％)=-----1=——，令尸'(x)=。，得x=2.

x—1x—1

當(dāng)X￡(l,2)時，F(xiàn)f(x)>0,當(dāng)X￡(2,4W)時，/<九)v0,

所以產(chǎn)(%)在(1,2)單調(diào)遞增，在(2,+8)單調(diào)遞減，

所以尸(x)4尸⑵=一2.因此ln，>_2,所以。>之.

e

(五)Inx+ta+b型同構(gòu)

【例6】(2024屆江蘇省宿遷市高三下學(xué)期三模)已知函數(shù)于(X)=ln(x-a)+)9a一4%(a>0).

⑴若曲線y=/(%)在X=2處的切線的方程為％+y="求實數(shù)b的值；

(2)若函數(shù)/(%)Wlna+2a恒成立，求。的取值范圍.

【解析】(1)因為/(%)=In(%一a)+J9a-4x(。>0),函數(shù)的定義域為3爭，

12

所以/。)=------^==,

x-aV9a-4x

由曲線y=/(x)在X=2處的切線的方程為x+y=〃，得八2)=-1,

19

所以/'(2)=^-------『卞

2-。V9cz-8

12819

設(shè)h(a)=------/(―<a<2)/(a)=-------y+-----------/>0

2-aJ9a-89(?-2)2(9a-8)j9a_8

所以函數(shù)Ka)是(，2)上的遞增函數(shù)，又h(l)=-1,

12

所以方程^-----=有唯一解，=1,

所以f(%)=ln(x—1)+J9-4r,f(2)=1,

所以切點坐標(biāo)為(2,1),代入直線方程=h得人=3.

_____、9a

(2)/(x)=ln(x-a)+^J9a-4x(a>0),定義域為31],

.12y/9a-4x-2(x-a)

f⑴=--------7==---------/，

x-ay/9a-4x(x-a)<9a一4x

______-2

設(shè)gO)=\/9a-4x-2(x-a),所以g'(%)=/一2v。，

79a-4%

所以g(%)在3今)上遞減,又g(a)=&￡>0,且(?)=-罟<。，

所以當(dāng)工￡3%。)時,g(x)>0,即八%)>0,函數(shù)當(dāng)%)遞增,

Q/j

當(dāng)入￡(為與時，g(x)vo,即r(X)<0,函數(shù)遞減,

所以函數(shù)/(X)的最大值Znax(%)=于@0)=ln(%0-〃)+J9a—4%,

又g(%o)=屈-4%-2ao一。)二0，所以,9a-4/二2?-a),

所以Znax(%)=/(%0)=1n(/一。)+2(%0-。)，

因為/(%)wIna+2〃恒成立，即ln(%0-a)+2(尤0-a)WIna+2a恒成立，

設(shè)/i(x)=lnx+2x,則"(%)=:+2>0,所以/Z(%)遞增，

0/7

所以九即％o<2〃恒成立，因為g(')在(。,1)上遞減，且冢/)=0,

所以只需g(2a)W0恒成立，即右-2aW0,又a>0,所以a'g.

(六)利用單調(diào)函數(shù)定義同構(gòu)

【例7】(2024屆貴州省六盤水市2024屆高三下學(xué)期三診)若函數(shù)/(%)在可上有定義，且對于任意不同

的藥,%2w［a,b］,都有|〃%)-/(%2)|<無居-馬|，則稱"X)為［見習(xí)上的絮類函數(shù)”

⑴若/(x)=%2,判斷了(x)是否為［L2］上的“4類函數(shù)”；

91

⑵若〃司=711尤+6+1)》+7為［1,同上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；

⑶若/⑺為［L2］上的“2類函數(shù)”且〃1)=〃2),證明：%,x2e［l,2］,|/(^,)-/(^)|<1.

【解析】(1)函數(shù)〃力=/是［1,2］上的“4類函數(shù)”，理由如下：

不妨設(shè)外,馬41,2］,所以2</+%<4,

|/@)-"々)|=忖T|=|(%f)(而+%)|<4,-引,

所以/(x)=V是［1,2］上的“4類函數(shù)”；

2112

(2)/(%)=—lnx+(a+l)x+—,/'(%)=--^+―+Q+1,

exxex

由題意知，對于任意不同的公々e［Le］都有—〃9)|<2|%-百，

不妨設(shè)玉</，則一2(龍2-芯)</(%)一〃％)<2(%—西)，

故〃西)+2為<“彳2)+2彳2且〃孑)一2M>y(x2)-2x2,

所以/■(x)+2x為［l,e］上的增函數(shù)，/(x)-2x為［l,e］上的減函數(shù)，

所以對任意的xe［Le］,即—2W/'(x)V2,

121?

