2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：統(tǒng)計與概率（新高考專用）（解析版）

專題28統(tǒng)計與概率（七大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01數(shù)據(jù)收集隨機抽樣

?題型02用樣本估計總體

?題型03線性回歸

?題型04統(tǒng)計案例

?題型05隨機事件的概率

?題型06古典概率

?題型07條件概率與全概率公式

?題型01數(shù)據(jù)收集隨機抽樣

1.某中等職業(yè)學(xué)校為了了解高二年級1200名學(xué)生的視力情況，抽查了其中200名學(xué)生的視力，并進(jìn)行統(tǒng)

計分析.下列敘述正確的是（）

A.上述調(diào)查屬于全面調(diào)查B.每名學(xué)生是總體的一個個體

C.200名學(xué)生的視力是總體的一個樣本D.1200名學(xué)生是總體

【答案】C

【分析】利用總體、樣本、調(diào)查方法的相關(guān)概念分析選項即可.

【解析】上述調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，故A項錯誤；

每名學(xué)生的視力是總體的一個個體，故B項錯誤；

200名學(xué)生的視力是總體的一個樣本，故C項正確；

1200名學(xué)生的視力是總體，故D項錯誤.

故選：C

2.我市某所高中每天至少用一個小時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生共有1200人，其中一、二、三年級的人數(shù)比為3:4:3,

要用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為120的樣本，則應(yīng)抽取的一年級學(xué)生的人數(shù)為（）

A.52B.48C.36D.24

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的抽樣比列式計算即得.

3

【解析】依題意，應(yīng)抽取的一年級學(xué)生的人數(shù)為7=xl20=36.

3r+4+3

故選：C

3.①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有12人的成績在100分以上，30人的成績在90?100分，12人的成績低于

90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)考試題目難度的情況；②運動會的工作人員為參加4x100m接力賽的6支

隊伍安排跑道.針對這兩件事，恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（）

A.分層抽樣，簡單隨機抽樣B.簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣

C.簡單隨機抽樣，分層抽樣D.分層抽樣，分層抽樣

【答案】A

【分析】根據(jù)分層抽樣和簡單隨機抽樣的特點判斷即可.

【解析】對于①：考試成績在不同分?jǐn)?shù)段之間的同學(xué)有明顯的差異，用分層隨機抽樣比較恰當(dāng);

對于②：總體包含的個體較少，用簡單隨機抽樣比較恰當(dāng).

故選：A

?題型02用樣本估計總體

4.已知一組數(shù)據(jù)為-LL4,4,2,6,則該組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，根據(jù)百分位數(shù)的定義可得答案.

【解析】將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序為：-1,1,2,44,6,

因為6x50%=3,所以這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是第3、4兩項的平均數(shù)，

故選：C.

5.一組樣本數(shù)據(jù)為6,11,12,16,17,19,31,則錯誤的選項為（）

A.該組數(shù)據(jù)的極差為25

B.該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為17

C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16

D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等

【答案】B

【分析】求出該組數(shù)據(jù)的極差、75%分位數(shù)、平均數(shù)逐項判斷可得答案.

【解析】對于A,根據(jù)極差定義，該組數(shù)據(jù)的極差為31-6=25,故A正確；

對于B,因為7x0.75=5.25,所以該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為19,故B錯誤；

對于C,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6+11+12+叱+17+19+3,=16,故c正確；

對于D,若該組數(shù)據(jù)去掉16得到一組新數(shù)據(jù)，

則新數(shù)據(jù)6,11,12,17,19,31的平均數(shù)為6+11+12/7+19+31=]6,

6

所以這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確.

故選：B.

6.已知某人收集一個樣本容量為50的一組數(shù)據(jù)，并求得其平均數(shù)為70,方差為75,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)

據(jù)時，其中得兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60,另一個錯將70記錄為90,在對錯誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行

更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為又，方差為則()

A.X<70,52>75B.亍>70,s?<75

C.又=70,/<75D.又=70,$2>75

【答案】C

【分析】由平均數(shù)，方差計算公式可判斷各選項正誤.

【解析】設(shè)其他48個數(shù)據(jù)依次為…,％8，

貝"X=(q+出+…+48+80+70),因為80+70-60+90,

因此平均數(shù)不變，即又=70;又由方差計算公式可知：

(q-70產(chǎn)+(%-70)2+…+(1-70)2+(60-70>+(90-70)2=50x75,

(q-70>+Q-70)2+…+(4-70>+(80-70)2+(70-70)2=50x52,

注意至U(80-70)2+(70-70)2<(60-70)2+(90-70)2,貝U<75.

