2025高考數學專項復習：幾何體的內接球與外接球阿氏球等17類題型（含答案）

2025高考數學專項復習幾何體的內接球與外接球,

阿氏球等17類題型匯總含答案

幾何體的外接球與內接球，阿氏球等17類題型

熱點題型解讀（目錄）

【題型1】球的截面問題

【題型2】可以補成長方體的外接球模型

【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型

【題型4】正四面體的內切球和外接球結論

【題型5】直棱錐外接球模型（一條側棱垂直底面）

【題型6】球心在高上（圓錐形）

【題型7】圓臺，棱臺外接球模型

【題型8】棱錐外接球之切瓜模型（一個面垂直外接圓直徑）

【題型9】兩個外心+中垂線確定球心

【題型10】外接球之共斜邊拼接模型

【題型11】外接球之二面角模型

【題型12］內切球之棱錐，圓錐模型

【題型13］內切球之圓臺，棱臺模型

【題型14】多球相切問題

【題型15】棱切球問題

【題型16】構造球解決空間中動點構成的直角問題

【題型17】阿氏球問題

邀題型歸類二

【題型1】球的截面問題

基礎知識

球體的相關計算關鍵是找出球心到相關平面的距離，再結合勾股定理計算求值

半圓繞其直徑所在直線旋轉一周，如圖記作：球。

形成方式

大圓：經過球心的截面圓

球相關概念小圓：不經過球心的截面圓半徑?

小圓

結構性質兩點間的球面距離：經過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長

球的小圓的圓心與球心連線垂直小圓面

L（2020?全國2卷TH）已知△ABC是面積為笄的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O

的表面積為16兀,則O到平面ABC的距離為（）

A.V3B.C.1D.孚

2.（24—25高二上?貴州遵義?階段練習）已知四點都在球。的球面上，且A,。三點所在

平面經過球心，48=4A后，乙4cB=m則點。到平面ABC的距離的最大值為，球O的表面

積為.

3.（23—24高三下?廣東江門?階段練習）已知正四面體A—BCD的內切球的表面積為36兀，過該四面體

的一條棱以及球心的平面截正四面體A-BCD,則所得截面的面積為.

4.已知△ABC是面積為竽的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上，若球O的表面積為28兀，則

點O到平面ABC的距離為.

5.已知過球面上C三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB=BC=1,AC=居,則球的

表面積是.

6.（2024.遼寧丹東.一模）已知球O的直徑為AB,C,D為球面上的兩點，點河在48上，且AM=3MB,

AB±平面MCD,若4MCD是邊長為V3的等邊三角形，則球心O到平面BCD的距離為.

【題型2】可以科成長方體的外接球模型

基礎知識

一、長方體外接球:長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

二、補成長方體

⑴若三棱錐中有三條棱互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如下圖所示.

圖1-1圖1-2

(2)若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示

圖2-1

注：《九章算術》中的三棱錐均可補為長方體

7.我國古代數學名著《九章算術》中將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，現有一

“陽馬”如圖所示，上4,平面ABCD,R4=5,AB=3,4,則該“陽馬”外接球的表面積為

A岳「兀

125兀500

A，~3-B.50兀C.100"T"

8.在中國古代數學著作《九章算術》中，鱉膈是指四個面都是直角三角形的四面體.如圖，在直角

AABC中，AD為斜邊8。上的高，AB=3,4。=4,現將AABD沿AD翻折成△48，。,使得四面體

AB'CD為一個鱉膈,則該鱉膈外接球的表面積為

AA

B'

9.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E,F分別是AB,8。的中點，將/\AED,/\BEF,/\DCF分別

沿DE,EF,。尸折起，使得ABC三點重合于點H,若三棱錐4—EFD的所有頂點均在球O的球面

上，則球O的體積為（）

D./:

