2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：幾何體的內(nèi)接球與外接球阿氏球等17類(lèi)題型（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)幾何體的內(nèi)接球與外接球,

阿氏球等17類(lèi)題型匯總含答案

幾何體的外接球與內(nèi)接球，阿氏球等17類(lèi)題型

熱點(diǎn)題型解讀（目錄）

【題型1】球的截面問(wèn)題

【題型2】可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體的外接球模型

【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型

【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論

【題型5】直棱錐外接球模型（一條側(cè)棱垂直底面）

【題型6】球心在高上（圓錐形）

【題型7】圓臺(tái)，棱臺(tái)外接球模型

【題型8】棱錐外接球之切瓜模型（一個(gè)面垂直外接圓直徑）

【題型9】?jī)蓚€(gè)外心+中垂線(xiàn)確定球心

【題型10】外接球之共斜邊拼接模型

【題型11】外接球之二面角模型

【題型12］內(nèi)切球之棱錐，圓錐模型

【題型13］內(nèi)切球之圓臺(tái)，棱臺(tái)模型

【題型14】多球相切問(wèn)題

【題型15】棱切球問(wèn)題

【題型16】構(gòu)造球解決空間中動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的直角問(wèn)題

【題型17】阿氏球問(wèn)題

邀題型歸類(lèi)二

【題型1】球的截面問(wèn)題

基礎(chǔ)知識(shí)

球體的相關(guān)計(jì)算關(guān)鍵是找出球心到相關(guān)平面的距離，再結(jié)合勾股定理計(jì)算求值

半圓繞其直徑所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，如圖記作：球。

形成方式

大圓：經(jīng)過(guò)球心的截面圓

球相關(guān)概念小圓：不經(jīng)過(guò)球心的截面圓半徑?

小圓

結(jié)構(gòu)性質(zhì)兩點(diǎn)間的球面距離：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)

球的小圓的圓心與球心連線(xiàn)垂直小圓面

L（2020?全國(guó)2卷TH）已知△ABC是面積為笄的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O

的表面積為16兀,則O到平面ABC的距離為（）

A.V3B.C.1D.孚

2.（24—25高二上?貴州遵義?階段練習(xí)）已知四點(diǎn)都在球。的球面上，且A,。三點(diǎn)所在

平面經(jīng)過(guò)球心，48=4A后，乙4cB=m則點(diǎn)。到平面ABC的距離的最大值為，球O的表面

積為.

3.（23—24高三下?廣東江門(mén)?階段練習(xí)）已知正四面體A—BCD的內(nèi)切球的表面積為36兀，過(guò)該四面體

的一條棱以及球心的平面截正四面體A-BCD,則所得截面的面積為.

4.已知△ABC是面積為竽的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上，若球O的表面積為28兀，則

點(diǎn)O到平面ABC的距離為.

5.已知過(guò)球面上C三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB=BC=1,AC=居,則球的

表面積是.

6.（2024.遼寧丹東.一模）已知球O的直徑為AB,C,D為球面上的兩點(diǎn)，點(diǎn)河在48上，且AM=3MB,

AB±平面MCD,若4MCD是邊長(zhǎng)為V3的等邊三角形，則球心O到平面BCD的距離為.

【題型2】可以科成長(zhǎng)方體的外接球模型

基礎(chǔ)知識(shí)

一、長(zhǎng)方體外接球:長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半.

二、補(bǔ)成長(zhǎng)方體

⑴若三棱錐中有三條棱互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如下圖所示.