故選：C.

7.已知一組數(shù)據(jù)2%+1,2%+1,2忍+1,2%+1的平均數(shù)是3,方差為4,則數(shù)據(jù)占,9,三，%的平均數(shù)和方差

分別是()

-333

A.LIB.1,2C.—,—D.—,2

242

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由平均數(shù)與方差的性質(zhì)列出方程，代入計算，即可求解.

【解析】設(shè)數(shù)據(jù)占,%，X3，5的平均數(shù)和方差分別是7，/，

則數(shù)據(jù)2%+1,2X2+1,2尤3+1,2.%+1的平均數(shù)是(2山1),方差是4s2,

所以(21+1)=3,解得已1，4s2=4,解得/=1,

即數(shù)據(jù)占,馬,鼻,%的平均數(shù)和方差分別是1」.

故選：A

8.某大學(xué)生暑假到工廠參加勞動，生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度(單位：厘米)，將所得數(shù)據(jù)

分成6組：[90,91),[91,92),[92,93),[93,94),[94,95),[95,96],得到如圖所示的頻率分布直方圖，則對這100件

O90919293949596長度/厘米

A.6=0.20

B.長度的平均數(shù)是93

C.長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間[93,94)內(nèi)

D.長度落在區(qū)間[93,94)內(nèi)的個數(shù)為35

【答案】A

【分析】按照頻率分布直方圖的含義，結(jié)合相關(guān)公式即可得解.

【解析】對于A,由頻率和為1,得(0.1x2+6+0.35+0.15+0.05)x1=1,解得6=0.25,故A錯誤；

對于B,根據(jù)頻率分布直方圖長度的平均數(shù)為

90.5x0.1+91.5x0.1+92.5x0.25+93.5x0.35+94.5x0.15+95.5x0.05=93,故B正確；

對于D,長度落在區(qū)間[93,94)內(nèi)的個數(shù)為100x0.35=35,故D正確；

對于C,[90,93)有100*(0.1+0.1+0.25)=45個數(shù)，[94,96]內(nèi)有100x(0.15+0.05)=20個數(shù)，

所以長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間[93,94)內(nèi)，故C正確.

故選：A

9.由一組樣本數(shù)據(jù)…得到經(jīng)驗回歸方程￡=%+那么下列說法正確的是()

A.若相關(guān)系數(shù)r越小，則兩組變量的相關(guān)性越弱

B.若5越大，則兩組變量的相關(guān)性越強

c.經(jīng)驗回歸方程》=標(biāo)+2至少經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)…中的一個

D.在經(jīng)驗回歸方程9=浪+&中，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，相應(yīng)的觀測值y約增加3個單位

【答案】D

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的含義可判斷AB；根據(jù)回歸直線的含義可判斷CD；

【解析】對于A,若相關(guān)系數(shù)越小，則兩組變量的相關(guān)性越弱，A錯誤；

對于B,若越大，則兩組變量的相關(guān)性越強，另是回歸直線的斜率，

它不反應(yīng)兩變量的相關(guān)性強弱，B錯誤；

對于C,經(jīng)驗回歸方程》=幾+&不一定經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)(為”),(%,%),...,(%,%)中的一個，C錯誤；

對于D,在經(jīng)驗回歸方程￡=%+&中，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，

若另＞0,相應(yīng)的觀測值y約增加另個單位；若刃＜0,相應(yīng)的觀測值y約增加-慟個單位；

故當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，相應(yīng)的觀測值y約增加g個單位，正確，

故選：D

10.下列說法錯誤的是()

A.線性相關(guān)系數(shù)N越接近1,兩個變量的線性相關(guān)程度越強；

B.獨立性檢驗可以100%確定兩個變量之間是否具有某種關(guān)系；

C.在回歸分析中，可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明

這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高；

D.甲、乙兩個模型的決定系數(shù)R2分別約為0.88和0.80,則模型甲的擬合效果更好.

【答案】B

【分析】利用線性相關(guān)系數(shù)、獨立性檢驗、殘差圖、決定系數(shù)等相關(guān)概念，逐一判斷選項即可得出結(jié)論.

【解析】對于A,根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的定義可判斷A正確；

對于B,獨立性檢驗是存在某種程度的錯誤概率的，因此可得B錯誤；

對于C,利用回歸分析殘差概念以及殘差圖可判斷C正確；

對于D,決定系數(shù)4的值越大，說明擬合效果越好，顯然0.88＞0.80,即模型甲的擬合效果更好，可得D

正確.