O

10.在四面體ABCD中，若AB=CD=AC=BD=2,40=_8。=四,則四面體ABCD的外接球的

表面積為（）

A.2兀B.4兀C.6兀D.8兀

11.（24-25高三上?江蘇泰州?期中）在中國古代數學著作《九章算術》中，鱉膈是指四個面都是直角三角

形的四面體.在直角△ABC中，AD為斜邊上的高，AB=1,AC=",現將/XABD沿AD翻折

成△48，。,使得四面體A8CD為一個鱉膈，則該鱉膈外接球的表面積為（）

A.粵B.5兀C.3兀D.畢

24

12.將邊長為2通的正方形紙片折成一個三棱錐，使三棱錐的四個面剛好可以組成該正方形紙片，若三棱

錐的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為

13.（2024?廣東揭陽?高二校聯考期中）在三棱錐S—ABC中，&4=BC=5,SB=AC=,SC=AB

=收4,則該三棱錐的外接球表面積是（）

A.50兀B.IOOKC.1507TD.200兀

【題型3】直棱柱和腳柱外接球模型

基礎知識

漢堡模型（直橫柱的外接球、II柱的外接球）

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：確定球心。的位置，Q是&4BC的外心，則OQ_L平面ABC;

第二步：算出小圓Q的半徑AOi—r,OO1--^-AA1—■九（人4=%也是圓柱的高）;

第三步：勾股定理：04=OiA2+OQ2=不=（與y+產="=.+（與'，解出打

14.已知正三棱柱ABC-45G所有棱長都為6,則此三棱柱外接球的表面積為（）

A.48兀B.60兀C.64兀D.84兀

15.設直三棱柱ABC-4BiG的所有頂點都在一個表面積是40元的球面上,且4B=AC=AAltABAC

=120°,則此直三棱柱的表面積是（）

A.16+8V3B.8+12V3C.8+1673D.16+1273

16.（24-25高三上?安徽亳州?開學考試）已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個底面的圓周都在同一個體積

為當啰元的球面上，該圓柱的側面積為（）

O

A.8兀B.6兀C.5兀D.4兀

17.在三棱錐P-ABC中，出，面ABC,△4BC為等邊三角形，且24=4B=四，則三棱錐P-ABC

的外接球的表面積為.

18.已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球為球O,球。的表面積為8兀，則該圓柱的體積為（）

A.乎兀B.V2TTC.2兀D.2V27t

【題型4】正四面體的內切球和外接球結論

基礎知識

在棱長為Q的正四面體中

設正四面體ABCD的的棱長為a,則有

1、正四面體的高為h=~^-a

2、正四面體外接球半徑為R=卓a

3、正四面體內切球半徑為『=18°

4、正四面體體積v="2〃

12

19.（2024.湖北宜昌.宜昌市夷陵中學?？寄M預測）已知正四面體的表面積為20,且

D四點都在球O的球面上，則球O的體積為.

20.（24-25高三上?廣東?開學考試）外接球半徑為逐的正四面體的體積為（）

A.g衿B.24

C.32D.48V2

O

21.正四面體的外接球與內切球的半徑比為（)

A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1

22.已知正三棱錐A-BCD,各棱長均為四，則其外接球的體積為（)

A國③兀B巫27TC9V2n9人

A.8兀民167rC.3D-1

23.正四面體P-ABC中，其側面積與底面積之差為2四，則該正四面體外接球的體積為1

24.一個正四面體的棱長為2,則它的外接球與內切球體積之比為（）

A.3:1B.V3：lC.9:1D.27:1

【題型5】直梭錐外接球模型（一條側棱垂直底面）

基礎知識

題設:如圖，_R4,平面ABC,求外接球半徑.（一條側棱垂直底面）

解題步驟：

第一步：將XABC畫在小圓面上，4為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑AD,連接PD,則PD必

過球心。；

第二步：O］為AABC的外心，所以OOi，平面4BC,算出小圓Q的半徑OQ=r（三角形的外接圓

直徑算法：利用正弦定理，得工=工=f=2r）,OO|=^PA;

smAsmBsmG2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:①（2R）2=申2+⑵）2=2五=V^42+（2r）2;

222

@B=r+OOl^R=y/r+OOl.

25.已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形，且AACB=看.若B4，平面48。,且AB=3,

PA=4,三棱錐P-ABC的所有頂點均在球O的球面上,記球O的體積和表面積分別為V,S,則與

=（）

A.B.C.4D.4

12632

26.已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形，且AACB=方.若融，平面48。,且4B=3,

PA=4,三棱錐P-ABC的所有頂點均在球O的球面上,記球O的體積和表面積分別為V,S,則總

=（）

A.磊B.C.4D.

