2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：向量法求距離、探索性及折疊問題（（解析版））

專題42向量法求距離、探索性及折疊問題（新高考專用）

目錄

【真題自測】................................................................2

【考點(diǎn)突破】................................................................9

【考點(diǎn)1】利用向量法求距離..................................................9

【考點(diǎn)2］立體幾何中的探索性問題............................................21

【考點(diǎn)3】折疊問題..........................................................32

【分層檢測】...............................................................43

【基礎(chǔ)篇】.................................................................43

【能力篇】.................................................................64

【培優(yōu)篇】.................................................................72

庠真題自測

一、解答題

1.（2024?天津?高考真題）已知四棱柱A2CZ）-a4G2中，底面ABCD為梯形，AB〃CD,平面ABCD,

AD.LAB,其中AB=44,=2,A￡>=￡>C=1.N是Bg的中點(diǎn)，Al是的中點(diǎn).

⑴求證RN〃平面C印W；

（2）求平面CB}M與平面BB°q的夾角余弦值;

⑶求點(diǎn)8到平面CBM的距離.

2.（2023?全國?高考真題）如圖，在正四棱柱ABC。一44GR中，AB=2,=4.點(diǎn)C2,鼻分別在

棱,BB],CC{fDD{上,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

（2）點(diǎn)尸在棱8片上，當(dāng)二面角尸-4c2-3為150。時(shí)，求昆P.

3.（2022?全國?高考真題）如圖，四面體ABC。中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

⑴證明：平面跳Z）_L平面AC￡>；

⑵設(shè)AB=BD=2,/ACB=60。，點(diǎn)尸在斑）上，當(dāng)AAFC的面積最小時(shí)，求C尸與平面AB￡>所成的角的正弦

值.

2

4.（2024?全國?高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=573,ZADC=90°,ZBAD=30°,

__2_____,__.i__.

點(diǎn)E,F^^AE=-AD,AF=-AB,將△>!￡T尸沿所翻折至！PEF,使得PC=4道.

⑴證明：EF1PD；

(2)求平面PC。與平面P8E所成的二面角的正弦值.

參考答案:

1.⑴證明見解析

⑵2痙

⑶亞

11

【分析】(1)取C4中點(diǎn)?，連接NP,MP,借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得2N//MP,結(jié)

合線面平行判定定理即可得證；

(2)建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；

(3)借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)取C4中點(diǎn)?，連接NP,MP,

由N是Bg的中點(diǎn)，故NP//C￡,且NP=：CG，

由M是。2的中點(diǎn)，故且，M〃CG，

則有D]M//NP、D[M=NP,

故四邊形D.MPN是平行四邊形，故D,N//MP,

又MPu平面CBiM,RNU平面CB]M,

故RN〃平面CBM；

(2)以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

3

有4(0,0,0)、3(2,0,0)、4(2,0,2)、M(0,1,1),C(l,l,0),Q(1,1,2),

則有函=(1,一1,2)、m=(-1,0,1),函=(0,0,2),

設(shè)平面與平面班℃|的法向量分別為萬7=（%,%，4）、n=（x2,y2,z2）,

m-CB=x-y+2z=0ft-CB=x-y+2Z=0

則有，lI1lX222

—而+

m-CM=Z[=0n-BBX=2Z2=0

分別取西=苫2=1,則有％=3、4=1、y2=1,Z2=0,

即比=(1,3,1)、為=(1,1,0),

一一玩,五1+32叵

則LIcosm,n

\m\-\n\^/l+9+l?^/^+T-11

故平面與平面B8CG的夾角余弦值為2叵；

11

（3）由函=（0,0,2）,平面CB|M的法向量為詡=（1,3,1）,

BB、?m|2

則有27n

同-x/l+9+l11

即點(diǎn)B到平面CBtM的距離為也.

11

2.（1）證明見解析；

(2)1

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；

（2）設(shè)尸（0,2"）（04幾44）,利用向量法求二面角，建立方程求出彳即可得解.

【詳解】（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C，CB,CG所在直線為x，％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

4

則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),2(2,0,2),4(2,2,1),

/.=(0,-2,l),=(0,-2,l),

BC?〃,

又B2c2,42不在同一條直線上，

/.52c2〃&￡>2.