圖1-1圖1-2

(2)若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示

圖2-1

注：《九章算術(shù)》中的三棱錐均可補(bǔ)為長(zhǎng)方體

7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”，現(xiàn)有一

“陽(yáng)馬”如圖所示，上4,平面ABCD,R4=5,AB=3,4,則該“陽(yáng)馬”外接球的表面積為

A岳「兀

125兀500

A，~3-B.50兀C.100"T"

8.在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉膈是指四個(gè)面都是直角三角形的四面體.如圖，在直角

AABC中，AD為斜邊8。上的高，AB=3,4。=4,現(xiàn)將AABD沿AD翻折成△48，。,使得四面體

AB'CD為一個(gè)鱉膈,則該鱉膈外接球的表面積為

AA

B'

9.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E,F分別是AB,8。的中點(diǎn)，將/\AED,/\BEF,/\DCF分別

沿DE,EF,。尸折起，使得ABC三點(diǎn)重合于點(diǎn)H,若三棱錐4—EFD的所有頂點(diǎn)均在球O的球面

上，則球O的體積為（）

D./:

O

10.在四面體ABCD中，若AB=CD=AC=BD=2,40=_8。=四,則四面體ABCD的外接球的

表面積為（）

A.2兀B.4兀C.6兀D.8兀

11.（24-25高三上?江蘇泰州?期中）在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉膈是指四個(gè)面都是直角三角

形的四面體.在直角△ABC中，AD為斜邊上的高，AB=1,AC=",現(xiàn)將/XABD沿AD翻折

成△48，。,使得四面體A8CD為一個(gè)鱉膈，則該鱉膈外接球的表面積為（）

A.粵B.5兀C.3兀D.畢

24

12.將邊長(zhǎng)為2通的正方形紙片折成一個(gè)三棱錐，使三棱錐的四個(gè)面剛好可以組成該正方形紙片，若三棱

錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

13.（2024?廣東揭陽(yáng)?高二校聯(lián)考期中）在三棱錐S—ABC中，&4=BC=5,SB=AC=,SC=AB

=收4,則該三棱錐的外接球表面積是（）

A.50兀B.IOOKC.1507TD.200兀

【題型3】直棱柱和腳柱外接球模型

基礎(chǔ)知識(shí)

漢堡模型（直橫柱的外接球、II柱的外接球）

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：確定球心。的位置，Q是&4BC的外心，則OQ_L平面ABC;

第二步：算出小圓Q的半徑AOi—r,OO1--^-AA1—■九（人4=%也是圓柱的高）;

第三步：勾股定理：04=OiA2+OQ2=不=（與y+產(chǎn)="=.+（與'，解出打

14.已知正三棱柱ABC-45G所有棱長(zhǎng)都為6,則此三棱柱外接球的表面積為（）

A.48兀B.60兀C.64兀D.84兀

15.設(shè)直三棱柱ABC-4BiG的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積是40元的球面上,且4B=AC=AAltABAC

=120°,則此直三棱柱的表面積是（）

A.16+8V3B.8+12V3C.8+1673D.16+1273

16.（24-25高三上?安徽亳州?開(kāi)學(xué)考試）已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)體積

為當(dāng)啰元的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（）

O

A.8兀B.6兀C.5兀D.4兀

17.在三棱錐P-ABC中，出，面ABC,△4BC為等邊三角形，且24=4B=四，則三棱錐P-ABC

的外接球的表面積為.

18.已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍騉,球。的表面積為8兀，則該圓柱的體積為（）

A.乎兀B.V2TTC.2兀D.2V27t

【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論

基礎(chǔ)知識(shí)

在棱長(zhǎng)為Q的正四面體中

設(shè)正四面體ABCD的的棱長(zhǎng)為a,則有

1、正四面體的高為h=~^-a

2、正四面體外接球半徑為R=卓a

3、正四面體內(nèi)切球半徑為『=18°

4、正四面體體積v="2〃

12

19.（2024.湖北宜昌.宜昌市夷陵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正四面體的表面積為20,且

D四點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為.