27.已知S,A,B,。是球。表面上的不同點，SAL平面ABC,AB±BC,43=1,BC=方,若球O的

表面積為4兀，則SA=（）

?D.V3

A2

28.2023年高考全國乙卷數學（文）T16

已知點S,ABC均在半徑為2的球面上，ZVIBC是邊長為3的等邊三角形，S4±平面ABC,則SA

29.已知三棱錐S-ABC所在頂點都在球O的球面上，且SCL平面ABC,若SC=48=2,

乙氏4。=120°,則球。的體積為（）

【題型6】球心在高上（圄律形）

基礎知識

如圖5-1至5—8這七個圖形，P的射影是AAB。的外心o三棱錐P—ABC的

三條側棱相等o三棱錐P-ABC的底面bABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點.

圖5-3圖5-4

p

解題步驟：

第一步：確定球心O的位置，取AABC的外心Q,則P,O,Q三點共線；

第二步：先算出小圓Oi的半徑AOi=’,再算出棱錐的高POi=/z（也是圓錐的高）;

第三步：勾股定理：04=0/2+0102=五2=（九—五）2+/，解出打互I

方法二:小圓直徑參與構造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.

【注意】:若是巳知外接球半徑R和小國半徑r求國俸的高，則有2個解

30.（2024?浙江臺州?高二校聯考期末）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為2,則該圓錐的外接球的體積為

31.已知三棱錐P-ABC的各側棱長均為2瓜,且AB=3,BC=聰、AC=2V3,則三棱錐P-ABC的外

接球的表面積為.

32.已知球。的體積為36兀，圓錐SO1的頂點S及底面圓5上所有點都在球面上，且底面圓5半徑為

2四，則該圓錐側面的面積為（）

A.6V27TB.4祈乃或60兀C.8沖?；?幾兀D.8代兀

33.在三棱錐P—ABC中，_R4=PB=PC=3,AB=AC=2,BC=22，則三棱錐P—ABC的外接球的

半徑為.

34.已知三棱錐S-ABC中，頂點S在底面的射影恰好是AABC內切圓的圓心，底面△ABC的最短邊長

為6.若三個側面面積分別為3V29,4V29,5729，則頂點S到底面ABC的距離為；三棱錐S

-ABC的外接球的表面積為.

【題型7】BI臺，梭臺外接球模型

基礎知識

圓臺，梭臺外界球

不=宿+（土/:其中「,戊分別為圓臺的上底面、下底面、高.

基本規(guī)律:正棱臺外接球，以棱軸截面為主

注：若球心位置不確定，也可以直接設=①，若解出來土為負數則說明球心在。2另一側

35.（2024.云南.高三校聯考開學考試）已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為3,4,母線長為572，若該圓

臺的上下底面圓的圓周均在球。的球面上，則球。的體積為（）

250口500門100「125

AA.1~17UJD.—~—KC?—~—7tU.~~~7T

OOOO

36.2022年新高考U卷T7--臺體外接球

已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為和4代，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積

為（）

A.IOOJIB.128KC.144JID.192兀

37.在《九章算術》中，底面為矩形的棱臺被稱為“芻童”.已知棱臺ABCD—是一個側棱相等、

高為1的“芻童”，其中AB=24E=2,BC=2?O=2《，則該“芻童”外接球的表面積為（）

A.20KB.當兀C.言⑤兀D.5函乃

OO

38.（2024.遼寧.高三校聯考期末）正四棱臺高為2,上下底邊長分別為2和4,所有頂點在同一球面上，則球

的表面積為（）

A.32兀B.33兀C.34兀D.35兀

39.已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為3,4,母線長為5e，若該圓臺的上下底面圓的圓周均在球。的

球面上，則球O的體積為（）

A250口500八100C125

A.---兀B.---兀C.---7TD.---7T

oooo

40.我國古代《九章算術》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童，如圖的芻童45CD-EFGH有外

接球，且=4底AD=4,EH=4瓜EF=4&，點E到平面43co距離為4，則該芻童外接球的表面

積為.

【題型8】檢律外接球之切瓜模型（一個面垂直外按圄直徑）

基礎知識

如圖4一1,平面PAC±平面ABC,且AB±BC（即AC為小圓的直徑），且P的射影是AABC的外

心=三棱錐P—ABC的三條側棱相等。三棱P—4BC的底面AABC在圓錐的底上，頂點P點也

是圓錐的頂點.

