2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表（解析版）

專題55隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................4

【考點(diǎn)突破】...............................................................11

【考點(diǎn)1】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣......................................................11

【考點(diǎn)2］分層隨機(jī)抽樣及其應(yīng)用..............................................14

【考點(diǎn)3］統(tǒng)計(jì)圖表..........................................................17

【分層檢測(cè)】...............................................................22

【基礎(chǔ)篇】.................................................................22

【能力篇】.................................................................30

考試要求：

1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性.

2.會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機(jī)抽樣方法3理解統(tǒng)計(jì)圖表的含義.

.知識(shí)梳理

L簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

分為放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.除非特殊聲明，本章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣指不放回簡(jiǎn)

單隨機(jī)抽樣.

(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.

(3)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的常用方法

實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法很多，抽簽法和隨機(jī)數(shù)法是比較常用的兩種方法.

2.總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)

名稱定義

一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為卜2,…，

YN,則稱y—"+；工匕為總體均值,又稱總體平均數(shù).

總體均值

(總體平均如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(kWN)個(gè),不妨記為Yi,

數(shù))打，…，Yk,其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)力(1=1,2,…，k),則總體均值還

可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式丫=而加匕.

如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，它們的變量值分別為約，

樣本均值(樣

處，則稱L為樣本均值,又稱樣本

本平均數(shù))

平均數(shù).

說明：(1)在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)y去估計(jì)總體平均數(shù)丫；

(2)總體平均數(shù)是一個(gè)確定的數(shù)，樣本平均數(shù)具有隨機(jī)性(因?yàn)闃颖揪哂须S機(jī)性);

(3)一般情況下，樣本量越大，估計(jì)越準(zhǔn)確.

3.分層隨機(jī)抽樣

(1)分層隨機(jī)抽樣的概念

一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，

在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,

這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣,每一個(gè)子總體稱為層.

2

(2)分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算

在分層隨機(jī)抽樣中，以層數(shù)是2層為例，如果第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N,

抽取的樣本量分別為根和〃，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為x,y,樣本平均數(shù)為孫則

M-.N~m~.n~

W~M-\-NXm+nXm+r^'

我們可以用樣本平均數(shù)少估計(jì)總體平均數(shù)W.

4.統(tǒng)計(jì)圖表

⑴常見的統(tǒng)計(jì)圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻數(shù)分布直方圖、頻率分布直方圖等.

(2)頻率分布表、頻率分布直方圖的制作步驟及意義

即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小

值的差

組數(shù)人睛，若4ez,則組數(shù)

為k,若k莊Z,則組數(shù)為不小于

輔勺最小整數(shù)

各組均為左閉右開區(qū)間，最后

一組是閉區(qū)間

一般分四列：分組、頻數(shù)累計(jì)、

頻數(shù)、頻率，最后一行是合計(jì)，

其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本量，頻

率合計(jì)應(yīng)是1

在頻率分布直方圖中，縱軸表

示器,數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的

組距

頻率用各小長(zhǎng)方形的面積來

表示，各小長(zhǎng)方形的面積的總

和等于1

|常用結(jié)論

1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的.

2.分層隨機(jī)抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘抽樣比.

頻率

3.頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形高=穩(wěn).

?真題自測(cè)

一、單選題

1.(2024?全國(guó)?高考真題)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的

畝產(chǎn)量(單位：kg)并整理如下表

3

畝產(chǎn)

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

2.（2023?天津?高考真題）鶯是鷹科的一種鳥，《詩(shī)經(jīng)?大雅?旱麓》曰："鶯飛戾天，魚躍余淵”.鶯尾花因花

瓣形如鶯尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長(zhǎng)度和花

瓣長(zhǎng)度（單位：cm）,繪制散點(diǎn)圖如圖所示，計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為r=Q8642,利用最小二乘法求得相應(yīng)

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7501x+0.6105,根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（）

72

6.8

花6.4

瓣6.0

長(zhǎng)5.6

度52

4.8

4.4

4.85.25.66.06.46.8727.6

花萼長(zhǎng)度

A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)