20.（24-25高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試）外接球半徑為逐的正四面體的體積為（）

A.g衿B.24

C.32D.48V2

O

21.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑比為（)

A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1

22.已知正三棱錐A-BCD,各棱長(zhǎng)均為四，則其外接球的體積為（)

A國(guó)③兀B巫27TC9V2n9人

A.8兀民167rC.3D-1

23.正四面體P-ABC中，其側(cè)面積與底面積之差為2四，則該正四面體外接球的體積為1

24.一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（）

A.3:1B.V3：lC.9:1D.27:1

【題型5】直梭錐外接球模型（一條側(cè)棱垂直底面）

基礎(chǔ)知識(shí)

題設(shè):如圖，_R4,平面ABC,求外接球半徑.（一條側(cè)棱垂直底面）

解題步驟：

第一步：將XABC畫(huà)在小圓面上，4為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD,連接PD,則PD必

過(guò)球心。；

第二步：O］為AABC的外心，所以O(shè)Oi，平面4BC,算出小圓Q的半徑OQ=r（三角形的外接圓

直徑算法：利用正弦定理，得工=工=f=2r）,OO|=^PA;

smAsmBsmG2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:①（2R）2=申2+⑵）2=2五=V^42+（2r）2;

222

@B=r+OOl^R=y/r+OOl.

25.已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形，且AACB=看.若B4，平面48。,且AB=3,

PA=4,三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上,記球O的體積和表面積分別為V,S,則與

=（）

A.B.C.4D.4

12632

26.已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形，且AACB=方.若融，平面48。,且4B=3,

PA=4,三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上,記球O的體積和表面積分別為V,S,則總

=（）

A.磊B.C.4D.

27.已知S,A,B,。是球。表面上的不同點(diǎn)，SAL平面ABC,AB±BC,43=1,BC=方,若球O的

表面積為4兀，則SA=（）

?D.V3

A2

28.2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）T16

已知點(diǎn)S,ABC均在半徑為2的球面上，ZVIBC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，S4±平面ABC,則SA

29.已知三棱錐S-ABC所在頂點(diǎn)都在球O的球面上，且SCL平面ABC,若SC=48=2,

乙氏4。=120°,則球。的體積為（）

【題型6】球心在高上（圄律形）

基礎(chǔ)知識(shí)

如圖5-1至5—8這七個(gè)圖形，P的射影是AAB。的外心o三棱錐P—ABC的

三條側(cè)棱相等o三棱錐P-ABC的底面bABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).

圖5-3圖5-4

p

解題步驟：

第一步：確定球心O的位置，取AABC的外心Q,則P,O,Q三點(diǎn)共線(xiàn)；

第二步：先算出小圓Oi的半徑AOi=’,再算出棱錐的高POi=/z（也是圓錐的高）;

第三步：勾股定理：04=0/2+0102=五2=（九—五）2+/，解出打互I

方法二:小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.

【注意】:若是巳知外接球半徑R和小國(guó)半徑r求國(guó)俸的高，則有2個(gè)解

30.（2024?浙江臺(tái)州?高二校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為1,母線(xiàn)長(zhǎng)為2,則該圓錐的外接球的體積為

31.已知三棱錐P-ABC的各側(cè)棱長(zhǎng)均為2瓜,且AB=3,BC=聰、AC=2V3,則三棱錐P-ABC的外

接球的表面積為.

32.已知球。的體積為36兀，圓錐SO1的頂點(diǎn)S及底面圓5上所有點(diǎn)都在球面上，且底面圓5半徑為

2四，則該圓錐側(cè)面的面積為（）

A.6V27TB.4祈乃或60兀C.8沖?；?幾兀D.8代兀

33.在三棱錐P—ABC中，_R4=PB=PC=3,AB=AC=2,BC=22，則三棱錐P—ABC的外接球的

半徑為.

34.已知三棱錐S-ABC中，頂點(diǎn)S在底面的射影恰好是AABC內(nèi)切圓的圓心，底面△ABC的最短邊長(zhǎng)

為6.若三個(gè)側(cè)面面積分別為3V29,4V29,5729，則頂點(diǎn)S到底面ABC的距離為；三棱錐S

-ABC的外接球的表面積為.

【題型7】BI臺(tái)，梭臺(tái)外接球模型

基礎(chǔ)知識(shí)

圓臺(tái)，梭臺(tái)外界球

不=宿+（土/:其中「,戊分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高.