圖4-1

解題步驟：

第一步：確定球心O的位置，取AABC的外心Oi,則P,O,Oi三點共線；

第二步：先算出小圓01的半徑AO】=7■，再算出棱錐的高JO1=九（也是圓錐的高）;

第三步：勾股定理：04=0'+0]02=咫=仇一為2+/，解出R.

事實上，"CP的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出R.

2.如圖4-2,平面PA。_L平面ABC,且AB_LBC（即AC為小圓的直徑），且P4_L47,

?M

利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:①（27?）2=B42+（2r）2o2R=V-R42+（2r）2;

②62=r2+ooFoR=j/+oog

3.如圖4-3,平面_R4O_L平面ABC,且AB_LBC（即AC為小圓的直徑）

OC2=OQ2+OQ2=不="+OQ2O人。=2/不—。1。2

4.題設:如圖4—4,平面P4C_L平面4BC,且AB_LBC（即AC為小圓的直徑）

第一步：易知球心。必是APAC的外心，即△上4。的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC=2r;

第二步：在AR4C中，可根據正弦定理，=￡7=21?,求出R.

sinAsmBsmC

41.（2024.廣東.惠州一中校聯考）已知三棱錐尸—ABC,ZVIBC是以AC為斜邊的直角三角形，APAC為

邊長是2的等邊三角形,且平面ABC±平面PAC,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（）

12

A2121

A.-16-7tB.C.D.8兀

o兀5"兀

42.（2024.黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預測）已知某圓錐的軸截面為正三角形，側面積為8兀，該圓

錐內接于球O,則球。的表面積為.

43.（2024?安徽安慶?校聯考模擬預測）三棱錐P—4BC中，上4=PH=PC=2代，AB=24。=6,

/R4C=S則該三棱錐外接球的表面積為

O

44.在三棱錐P-4BC中，平面ABC1.平面PAB,AC_LBC,點。是48的中點，PD，PB,PB=PD

=2，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

【題型9】兩個外心+中垂線確足球心

基礎知識

基面模型

如圖1所示為四面體P—ABC,已知平面PAB，平面ABC,其外接球問題的步驟如下：

（1）找出和△ABC的外接圓圓心，分別記為Oi和

（2）分別過Oi和。2作平面PAB和平面ABC的垂線，其交點為球心，記為O.

⑶過Q作AB的垂線，垂足記為。，連接QD,則5。±AB.

（4）在四棱錐力—DO,OO2中，力。垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形DOXOO.2的四個頂點共圓且

OD為該圓的直徑.

45.如圖，三棱錐A—BCD中，平面ACD，平面BCD,△ACD是邊長為2的等邊三角形，BO=CD,

NBDC=120°.若C,。四點在某個球面上，則該球體的表面積為.

46.（2024.四川樂山.高二期末）已知正△4BC邊長為1,將△4BC繞8。旋轉至△DBC,使得平面ABC

，平面BCD,則三棱錐D-4BC的外接球表面積為.

47.（2024.全國?高三校聯考開學考試）在三棱錐P-ABC中，平面PAB±平面ABC,底面△ABC是邊長

為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為15兀,則該三棱錐體積的最大值為.

48.在四棱錐P—ABCD中，平面RLD，平面ABCD,且ABCD為矩形，ADPA=,AD=2^3,AB

=2,E4=P。，則四棱錐尸一ABCD的外接球的體積為（）

P

49.在三棱錐P-ABC中,平面PAB±平面ABC，上4，尸8,且E4==32，△ABC是等邊三角

形，則該三棱錐外接球的表面積為.

50.已知正方體ABCD-4BQQ1的棱長為1,P為棱42的中點，則四棱錐P—ABCD的外接球表面

積為（）

A血兀RQkCn

51.（2024?湖北十堰?高一統(tǒng)考期末）如圖,在平面四邊形ABCD中，AADB=AABC=^,BD=BC=4：,

沿對角線BD將△ABD折起,使平面ADB，平面BDC,連接AC,得到三棱錐A-BCD,則三棱錐

A-BCD外接球表面積的最小值為.

14

A

【題型10】外接球之共斜邊拼接模型

基礎知識

兩直角三角形拼接在一想（*|■邊相同，也可看作娃形沿對角線折起所得三檢律）模型

題設:如圖，/APB=/力CB=90°,求三棱錐P-48。外接球半徑（分析:取公共的斜邊的中點O,

連接OP,OC,則04=OB=OC=OP=二O為三棱錐P—ABC外接球球心，然后在OCP中

求出半徑），當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關，只要不是平角

球半徑都為定值.