故選：B

11.已知由樣本數(shù)據(jù)（乙,?）（i=L2,3,…,8）組成的一個樣本，得到經(jīng)驗回歸方程為/=2x+0.75,且

x=1.125,增加兩個樣本點（-2,5）和（1,3）后，得到新樣本的經(jīng)驗回歸方程為e=3X+9.在新的經(jīng)驗回歸方

程下，樣本（3,8.7）的殘差為（）

A.1.1B.0.5C.-0.5D.-1.1

【答案】D

【分析】計算增加樣本點后的新的樣本中心點，代入經(jīng)驗回歸方程可求得根據(jù)經(jīng)驗回歸方程可求得9,

由殘差定義可得結(jié)果.

8a_OJ_1

【解析】??,Zx,=1.125x8=9,.?.增加兩個樣本點后x的平均數(shù)為三『=0.8；

?=i10

874-1-5+3

?.?^=2x1.125+0.75=3,二￡?=3x8=24,.?.增加兩個樣本點后＞的平均數(shù)為=3.2,

.?32=3x0.8+6,解得:3=0.8，,新的經(jīng)驗回歸方程為：9=3元+0.8,

則當(dāng)x=3時，J=9.8,.?.樣本（3,8.7）的殘差為8.7—9.8=—1.1.

故選：D.

12.一唱片公司欲知唱片費用》（十萬元）與唱片銷售量y（千張）之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的唱片中隨機

1010101010

抽選了10張，得如下的資料：?=28，W＞；=303.4.2%=75,2＞；=598.5,2苞%=237,則V與x的相

i=lz=li=li=li=l

f（占-可（/-刃

關(guān)系數(shù)r的絕對值為（）（相關(guān)系數(shù)：廠=[J.）

\-亍這⑷-寸

V1=11=1

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【答案】D

【分析】運用相關(guān)系數(shù)公式進(jìn)行求解即可.

1010__

【解析】因為》＞,=28,fy,=75,所以行=2.8,亍=7.5,

i=li=l

10____

|率y-10xy|1237-10x2,8x7.51

|止I=?一?=03

22

序一10用唇:一10（?。?V303.4-10X2.8XV598.5-10X7.5，

故選：D.

?題型04統(tǒng)計案例

13.某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在探究姜撞奶隨著時間變化的降溫及凝固情況的數(shù)學(xué)建?；顒又?，將時間x分鐘與

溫度V（攝氏度）的關(guān)系用模型、=。盧2"（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合.設(shè)z=lny,變換后得到一組數(shù)

據(jù):

X22.533.54

Z4.044.013.983.963.91

由上表可得線性回歸方程z=-0.06x+a，則q等于（）

-4416

A.-4B.eC.4.16D.e-

【答案】D

【分析】根據(jù)給定的數(shù)據(jù)求出樣本中心點，求出即可.

2+2.5+3+3.5+44.04+4.01+3.98+3.96+3.91

【解析】由表格中數(shù)據(jù)，得元==3,z=----------------------------------------=3o.9no,

55

貝Ij3.98=-0.06x3+a,解得〃=4.16,因止匕z=-0.06x+4.16,

由＞兩邊取對數(shù)，得lny=C2%+lnq,又z=lny,

416

所以％=-0.06,InC1=4.16,即02=-0.06,q=e

故選：D

14.為了檢測某種新藥的效果，現(xiàn)隨機抽取100只小白鼠進(jìn)行試驗，得到如下2x2列聯(lián)表:

未治愈治愈合計

服用藥物104050

未服用藥物203050

合計3070100

則下列說法一定正確的是（）

n(ad-be)1

附：/二(其中〃=〃+b+c+d).

(q+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

臨界值表:

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為"小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)"

B.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為"小白鼠是否被治愈與是否服用新藥無關(guān)"

C.在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為"小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)"

D.在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為"小白鼠是否被治愈與是否服用新藥無關(guān)"

【答案】A

【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出/的值，即可得答案.

【解析】解：由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算/=l00x（3°°-=嘰4.762,

30x70x50x5021

JL3.841<4.762<5.024,

所以有95%的把握認(rèn)為"小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)"

所以在犯錯誤的概率不超過0Q5的前提下，認(rèn)為"小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)

故選：A.