基本規(guī)律:正棱臺(tái)外接球，以棱軸截面為主

注：若球心位置不確定，也可以直接設(shè)=①，若解出來(lái)土為負(fù)數(shù)則說(shuō)明球心在。2另一側(cè)

35.（2024.云南.高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為3,4,母線(xiàn)長(zhǎng)為572，若該圓

臺(tái)的上下底面圓的圓周均在球。的球面上，則球。的體積為（）

250口500門(mén)100「125

AA.1~17UJD.—~—KC?—~—7tU.~~~7T

OOOO

36.2022年新高考U卷T7--臺(tái)體外接球

已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為和4代，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積

為（）

A.IOOJIB.128KC.144JID.192兀

37.在《九章算術(shù)》中，底面為矩形的棱臺(tái)被稱(chēng)為“芻童”.已知棱臺(tái)ABCD—是一個(gè)側(cè)棱相等、

高為1的“芻童”，其中AB=24E=2,BC=2?O=2《，則該“芻童”外接球的表面積為（）

A.20KB.當(dāng)兀C.言⑤兀D.5函乃

OO

38.（2024.遼寧.高三校聯(lián)考期末）正四棱臺(tái)高為2,上下底邊長(zhǎng)分別為2和4,所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球

的表面積為（）

A.32兀B.33兀C.34兀D.35兀

39.已知圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為3,4,母線(xiàn)長(zhǎng)為5e，若該圓臺(tái)的上下底面圓的圓周均在球。的

球面上，則球O的體積為（）

A250口500八100C125

A.---兀B.---兀C.---7TD.---7T

oooo

40.我國(guó)古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱(chēng)為芻童，如圖的芻童45CD-EFGH有外

接球，且=4底AD=4,EH=4瓜EF=4&，點(diǎn)E到平面43co距離為4，則該芻童外接球的表面

積為.

【題型8】檢律外接球之切瓜模型（一個(gè)面垂直外按圄直徑）

基礎(chǔ)知識(shí)

如圖4一1,平面PAC±平面ABC,且AB±BC（即AC為小圓的直徑），且P的射影是AABC的外

心=三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱相等。三棱P—4BC的底面AABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也

是圓錐的頂點(diǎn).

圖4-1

解題步驟：

第一步：確定球心O的位置，取AABC的外心Oi,則P,O,Oi三點(diǎn)共線(xiàn)；

第二步：先算出小圓01的半徑AO】=7■，再算出棱錐的高JO1=九（也是圓錐的高）;

第三步：勾股定理：04=0'+0]02=咫=仇一為2+/，解出R.

事實(shí)上，"CP的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出R.

2.如圖4-2,平面PA。_L平面ABC,且AB_LBC（即AC為小圓的直徑），且P4_L47,

?M

利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:①（27?）2=B42+（2r）2o2R=V-R42+（2r）2;

②62=r2+ooFoR=j/+oog

3.如圖4-3,平面_R4O_L平面ABC,且AB_LBC（即AC為小圓的直徑）

OC2=OQ2+OQ2=不="+OQ2O人。=2/不—。1。2

4.題設(shè):如圖4—4,平面P4C_L平面4BC,且AB_LBC（即AC為小圓的直徑）

第一步：易知球心。必是APAC的外心，即△上4。的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC=2r;

第二步：在AR4C中，可根據(jù)正弦定理，=￡7=21?,求出R.

sinAsmBsmC

41.（2024.廣東.惠州一中校聯(lián)考）已知三棱錐尸—ABC,ZVIBC是以AC為斜邊的直角三角形，APAC為

邊長(zhǎng)是2的等邊三角形,且平面ABC±平面PAC,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（）

12

A2121

A.-16-7tB.C.D.8兀

o兀5"兀

42.（2024.黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的軸截面為正三角形，側(cè)面積為8兀，該圓

錐內(nèi)接于球O,則球。的表面積為.