52.在矩形4BCD中，4B=4,=3,沿47將矩形ABCD折成一個直二面角B—47—。,則四面體

ABCD的外接球的體積為（）

125125c125n125

A.B.一~-7TD.—7T

E兀T兀6o

53.（河北唐山?三模）把邊長為V2的正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角D-AC—則三棱錐D

-ABC的外接球的球心到平面BCD的距離為（

A士B.g

3

54.已知三棱錐S-48。的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA±平面SCB,

S4=AC,SB=BC,三棱錐S—ABC的體積為得，則球。的體積為（）

O

兀兀327r

A.4C.6丁

55.在平行四邊形ABCD中，2AB2+m2=匕將此平行四邊形沿對角線四折疊，使平面

ABDJ_平面CBO,則三棱錐A—8CD外接球的體積是.

【題型11】外接球之二面角模型

基礎知識

題設:兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖6）

第一步：先畫出如圖6所示的圖形，將'BCD畫在小圓上，找出^BCD和^A'BD的外心田和其；

第二步：過區(qū)和區(qū)分別作平面BCD和平面A'BD的垂線，兩垂線的交點即為球心O,連接OE,

OC;

第三步：解AOEH］，算出。乂,在RtXOCH、中,勾股定理：OH?+C瑤=OC2

注：易知O,HI,E,H2四點共面且四點共圓,證略.

56.在四面體中，PA1PB，口48。是邊長為2的等邊三角形，若二面角P—AB—C的大小為

120。，則四面體PZ8C的外接球的表面積為（）

A13TIB26兀C52兀D1。4兀

9999

57.（2024?四川南充?二模）已知菱形ABCD中，對角線8。=2,將AABD沿著BD折疊,使得二面角A-

BD-C為120°,AC=3，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為.

DC

58.長沙市雅禮中學2024屆高三月考（-）T16

已知菱形ABCD中，對角線口。=2遍，將/\ABD沿著BD折疊，使得二面角A—BD—C為120°,

AC=3V3，則三棱錐A—BCD的外接球的表面積為.

59.在四面體ABCD中,△ABC與△8CD都是邊長為6的等邊三角形,且二面角A-BC-D的大小為

60°,則四面體ABCD外接球的表面積是（）

A.527tB.54兀C.567rD.607r

60.（2024.廣東.校聯考模擬預測）已知四棱錐S—ABCD,&4±平面ABCD,AD_LDC,SA=3V3,BC=

4,二面角S—BC—A的大小為看.若點均在球。的表面上，則該球。的表面積為

O

()

A兀兀

152B.527rc160D.54兀

3T-

61.（23—24高三下.重慶沙坪壩.階段練習）如圖，在三棱錐P—ABC中，9=^8=祈，CA.LAB,AB

=47=2,二面角P—AB—C的大小為120°,則三棱錐P—ABC的外接球表面積為.

62.（2024.湖南岳陽.統(tǒng)考三模）已知三棱錐?！狝BC的所有頂點都在球。的球面上，ADLBRAC，

BC,ADAB=NCBA=30°,二面角?！?B—。的大小為60°,若球O的表面積等于36兀,則三棱錐D

—ABC的體積等于（）

C.V7D.-

O

【題型12］內切球之糙律,圓錐模型

基礎知識

缽體的內切球問慝

1.題設:如圖，三棱錐P-ABC上正三棱錐，求其內切球的半徑.

第一步：先現出內切球的截面圖，區(qū)H分別是兩個三角形的外心；

第二步：求DH=^-CD,PO=PH-r,PD是側面^ABP的高;