C.花萼長(zhǎng)度為7cm的該品種鶯尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值為5.8612cm

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8642

3.（2022?天津?高考真題）將1916到2015年的全球年平均氣溫（單位：。C）,共100個(gè)數(shù)據(jù)，分成6組:

[13.55,13.75）,[13.75,13.95）,[13.95,14.15）,[14.15,14.35）,[14.35,14.55）,[14.55,14.75],并整理得到如下的頻率分布

直方圖，則全球年平均氣溫在區(qū)間[14.35,14.75]內(nèi)的有（）

4

「頻率/組距

1.55..................

1.30.............-T-

S5

S,60

S.60

.540

O.

O13.5513.7513.9514.1514.3514.5514.75全球年平均氣溫/℃

A.22年B.23年C.25年D.35年

4.（2022?全國(guó)?高考真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽

取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和

講座后問卷答題的正確率如下圖:

100%

95%-*

90%-*..........

洲85%....*——?

逐80%..........**講座前

田75%*?講座后

70%*

65%........-*

60%....-*……

0；

12345678910

居民編號(hào)

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

5.（2022?北京?高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館"冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰

技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和1g尸的關(guān)系，其中T

表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

5

1靖

A.當(dāng)7=220,尸=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,尸=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

二、多選題

6.（2023?全國(guó)?高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)再,馬,…,乙，其中七是最小值，血是最大值，貝U（）

A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于%,3,…的平均數(shù)

B.%，尤3，4七的中位數(shù)等于占,尤2,…，%的中位數(shù)

C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于占,3,…,毛的標(biāo)準(zhǔn)差

D.工2,*3，*4,尤5的極差不大于占…,毛的極差

三、解答題

7.（2023?全國(guó)?高考真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，

每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)

量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為4，%。=1,2,…,10）.試

驗(yàn)結(jié)果如下:

試驗(yàn)序號(hào)，12345678910

伸縮率七545533551522575544541568596548

伸縮率%536527543530560533522550576536

記4=X,-y（i=1,2,…,10）,記Z2,…,胡的樣本平均數(shù)為Z，樣本方差為s?.

⑴求三，s'；

⑵判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果

6

Z>2A^，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否

V10

則不認(rèn)為有顯著提高)

8.(2023?全國(guó)?高考真題)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于。的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判

定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為。(c)；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)

性的概率，記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率。(。)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c)；

(2)設(shè)函數(shù)〃c)=p(c)+q(c),當(dāng)ce［95,105］時(shí),求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值.

參考答案：

題號(hào)123456

答案CCBBDBD

1.C

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)

算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為1氣00而-3二4=66%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確；

7

對(duì)于D,由頻數(shù)分布表可得，平均值為

^x(6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75)=1067,故D錯(cuò)誤.

故選；C.

2.C

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)及經(jīng)驗(yàn)回歸方程可判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可以判斷D選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤

散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，

把x=7代入y=0.7501尤+0.6105可得y=5.8612cm,C選項(xiàng)正確；

由于廠=0.8642是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的

相關(guān)系數(shù)不一定是。.8642,D選項(xiàng)錯(cuò)誤

故選：C

3.B

【分析】由頻率分布直方圖可得所求區(qū)間的頻率，進(jìn)而可以求得結(jié)果.

【詳解】全球年平均氣溫在區(qū)間［14.55,14.75］內(nèi)的頻率為(0.50+0.65)x0.2=0.23,

則全球年平均氣溫在區(qū)間［14.35,14.75］內(nèi)的有100x0.23=23年.

故選：B.

4.B

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數(shù)為70%；75%>70%，所以人錯(cuò);

講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是80%,4個(gè)85%，剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確率

的平均數(shù)大于85%,所以B對(duì)；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所

以C錯(cuò)；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,所以口錯(cuò).

故選B

5.D

8

【分析】根據(jù)T與IgP的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)T=220,P=1026時(shí)，炮尸>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)7=270,尸=128時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)7=300,尸=9987時(shí)，IgP與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)

誤.