(2)設(shè)尸(。設(shè),4)(04444),

則4Q=(-2,-2,2),PC[=(0,-2,3-2),D^=(-2,0,1)，

設(shè)平面尸4c2的法向量〃=(羽y,z),

河?4c2=一2%-2y+2z=0

則＜

萬?PC2=-2y+(3-2)z=0

令z=2,得y=3—=2—1,

n-(X—1,3—A,2),

設(shè)平面4c202的法向量機(jī)=(a,b,c)，

沆?

則一4G=-2a-2b+2c=Q

m?D2c2=-2a+c=0

令a=l,得6=l,c=2,

=2),

__________6

=|cosl50°|=,

A/674+(2-1)2+(3-2)2

化簡可得，矛―42+3=0,

5

解得2=1或4=3,

P(0,2,l)或P(0,2,3),

：.B2P=\,

3.(1)證明過程見解析

⑵b與平面W所成的角的正弦值為哈

【分析】(1)根據(jù)已知關(guān)系證明得到A5=CB,結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系,

結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)勾股定理逆用得到/洱上DE,從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)因?yàn)锳D=CD,E為AC的中點(diǎn)，所以ACLDE；

在△ABD和△C3D中，因?yàn)锳E>=Cr>,/ADB=NCD3,D3=r>3,

所以△ABZ在△CBD,所以A5=CB,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以ACLBE；

又因?yàn)椤,BEu平面BE。，DEcBE=E,所以AC,平面BED,

因?yàn)锳Cu平面ACD,所以平面RED_L平面AC￡>.

(2)連接ER,由(1)知，ACJ_平面BED,因?yàn)榉纔平面3ED，

所以ACLEF,所以=

當(dāng)時(shí)，E/最小，即AAFC的面積最小.

因?yàn)椤鳂O^△CBD,所以CB=AB=2,

又因?yàn)镹ACB=60。，所以VA3C是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=6,

因?yàn)锳DLCZ),所以DE=gAC=l,

222

在ADEB中，DE+BE=BD,所以BE工DE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

則A(1,O,O),B(O,君,可,。(0,0,1),所以而=(-1,0,1),麗=卜1,石,0),

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為力=(x,y,z),

h-AD=—x+z=0

取y=則亢=卜,迅,3),

n-AB=—x+y/3y=0

6

又因?yàn)?。（?,0,0）,尸?,力，所以=

64A/3

播NCOS力

所以=

\n\\CF\V21X7-

設(shè)CF與平面所成的角為3U<0<^\,

所以sin0=|cosn,CF|=

所以5與平面，所成的角的正弦值為用.

/）、8A/65

65

【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得EF=2,利用勾股定理的逆定理可證得EF1AD,則EF±PE,EF±DE,

結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；

（2）由（1）,根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明PE_LED,建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-孫z,利用

空間向量法求解面面角即可.

【詳解】（1）由A8=8,AT>=5后荏=|通通=；屈，

得AE=2&AF=4,又/BAD=30",在△AEF中，

由余弦定理得EF=A/A￡2+AF2-2AE-AFcosABAD^^16+12-2-4-2^=2,

所以AE2+E7M=AR2,則招工所，即EF1AD,

所以EF，PE,EF_LDE,又PECDE=E,PE、DEU平面PDE,

所以EF_L平面尸DE,又尸Du平面尸DE,

故EF工PD；

（2）連接CE,iZADC=90",ED=3y/3,CD=3,則CE?=￡0°+⑺?=36,

7

在APEC中，PC=4?PE=2?EC=6,^EC2+PE2=PC2,

所以PELEC,由(1)知P￡_L￡F,又ECREF=E,EC、EFu平面ABCD,

所以PEL平面ABC。，又即匚平面ABC。，

所以尸E_LED,則尸E,EF,￡D兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

則E(0,0,0),P(0,0,2^3),D(0,36,0),C(3,350),F(2,0,0),A(0,-2^,0),

由F是AB的中點(diǎn),得B(4,2后0),

所以75c=(3,3耳-2后,PD=(0,3上,-2上),PB=(4,26,-26),PF=(2,0,-2百)，

設(shè)平面PCD和平面PBF的一個(gè)法向量分別為n=(占,乂,4),溫=(%,%,z2)，

則n-PC=3XI+30y「243zt=0m-PB=4x2+2\/3y2-2&z?=0

n-PD=3y/3yl-=0ih-PF=2x「26z?=Q

令yt-2,x2=5/3,得玉=0,z,=3,y2=-1,z2=1,

所以力=(0,2,3),茄=(君,-1,1),

設(shè)平面PCD和平面PfiF所成角為夕，則sin6=，1-儂2。=與叵,

即平面PCD和平面所成角的正弦值為恒.