O

第三步：由APOE相似于APDH,建立等式：等=黑，解出「

DrlrD

2.題設:如圖8—2,四棱錐P—ABC是正四棱錐，求其內切球的半徑

第一步：先現出內切球的截面圖，P,O,H三點共線；

第二步：求儂=。3。，。0=。"一度，。干是側面山？6的高；

第三步：由APOG相似于APFH,建立等式：隼=挈，解出

Hrrr

3.題設:三棱錐P-ABC是任意三棱錐，求其的內切球半徑（最優(yōu)法）

方法：等體積法，即內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等

第一^步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；

弟一步：設內切球的半徑為,，建立等式：VP_ABC=Vo-ABC+^O-PAB+^O-PAC+^O-PBC=

^P-ABC~gS\ABC'R+g^PAB?r+~^^PAC,r++SpBc(SbABC+l^PAB+^PAC+^APBc)*r

^^P-ABC

第三步：解出丁二

SO—ABC+SO_PAB+SO-PAC+SO-PBC

63.（2024?天津?統(tǒng)考二模）已知一個圓錐的高為4,底面直徑為6,其內有一球與該圓錐的側面和底面都相

切，則此球的體積為（）

g

A.12兀B.9兀C.5兀D.3兀

64.圓錐1so（其中s為頂點，D為底面圓心）的側面積與底面積的比是2：1，則圓錐與它外接球（即頂

點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為

A.9:32B.8:27C.9:22D.9:28

65.已知圓錐的底面半徑為2,高為4方,則該圓錐的內切球表面積為（）

A.4兀B.42兀C.8A/2TTD.8兀

66.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體積為

67.已知一個圓錐的側面展開圖是半徑為4,圓心角為方的扇形，將該圓錐加工打磨成一個球狀零件，則

該零件表面積的最大值為（）

A生c14兀n256兀

A.§B.2?！鉌

【題型13］內切球之國臺，枝臺模型

基礎知識

黃先需要明確，并不是所有的BI臺鄢有內切球，如果一個BI臺又矮又胖，最多只能找到一個與上下底面相切的

球，無法做到與所有切,國合內切球指的是與■!臺上下底面和每條球線均相切的球.如下圉所示：

此時圓臺的上下底面圓的半徑與圓臺的高必須滿足一定關系，下面進行詳細分析，為了分析方便，采用平面輔

助法，上圖的軸截面如下：

A

假設上底面圓半徑為小，下底面圓半徑為八，內切球半徑為五，圓臺的高為心母線長為Zo上圖軸截面是等腰

梯形的內切圓，點E,F,G為切點，可得如下全等關系：

OG=OE

Rt/\OAG^Rt/\OAE；^Rt/\ODG=Rt/\ODE

OA=OAOD=OD

22

由射影定理可得:AG-DG=OG=>7?=r1r2

68.（2024.廣東深圳.統(tǒng)考一模）已知某圓臺的上、下底面半徑分別為乃,如且生=2q,若半徑為2的球與圓

臺的上、下底面及側面均相切，則該圓臺的體積為（）

69.若圓臺002的上、下底面圓半徑分別為1、2,O］、a分別為圓臺上下底面圓心?若該圓臺存在內切

球，則該圓臺的體積為.

70.（2024.湖北咸寧.統(tǒng)考期末）已知球。內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側面均相切），且圓

臺的上、下底面半徑八：r2=2:3,則圓臺的體積與球的體積之比為（）

71.（2023汕頭一模）如圖,在正四棱臺48CD-中，45=4，44=2，若半徑為r的球O與該正四

棱臺的各個面均相切，則該球的表面積S=.

72.一個封閉的圓臺容器（容器壁厚度忽略不計）的上底面半徑為2,下底面半徑為12，母線與底面所成的

角為60°.在圓臺容器內放置一個可以任意轉動的正方體,則此正方體棱長的最大值是（）

A.4V3B.8C.5V3D.10

【題型14】多球相切問題

基礎知識

處理多個球的切接問題時一般①通過連球心構造“球心截面”降維解題②通過連球心構造“球心幾何體”將抽

象問題具體化.

73.已知正四面體的棱長為12，先在正四面體內放入一個內切球Oi,然后再放入一個球，使得球Q與

球O1及正四面體的三個側面都相切，則球的體積為（）

A.娓RB.2瓜RC.22兀D.瓜R

74.（2024?浙江溫州?樂清市知臨中學校考二模）如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公

路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構機等國之

重器更是世界領先.如圖是某重器上一零件結構模型，中間最大球為正四面體ABC?的內切球，中等

球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體

ABCD棱長為20，則模型中九個球的表面積和為（）

A.6兀B.97rC.---D.217t

4

75.如圖，在一個底面邊長為2，側棱長為伍的正四棱錐P-ABCD中，大球O,內切于該四棱錐，小球

與大球及四棱錐的四個側面相切,則小球。2的表面積為

p

76.棱長為23的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這樣一個

小球的表面積最大為（）

A.yB.KC.方兀D.V37t

77.如圖是某零件結構模型，中間大球為正四面體的內切球，小球與大球和正四面體三個面均相切，若

12,則該模型中一個小球的體積為（）

A

C

A.3兀B.冬C.V67CD.