當(dāng)7=360,尸=729時(shí)，因2<坨尸<3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選:D

6.BD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)3,三,匕,毛的平均數(shù)為小，尤，1々，…,％的平均數(shù)為"，

則占+%+$+*4+”5+尤6/+%+*4+*52(占+工6)-(%+/++匕)

'n~，n~64—12

因?yàn)闆]有確定2(占+*6),三+%+工3+Z的大小關(guān)系，所以無法判斷機(jī)，”的大小,

例如：1,2,3,4,5,6,可得7〃="=3.5；

例如LLLLL7,可得利=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得加=2,"==；故A錯(cuò)誤；

6

對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)jq<x2<x3<x4<x5<x6,

可知尤2,9,匕,毛的中位數(shù)等于%,…%的中位數(shù)均為玉產(chǎn)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槊亲钚≈担?是最大值，

則聲,三,%,毛的波動(dòng)性不大于%，々，…，%的波動(dòng)性，即％,當(dāng)'工4'%的標(biāo)準(zhǔn)差不大于X，和…，%的標(biāo)準(zhǔn)差,

例如：2,4,6,8,10,12,貝I］平均數(shù),=:(2+4+6+8+10+12)=7,

4,6,8,10,貝1|平均數(shù)機(jī)=；(4+6+8+10)=7,

標(biāo)準(zhǔn)差”=g[(4-7)-(6-7『+(8-7『+(10-7月=退,

顯然叵>如，即邑>S2；故C錯(cuò)誤；

3

對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)%!<%,<x3<%4<%5<x6,

則%-占當(dāng)且僅當(dāng)%=%，%=苫6時(shí)，等號(hào)成立，故D正確;

9

故選：BD.

7.(l)z=11,r=61；

(2)認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【分析】(1)直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出工7,再得到所有的4值，最后計(jì)算出方差即可;

(2)根據(jù)公式計(jì)算出2)且的值，和吃比較大小即可.

V10

■、*時(shí)、,、_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548廠廠-。

［詳解］(］)X=-----------------------------------------------=552.3,

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536°

y=-----------------------------------------------=541.3,

10

z=x-y=552.3-541.3=11,

的值分別為:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

痂_(9-11)2+(6-11)2+(8-11?+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

RXS2=

10

(2)由(1)知:彳=11,2.—=2A/6?T=7244,故有

V10V10

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

8.⑴<=97.5,q(c)=3.5%.

-0.008c+0.82,95<c<100

(2)/(c)=,最小值為0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

【分析】(1)根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出。，再根據(jù)第二個(gè)圖求出。上97.5的矩形面積即可解出;

(2)根據(jù)題意確定分段點(diǎn)100,即可得出f(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

【詳解】(1)依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c-95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

^(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)當(dāng)ce［95,100］時(shí),

/(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0.02；

當(dāng)cw(100,105］時(shí),

10

f(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

-0.008c+0.82,95100

故/?=

0.01c-0.98,100<c<105

所以〃c）在區(qū)間［95,105］的最小值為Q02.

前考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

一、單選題

1.（2022?黑龍江哈爾濱?三模）為了了解學(xué)生上網(wǎng)課期間作息情況，現(xiàn)從高三年級(jí)702人中隨機(jī)抽取20人

填寫問卷調(diào)查，首先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣剔除2人，然后在剩余的700人中再用系統(tǒng)抽樣的方法抽取20人，則

（）

A.每個(gè)學(xué)生入選的概率都為*B.每個(gè)學(xué)生人選的概率都為《

C.每個(gè)學(xué)生人選的概率都為券D.由于有剔除，學(xué)生入選的概率不全相等

2.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）從一個(gè)含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一容量為”的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)

數(shù)法和分層隨機(jī)抽樣三種不同方法時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為Pi，P2，P3,三者關(guān)系可能是（）

A.Pi=P2<P3B.Pi=P2=P3C.Pi=P3<P2D.P2=P3<Px

二、多選題

3.（2024?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）給出下列命題，其中錯(cuò)誤的命題為（）

A.若樣本數(shù)據(jù)玉,馬,…,占。的方差為3,則數(shù)據(jù)2占-1,2尤2-1,…,2/-1的方差為6.