65

7B

【考點(diǎn)1】利用向量法求距離

一、解答題

1.（2024?海南?模擬預(yù)測）如圖，在直四棱柱48。-A與GR中，底面四邊形A5CZ）為梯形,

AD//BC,AB=AD=2,BD=2五,BC=4.

8

（2）若直線AB與平面所成角的正弦值為逅，點(diǎn)〃為線段BD上一點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面用C?的距

6

離.

2.（2024?吉林?模擬預(yù)測）如圖所示，半圓柱。已與四棱錐A-3CDE拼接而成的組合體中，P是半圓弧BC

上（不含B,C）的動(dòng)點(diǎn)，BG為圓柱的一條母線，點(diǎn)A在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，

O3=2OO1=2,AB=AC=2日.

（2）若。f〃平面ABE,求平面R9D與平面GOD夾角的余弦值；

⑶求點(diǎn)G到直線。。距離的最大值.

3.（2024?河北?模擬預(yù)測）如圖，四棱錐A-BCED中，平面ABC_L平面BCED,AB=AC,AD=AE,BC//DE,

BD=CE,BC=IDE=4瓜/DAE=-ABAC,AD=ABsinZDAE.設(shè)2c中點(diǎn)為H,過點(diǎn)H的平面。同時(shí)垂

2

直于平面BAD與平面CAE.

⑴求sin/ZME

⑵求平面a與平面BCED夾角的正弦值；

⑶求平面a截四棱錐A-3CED所得多邊形的周長.

9

4.(2024?江蘇無錫?模擬預(yù)測)如圖，在棱長為4的正方體ABCD-aqGR中，點(diǎn)E在棱AA上，且AE=L

⑴求四棱錐R-EAB用的表面積

(2)若點(diǎn)尸在棱上，且P到平面的距離為叵，求點(diǎn)P到直線E片的距離.

2

5.(23-24高三下糊南?階段練習(xí))如圖，在四棱錐尸-ABCD中，AB//CD,AB=4,CD=2,BC=2,PC=PD=3,

平面PCD_L平面ABCD,PDLBC.

P

(1)證明：BC_L平面PCD；

⑵若點(diǎn)。是線段PC的中點(diǎn)，M是直線A。上的一點(diǎn)，N是直線PO上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M,N使得

=2叵？請(qǐng)說明理由.

9

6.(2024?天津和平?二模)如圖，三棱臺(tái)ABC-A4G中，VABC為等邊三角形，AB^2AlBl=4,四，平

面ABC,點(diǎn)M,N,。分別為AB,AC,BC的中點(diǎn)，A}BA.AQ.

(1)證明：C￡〃平面AMN；

(2)求直線\D與平面AMN所成角的正弦值；

⑶求點(diǎn)D到平面AMN的距離.

參考答案:

L⑴證明見解析

10

⑵羋

【分析】（1）因?yàn)橐虼酥恍枳C明ABJ_平面只需證明AB_LAA1（由題可證），AB±AD,

由勾股定理易證.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先由直線4B與平面瓦CR所成角的正弦值為回求出用，再證明3D//平

6

面與C2，由此得點(diǎn)M到平面的距離等價(jià)于點(diǎn)B到平面的距離，再由點(diǎn)到平面的距離公式求

解即可.

【詳解】（1）因?yàn)锳B=AD=2,BD=2^，

所以A32+AZ）2=8=3r>2,所以至_LW,

因?yàn)锳BC。-ABC，為直四棱柱，

所以

因?yàn)?4口4。=4,AA,AOu平面A。。A，

所以AB_L平面

因?yàn)?用//48,所以A,片，平面ADDiA，

因?yàn)锳Ru平面所以4瓦，人2

（2）由（1）及題意知，AB,AD，AA兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

因?yàn)锳B=AD=2,8。=2應(yīng)，3C=4.設(shè)4A="(〃>0)，

所以4(0,0,0),8(2,0,0),4(2,0㈤,C(2,4,0),R(0,2,h),D(0,2,0)