15.某興趣小組為研究語文學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)、英語、政治、歷史四科之間的關(guān)系，隨機調(diào)查部分高二學(xué)生，統(tǒng)

計數(shù)據(jù)如下表，則語文對數(shù)學(xué)、英語、政治、歷史學(xué)習(xí)具有影響的可能性最大的是（）

數(shù)學(xué)成績數(shù)學(xué)成績英語成績英語成績政治成績政治成績歷史成績歷史成績

優(yōu)異一般優(yōu)異一般優(yōu)異一般優(yōu)異一般

語文成績

515416614814

優(yōu)異

語文成績

72510221121624

一般

A.數(shù)學(xué)B.英語C.政治D.歷史

【答案】D

【分析】分別計算每一項的卡方并比較大小即可得解.

［解析］數(shù)學(xué)：K2=52x(5x25-7x15)2

x0.068，

20x32x12x40

片=52x(4x22-1OX16)JO.792,

英語:

20x32x14x38

s52x(6x21-11x14)2

政治:K=------------------?0.107,

20x32x17x35

辦52x(8x24-14x6)2「門

歷史:K=--------------------------------?1./Z/，

22x30x14x38

所以語文對數(shù)學(xué)、英語、政治、歷史學(xué)習(xí)具有影響的可能性最大的是歷史.

故選：D.

16.近年來，為了提升青少年的體質(zhì)，教育部出臺了各類相關(guān)文件，各地區(qū)學(xué)校也采取了相應(yīng)的措施，適

當(dāng)增加在校學(xué)生的體育運動時間；現(xiàn)調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生（包含初中生與高中生）對增加體育運動時間的態(tài)度,

所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：

喜歡增加體育運動時間不喜歡增加體育運動時間

初中生16040

高中生14060

附：>2=______M-bcf______

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

尸（力』）0.100.050.01

k2.7063.8416.635

以下結(jié)論中錯誤的是（）

A.有95%的把握認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運動時間的態(tài)度有關(guān)

B.沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運動時間的態(tài)度有關(guān)

C.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運動時間的態(tài)度有關(guān)

D.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運動時間的態(tài)度無關(guān)

【答案】D

【分析】首先完善列聯(lián)表，并計算并根據(jù)選項和3.841和6.635比較大小，判斷選項.

【解析】完善列聯(lián)表如下:

喜歡增加體育運動時間不喜歡增加體育運動時間總計

初中生16040200

高中生14060200

總計300100400

零假設(shè)不能認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運動時間的態(tài)度有關(guān)聯(lián)，則

400x(160x60-140x40)216

z2----------------------------L?5.333<6.635,

200x200x300x1003

沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運動時間的態(tài)度有關(guān).

因為，5.333>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運動時間的態(tài)度有關(guān).

在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運動時間的態(tài)度有關(guān).

故選：D

17.學(xué)校開設(shè)了游泳選修課.某教練為了解學(xué)生對游泳運動的喜好和性別是否有關(guān)，在全校學(xué)生中選取了男、

女1生各〃人進(jìn)行調(diào)查，并繪制如下圖所示的等高堆積條形圖.則()

S9

SS

O.S.7

S.6口不曷?歡

S.54

3口喜歡

O.S2

J

O.O

與生女生

參考公式及數(shù)據(jù)：鬻潦其中…+"，+"?

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

A.參與調(diào)查的女生中喜歡游泳運動的人數(shù)比不喜歡游泳運動的人數(shù)多

B.全校學(xué)生中喜歡游泳運動的男生人數(shù)比喜歡游泳運動的女生人數(shù)多

C.若“=50,依據(jù)tz=0.01的獨立性檢驗，可以認(rèn)為游泳運動的喜好和性別有關(guān)

D.若〃=100,依據(jù)。=0.01的獨立性檢驗，可以認(rèn)為游泳運動的喜好和性別有關(guān)

【答案】D

【分析】根據(jù)等高堆積條形圖即可判斷A,B選項，計算出力的值即可判斷C,D選項.

【解析】對于A,由等高堆積條形圖可知，參與調(diào)查的女生中喜歡游泳運動的人數(shù)比不喜歡游泳運動的人數(shù)

少，故A錯誤；

對于B,全校學(xué)生中男生和女生人數(shù)比不確定，故不能確定全校學(xué)生中喜歡游泳運動的男生人數(shù)比喜歡游泳

運動的女生人數(shù)多，故B錯誤；

對于C,結(jié)合等高堆積條形圖可得：

游泳

性別合計

喜歡不喜歡

男生0.6n0.4〃n

女生0.4〃0.6〃n

合計nn2n

2〃(0.6〃x0.6〃-0.4〃x0.4?)-

故/=0.08〃,

“4

若九=50,則/②=o.o8〃=4<6.635,

故依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，不可以認(rèn)為游泳運動的喜好和性別有關(guān)，故C錯誤；

對于D,若〃=100,貝ij=0.08"=8>6.635,

依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，可以認(rèn)為游泳運動的喜好和性別有關(guān)，故D正確.