B.具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x,y的相關(guān)系數(shù)為「，那么卜|越接近于0,尤，y之間的線性相關(guān)程度越高;

C.在一個(gè)2x2列聯(lián)表中，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到片的觀測(cè)值上若上的值越大，則認(rèn)為兩個(gè)變量間有

關(guān)的把握就越大；

D.甲同學(xué)所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為200的一個(gè)

樣本，則甲被抽到的概率為g.

4.（2022?湖北?模擬預(yù)測(cè)）某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的編號(hào)為1~1000

的1000名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個(gè)問題，問題1：你的編號(hào)是否為奇數(shù)？問題2：你是否吸煙？

被調(diào)查者從設(shè)計(jì)好的隨機(jī)裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球50個(gè)，紅球50個(gè)）中摸出一個(gè)小球（摸完

放回）：摸到白球則如實(shí)回答問題L摸到紅球則如實(shí)回答問題2,回答"是"的人在一張白紙上畫一個(gè)"V",

回答"否”的人什么都不用做，由于問題的答案只有"是〃和"否"，而且回答的是哪個(gè)問題也是別人不知道的，

因此被調(diào)查者可以毫無顧忌的給出真實(shí)的答案.最后統(tǒng)計(jì)得出，這1000人中，共有265人回答"是"，則下

11

列表述正確的是（）

A.估計(jì)被調(diào)查者中約有15人吸煙B.估計(jì)約有15人對(duì)問題2的回答為"是"

C.估計(jì)該地區(qū)約有3%的中學(xué)生吸煙D.估計(jì)該地區(qū)約有1.5%的中學(xué)生吸煙

三、填空題

5.（23-24高三上?上海?期中）現(xiàn)利用隨機(jī)數(shù)表發(fā)從編號(hào)為00,01,02,…,18,19的20支水筆中隨機(jī)選取6支，選

取方法是從下列隨機(jī)數(shù)表第1行的第9個(gè)數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第6支水筆的

編號(hào)為.

952260004984012866175168396820274377236627096623

925808564389099006482834597418582977814964608925

6.（2022?新疆烏魯木齊?模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分"問題：”開倉(cāng)受納，有甲

戶米一千五百三十四石到廊.驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，乃于樣內(nèi)取米一捻，數(shù)計(jì)二百五十四粒，內(nèi)有谷二十八顆.今

欲知米內(nèi)雜谷多少."意思是：官府開倉(cāng)接受百姓納糧，甲戶交米1534石到廊前，檢驗(yàn)出米里夾雜著谷子，

于是從米樣粒取出一捻，數(shù)出共254粒，其中有谷子28顆，則這批米內(nèi)有谷子約石（結(jié)果四舍

五入保留整數(shù)）；

參考答案:

題號(hào)1234

答案CBABDBC

1.C

【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽和系統(tǒng)抽樣都是等可能抽樣以及概率公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹?jiǎn)單隨機(jī)抽和系統(tǒng)抽樣都是等可能抽樣，所以每個(gè)學(xué)生入選的概率都相等，且入選的概率等

.2010

702-351'

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)抽樣的概念，每個(gè)個(gè)體被抽中的概率是均等的，進(jìn)而即可選擇答案.

【詳解】因?yàn)樵诔楹灧ǔ闃?、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽中的概率均為三，

N

所以P1=。2

故選：B.