所以通=(2,0,0),雷=(0,E=(-2,-2,/J),BC=(0A,0),BD=(-2,2,0),

設(shè)平面BiCDl的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）

nCBi=-4y+hz=0

則

nCDt=-lx-2y+hz=0

11

令z=4,則x=y=/z,所以力=(7/,〃,4)

設(shè)直線48與平面所成的角為6,

?—?荏同12/11_A/6

貝I]sin。=cosAB,fi\=?——；--=---)

11[AB\\n\2x72^716一T'

解得〃=2,所以:=(2,2,4)

\\BC-n\82、%

所以點(diǎn)B到平面瓦CR的距離為〃=^^=號(hào)=仝9

同2瓜3

因?yàn)辂惲?-2x2+2x2+4x0=0，所以而_L3

因?yàn)椴辉谄矫娑鶦，，所以3D//平面片C%,

因?yàn)镸在線段8。上，所以點(diǎn)M到平面片CQ的距離等價(jià)于點(diǎn)8到平面與C。的距離，為巫

3

故點(diǎn)M到平面BCR的距離域.

3

2.(1)證明見解析；

⑵叵；

6

⑶6

【分析】(1)取弧3c中點(diǎn)H,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x,y,0),求出瓦，而，利用空

間位置關(guān)系的向量證明推理即得.

(2)由數(shù)據(jù)求出點(diǎn)尸坐標(biāo)，再求出平面尸。。與平面GO。的法向量，利用面面角的向量求法求解.

(3)利用空間向量求出點(diǎn)G到直線OD距離的函數(shù)關(guān)系，再求出最大值即可.

【詳解】(1)取弧BC中點(diǎn)H,則O"工BC,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線。及分別為％y，z軸建立空間

直角坐標(biāo)系，

連接CM,在VABC中，3C=4,AB=AC=2?0B=OC,貝l|A。_LBC,AO=2,

于是0(0,0,0),A(0,—2,0),8(2,0,0),C(—2,0,0),0(-2,0,1),

設(shè)尸(x,y,0),則G(x,y,l),其中/+y'=4,y>0,CG^{x+2,y,l),BF=(x-2,y,0),

因止匕CS?帝=Y-4+y2=0,即,_L眇，

所以CG_LM.

12

(2)由3E_L平面ABC,ACu平面ABC,得BE_LAC,

XAB2+AC2=BC2,則AB工AC,而A3c3E=B,A3,3Eu平面ABE,

則AC_L平面ABE,即而?=(-2,2,0)為平面ABE的一個(gè)法向量,

DF=(%+2,y,-l),由￡)9//平面ABE,得麗-/=-2x-4+2y=0,

(x=0

又/+/=4/>0,解得一此時(shí)二(0,2,0),G(0,2,1),

[y=2

設(shè)為二(〃,"c)是平面尸OD的法向量，貝!J一，取Q=l,得為=(1,0,2),

hOD=-2a+c=0

/、m-OG=2f+g=0/、

設(shè)慶=(e,fg)是平面GOD的法向量，貝葉一，取￡=1,得沆=。,—1,2),

m?OD=-2e+g=0

則平面FOD與平面GOD夾角的余弦值為|cos&m)|="強(qiáng)

In||m|國a6

(3)OD=(-2,0,l),OG=(x,y,l),

§"2x)2

則點(diǎn)G到直線OD的距離d=

當(dāng)x=g時(shí)，即尸的坐標(biāo)為(g,誓,0)時(shí)，點(diǎn)G到直線OD的距離取最大值為百.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分別求出兩個(gè)半平面所在平面的法向

量，然后求得法向量的夾角，結(jié)合圖形得到二面角的大??；②找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二

面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點(diǎn)的直線的方向向量，則這兩個(gè)向量的夾角就是二面角

的平面角.

3.(1)sinZDAE=—

2

V30

⑵~6~

3273+4^138

⑶

7

13

21

【分析】（1）設(shè)皿比=40=%由題意和余弦定理可得;-----結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1+cos。sm0

求解即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角;

（3）先根據(jù)空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系找出截面，然后求周長即可.

