2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：用樣本估計(jì)總體（解析版）

專題56用樣本估計(jì)總體（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................8

【考點(diǎn)1】百分位數(shù)的估計(jì)....................................................8

【考點(diǎn)2】總體集中趨勢(shì)的估計(jì)................................................12

【考點(diǎn)3］總體離散程度的估計(jì)................................................17

【分層檢測(cè)】...............................................................21

【基礎(chǔ)篇】.................................................................21

【能力篇】.................................................................30

考試要求：

1.會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求〃個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).

2.會(huì)用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和總體離散程度.

?知識(shí)梳理

L總體百分位數(shù)的估計(jì)

(1)第P百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第2百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有睡的數(shù)據(jù)小于或

等于這個(gè)值，且至少有(100—p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

(2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步,計(jì)算，=.Xp%.

第3步，若，不是整數(shù)，而大于，的比鄰整數(shù)為/,則第p百分位數(shù)為第2項(xiàng)數(shù)據(jù)；若，?是整數(shù)，

則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(計(jì)1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

2.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(2)中位數(shù)：把〃個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最空間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平

均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

⑶平均數(shù)：把'…+劭稱為0,。2,…，詼這〃個(gè)數(shù)的平均數(shù).

(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，X”的平均數(shù)為"則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差

分別是s=

[%(XI—X)2+(X2—X)2H------H(X"一關(guān))2],

1一一-

2-2

s=~[(X1-x)2+(X2-x)2H----1-(xnX)].

|常用結(jié)論

1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系

⑴最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.

⑶平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小

長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

2.平均數(shù)、方差的公式推廣

(1)若數(shù)據(jù)xi,xi,…，我的平均數(shù)為x,那么"ixi+a,mx2-\-a,mx3~\-a,…，如:的平均數(shù)

2

是mx-\-a.

（2）若數(shù)據(jù)％1,X2,,,,,小的方差為心,那么

①數(shù)據(jù)％I+Q,xi+a,…，而+。的方差也為V；

②數(shù)據(jù)0X1,aX2,…，〃元〃的方差為。2s2.

「,真題自測(cè)

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的

畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

2.（2022.全國(guó)?高考真題）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽

取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和

講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：

100%

95%....................................................................■0

90%-------?-------------------------------------------米----------------------

樹85%

每80%*講座前

田75%-----------------------------------------------------------------------------------*-----------------------------------------------------?講座后

70%..............................*'

65%------*....................

60%t-.............*..........................................................

0--------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1—

U12345678910

居民編號(hào)

則（）

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

3

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

二、多選題

3.（2023?全國(guó)?高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)玉,程…，％，其中七是最小值，%是最大值，貝U（）

A.々，七，4內(nèi)的平均數(shù)等于和尤2，1*6的平均數(shù)

B.尤2，尤3，*4，尤5的中位數(shù)等于尤1，尤2「“，%的中位數(shù)

C.%2，%3，為4，%的標(biāo)準(zhǔn)差不小于為，工2，”，，工6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.%,無(wú)3,尤4，尤5的極差不大于石，無(wú)2,…，毛的極差

三、解答題

4.（2024?上海?高考真題）水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱.

（1）隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；

（2）進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級(jí)果48個(gè)，單

果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量.

5.（2022?全國(guó)?高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位

于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

參考答案：

4

題號(hào)123

答案CBBD

1.c

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)

算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為“10/0上-34=66%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150—950=200,故C正確;

對(duì)于D,由頻數(shù)分布表可得，平均值為

^x(6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75)=1067,故D錯(cuò)誤.

故選；C.

2.B

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數(shù)為70%；75%>70%,所以人錯(cuò);

講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是80%,4個(gè)85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問(wèn)卷答題的正確率

的平均數(shù)大于85%,所以B對(duì)；

講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散，所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所

以C錯(cuò)；

講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,所以D錯(cuò).

故選:B.