3.ABD

【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)相關(guān)系數(shù)廠的性質(zhì)可判斷B；根據(jù)k的性質(zhì)可判斷C；根據(jù)簡(jiǎn)單隨

機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是等可能的可判斷Do

［詳解］若樣本數(shù)據(jù)再，無2,…，%的方差為3,則數(shù)據(jù)23-1,2%-1,…,2網(wǎng)。-1的方差為2?x3=12,故A錯(cuò)誤；

12

由相關(guān)系數(shù)的實(shí)際意義知『|越接近于Lx,y之間的線性相關(guān)程度越高，故B錯(cuò)誤；

片的觀測(cè)值k越大，則認(rèn)為兩個(gè)變量間有關(guān)的把握就越大，故C正確；

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是等可能的，概率等于篝、怒=總蔡，故D錯(cuò)誤；

故選：ABD

4.BC

【分析】先求出回答問題2且回答的"是"的人數(shù)，從而估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比，即得解.

【詳解】隨機(jī)抽出的1000名學(xué)生中，回答第一個(gè)問題的概率是其編號(hào)是奇數(shù)的概率也是所以回答

問題1且回答的"是"的學(xué)生人數(shù)為1000x；xg=250,

回答問題2且回答的"是"的人數(shù)為265-250=15,

從而估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為蓋=3%,

估計(jì)被調(diào)查者中吸煙的人數(shù)為1000x3%=30.

故選：BC.

5.18

【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法的讀取規(guī)則，即可求解.

【詳解】依次選出的編號(hào)為：01.17,09.08,06,18

則選出來的第6支水筆的編號(hào)為18,

故答案為：18.

6.169

【分析】求出米內(nèi)夾谷的比例，再乘以1534即可得解.

no14

【詳解】依題意可得米內(nèi)夾谷的比例為總=三，

254127

14

所以這批米內(nèi)有谷子1534x==169石.

127

故答案為：169.

反思提升：

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣需滿足：（1）被抽取的樣本總體的個(gè)體數(shù)有限；（2）逐個(gè)抽?。唬?）是不放回抽?。?/p>

（4）是等可能抽取.

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常有抽簽法（適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況）、隨機(jī)數(shù)法（適用于個(gè)體數(shù)較多的

情況）.

【考點(diǎn)2】分層隨機(jī)抽樣及其應(yīng)用

一、單選題

13

1.（2024?江西鷹潭?一模）某單位為了解職工體重情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從800名職工中抽取了一

個(gè)容量為80的樣本.其中，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159,

男女人數(shù)之比為5:3,則單位職工體重的方差為（）

A.166B.167C.168D.169

2.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校高三年級(jí)男生共有2個(gè)，女生共有NZ個(gè)，為調(diào)查該年級(jí)學(xué)生的年齡情況，

通過分層抽樣，得到男生和女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為京兀和已知兀=元，則該校高三年

級(jí)全體學(xué)生年齡的方差為（）

A.NS+N&B.N?S：+N\S；

C—S；+電s；D$S2

N[+MN]+NzNT+N2N1+N2

二、多選題

3.（2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校高三年級(jí)共有900人，其中男生500人，現(xiàn)采用按性別比例分配的分

層抽樣抽取了容量為90的樣本.經(jīng)計(jì)算得男生的身高均值為170,方差為19,女生樣本的身高均值為161.

方差為19,則下列說法中正確的是（）

A.女生的樣本容量為40

4

B.女生甲被抽到的概率為§

C.估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生身高的均值為166

D.估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生身高的方差大于19

4.（2023?山西臨汾?一模）某學(xué)生社團(tuán)有男生32名，女生24名，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本，某次

抽樣結(jié)果為：抽到3名男生和4名女生，則下列說法正確的是（）

A.這次抽樣可能采用的是抽簽法

B.這次抽樣不可能是按性別分層隨機(jī)抽樣

C.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率一定小于每個(gè)女生被抽到的概率

D.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率不可能等于每個(gè)女生被抽到的概率

三、填空題

5.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）某高中為了了解學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的情況，采用了分層隨機(jī)抽樣的方法

從三個(gè)年級(jí)中抽取了300人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級(jí)各抽取了90人.已知該校高三年級(jí)共有720

名學(xué)生，則該校共有學(xué)生_____人.