【詳解】(1)-^DAE=ZBAH=0,AB=AC=a,AD=AE-b,貝！J==asin9=Z)￡",

AD?+AE?-DE?2b2-Hsin?8

在VADE中,cosNDAE=cos0=

2AD-AE2p

整理得￡?=—-—,

b1+cos0

由題意得:=工

bsin"

1+cos0sin20

2

即2(1-cos6)-(1+cos0)=0f

解得cos6=」，

2

因止匕sin6=，

2

即sinZDAE=—.

2

(2)作OE中點(diǎn)G,連接GH,AH,

因?yàn)镠為BC中點(diǎn)，AB=AC,

所以AH_L3C,BH=CH=；BC=DE=26,

因?yàn)槠矫鍭BC_L平面BCED,平面ABCfl平面8CED=3C,AHu平面ABC,

所以AH_L平面8CED,而DH,GH,E"u平面BCE。，故AHLGH,AHLEH,

因?yàn)锽H=CH=DE,BC//DE,

所以四邊形四邊形HCED都是平行四邊形，

故BD=EH,CE=DH,而BD=CE,所以DH=EH,

又因?yàn)镚為DE中點(diǎn)，所以GHJ_DE,在平面3CED中也有GHL8C,

由于a=4,故加f=2,BH=CH=DE=2yj3,DG=EG=；DE=6,AD=AE=243,

由勾股定理得：DH=EH=2A/2,GH=y[5,

故以H為原點(diǎn)，HB，HG>HA為x,V,z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

14

則40,0,2）,3（2后0,0）,。（-2后0,0）,D（布，布,0）,石（-6。,0）,

所以麗=（-2百,0,2）,55=（-73,5/5,0）,55=（230,2）,91=莊,卮0）,

設(shè)平面A6D,平面ACE,平面。，平面5CED的法向量分別為々=（和％*1）,n2,%=（&,%*3）,

勺,BA=0-2y^X[+2Z]=0

則即取再=逐，則］=（百，百，岳）,

4-BD=0-A/3X1+小丫1=0

同理可得第=（-底后上）,

因?yàn)槠矫?。同時(shí)垂直于平面AB。，平面AC￡,所以成J■第，

45X+石為+y/~^z3=0

即<3取F=。，則后=（0,百1）,

—y/Sx2++J15Z3=0

平面5CE。的法向量是點(diǎn)，則成=（0。1）,

A/6

設(shè)平面a與平面3CED的夾角為￡,則|COS0=

~6~

故si“=粵,

因此平面a與平面BCE。夾角的正弦值為畫.

6

（3）設(shè)廠是平面a上一點(diǎn)，因?yàn)槠矫鎍過點(diǎn)H,則可以設(shè)而=41,0,0）+〃（0,1,君）,

這是因?yàn)榇藭r(shí)訪?%=（）,因此可設(shè)尸（彳,〃,團(tuán)）,

因?yàn)楫?dāng)平面與平面相交時(shí)，其交線必為直線且唯一，故只需討論平面。與四棱錐A-BCEE>的公共部分，

當(dāng)必=0時(shí)，/在直線BC上，

因此平面a過直線3C,故平面。與平面A3C,平面3CED交于直線BC,與棱A3,AC分別交于B,C,

故只需討論平面a與棱AD,AE的交點(diǎn)：設(shè)平面a與棱AD,AE的交點(diǎn)分別為M,N,

貝1|設(shè)加=S5+s而=（&,底,2-2s）,0<5<1,

15

A=^/3s

令加=（4",也〃），貝乂"二底

迅〃=2-2s

同理可得N（-"l,包三3），

777

故平面口與平面ABD交于,平面ACE交于CN,因此平面口截四棱錐A-BCED所得截面多邊形為四邊

形BMNC,

故周長為3+MN+NC+C5=^+迪+巫+4有=

7777

4.（1）12+2A/34+16^/2

（2哼

【分析】（]）根據(jù)三角形以及梯形面積公式即可求解，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量法求解即可.