由「(x)V2naV-y—二+1,令g(x)=F—二+1,貝I］。4g(無)1nl“，xe［l,e］,

xexxex

令工=得y=〃-L+i在上單調(diào)遞增，8⑴=1-4，

xLeJeLeJe

i?、12

由/'(%)2—2=a-----3,令"(x)=3-----3,

xexxex

Iri-io「1-

只需,xe［l,e］,令—=fe-,1得>=產(chǎn)一鄉(xiāng)一3在一,1單調(diào)遞增，

111axx|_eJe|_e

所以〃(4^=始)=一2-：，綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為'-2-3r1

(3)證明：因為/(X)為［L2］上的“2類函數(shù)”，所以|〃不)-/5)|<2］玉-引，

不妨設(shè)<2,當(dāng)上一馬|<g時，］〃石)一/(%2)|<2卜-即<1；

當(dāng)3<%-到<1時，因為〃1)=〃2),-l<X1-x2<-1

所以|〃%)-〃%)|=|〃匕)-〃1)+/(2)—〃々)臼〃%)-〃1)|+|〃2)—〃々)|

<2(X1-1)+2(2-X2)=2(X1-X2+1)<2^-1+1^|=1,

綜上所述，”,馬e［l,2］,I”%)-〃寸|<1.

典例展示

【例1】(2024屆西省九江市高三第三次統(tǒng)考)已知函數(shù)/(xHeE+eSgeR,且-0).

⑴討論的單調(diào)性；

(2)若方程/'(x)=x+xT有三個不同的實數(shù)解，求。的取值范圍.

【解析】⑴解法一：f(x)=?(eOT-e-)g(x)=?(em-e-),

則g，(x)=儲d+1)>0,g⑺在R上單調(diào)遞增.

又g(O)=O,.?.當(dāng)x<0時，g(x)<0,即/'(x)<0；當(dāng)x>0時，g(x)>0,即/'(x)>0

.??/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+s)上單調(diào)遞增.

①當(dāng)a>0時，由/得無<0,由r(x)>0得尤>0

.?"(x)在(-雙。)上單調(diào)遞減，在(0,+“)上單調(diào)遞增

②當(dāng)a<0時，同理可得〃力在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+啟)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)awO時，在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+。)上單調(diào)遞增.

(2)解法一：由/(x)=x+xT,得em+efx+xT,易得尤>0

令/?(x)=e*+eT,貝！］6(依)=/?(欣)，又、/7(%)=6、'+b為偶函數(shù)，畫)=/z(|lnx|)

由(1)知網(wǎng)力在(0,+8)上單調(diào)遞增，二畫=|lnr|,即3=間有三個不同的實數(shù)解.

令根(無)=@二加(x)=^~密，由〃z'(x)>0,得0<x<e;由加(x)<0,得X>e,

.,.〃z(x)在(0,e］上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，且〃2⑴=O,〃z(e)=!

.?.y="(x)|在(0』上單調(diào)遞減，在(l,e］上單調(diào)遞增，在(e,+動上單調(diào)遞減

當(dāng)x.0時，m(x)->+oo；當(dāng)xf+8時，m(x)^0,故0<同

解得一*<0或。故”的取值范圍是卜：,0卜(0,J

解法二：由/(x)=x+xT得em+efx+x-,易得x>0,

令〃(力=尤+/,則〃⑴在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+e)上單調(diào)遞增.

由/7(即)=/7(對，得y=天或產(chǎn)=/,

兩邊同時取以e為底的對數(shù)，得or=lnx或"=-lnx,

.?.阿=|lnx|,即|一卜時有三個不同的實數(shù)解，下同解法一.

【例2】(2024屆江蘇省徐州市邳州市高三上學(xué)期月考)已知函數(shù)/(尤)=(/+l)ln./一分.