43.（2024?安徽安慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）三棱錐P—4BC中，上4=PH=PC=2代，AB=24。=6,

/R4C=S則該三棱錐外接球的表面積為

O

44.在三棱錐P-4BC中，平面ABC1.平面PAB,AC_LBC,點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，PD，PB,PB=PD

=2，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

【題型9】?jī)蓚€(gè)外心+中垂線(xiàn)確足球心

基礎(chǔ)知識(shí)

基面模型

如圖1所示為四面體P—ABC,已知平面PAB，平面ABC,其外接球問(wèn)題的步驟如下：

（1）找出和△ABC的外接圓圓心，分別記為Oi和

（2）分別過(guò)Oi和。2作平面PAB和平面ABC的垂線(xiàn)，其交點(diǎn)為球心，記為O.

⑶過(guò)Q作AB的垂線(xiàn)，垂足記為。，連接QD,則5。±AB.

（4）在四棱錐力—DO,OO2中，力。垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形DOXOO.2的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且

OD為該圓的直徑.

45.如圖，三棱錐A—BCD中，平面ACD，平面BCD,△ACD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，BO=CD,

NBDC=120°.若C,。四點(diǎn)在某個(gè)球面上，則該球體的表面積為.

46.（2024.四川樂(lè)山.高二期末）已知正△4BC邊長(zhǎng)為1,將△4BC繞8。旋轉(zhuǎn)至△DBC,使得平面ABC

，平面BCD,則三棱錐D-4BC的外接球表面積為.

47.（2024.全國(guó)?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐P-ABC中，平面PAB±平面ABC,底面△ABC是邊長(zhǎng)

為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為15兀,則該三棱錐體積的最大值為.

48.在四棱錐P—ABCD中，平面RLD，平面ABCD,且ABCD為矩形，ADPA=,AD=2^3,AB

=2,E4=P。，則四棱錐尸一ABCD的外接球的體積為（）

P

49.在三棱錐P-ABC中,平面PAB±平面ABC，上4，尸8,且E4==32，△ABC是等邊三角

形，則該三棱錐外接球的表面積為.

50.已知正方體ABCD-4BQQ1的棱長(zhǎng)為1,P為棱42的中點(diǎn)，則四棱錐P—ABCD的外接球表面

積為（）

A血兀RQkCn

51.（2024?湖北十堰?高一統(tǒng)考期末）如圖,在平面四邊形ABCD中，AADB=AABC=^,BD=BC=4：,

沿對(duì)角線(xiàn)BD將△ABD折起,使平面ADB，平面BDC,連接AC,得到三棱錐A-BCD,則三棱錐

A-BCD外接球表面積的最小值為.

14

A

【題型10】外接球之共斜邊拼接模型

基礎(chǔ)知識(shí)

兩直角三角形拼接在一想（*|■邊相同，也可看作娃形沿對(duì)角線(xiàn)折起所得三檢律）模型

題設(shè):如圖，/APB=/力CB=90°,求三棱錐P-48。外接球半徑（分析:取公共的斜邊的中點(diǎn)O,

連接OP,OC,則04=OB=OC=OP=二O為三棱錐P—ABC外接球球心，然后在OCP中

求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線(xiàn)折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無(wú)關(guān)，只要不是平角

球半徑都為定值.

52.在矩形4BCD中，4B=4,=3,沿47將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B—47—。,則四面體

ABCD的外接球的體積為（）

125125c125n125

A.B.一~-7TD.—7T

E兀T兀6o

53.（河北唐山?三模）把邊長(zhǎng)為V2的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折成直二面角D-AC—?jiǎng)t三棱錐D

-ABC的外接球的球心到平面BCD的距離為（

A士B.g

3

54.已知三棱錐S-48。的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA±平面SCB,

S4=AC,SB=BC,三棱錐S—ABC的體積為得，則球。的體積為（）

O

兀兀327r

A.4C.6丁

55.在平行四邊形ABCD中，2AB2+m2=匕將此平行四邊形沿對(duì)角線(xiàn)四折疊，使平面

ABDJ_平面CBO,則三棱錐A—8CD外接球的體積是.

【題型11】外接球之二面角模型

基礎(chǔ)知識(shí)

題設(shè):兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖6）

第一步：先畫(huà)出如圖6所示的圖形，將'BCD畫(huà)在小圓上，找出^BCD和^A'BD的外心田和其；

第二步：過(guò)區(qū)和區(qū)分別作平面BCD和平面A'BD的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為球心O,連接OE,

OC;

第三步：解AOEH］，算出。乂,在RtXOCH、中,勾股定理：OH?+C瑤=OC2

注：易知O,HI,E,H2四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓,證略.