故選:D

18.已知兩個分類變量X,y的數(shù)據(jù)列聯(lián)表如下，則下列能說明X與Y有關(guān)聯(lián)的是（）

Y

合計

X

Y=0Y=1

x=o100ad

X=1200be

合計300cn

A.b=2aB.2c=3bC.a=1bD.e=2d

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，同一個樣本中，|血-叫越大，說明兩個變量的關(guān)系越強，然后分別計算各選項，即可

得到結(jié)果.

【解析】同一個樣本中，加越小，說明兩個變量的關(guān)系越弱,

|改?一加越大，說明兩個變量的關(guān)系越強，

對于A,當(dāng)6=2。時，|1006—200同=0,

對于B,當(dāng)2c=36時，可得6=2。，貝山006—200。|=0,

對于C,當(dāng)a=2Z>時，|100b—200同=100<7|,

對于D,當(dāng)e=2d時，200+6=200+2。，即6=2。，止匕時|1006—200a|=。，

由以上分析可知，選項C能說明X與F有關(guān)聯(lián).

故選：C

?題型05隨機事件的概率

19.對于隨機事件48有P(A)=!，P(AB)=2P(A+B)=1,P(B)=______.

462

【答案】：

【分析】由P(A+8)=尸0)+P?_尸(AB)即可求解.

【解析】P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),

所以P(8)=P(A+B)-P(A)+P(A8)=；-；+：=1

故答案為：—

12

20.設(shè)A,8為兩個隨機事件，以下命題正確的為()

A.若A,3是對立事件，則P(AB)=1

B.若A,B是互斥事件,尸(A)=)尸(8)=《,則P(4+B)=，

326

—1-11

C.若尸(A)=1PGB)=Q,且尸(AB)=§,則A,B是獨立事件

D.若A,8是獨立事件，P(A)=-,P(B)=-,則P(AB)=；

【答案】C

【分析】根據(jù)對立事件的概念判斷A,根據(jù)互斥事件的概率加法公式判斷B,根據(jù)獨立事件的定義及概率公

式判斷C、D.

【解析】對于A,若A,8是對立事件，則尸(AB)=0,A錯誤；

對于B,若A,8是互斥事件，尸(A)=[尸(2)=1,則P(A+B)=P(A)+P(B)=[,B錯誤；

326

—1—1—?-1

對于C,P(A)=w，PCB)=],則P(A)=1-尸(A)=jP(B)=1-P(B)=~,

又P(AB)=：=&&)?P(B),則A,B是獨立事件，C正確；

___12

對于D,若AB是獨立事件，則A,3是獨立事件，而P(A)=1P(3)=§,

.....——2

則P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)].[1-P(B)]=-,D錯誤.

故選：c

21.本周末為校友返校日，據(jù)氣象統(tǒng)計資料，這一天吹南風(fēng)的概率為20%,下雨的概率為30%,吹南風(fēng)或

下雨的概率為35%,則既吹南風(fēng)又下雨的概率為（）

A.30%B.15%C.10%D.6%

【答案】B

【分析】根據(jù)概率的加法公式即可求解.

【解析】記吹風(fēng)為事件A,下雨為事件8,

因為尸（Ac3）=尸（A）+尸（3）—P（Au3）=20%+30%-35%=15%,

所以既吹南風(fēng)又下雨的概率為15%,

故選：B.

22.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別為;,p,g,該同學(xué)站在三個不同的

位置各投籃一次，至少投中一次的概率為之，則。的值是.

0

2

【答案】j

【分析】由該同學(xué)在三個不同的位置至少投中一次的概率與全不中的概率和為1,結(jié)合概率的乘法公式求解

即可.

【解析】由題意，|+-g1x（1-0）=1,解得p=g.

2

故答案為：-

23.在甲、乙、丙、丁四人踢毯子游戲中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢給另外三人中的任何一

人，若第二次踢出后恰好踢給丙，則此毯子是由乙踢出的概率為;第〃次踢出后，建子恰好踢給乙

的概率為.

【答案】1/0.5-+

24121

【分析】根據(jù)條件概率公式之積可得第二次毯子由乙踢出的概率，再由若第〃次踢出后，建子恰好踢給乙,

則第〃-1次踢出后，建子恰好不踢給乙，再由其踢給乙，即可得概率的遞推公式，進(jìn)而可得概率.