【詳解】（1）由AE=1,AB=4,所以RE=EB]=JAE?+AD：=5,

。4=4立

所以％陷=：X1X4=2,%*=14應(yīng)x,-（2應(yīng)J=2^/34,S^AB=S^B=1x472x4=872,

^EABB,=-X（1+4）X4=1O,

故四棱錐2-EAB片的表面積為

S&D\EA14E'S"D、AB1qB'SEAB及2111'112111

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。2所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

16

則44,0,0),5(4,4,0),片(4,4,4),Dx(0,0,4),E(4,0,1),P(0,a,4),其中0<aV4,

貝I]DE=（4,0,1）,西=（4,4,4）,DP=（0,a,4）,

設(shè)平面用DE的法向量為為=（無,y,z）,則心詼=0"函'=0,

f4x+z=0

即《二二”八令尤=1,則平面的法向量力=（1,3,-4）,

[4x+4y+4z=0,

設(shè)尸到平面4。石的距離為d,“二=卜一16|=叵，

\n\V1+9+162

由于04a<4,解得a=l,

故尸（0,1,4）,璃=（0,4,3）防=（4,3,0）

5.⑴證明見解析

⑵不存在，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而可得線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定即可求解

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線的距離，即可求解.

【詳解】（1）如圖，取CO的中點(diǎn)。，因?yàn)槭珻=PD=3,則POLCD,

因?yàn)槠矫媸珻D_L平面ABCD,平面PCOn平面ABCD=CD，POu平面PCD,

所以PO_L平面ABC。，

又3Cu平面ABCD,

所以PO工BC,又BCLPD,POu平面PCD,PDu平面PCD,PDcPO=P，

所以3C_L平面PCD.

17

(2)因?yàn)镻C=P￡>=3,。為CD的中點(diǎn)，OC=1,所以尸o=[PC?_O(j2=20，

過點(diǎn)。作OE〃BC交A3于點(diǎn)E,則由3C，平面PCD,CDu平面PCD,可得5CLCD,

則以。為原點(diǎn)，OE,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則0（0,0,0）,4（2,-3,0）,立），￡＞（0-1,0）,P（0,0,2A/2）,

所以而=,2,（，女），麗=倒,1,2⑹，AD=（-2,2,0）,

設(shè)與而，歷都重直的向量為為=（%/*）,

3

則—2,得＜

為?DP=y+夜后

2z=0,z=-_-

令丁=4,貝lj為=（6,4,-0）,

設(shè)直線AQ與直線OP的距離為d,

H__.__IAD-n|-12+8|_2762石

=

則d=||A￡)|-cosA￡),n|=-----1.----〉----，

J36+16+299

則不存在點(diǎn)M和N使得MN=空.

9

6.（1）證明見解析

（唔

⑶坦

7

【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AMN的法向量，利用再，萬，結(jié)合cq/平面AMN,得出

CG//平面AMN；

（2）利用向量的夾角公式即可求解；

（3）利用點(diǎn)到平面的距離的向量法公式，即可求解.

18

【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)棱胡，底面ABC,VABC為等邊三角形，所以過點(diǎn)A作AHLAC,則以為點(diǎn)A為坐

標(biāo)原點(diǎn)，AC，AH，麗的方向分別為x軸，V軸，z軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)長為m(rn>0),則A(0,0,0),A(o,o,m),2(2,2后0),G(2,0,m)

UUU1_LIULI

A3=(2,2立,一機(jī)),AC]=(2,0,m),

因?yàn)锳BLAQ,所以率.屬l=(),則有4一加2=o，m=2.

所以A(0,0,0),B(2,2V3,0),C(4,0,0),G(2,0,2),A(°，°，2),M(l,V3,0),M2,0,0).

UUUULUUU_?

證明：因?yàn)锳"=(l,右2),AN=(2,0,—2),設(shè)平面AMN的法向量為％=(%,y,z),

ru-AM=x+y/3y-2z=0,一(百)

貝,令犬=1,貝1)々=L?」，

^\N=2x-2z=0.I3,

UULL

又因?yàn)镃￡=(-2,0,2).

所以CG乩=一2+0+2=0,所以CCJ4,又因?yàn)镃C?平面AMN,所以C￡〃平面A〃N.

(2)因?yàn)?。為中點(diǎn),所以CD=2,則。(3,后0),

UUUL—?（也'

有4。=（3,若,-2）,又4=1，事，1，設(shè)直線AQ與平面所成角為6,

則直線卻與平面所成角的正弦值為魯

UL1L1「一?

（3）因?yàn)閚v=（—l,-6,o），平面4MN的法向量為4=I3葉

19

|麗同_2呵

所以，點(diǎn)。到平面的距離為IT'

反思提升：

（1）向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟

①根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量P

②在直線上任取一點(diǎn)M（可選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn)）.計(jì)算點(diǎn)M與直線外的點(diǎn)N的方向向量居V.