56.在四面體中，PA1PB，口48。是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若二面角P—AB—C的大小為

120。，則四面體PZ8C的外接球的表面積為（）

A13TIB26兀C52兀D1。4兀

9999

57.（2024?四川南充?二模）已知菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)8。=2,將AABD沿著B(niǎo)D折疊,使得二面角A-

BD-C為120°,AC=3，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為.

DC

58.長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2024屆高三月考（-）T16

已知菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)口。=2遍，將/\ABD沿著B(niǎo)D折疊，使得二面角A—BD—C為120°,

AC=3V3，則三棱錐A—BCD的外接球的表面積為.

59.在四面體ABCD中,△ABC與△8CD都是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,且二面角A-BC-D的大小為

60°,則四面體ABCD外接球的表面積是（）

A.527tB.54兀C.567rD.607r

60.（2024.廣東.校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐S—ABCD,&4±平面ABCD,AD_LDC,SA=3V3,BC=

4,二面角S—BC—A的大小為看.若點(diǎn)均在球。的表面上，則該球。的表面積為

O

()

A兀兀

152B.527rc160D.54兀

3T-

61.（23—24高三下.重慶沙坪壩.階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P—ABC中，9=^8=祈，CA.LAB,AB

=47=2,二面角P—AB—C的大小為120°,則三棱錐P—ABC的外接球表面積為.

62.（2024.湖南岳陽(yáng).統(tǒng)考三模）已知三棱錐。—ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，ADLBRAC，

BC,ADAB=NCBA=30°,二面角?！?B—。的大小為60°,若球O的表面積等于36兀,則三棱錐D

—ABC的體積等于（）

C.V7D.-

O

【題型12］內(nèi)切球之糙律,圓錐模型

基礎(chǔ)知識(shí)

缽體的內(nèi)切球問(wèn)慝

1.題設(shè):如圖，三棱錐P-ABC上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.

第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，區(qū)H分別是兩個(gè)三角形的外心；

第二步：求DH=^-CD,PO=PH-r,PD是側(cè)面^ABP的高;

O

第三步：由APOE相似于APDH,建立等式：等=黑，解出「

DrlrD

2.題設(shè):如圖8—2,四棱錐P—ABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑

第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點(diǎn)共線(xiàn)；

第二步：求儂=。3。，。0=。"一度，。干是側(cè)面山？6的高；

第三步：由APOG相似于APFH,建立等式：隼=挈，解出

Hrrr

3.題設(shè):三棱錐P-ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑（最優(yōu)法）

方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等

第一^步：先畫(huà)出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；

弟一步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為,，建立等式：VP_ABC=Vo-ABC+^O-PAB+^O-PAC+^O-PBC=

^P-ABC~gS\ABC'R+g^PAB?r+~^^PAC,r++SpBc(SbABC+l^PAB+^PAC+^APBc)*r

^^P-ABC

第三步：解出丁二

SO—ABC+SO_PAB+SO-PAC+SO-PBC

63.（2024?天津?統(tǒng)考二模）已知一個(gè)圓錐的高為4,底面直徑為6,其內(nèi)有一球與該圓錐的側(cè)面和底面都相

切，則此球的體積為（）

g

A.12兀B.9兀C.5兀D.3兀

64.圓錐1so（其中s為頂點(diǎn)，D為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是2：1，則圓錐與它外接球（即頂

點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為

A.9:32B.8:27C.9:22D.9:28

65.已知圓錐的底面半徑為2,高為4方,則該圓錐的內(nèi)切球表面積為（）

A.4兀B.42兀C.8A/2TTD.8兀

66.（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1,母線(xiàn)長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

67.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為4,圓心角為方的扇形，將該圓錐加工打磨成一個(gè)球狀零件，則