6.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）杭州亞運(yùn)會(huì)期間，某社區(qū)有200人參加協(xié)助交通管理的志愿團(tuán)隊(duì)，為了解他

們參加這項(xiàng)活動(dòng)的感受，用按比例分配的分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為40的樣本，若樣本中女性

有16人，則該志愿團(tuán)隊(duì)中的男性人數(shù)為.

14

參考答案:

題號(hào)1234

答案DCACDAB

1.D

【分析】利用分層抽樣的平均數(shù)和方差公式即可得解.

-53

【詳解】依題意，單位職工平均體重為X=GX64+GX56=61,

88

則單位職工體重的方差為『=][151+(64-61)1+.159+(56-61)2卜169.

故選：D.

2.C

【分析】結(jié)合分層隨機(jī)抽樣的方差公式可得答案

_N.N,

【詳解】學(xué)校高三年級(jí)男生共有M個(gè)，所占比例為看、，女生以個(gè)，所占比例為看入「，

2VjI/*2/Y]/Y2

故該校高三年級(jí)全體學(xué)生的年齡方差為：：S?=N'N卜;+伍一可〔+二：兀卜;+(%-可】,

當(dāng)工=兀時(shí)，丁=1=兀，

故選：C

3.ACD

【分析】由題意先得抽樣比例，進(jìn)而得男生和女生的樣本容量即可判斷A、B,再根據(jù)分層隨機(jī)抽樣總樣本

均值公式北‘亍和方差公式上-x母+(元_Z)2]+1-x卜：+(9-可2]即可求解.

【詳解】由題抽樣比例為黑=&,故男生被抽到人數(shù)為±'500=50人；女生被抽到人數(shù)為90-50=40人，

故A對(duì)；

所以女生甲被抽到的概率為赤4焉0=云1，故B錯(cuò)；

由上以及題意得總樣本均值為：|^xl70+1^xl61=166;

總樣本方差為：|^X[19+(170-166)2]+1^X[19+(161-166)2]=39>19,故C、D對(duì).

故選：ACD.

4.AB

【分析】根據(jù)抽樣方法的概念求解即可.

【詳解】根據(jù)抽樣結(jié)果，此次抽樣可能采用的是抽簽法，A正確；

若按分層抽樣，則抽得的男女人數(shù)應(yīng)為4人，3人，

15

所以這次抽樣不可能是按性別分層隨機(jī)抽樣，B正確；

若按抽簽法，則每個(gè)男生被抽到的概率和每個(gè)女生被抽到的概率均相等，C,D錯(cuò)誤.

故選:AB.

5.1800

【分析】根據(jù)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)確定抽樣的比例即可求解.

【詳解】由題意可知從三個(gè)年級(jí)中抽取的300人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高三有120人，

所以抽取的比例為黑=’

720o

設(shè)該校共有"名學(xué)生，可得迎=」，

n6

解得”=1800人，即該校共有1800名學(xué)生.

故答案為：1800.

6.120

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分層抽樣的概念和計(jì)算方法，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合分層抽樣的概念及運(yùn)算，可得愿團(tuán)隊(duì)中的男性人數(shù)為200x絲40￡-16=120.

40

故答案為：120.

反思提升：

1.求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算.

2.已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體數(shù)量或反之求解：根據(jù)分層隨機(jī)抽樣就是按比例抽樣，列比例式

進(jìn)行計(jì)算.

3.在分層隨機(jī)抽樣中，如果第一層的樣本量為m,平均值為x;第二層的樣本量為n,平均值

為y,則樣本的平均值為處乎.