⑴若。=1,求尸(力的最小值;

⑵若方程/(%)=ca^-x1有解，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=l時，/(X)=+l)]nx—X?—x,

f'{x}=2xlnx—x^---1,設(shè)g(x)=/'(x),貝!]g，(x)=1+21nxy.

g'(元)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g'⑴=0,

所以xe(O,l)時,g'(x)<0,廣(X)單調(diào)遞減，

時,g'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以〃x)1nto=

(2)/(力=oxe2ax一/即2(/+1)比尤=2ax(e2ax+1),

即，+1)111彳2=[2"+1)111/方，設(shè)/z(x)=(x+l)lnx(尤>0),貝1"2，)=/巾2")

11Y—1

h'(x)=lnx+l+—,設(shè)相(x)=lnx+l+—(x>0),貝!Jmz(x)=——,

XX

所以X￡(O,1)時，mf(x)<0,加(%)單調(diào)遞減，

XE(1,+X)時，m(%)>0,加(尤)單調(diào)遞增，

所以根(x)>m(l)=2>0,即/z'(x)>0,"(%)在(。,+8)上單調(diào)遞增，

所以方程〃司=返2以-%2有解即x2=e2-在(0,+。)上有解，

2ar=21n尤有解，即〃=生二有解，設(shè)〃(力=生2(％〉0),則"(x)=l

XXX

x<0,e)時，〃(%)單調(diào)遞增，

xc(e,4w)時，"(x)<0,〃(%)單調(diào)遞減，所以=L

e

當(dāng)xf0時，〃(x)f-oo,所以。<!,即實數(shù)。的取值范圍是.

eIe_

【例3】(2024屆陜西省西安市部分學(xué)校高三上學(xué)期考試)已知函數(shù)〃x)=lnx-辦-

X

⑴當(dāng)a=2,求〃x)的極值；

(2)若/(力4-e"恒成立，求。的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=2時/(x)=lnx-2x-‘，xe(0,+oo),

則廣⑺」—2+—十+1」(1)卜1),

所以在(0,1)上用x)>0,〃x)單調(diào)遞增，在(L+s)上/'(力<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x=l時〃尤)取得極大值，/(1)=0-2-1=-3,故〃力的極大值為-3,無極小值.

(2)由7可得Inx-ox-LV-b"，則lnx-工Wox-e-",即Inx-Lwlne"———.

xx%e"

令g(無)=ln龍一J,JJJlJg(x)<g(eQ),

因為g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以x<e,則

令〃(x)=T，則〃(x)=上等，

在(0,e)上〃(尤)>0,人(無)單調(diào)遞增,在(e,+oo)上〃(x)<0,用⑺單調(diào)遞減,即人(尤)max=無⑻=L

所以。2工，則〃的取值范圍為-,+?\

eLe)

【例4】(2024屆安徽省六校教育研究會高三上學(xué)期素質(zhì)測試)己知函數(shù)/(x)=ae，-x(e是自然對數(shù)的底

數(shù)).

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

⑵若8(%)=覺'(尸1)-111%+〃h有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)因為/(x)=ae=x,所以/'(x)=ae*T,

當(dāng)aWO時，r(x)<0,所以〃力在R上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時，令/,%)>0得犬>—Ina；令/'(x)<0得％v—Ina,

所以/(力在(f,-In。)上單調(diào)遞減，在(-In欣)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a?0時，f(%)在R上單調(diào)遞減,無增區(qū)間；當(dāng)a>0時，/(%)在(fo,-Ina)上單調(diào)遞減,在(-ln〃,+oo)

上單調(diào)遞增.

(2)由題意且(％)=3爐(％-1)一111%+/(%)=0￥?"-111兀一兀二0￥&，-111(屁，)(％>0)有兩個零點，

令"xex,(x>0),則7'=(l+x)e*>0在(0,+e)上恒成立，所以"xe，在(0,+e)上單調(diào)遞增，

故t>0,所以g（x）=<2xe，-ln（尤e*）有兩個零點等價于T（r）=aL有兩個零點,

等價于0=片有兩個不同的實數(shù)解’等價于'="與〃⑺有兩個交點,

貝/7'（力>0得0</<e,"?）<0得t>e,

所以〃⑺=乎在（0,e）上單調(diào)遞增，在（e,+o））上單調(diào)遞減，又〃（e）=/=g,力⑴=0,

當(dāng)r趨向于0且為正時，〃⑺趨向于負(fù)無窮大，當(dāng)f趨向于正無窮大時，力⑺趨向于0,如圖:

由圖可知，要使y=。與如）=叱有兩個交點，則0<a<L

te

所以實數(shù)。的取值范圍為。

e

【例5】（2024屆重慶市渝北中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)〃x）=；/+Hn（x_l）,

8（司=4）+,卜+尤.

⑴當(dāng)a=-l時，求函數(shù)“力的極值；

⑵若任意看、941,內(nèi)）且為*%，都有g(shù)&）-g（，>i成立,求實數(shù)。的取值范圍.