該零件表面積的最大值為（）

A生c14兀n256兀

A.§B.2?！鉌

【題型13］內(nèi)切球之國(guó)臺(tái)，枝臺(tái)模型

基礎(chǔ)知識(shí)

黃先需要明確，并不是所有的BI臺(tái)鄢有內(nèi)切球，如果一個(gè)BI臺(tái)又矮又胖，最多只能找到一個(gè)與上下底面相切的

球，無(wú)法做到與所有切,國(guó)合內(nèi)切球指的是與■!臺(tái)上下底面和每條球線(xiàn)均相切的球.如下圉所示：

此時(shí)圓臺(tái)的上下底面圓的半徑與圓臺(tái)的高必須滿(mǎn)足一定關(guān)系，下面進(jìn)行詳細(xì)分析，為了分析方便，采用平面輔

助法，上圖的軸截面如下：

A

假設(shè)上底面圓半徑為小，下底面圓半徑為八，內(nèi)切球半徑為五，圓臺(tái)的高為心母線(xiàn)長(zhǎng)為Zo上圖軸截面是等腰

梯形的內(nèi)切圓，點(diǎn)E,F,G為切點(diǎn)，可得如下全等關(guān)系：

OG=OE

Rt/\OAG^Rt/\OAE；^Rt/\ODG=Rt/\ODE

OA=OAOD=OD

22

由射影定理可得:AG-DG=OG=>7?=r1r2

68.（2024.廣東深圳.統(tǒng)考一模）已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為乃,如且生=2q,若半徑為2的球與圓

臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（）

69.若圓臺(tái)002的上、下底面圓半徑分別為1、2,O］、a分別為圓臺(tái)上下底面圓心?若該圓臺(tái)存在內(nèi)切

球，則該圓臺(tái)的體積為.

70.（2024.湖北咸寧.統(tǒng)考期末）已知球。內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓

臺(tái)的上、下底面半徑八：r2=2:3,則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（）

71.（2023汕頭一模）如圖,在正四棱臺(tái)48CD-中，45=4，44=2，若半徑為r的球O與該正四

棱臺(tái)的各個(gè)面均相切，則該球的表面積S=.

72.一個(gè)封閉的圓臺(tái)容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）的上底面半徑為2,下底面半徑為12，母線(xiàn)與底面所成的

角為60°.在圓臺(tái)容器內(nèi)放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體,則此正方體棱長(zhǎng)的最大值是（）

A.4V3B.8C.5V3D.10

【題型14】多球相切問(wèn)題

基礎(chǔ)知識(shí)

處理多個(gè)球的切接問(wèn)題時(shí)一般①通過(guò)連球心構(gòu)造“球心截面”降維解題②通過(guò)連球心構(gòu)造“球心幾何體”將抽

象問(wèn)題具體化.

73.已知正四面體的棱長(zhǎng)為12，先在正四面體內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球Oi,然后再放入一個(gè)球，使得球Q與

球O1及正四面體的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的體積為（）

A.娓RB.2瓜RC.22兀D.瓜R

74.（2024?浙江溫州?樂(lè)清市知臨中學(xué)?？级＃┤缃裰袊?guó)被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開(kāi)路，遇水架橋.公

路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過(guò)程中研制出用于基建的大型龍門(mén)吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之

重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟wABC?的內(nèi)切球，中等

球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體

ABCD棱長(zhǎng)為20，則模型中九個(gè)球的表面積和為（）

A.6兀B.97rC.---D.217t

4

75.如圖，在一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為伍的正四棱錐P-ABCD中，大球O,內(nèi)切于該四棱錐，小球

與大球及四棱錐的四個(gè)側(cè)面相切,則小球。2的表面積為

p

76.棱長(zhǎng)為23的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這樣一個(gè)

小球的表面積最大為（）

A.yB.KC.方兀D.V37t

77.如圖是某零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，小球與大球和正四面體三個(gè)面均相切，若

12,則該模型中一個(gè)小球的體積為（）

A

C

A.3兀B.冬C.V67CD.