■m+n

【考點(diǎn)3】統(tǒng)計(jì)圖表

一、單選題

1.（2022?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）下圖為國(guó)家統(tǒng)計(jì)局給出的2016-2020年福利彩票銷售額、增長(zhǎng)率及籌集公

益金情況統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法正確的是（）

16

A.2016-2020年福利彩票銷售額呈遞減趨勢(shì)

B.2016-2020年福利彩票銷售額的年增長(zhǎng)率呈遞減趨勢(shì)

C.2016-2020年福利彩票銷售額、籌集公益金均在2018年取得最大值

D.2017-2018年福利彩票銷售額增長(zhǎng)的最多

2.（2021?廣西柳州?一模）空氣質(zhì)量的指標(biāo)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)的值越小，表明空氣

質(zhì)量越好，AQI指數(shù)不超過50,空氣質(zhì)量為優(yōu)，AQI指數(shù)大于50且不超過100,空氣質(zhì)量為良，AQI指數(shù)

大于100,空氣質(zhì)量為污染，如圖是某市2020年空氣質(zhì)量指標(biāo)AQI的月折線圖.下列關(guān)于該市2020年空氣

質(zhì)量的敘述中不一定正確的是（）

某市2020年空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）月折線圖

200--------------------------------------

150

100

50

123456789101112

月月月月月月月月月月月月

一最小值一平均值一最大值

A.全年的平均AQI指數(shù)對(duì)應(yīng)的空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)或良.

B.每月都至少有一天空氣質(zhì)量為優(yōu).

C.空氣質(zhì)量為污染的天數(shù)最多的月份是2月份.

D.2月，8月，9月和12月均出現(xiàn)污染天氣.

二、多選題

3.（2024?遼寧?二模）下圖為某市2023年第一季度全市居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成圖.己知城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)

支出7924元，與上一年同比增長(zhǎng)4.4%；農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出4388元，與上一年同比增長(zhǎng)7.8%,則關(guān)

于2023年第一季度該市居民人均消費(fèi)支出，下列說法正確的是（）

17

2023年第一季度全市居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成圖

醫(yī)療保健528元/其他用品及服務(wù)163元

交通通信583元、

教育文化娛樂791元

生活用品及服務(wù)356元，

食品煙酒1435元

A.2023年第一季度該市居民人均消費(fèi)支出6393元

B.居住及食品煙酒兩項(xiàng)的人均消費(fèi)支出總和超過了總?cè)司M(fèi)支出的50%

C.城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額與上一年同比在縮小

D.醫(yī)療保健與教育文化娛樂兩項(xiàng)人均消費(fèi)支出總和約占總?cè)司M(fèi)支出的20.6%

4.（2021?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）在"世界杯"足球賽閉幕后，某中學(xué)學(xué)生會(huì)對(duì)本校高三年級(jí)1000名學(xué)生收看比

賽的情況用隨機(jī)抽樣方式進(jìn)行調(diào)查，樣本容量為50,將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下:

觀看場(chǎng)數(shù)01234567

觀看人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%

從表中可以得出正確的結(jié)論為（）

A.表中機(jī)的數(shù)值為16

B.估計(jì)全年級(jí)觀看比賽低于4場(chǎng)的學(xué)生約為32人

C.估計(jì)全年級(jí)觀看比賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為360

D.估計(jì)全年級(jí)觀看比賽場(chǎng)數(shù)的眾數(shù)為2

三、填空題

5.（2024?河北石家莊?三模）為了解全市高三學(xué)生的體能素質(zhì)情況，在全市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000名

學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，并將這1000名學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)整理成如下頻率分布直方圖.則直方圖中實(shí)數(shù)“的

值為.

頻率

6.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）某校為了解高三學(xué)生身體素質(zhì)情況，從某項(xiàng)體育測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取"個(gè)學(xué)

18

生的成績(jī)進(jìn)行分析，得到成績(jī)頻率分布直方圖（如圖所示），估計(jì)該校高三學(xué)生此項(xiàng)體育成績(jī)的中位數(shù)

為.（結(jié)果保留整數(shù)）

頻率

O50607080901UU分?jǐn)?shù)

參考答案:

題號(hào)1234

答案CCABI)AC

1.C

【分析】根據(jù)給定的條形圖及折線圖，逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,2016-2020年福利彩票銷售額先遞增后遞減，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,2016-2020年福利彩票銷售額的年增長(zhǎng)率先遞增后遞減，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,2016-2020年福利彩票銷售額、籌集公益金均在2018年取得最大值，C正確；

對(duì)于D,2017-2018年福利彩票銷售額增長(zhǎng)75.8億元，2016-2017年福利彩票銷售額增長(zhǎng)104.9億元，D錯(cuò)

誤.