216

78.南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中記載了“三角垛”.如圖，某三角垛最上層有1個球，第

二層有3個球，第三層有6個球,每個球的半徑相等,且相鄰的球都外切，記由球心48,C,。構成的

四面體的體積為U,記能將該三角垛完全放入的四面體4-BCD的體積為壞，則E的最大值為

22

【題型15】我切球問題

基礎知識

方法：找切點，找球心，構造直角三角形

79.已知正三棱柱ABC-AJBJG的體積為18，若存在球O與三棱柱ABC-的各棱均相切，則球

。的表面積為（）

A.8nB.12nC.16兀D.18兀

80.已知球Oi與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內接于球。2，則球Oi與球5的表面積之比為

（）

A.2：3B.3：2C.V2:V3D,V3:V2

81.已知某棱長為2方的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為

（）

A.4B.4c.D.

2332

82.正四面體P—ABC的棱長為4,若球。與正四面體的每一條棱都相切，則球。的表面積為（）

A.2兀B.8兀C.當2兀D.12兀

83.已知正三棱柱ABC—4氏。1（底面為正三角形且側棱與底面垂直），它的底面邊長為2，若存在一個球

與此正三棱柱的所有棱都相切，則此正三棱柱的側棱長為.

84.（廣東省茂名市五校聯盟2024屆高三上學期第二次聯考數學試題）已知正三棱柱的高等于1.一個球

23

與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（）

R4A后兀C4A后兀

c4兀D

A力B-

85.（福建省三明市2024屆高三上學期期末質量檢測數學試題）已知直三棱柱ABC-A15G的側棱長為

2V3，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切,則球O的體積為.

【題型16】構造球解決空間中動點構成的直角問題

基礎知識

86.在棱長為2a（a>0）的正方體ABCD-中，點MN分別為棱AB,DC的中點.已知動點

P在該正方體的表面上，且百萬?由=0,則點P的軌跡長度為（）

A.12QB.12兀。C.24aD.24兀。

87.（2024?廣東深圳一模改）如圖，八面體o的每一個面都是邊長為4的正三角形,且頂點在同

一個平面內.若點M在四邊形BCDE內（包含邊界）運動，當ME時，點M到8C的最小值為

88.如圖，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是邊長為4的正方形，點M為CG的中點，點P為底面

EFGH上的動點,若,存在唯一的點P滿足AAPM=y,則CG=.

89.已知正四面體ABCD的棱長為2,動點尸滿足萬.麗=0,且樂?記=0,則點尸的軌跡長為,

24

【題型17】阿氏球問題

基礎知識

對于立體幾何某些涉及距離比值的動點軌跡問題，可轉化為在某個平面內的距離關系，從而借助阿波羅尼斯

球和阿波羅尼斯圓的定義及相關知識解決問題.對于這類問題也可以利用空間坐標計算求解軌跡問題

90.（23-24高三上.江西撫州.階段練習）設4、口是半徑為方的球體。表面上的兩定點，且=

球體。表面上動點M滿足班4=禽兒陽，則點河的軌跡長度為（）

A,手兀B,綽口兀C,增兀D,記兀

751111

91.（2024.遼寧沈陽.模擬預測）設A,B是半徑為3的球體O表面上兩定點，且乙408=60°,球體。表面

上動點P滿足|R4|=21PBi，則點P的軌跡長度為.

92.已知棱長為3的正方體ABCD-45C1A表面上動點P滿足\PA\=2\PB\,則點P的軌跡長度為

93.已知正三棱錐ABCD中，AB=47=4D=3,8。=CD=3四；動點P滿足PA=2PD,記

△BCD所在平面為明則平面a截點P的軌跡所形成的圖形的周長為.

94.已知正方體ABCD—ABC。的棱長為1，點P為側面內的動點，且〃=2PB,則點P所

形成的軌跡圖形長度為.

95.已知平面上兩定點人、則所有滿足愕=4（4>0且4￥1）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB

上,半徑為—71481的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，故稱作阿氏圓.已知

IT一

棱長為3的正方體ABCD-ABQNi表面上動點P滿足\PA\=21PBi，則點尸的軌跡長度為