③垂線段長度d=N/一（血0）2.

（2）求點(diǎn)到平面的距離的常用方法

①直接法：過P點(diǎn)作平面a的垂線，垂足為Q,把PQ放在某個(gè)三角形中，解三角形求出PQ

的長度就是點(diǎn)P到平面a的距離.

②轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)P所在的直線/平行于平面a,則轉(zhuǎn)化為直線/上某一個(gè)點(diǎn)到平面a的距離來

求.

③等體積法.

④向量法：設(shè)平面a的一個(gè)法向量為“，A是a內(nèi)任意點(diǎn)，則點(diǎn)P到a的距離為4=哈可

【考點(diǎn)2］立體幾何中的探索性問題

一、解答題

1.（2024?貴州貴陽二模）由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)48。-A瓦GA中，及尸分別

為AD,AB的中點(diǎn)，43=244=4,側(cè)面與底面ABC。所成角為45。.

AFB

⑴求證：&）"/平面4￡/；

（2）線段上是否存在點(diǎn)使得直線。M與平面AEP所成的角的正弦值為述，若存在，求出線段40

10

的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）如圖，棱柱ABC-44cl中，側(cè)棱41tJ.底面ABC,AC^BC=2,E,F分

別為c4和C4的中點(diǎn).

20

工

c

⑴求證：￡F//平面A5耳A；

⑵設(shè)—（。＜.岑），在平面上是否存在點(diǎn)尸，使⑷,若存在，指出尸點(diǎn)的位置：若不

存，請(qǐng)說明理由.

3.（2024?天津?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為直角梯形，AD//BC,CDLAD,

AD=CD=2BC=2,平面PAJD_L平面ABCD,PAA.PD,PA=PD.

⑴若點(diǎn)E是邊A3的中點(diǎn)，點(diǎn)f是邊PC的中點(diǎn)，求異面直線BC,E/所成角的余弦值；

（2）求平面PAC和平面PAD的夾角的余弦值；

PM

⑶在棱PC上是否存在點(diǎn)使得物平面PCD?若存在，求正的值?若不存在，說明理由.

4.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）在正四棱柱ABC。-A瓦G2中，^B=l,AAl=3.

⑴在線段CG上是否存在一點(diǎn)使得直線AM，平面BOQ,若存在，求出CM長，若不存在，請(qǐng)說明

理由；

⑵已知點(diǎn)N在線段AA上，且AN=1,求二面角A-N四-C的余弦值.

5.（2024?湖南常德?一模）已知直三棱柱ABC-4月￡中，AB=AC=AA1,M,N分別為BC和2月的中點(diǎn),

P為棱A?上的動(dòng)點(diǎn)，AN1A.Q.

21

⑴證明：平面⑷VP_L平面AMP；

（2）設(shè)卒=4明'，是否存在實(shí)數(shù)/I,使得平面A41gB與平面9V所成的角的余弦值為支？

6.（2024?湖南?三模）如圖，四棱錐尸-ABCZ）的底面ABCD是梯形，

BCHAD,PA=AB=BC=1,AD=2,PC="PA_L平面ABCD.

⑴求證：平面尸3C_L平面F4B；

⑵在棱如上是否存在一點(diǎn)區(qū)使得二面角ETC-尸的余弦值為當(dāng).若存在'求出PEE"的值;若不存在'

請(qǐng)說明理由.

參考答案:

1.（1）證明見解析

⑵存在，且AAf=l

【分析】（工）借助中位線的性質(zhì)可得線線平行，即可得線面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平

行，再由面面平行的性質(zhì)定理即可得證；

（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可用未知數(shù)表示出直線與平面4E尸所成的角的正弦

值，計(jì)算即可得解.