玉—x2

【解析】（1）當(dāng)a=—l時，/（x）=1x2-ln（x-l）,其中xe（l,伊），

112-—7

貝!1/'（尤）=彳尤----;=r'/r".令/'（尤）=0,解得x=-l或無=2,

2x-12^x-nl）

又因為x>l,所以x=2,

列表如下：

X（1,2）2（2,+00）

/（X）—0+

單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

因此了(元)有極小值/(2)=1,無極大值.

(2)解：因為g(x)=〃x)+—+尤，"X)=)爐+aln(x—1),

所以g(x)=aln(x-l)+!+x,其中xe(l,+co),

對VX］、&且工產(chǎn)々，不妨設(shè)玉>%,則玉-尤2>。，

得到g(西)-g(玉:)〉^一^，化為g(E)—玉〉8(%)一%，

設(shè)/z(x)=g(x)-x且函數(shù)/z(x)的定義域為(1,+8),

所以〃(力=如(尤-1)+4在(L+°o)為增函數(shù)，

即有〃'(x)=含一5W0對x>l恒成立，即對任意的x>l恒成立,

設(shè)夕(x)=［^,其中xe(l,+?),貝1］夕〈力=彳「，

令夕3>0,解得l<x<2,令0(x)<O,解得x>2,

所以e(無)在(1,2)上單調(diào)遞增,在(2,+8)上單調(diào)遞減，

所以。(無)最大值9(2)=，，因此實數(shù)。的取值范圍是心

【例6】已知函數(shù)/(x)=x—〃lnx,(QeR)

⑴請討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性

(2)當(dāng)xeJ+e］時，若eXN：(ln(lnx+x+l)+l)恒成立，求實數(shù)4的取值范圍

【解析】⑴f(x)=l-V=^(x>0)

XX

當(dāng)a40時，/(尤)>0,7(x)在(0,+8)上遞增

當(dāng)。>0時，在(0,a)上/(x)<0,/⑴單調(diào)遞減

在(a,+w)上/'(x)>0,/(X)單調(diào)遞增

(2)原式等價于xe*=eM'+xN〃ln(lnx+尤+1)+1)

設(shè)f=lnx+x,xe|,+coj

由(1)當(dāng)。=一1時，/O)=lnx+x為增函數(shù)，,

e

二等式等價于et"ln?+1)+1),恒成立，

4.(2024屆全國統(tǒng)一考生押題卷)已知函數(shù)〃x)=(x—2)e”,g(x)=?xln(*(a>0).

⑴求曲線y=/(x)在點(2,〃2))處的切線方程.

⑵當(dāng)。=1時，討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

⑶若“X)2g(力-2/對任意x71,口)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

5.(2024屆山東省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考)已知函數(shù)〃x)=aln(x+l)-ax.

⑴當(dāng)aw0時，討論“X)的單調(diào)性；

X+1

⑵當(dāng)x>-l時，〃x)〉G-e+〃恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

X+1

6.已知/(%)=x2ex一〃(％+2Inx)

⑴當(dāng)“=e時，求“X)的單調(diào)性；

⑵討論〃尤)的零點個數(shù).

7.已知函數(shù)/(x)=e"-alnx,aeR.

⑴當(dāng)。=0時，若曲線y=/(x)與直線'=近相切于點P,求點P的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)a=e時，證明：/(x)>e；

(3)若對任意x?0,y),不等式〃x)>alna恒成立，請直接寫出“的取值范圍.

2x_-1

8.(2023屆廣東省深圳市光明區(qū)高三二模)已知函數(shù)〃力="尸的圖象在(L/0))處的切線經(jīng)過點

(2,20.

⑴求。的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)g(x)=竺二，若關(guān)于x的不等式加g(x)<e2"-1在區(qū)間(1,+s)上恒成立，求正實數(shù)4的取值范圍.

lux

9.己知“無)=j|一?，g⑶=a+；lnx,aeR

⑴當(dāng)xe(l,"o)時，求函數(shù)g(H的極值;

⑵當(dāng)a=0時，求證：f(x)>g(x).

10.(2023屆海南省?？谑旋埲A區(qū)高三一模)已知函數(shù)/(力=里+1.

x—1

⑴討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

(2)已知彳>0,若存在xw(l,+co),不等式—zu---------:—Nlnx成立，求實數(shù)彳的最大值.