216

78.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中記載了“三角垛”.如圖，某三角垛最上層有1個(gè)球，第

二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球,每個(gè)球的半徑相等,且相鄰的球都外切，記由球心48,C,。構(gòu)成的

四面體的體積為U,記能將該三角垛完全放入的四面體4-BCD的體積為壞，則E的最大值為

22

【題型15】我切球問(wèn)題

基礎(chǔ)知識(shí)

方法：找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形

79.已知正三棱柱ABC-AJBJG的體積為18，若存在球O與三棱柱ABC-的各棱均相切，則球

。的表面積為（）

A.8nB.12nC.16兀D.18兀

80.已知球Oi與一正方體的各條棱相切，同時(shí)該正方體內(nèi)接于球。2，則球Oi與球5的表面積之比為

（）

A.2：3B.3：2C.V2:V3D,V3:V2

81.已知某棱長(zhǎng)為2方的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為

（）

A.4B.4c.D.

2332

82.正四面體P—ABC的棱長(zhǎng)為4,若球。與正四面體的每一條棱都相切，則球。的表面積為（）

A.2兀B.8兀C.當(dāng)2兀D.12兀

83.已知正三棱柱ABC—4氏。1（底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直），它的底面邊長(zhǎng)為2，若存在一個(gè)球

與此正三棱柱的所有棱都相切，則此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為.

84.（廣東省茂名市五校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知正三棱柱的高等于1.一個(gè)球

23

與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（）

R4A后兀C4A后兀

c4兀D

A力B-

85.（福建省三明市2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知直三棱柱ABC-A15G的側(cè)棱長(zhǎng)為

2V3，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切,則球O的體積為.

【題型16】構(gòu)造球解決空間中動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的直角問(wèn)題

基礎(chǔ)知識(shí)

86.在棱長(zhǎng)為2a（a>0）的正方體ABCD-中，點(diǎn)MN分別為棱AB,DC的中點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)

P在該正方體的表面上，且百萬(wàn)?由=0,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.12QB.12兀。C.24aD.24兀。

87.（2024?廣東深圳一模改）如圖，八面體o的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為4的正三角形,且頂點(diǎn)在同

一個(gè)平面內(nèi).若點(diǎn)M在四邊形BCDE內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ME時(shí)，點(diǎn)M到8C的最小值為

88.如圖，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面

EFGH上的動(dòng)點(diǎn),若,存在唯一的點(diǎn)P滿(mǎn)足AAPM=y,則CG=.

89.已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足萬(wàn).麗=0,且樂(lè)?記=0,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為,

24

【題型17】阿氏球問(wèn)題

基礎(chǔ)知識(shí)

對(duì)于立體幾何某些涉及距離比值的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為在某個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，從而借助阿波羅尼斯

球和阿波羅尼斯圓的定義及相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題也可以利用空間坐標(biāo)計(jì)算求解軌跡問(wèn)題

90.（23-24高三上.江西撫州.階段練習(xí)）設(shè)4、口是半徑為方的球體。表面上的兩定點(diǎn)，且=

球體。表面上動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足班4=禽兒陽(yáng)，則點(diǎn)河的軌跡長(zhǎng)度為（）

A,手兀B,綽口兀C,增兀D,記兀

751111

91.（2024.遼寧沈陽(yáng).模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A,B是半徑為3的球體O表面上兩定點(diǎn)，且乙408=60°,球體。表面

上動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|R4|=21PBi，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.

92.已知棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-45C1A表面上動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足\PA\=2\PB\,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為

93.已知正三棱錐ABCD中，AB=47=4D=3,8。=CD=3四；動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PA=2PD,記

△BCD所在平面為明則平面a截點(diǎn)P的軌跡所形成的圖形的周長(zhǎng)為.

94.已知正方體ABCD—ABC。的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且〃=2PB,則點(diǎn)P所

形成的軌跡圖形長(zhǎng)度為.

95.已知平面上兩定點(diǎn)人、則所有滿(mǎn)足愕=4（4>0且4￥1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線(xiàn)AB

上,半徑為—71481的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)作阿氏圓.已知

IT一

棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-ABQNi表面上動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足\PA\=21PBi，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為