【詳解】（1）連接3。、BR,由E,產(chǎn)分別為ARAB的中點(diǎn)，則EF〃應(yīng)），

又EFO平面陰DQ,8￡>u平面即DQ,故斯//平面班QD,

正四棱臺(tái)A8CD-ABC2中，A4//AB且其與=^AB=BF,

則四邊形A版用為平行四邊形，故A///2耳，

又4尸。平面BBQD,B4u平面陰DQ,故4/〃平面BBQD,

22

又AFcEF=F,且A/u平面AEF,后尸匚平面4￡F，

故平面AEP//平面BBQD,又BRu平面8BQD,故BR//平面4EF；

(2)正四棱臺(tái)ABCO-ABC2中，上下底面中心的連線。。1，底面ABCD,

底面ABC。為正方形，故AOL3O,

故可以。為原點(diǎn)，OA.0B、。。1為x，%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

由AB=2$耳=4,側(cè)面BB￡C與底面A3c。所成角為45。,

貝i|OOt=Xtan45°=1,

則4(在0,1),川倉屈0),E(A/2,-A/2,0),

假設(shè)在線段A3上存在點(diǎn)“(x,y,0)滿足題設(shè)，則麗=卜-五,V0),

設(shè)麗7=4畫0W2W1),則M=(2&-2內(nèi),2&,0),

D^M=(2頁-2仞,2仞+72,-1),

設(shè)平面AEF的法向量為記=(%,y,z),

n7-AE=y/2y-z=0/、

則」JL二,令1=1,貝ijy=。，z=0,即/=(1,0,0),

n2?EF=2yJ2y=0

因?yàn)橹本€D{M與平面\EF所成的角的正弦值為普，

?一.,加■?同口立-2&|3亞

故cosD{M,n\=___..="I=笠，

114叫|同V1622-82+11x7110

解得2=!或2="(舍)，故AM=!AB=I,

444

故線段AB上存在點(diǎn)M，使得直線DXM與平面AEF所成的角的正弦值為史,

10

此時(shí)線段A"的長為1.

23

2.(1)證明見解析；

⑵當(dāng)"等時(shí)’「為棱明的中點(diǎn)?

【分析】(1)利用三角形中位線性質(zhì)、線面平行的判定推理即得.

(2)取A3中點(diǎn)0,以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間位置關(guān)系的向量證明

求解即得.

【詳解】(1)由E,尸分別為M和CA的中點(diǎn)，得跖//4再，

而A用<=平面ABB^,u平面AB耳A，

所以￡F//平面

(2)棱柱ABC-A4G中，側(cè)棱AA，底面ABC,

取AB中點(diǎn)0,4月中點(diǎn)連接OC,OM,

則0M//A4],OAf_L平面ABC,而OCu平面ABC,則有OM_LOC,

又AC=3C=2,則OC_LAB,即直線OC,O3,OM兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，直線OC,OB,OM分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA=2/?,

則cqjl-a1,0,0),4(0,—2a,2/z),耳(0,2a,2/z),E(J1-6,a,h),F^i-a1,-a,h),

假設(shè)在平面4820上存在點(diǎn)P,使砂，EP,設(shè)P(O,y,z),

EP=(--\/l-o2,y-a,z-li),FP-(一11一a2,y+a,z—h)，

EP-FP=\-cr+y2-cr+{z-h^=0,BP/+(z-/?)2=2a2-1,顯然2〃-120,

24

由0<a4也，得2〃一140,因止匕2〃一1=0,即“=變，止匕時(shí)y=0,z=〃,

22

所以當(dāng)a=變時(shí)，存在唯一的點(diǎn)P,即棱A4的中點(diǎn)，使EPLFP.

2

3.⑴寺

喈

⑶不存在，理由見解析

【分析】(1)取AD中點(diǎn)。，證得尸平面ABCD,進(jìn)而得到O3LA。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角

坐標(biāo)系，求得炭=(-1,0,0)和麗結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；

(2)由(1),求得平面PAC和平面PAD的法向量加=(W)和35=(0,2,0),結(jié)合向量的夾角公式，即可

求解；

(3)設(shè)z0),求得加=(-42幾-2,1-幾)，求得平面PCD的一個(gè)法向量而，結(jié)合R1_L平面PCD,

列出方程組，即可求解.

【詳解】(1)解：取中點(diǎn)O,連接。尸，OB,因?yàn)樯?=尸￡>,所以尸O_LAD

因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD,平面R山c平面A5CD=M),且尸Ou平面PAD,

所以尸O_L平面ABC。，

又因?yàn)镺Au平面PAD,O3u平面尸A。，所以「POLOB,

因?yàn)镃Q_LAD,BC//AD,AD=2BC,所以3C//OD,BC=OD,

所以四邊形QBCD是平行四邊形，所以O(shè)BLAD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以0408,0尸所在的直線分別為x，%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，貝1]0(0,0,0),4(100),3(020),C