【解析】由已知接到前兩次踢出的毯子的情況有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），

（丙，?。ǘ?，甲），（T）乙），（T，丙），共9種，

設(shè)事件A：第二次的毯子由丙接到，事件第二次的建子由乙踢出，丙接到，

71

則P(A)=§，尸(AB)="

1

則尸(刎=常44

9

設(shè)第〃次踢出后，建子恰好踢給乙的概率為匕，

易知若第〃次踢出后，建子恰好踢給乙，則第〃-1次踢出后，建子恰好不踢給乙，再由其踢給乙,

即。-匕.3n>2,且6=g，

貝|么「)，

即{七一m是以<-;='為首項，-;為公比的等比數(shù)列，

即

“412

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意結(jié)合概率知識可得遞推公式勺=：(1-勺-J,進(jìn)而分析求解.

?題型06古典概率

24.從1,2,3,4,5,7這6個數(shù)中任取2個數(shù)，則這2個數(shù)均為質(zhì)數(shù)的概率為.

2

【答案】j/0.4

【分析】利用列舉法求解，先列出從6個數(shù)任取2個數(shù)的所有情況，再列出這2個數(shù)為質(zhì)數(shù)的情況，然后

利用古典概型的概率公式求解即可.

【解析】由1,2,3,4,5,7這6個數(shù)中任取2個數(shù)構(gòu)成的樣本空間為：

Q={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7),(5,7)},

所以樣本空間。共15個樣本點，

記2個數(shù)均為質(zhì)數(shù)為事件A,

則A={(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)},事件A共包含6個樣本點，

/、n(A]62

所以這2個數(shù)均為質(zhì)數(shù)為事件A的概率為尸(A)=一懸=-=

磯22113J

2

故答案為：w.

25.若某天上午安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和體育各一節(jié)課，則數(shù)學(xué)和體育不連排的概率是

3

【答案】1/0.6

【分析】根據(jù)古典概型，先求出基本事件的總數(shù)，再運用插空法，先安排好語文，英語，物理，再插入數(shù)

學(xué)和體育，求出事件A的個數(shù)，即可求解.

【解析】上午安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和體育各一節(jié)課，共有A；=120種方法，

記事件A：上午安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和體育各一節(jié)課，且數(shù)學(xué)和體育不連排，

則事件A共有A；A：=72種排法，所以數(shù)學(xué)和體育不連排的概率是P=卡=:，

A51/UD

,3

故答案為：—.

26.已知盒中有5個黑球和2個白球，每次從盒中不放回的隨機摸取1個球，直到盒中剩下的球顏色相同

就停止摸球，則摸球三次后就停止摸球的概率為.

【答案】A2

【分析】先算出基本事件的總數(shù)，再計算出隨機事件中的基本事件的個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式可求

概率.

【解析】設(shè)A為"摸球三次后就停止摸球”，則基本事件的總數(shù)為A；

若摸球三次后就停止摸球，則第三次摸出白球，余4個黑球，

前兩次摸出一黑一白，故A含有的基本事件的個數(shù)為A；C；C；,

2x5x2_2

7x6x5-21

2

故答案為：—

?題型07條件概率與全概率公式

27.緊急定位傳送器是在飛機失事墜毀時發(fā)送信號，讓搜救人員可以定位找到飛機的特有裝置.根據(jù)某機

構(gòu)對失事飛機的調(diào)查得知：失蹤飛機中有70%后來被找到，在被找到的飛機中，有60%安裝有緊急定位傳

送器；而未被找到的失蹤飛機中，有90%未安裝緊急定位傳送器.則在失蹤飛機中，裝有緊急定位傳送器

飛機的比例為(填寫百分?jǐn)?shù))，現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤,則它被找到的概率為

14

【答案】45%

15

【分析】空1：根據(jù)全概率公式即可得到答案；空2：設(shè)事件，再利用條件概率

Pv（A1忸）="A｝黑？（?、即可得到答案.

）尸（A）尸但A）+P（4）P（B|4）

［解析】根據(jù)全概率公式得裝有緊急定位傳送器飛機的比例為：

70%*60%+（1-70%）x（l-90%）=45%；

設(shè)事件A="失蹤的飛機后來被找到"，

事件&="失蹤的飛機后來未被找到"，事件3="安裝有緊急定位傳送器"，則P（A）=O.7,

P（4）=o.3,P（3|a）=0.6,P（B|4）=l-0.9=0.1,

安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，

它被找到的概率為：

尸（⑻=P（4）尸（B|A）=07x0.6=14

If'尸（4）尸（叫A）+尸（4）尸（叫4）0.7X0.6+0.3X0.115）

,14

故答案為：45%；—.