(Ve)+1尤T

11.(2023屆吉林省長春外國語學(xué)校高三上學(xué)期考試)已知函數(shù)〃x)=e*-依(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)。=1時，求"X)的極值點；

⑵討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性；

⑶若ga)=e'(x-1)-alnx+〃x)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

12.已知函數(shù)/(x)=eX,g(x)=sinx.

⑴求g(x)=sinx在x=0處的切線方程；

(2)求證:g(x)-g,(x)+l<x-/(x)-lnx.

⑶當(dāng)xe[0,句時，g(x)-2[/(%)-l]<7};ln(x+l),求實數(shù)小的取值范圍.

13.已矢口函數(shù)/z(x)=Ae*—〃u,g(x)=lnx+x+l.

⑴當(dāng)7"=1時，求函數(shù)可力的單調(diào)區(qū)間：

(2)若%(x)..g(x)在xe(O,y)恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

14.已知函數(shù)/(%)=xex-ax-a\nx.

(1)若。=6,求〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵是否存在實數(shù)。，使對xe(O,刈)恒成立，若存在，求出。的值或取值范圍；若不存在，請說明

理由.

15.已知函數(shù)/(x)=ov+lnx+l.

⑴若/(丈)在(。,”)上僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；

⑵若對任意的尤>0,”x)Vxe2x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

16.已知函數(shù)〃力=。^,其圖象在％=e處的切線過點(2e,2d).

⑴求a的值；

(2)討論的單調(diào)性；

(3)若；1>0,關(guān)于x的不等式X#(x)4e2〃-1在區(qū)間工也)上恒成立，求彳的取值范圍.

專題11函數(shù)中的同構(gòu)問題

考情分析

近年來同構(gòu)函數(shù)頻頻出現(xiàn)在模擬試卷導(dǎo)數(shù)解答題中，高考真題中也出現(xiàn)過同構(gòu)函數(shù)的身影，同構(gòu)法是將不

同的式子通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子，通過整體思想或換元等將問題轉(zhuǎn)化的方

法，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式、不等式問題中，

或利用函數(shù)單調(diào)性定義確定函數(shù)單調(diào)性，利用此方法求解某些導(dǎo)數(shù)壓軸題往往能起到秒殺效果.

解題秘籍

(一)同構(gòu)函數(shù)揭秘

同構(gòu)式是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式，導(dǎo)數(shù)中同構(gòu)函數(shù)問題大多屬于指對跨階問題，比如

e“'+x與x+lnx屬于“跨階函數(shù)"，而e'+ln尤屬于“跳階函數(shù)”，對于指對跳階的函數(shù)問題，直接求解，一般

是通過隱零點代換來簡化，并且有很大局限性，有些題若采用指對跨階函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)，可將跳階函數(shù)問題

轉(zhuǎn)化為跨階函數(shù)問題，從而使計算降階，通常構(gòu)造的同構(gòu)函數(shù)有以下幾類：/(x)=xe，'J(x)=xlnx,

/(x)=x+e',/(x)=x+lnx,=e*-x+a,〃x)=lnx-x+a等，在一些求參數(shù)的取值范圍、零點個數(shù)、

不等式證明、雙變量問題中，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)等問題中常通過構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)求解.

利用同構(gòu)函數(shù)解題要注意一些常見的湊形技巧，如；尤二陰二工二^^二年工:1山二蘭二/一爪等.

X

【例1】(2024屆江蘇省蘇州市高三下學(xué)期三模)已知函數(shù)〃x)=lnx+ar+lMwR.

⑴討論F(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)a<2時，證明：^-<e2x.

X

【解析】(1)函數(shù)/(x)=lnx+ar+l,aeR的定義域為(0,+動，S.f'(x)=-+a.

當(dāng)a?0時，Vxc(0,+8)，r(x)=L+a>0恒成立，所以了(力在區(qū)間(0,+功上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，4f'(x]=-+a=]^=0,解得》=_工，

xxa

當(dāng)xe(o,-：J時，尸(x)>0J(x)在區(qū)間(0,-J上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，r(x)<0J(x)在區(qū)間卜，+“)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)a20時，/(力在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)“42時，因為尤>0,所以要證工@Me?，，只要證明膽生口Ve?，即可，

XX

即要證lnx+2%+l4xe2x,等價于已2A以之lnx+2%+1(*).

令g(%)=c4-％-1,則/(尤)二爐一1,

在區(qū)間(-8,0)上，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；在區(qū)間(0,+8)上,/(九)>0名(尤)單調(diào)遞增，

所以g(%)2g(0)=e°-0-l=0,所以e"Nx+l(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立)，

所以(*)成立，當(dāng)且僅當(dāng)2%+lnx=0時，等號成立.