故選：C

2.C

【分析】根據(jù)折線圖的信息即可判斷出答案.

【詳解】對(duì)于A,由折線圖知平均AQI指數(shù)值不超過100所以A正確；

對(duì)于B,通過折線圖知平均AQI指數(shù)均在50以下，說明至少有一天空氣質(zhì)量為優(yōu)，所以B正確；

對(duì)于C,根據(jù)折線圖2月份出現(xiàn)最大值，并不表示空氣質(zhì)量為"污染"的天數(shù)最多的月份是2月份，所以C錯(cuò)

誤；

對(duì)于D,2月，8月，9月和12月的最大值A(chǔ)QI指數(shù)有大于100,空氣質(zhì)量為"污染"，所以D正確；

故選:C.

3.ABD

【分析】根據(jù)消費(fèi)支出構(gòu)成圖及已知條件分析數(shù)據(jù)一一判定選項(xiàng)即可.

【詳解】2023年第一季度全市居民人均消費(fèi)支出為2084+453+1435+356+791+583+528+163=6393（元），

故A正確；

19

易知居住及食品煙酒兩項(xiàng)的人均消費(fèi)支出總和為2084+1435=3519(元)，

3519

占總?cè)司M(fèi)支出的——xl00%?55.0%>50%,故B正確：

6393

依題意可得2022年第一季度城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額為37924-4益388。3520(元)，

2023年第一季度城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出的差額為7924-4388=3536(元)，

由于3520<3536,故C錯(cuò)誤；

COQI7Q1

醫(yī)療保健與教育文化娛樂兩項(xiàng)人均消費(fèi)支出總和占總?cè)司M(fèi)支出的“100%。20.6%，故D正確.

6393

故選：ABD.

4.AC

【分析】由頻率分布表的性質(zhì)，求出m=16；先由頻率分布表求出觀看比賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生所占比率，由

此估計(jì)觀看比賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生人數(shù)；根據(jù)頻率分布表讀出眾數(shù).

【詳解】解：由頻率分布表的性質(zhì)，得：

m=100-8-10-20-26-12-6-2=16,故A正確；

觀看比賽低于4場(chǎng)的學(xué)生所占比率為：8%+10%+20%+26%=64%,

,估計(jì)觀看比賽低于4場(chǎng)的學(xué)生約為：1000x64%=640人，故8錯(cuò)誤，

觀看比賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生所占比率為：16%+12%+6%+2%=36%,

,估計(jì)觀看比賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為：1000x36%=360人，故C正確，

出現(xiàn)頻率最高的為3.故估計(jì)全年級(jí)觀看比賽場(chǎng)數(shù)的眾數(shù)為3,故。錯(cuò)誤；

故選：AC.

5.0.015

【分析】利用直方圖直方塊總面積為1,進(jìn)行運(yùn)算解出。即可.

【詳解】由直方圖可知：組距為10,

所以10*(0.005+a+0.020+0.040+0.020)=1,

解得a=0.015.

故答案為：0.015.

6.76

【分析】由概率之和為1計(jì)算出x后，結(jié)合中位數(shù)的定義計(jì)算即可得.

【詳解】(0.01+0.016+x+0.022+0.014)xl0=l,解得x=0.038,

由(0.010+0.016)x10=0.26<0.5,(0.010+0.016+0.038)x10=0.64>0.5,

20

設(shè)中位數(shù)為X,貝|J70Vx<80,

有士工空120

92m解得尤=70+--76.

80-700.64-0.2619

故答案為：76.

反思提升：

（1）通過扇形圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.

（2）折線圖可以顯示隨時(shí)間（根據(jù)常用比例放置）而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等

時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì).

（3）頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點(diǎn)：

①頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果，不