28.為了回饋長期以來的顧客群體，某健身房在五周年慶活動期間設(shè)計出了一種游戲活動.顧客需投擲一

枚骰子三次，若三次投擲的數(shù)字都是奇數(shù)，則該顧客獲得該健身房的免費團操券5張，且有2次終極抽獎

機會（2次抽獎結(jié)果互不影響）；若三次投擲的數(shù)字之和是6,12或18,則該顧客獲得該健身房的免費團操

券5張，且有1次終極抽獎機會；其余情況顧客均獲得該健身房的免費團操券3張，不具有終極抽獎機會，

已知每次在終極抽獎活動中的獎品和對應(yīng)的概率如下表所示.

獎品一個健身背包一盒蛋白粉

2

概率1

44

則一位參加游戲活動的顧客獲得蛋白粉的概率為

【分析】事件4="顧客有兩次終極抽獎機會"，事件4="顧客有一次終極抽獎機會"，求出尸（4）=：,

O

尸（4）=1,利用全概率公式得到答案.

【解析】記事件A="顧客有兩次終極抽獎機會"，事件4="顧客有一次終極抽獎機會"，事件3="獲得蛋

白粉"，

則尸（4）=5=>P（B|A）=I-（1）2=^尸（同4）=；，

事件4包括的事件是:"3次投擲的點數(shù)之和為6","3次投擲的點數(shù)之和為12","3次投擲的點數(shù)之和為18",

①若"3次投擲的點數(shù)之和為6”,則有“1,1,4"、"1,2,3"、"2,2,2”三種情形，故共有C；C；+A；+1=1。種；

②若"3次投擲的點數(shù)之和為12",則有"1,5,6"、"2,5,5"、"2,4,6"、"3,4,5"、"3,3,6"、"4,4,4”六種情形,

故共有A；+C?+A；+A；+C；C：+1=25種；

③若"3次投擲的點數(shù)之和為18",則只有“6,6,6〃一種情形，

1711Q7

所以尸⑻=尸（旬尸修⑷+尸但）尸國4）=丁布+不丁菊.

37

故答案為：礪

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用全概率公式求隨機事件8的概率問題，把事件8分拆成兩個互斥事件43與初的

和，再利用條件概率公式計算是解決問題的關(guān)鍵.

29.在秋冬季節(jié)，疾病2的發(fā)病率為2%,病人中40%表現(xiàn)出癥狀S,疾病&的發(fā)病率為5%,病人中18%

表現(xiàn)出癥狀S,疾病。3的發(fā)病率為0.5%,病人中60%表現(xiàn)出癥狀S.則任意一位病人有癥狀S的概率為

病人有癥狀S時患疾病2的概率為（癥狀S只在患有疾病2，D2,2時出現(xiàn)）

1Q

【答案】0.02/—0.45/—

【分析】根據(jù)全概率公式和貝葉斯公式計算可得結(jié)果.

【解析】由題意可知：P（D1）=0.02,P（D2）=0.05,P（A）=0.005,

「($闖=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,

由全概率公式可知：

P(S)=P(SB)P(2)+P(S|2)P(3)+P(S|Q)P(2)

=0.02x0.4+0.05x0.18+0.005x0.6=0.02,

即任意一位病人有癥狀s的概率為0.02,

由貝葉斯公式可知:

P(￡>2)P(5|P2)0.05X0.18

尸（鄧”=0.45,

P(S)-—0.02

即病人有癥狀S時患疾病2的概率為045.

故答案為：0.02,0.45.

30.為了回饋長期以來的顧客群體，某健身房在五周年慶活動期間設(shè)計出了一種游戲活動，顧客需投擲一

枚骰子兩次，若兩次投擲的數(shù)字都是偶數(shù)，則該顧客獲得該健身房的免費團操券5張，且有2次終極抽獎

機會（2次抽獎結(jié)果互不影響）；若兩次投擲的數(shù)字之和是5或9,則該顧客獲得該健身房的免費團操券5

張，且有1次終極抽獎機會；其余情況顧客均獲得該健身房的免費團操券3張，不具有終極抽獎機會.已知

每次在終極抽獎活動中的獎品和對應(yīng)的概率如下表所示.

獎品一個健身背包一盒蛋白粉

2￡

概率

44

則一位參加游戲活動的顧客獲得蛋白粉的概率為.

95

【答案】

576

【分析】記事件4="顧客有兩次終極抽獎機會"，事件&="顧客有一次終極抽獎機會"，事件3="獲得蛋

白粉"，求出尸（4），尸（4），利用全概率公式即可求解.