又/z(x)=2x+lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，彳：］=：—1<0,%⑴=2〉0,

所以存在使得2x°+lnx°=。成立.綜上所述，原不等式成立.

【例2】(2024屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第質(zhì)量檢測)已知函數(shù)〃力=f+血+依在x=l處的切線/和

直線彳+y=0垂直.

⑴求實數(shù)。的值；

⑵若對任意的&A2c(0,2］,玉片毛，都有了二)一修了；+、>〃z成立(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，求

e'-e2

實數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解析】(1)由函數(shù)/(%)=爐+1?%+依，可得/'(x)=2x+^+a,可得/'(1)=。+3

因為函數(shù)在x=l處的切線/和直線x+y=0垂直，所以廣(1)=1,

即a+3=1,解得Q=—2.

(2)解：不妨設(shè)0<%<%?2,貝！Je~—e為vO,

因為對任意的外,々?°，2］，％產(chǎn)%，都有于")一彳二)「X；+￥>山成立,

%1X2

可得了(%)—/(42)—^+xfvm(e'i—e，,即/(西)一%；-me</(x2)-xf-me,

設(shè)g(x)=/(x)-爐-me*,則g(&)<g(X2)，故g(x)在(0,2］單調(diào)遞增，

從而有g(shù)'(x)=1-2-me^>0,即租V-2]在(0,2]上恒成立,

設(shè)〃(?=/[-2),則現(xiàn)《〃⑴而。，

因為〃'(尤)=-2)+[一[)=e-?①<才V2),

令〃(x)>0,即2/一彳一1=(2》+1)(彳-1)>0,解得1<%W2,

令〃（x）＜0,即2/-尤—l=（2x+l）（x—l）＜0,解得Ovxvl,

所以/z（x）在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,2］單調(diào)遞增，

又因為以1）=一，故耳力在（0,2］上最小值/幻而廣一，所以機(jī)〈―，

實數(shù)機(jī)的取值范圍是1一雙-，.

（二）尤e*型同構(gòu)

【例3】（2024屆廣西貴港市高考模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=aem「nx+ln"+l.

X

（1）當(dāng)。=1時，請判斷了（X）的極值點的個數(shù)并說明理由；

⑵若/（x）＞2a2-a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】（1）當(dāng)。=1時，/（x）=e，一巴"，xe（0,+s）,

X

x

所以/'（X）=/+嗎=『e：lnx,令依無）=+lnx,貝?"（尤）=（尤?+2%）e+

XXX

當(dāng)xe（0,+co）時，〃（x）＞0,在（0,+8）上單調(diào)遞增，

又以；）=手一出2＜。，3）=e,；/（x）存在唯一零點看,且不€（；,1）,

當(dāng)尤€（0,飛）時，f\x）＜0,/（x）在（0,%）上單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(尤o，+co)時，f\x)>0,/(x)在(與,+00)單調(diào)遞增.

/(x)有一個極小值點％,無極大值點.

(2)/(x)=ae"-lnX+lnfl+1^2a2—a恒成立，

/.axe"-[ln(ax)+l]^2?2x-〃元恒成立，/.axe"-[ln(ax)+1]+ax^lc^x恒成立.

令t=ax,貝lJ/￡(0,+8),「.2qKe'一山’+1+1恒成立.

t

設(shè)g(x)=e"-見出.，由(1)可知g(%)的最小值為g(%).

x

-lnA,)

又以不)=x：e與+Inx0=0,毛砂=^-=---lnx0=-eInx0.(*)

七%

設(shè)m(x)=xe”,當(dāng)%>0時，加(%)=(%+1把"〉0,「.皿%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

.XQE(―,1),XQ>0,—Inx0>0,

當(dāng)1

由(*)知加(％)=加(一In%),.?.%=—in%,即e°=1.

%

...g(x°)=e』一^^」一匕=1,

X。4X()

:.2a<M=2,.\a<l,又a〉0,的取值范圍為(?！?

(三)(%+〃)Inx型同構(gòu)

]nY

【例4】(2023屆福建省寧德市高三高考前最后一卷)已知函數(shù)〃尤)=丁+〃?(相€中.

⑴討論函數(shù)/(x)的零點的個數(shù)；

ax.1\

(\修/⑺(.+1)，求實數(shù)〃的取值范圍.

【解析】(1)令/(%)=電m+機(jī)=0,則更三=一相，記g(x)=電工則g<x)=，