【解析】記事件A="顧客有兩次終極抽獎機會"，

事件A="顧客有一次終極抽獎機會"，事件3="獲得蛋白粉”，

3213p網(wǎng)&）=；,

尸(4)=至="P(BIA)=i-I4

兩次投擲的數(shù)字之和是5的情況有："1,4","4,1","2,3","3,2”,

兩次投擲的數(shù)字之和是9的情況有："6,3","3,6","4,5","5,4”,

QO

所以尸(4)=1=§,

172195

P(B)=P(Ai)P(B\Al)+P(A2)P(B\A2)=-x—+-x-=~.

95

故答案為：——.

02模擬精練

一、單選題

1.（2024?湖南衡陽?一模）某城市隨機選取“個人參加活動，假設(shè)該城市人口年齡分布均勻，要使得參加該

活動有人生肖相同的概率大于50%,則至少需要選?。ǎ﹤€人.

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

［分析］利用分步計數(shù)原理及排列，先求得選取〃個人中生肖均不相同概率P（n）=需，再求出P（n）<50%,

即可求解.

【解析】已知12個生肖，按先后順序選擇〃個人，每次選中的人有12種等概率可能，由分步乘法原理共有12"

種情況,

若選取〃個人中生肖均不相同，有A：2（〃W12）種可能，故選取〃個人中生肖均不相同概率尸（"）=22,

要使得參加該活動有人生肖相同的概率大于50%，即P5）<50%,

P12,

由于片=百一>1，即匕隨"隨，的增大而減小,

￡+112-?

5

12.1110-9P(5)=^All=5—595—S<50%,故至少要選5個人,

尸(4)=「=—>50%,

12412-12-12-1296125963144

故選：C.

2.（2024?四川南充?一模）甲同學(xué)近10次數(shù)學(xué)考試成績情況如下：103,106,113,119,123,118,134,

118,125,121,則甲同學(xué)數(shù)學(xué)考試成績的第75百分位數(shù)是（）

A.118B.121C.122D.123

【答案】D

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算.

【解析】已知數(shù)據(jù)按從小到大排列為：103,106,113,118,118,119,121,123,125,134,

75%x10=7.5,因此第75百分位數(shù)是第8個數(shù)123.

故選：D.

3.（2022?陜西榆林?模擬預(yù)測）袁隆平院士是中國雜交水稻事業(yè)的開創(chuàng)者和領(lǐng)導(dǎo)者，他在農(nóng)業(yè)科學(xué)的第一線

辛勤耕耘、不懈探索，為人類運用科技手段戰(zhàn)勝饑餓帶來了綠色的希望和金色的收獲.在雜交水稻試驗田中

隨機抽取了100株水稻，統(tǒng)計每株水稻的稻穗數(shù)（單位：顆）得到如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中

的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），則下列說法垂誤的是（）

B.這100株水稻的稻穗數(shù)的平均值在區(qū)間［280,300）中

C.這100株水稻的稻穗數(shù)的平均值在區(qū)間［240,260）中

D.這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間［240,260）中

【答案】B

【分析】由頻率和為1可計算出利用各區(qū)間中點值估計出平均值，由頻率0.5對應(yīng)的數(shù)值為中位數(shù)，這

樣可判斷各選項得結(jié)論.

【解析】對A,根據(jù)頻率分布直方圖知組距為20,

所以a=-0.0025-0.005-0.0175-2x0.0075=0.01,故A正確；

20

對B,這100株水稻的稻穗數(shù)平均值

x=20x（0.005x210+0.0075x230+0.0175x250+0.01x270+0.0075x290+0.0025x310）=256

可知這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間［240,260）中，故B錯誤；

對C,由B選項可知這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間［240,260）中，故C正確；

對D,前兩個矩形的面積是0.25<0.5,前三個矩形的面積是0.6>0.5,

所以中位數(shù)在第三組數(shù)據(jù)中，即這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間中［240,260）,故D正確.

故選：B

4.（2024?江蘇揚州?模擬預(yù)測）將一顆骰子連續(xù)拋擲三次，向上的點數(shù)依次為國,％，不，則不《尤2V無3的概率

為（）

57-57

A.—B.—C.—D.—

54542727

【答案】D

【分析】取定再,3,W中的一個值，考查另外兩次拋擲骰子的樣本點數(shù)，利用分類加法計數(shù)原理和古典概型

概率公式計算即得.

【解析】考慮取定毛的值，分類統(tǒng)計事件"不＜%所含的樣本點數(shù)，將%,當(dāng)對應(yīng)的值作為一個數(shù)組，

列表如下：

Z'尤3123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)