3.BD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)9，%，4%的平均數(shù)為機(jī)，占,々，…，%的平均數(shù)為力，

IJll]n-m—無(wú)1+—+」+*4+工5+*6_%+,+*4+工5_2(一+4)-(++々+++%)

“64-12

因?yàn)闆]有確定2(%+%)，毛+W+毛+%的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷相，”的大小,

5

例如：1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得〃2=2,"=二；故A錯(cuò)誤；

6

對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)占《馬W%《匕

可知無(wú)2，鼻,看,毛的中位數(shù)等于占,z，…的中位數(shù)均為°,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)锳是最小值，尤6是最大值，

則馬,無(wú)3，尤4,無(wú)5的波動(dòng)性不大于外,馬，…，升的波動(dòng)性，即X2,X3,%4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于玉,馬,…的標(biāo)準(zhǔn)差,

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)“=：（2+4+6+8+10+12）=7,

標(biāo)準(zhǔn)差心=J1［（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2］=,

4,6,8,10,則平均數(shù)%=；（4+6+8+10）=7,

標(biāo)準(zhǔn)差$2=￡［（4-7）氣（6一7了+（8一7『+（10一7月=有,

顯然叵>&,即。>$2；故C錯(cuò)誤；

3

對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)玉<x2<x3<x4<x5<x6,

則％-xg%—%，當(dāng)且僅當(dāng)占=%,%=%時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；

故選：BD.

（2）一級(jí)果抽取6箱，二級(jí)果抽取2箱

（3）方差1427.27克2,平均數(shù)285.44克，預(yù)估平均質(zhì)量為287.69克

【分析】（1）利用組合知識(shí)和超幾何分布求概率公式求出答案;

（2）利用分層抽樣的定義進(jìn)行求解；

（3）根據(jù)公式計(jì)算出總體樣本平均質(zhì)量和方差，并預(yù)估平均質(zhì)量.

【詳解】（1）設(shè)A事件為恰好選到一級(jí)果和二級(jí)果各一箱,

樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)〃=C*=若史=9180,

A事件的樣本點(diǎn)的公式機(jī)=?！ā?=3468,

所以尸（A）='346817

n9180-45

6

(2)因?yàn)橐患?jí)果箱數(shù)：二級(jí)果箱數(shù)=102:34=3:1,

31

所以8箱水果中有一級(jí)果抽取8乂不二二6箱，二級(jí)果抽取8x丁=2箱；

3+13+1

(3)設(shè)一級(jí)果平均質(zhì)量為"方差為S〉二級(jí)果質(zhì)量為亍，方差為對(duì),

總體樣本平均質(zhì)量為白方差為S2,

因?yàn)門=303.45,了=240.41,S；=603.46,區(qū)=648.21,

12048

所以2=—=—X303.45+------X240.41=285.44克，

120+48120+48

22

S=x［603.46+(303.45-285.44)。+x［648.21+(240.41-285.44)，=1427.27克.

預(yù)估平均質(zhì)量為鱉工+盤?產(chǎn)287.69克.

13613o

5.(1)47.9歲；

⑵0.89；

(3)0.0014.

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；

(2)設(shè)A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},根據(jù)對(duì)立事件的概率公式尸(A)=1-P(N)即可解出;

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

【詳解】(1)平均年齡元=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲).

(2)設(shè)A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},所以

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)設(shè)8="任選一人年齡位于區(qū)間［40,50戶，C="從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”,

則由已知得：

P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B\C)=0.023x10=0.23,

則由條件概率公式可得

從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),此人患這種疾病的概率為

P(BC)P(C)P(2|C_。。。1義。23

P(C\B)==0.0014375?0.0014.

P(B)P(B)-—0J6

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］百分位數(shù)的估計(jì)

7

一、單選題

1.（2025?黑龍江大慶?一模）法國(guó)當(dāng)?shù)貢r(shí)間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在巴黎舉

行開幕式."奧林匹克之父”顧拜旦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，奧運(yùn)會(huì)最重要的不是勝利，而是參與；對(duì)人生而言，重要的不

是凱旋，而是拼搏.為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某學(xué)校組織高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行奧運(yùn)專題的答題活動(dòng).為了調(diào)查男生和女

生對(duì)奧運(yùn)會(huì)的關(guān)注程度，在高一年級(jí)隨機(jī)抽取10名男生和10名女生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分），按從低到

高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：

男生82858687889090929496

女生82848587878788889092

則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.男生樣本數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是86

B.男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)

C.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變

D.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變

2.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的8人的成績(jī)（單位：分）為：72,78,

80,81,83,86,88,90,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）

A.86B.87C.88D.90

二、多選題

3.（2023?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校共有2000名男生，為了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查

了100名男生體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（）

A.樣本的眾數(shù)為67.5B.樣本的80%分位數(shù)為72.5

C.樣本的平均值為66D.該校男生中體重低于60依的學(xué)生大約為150人

4.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)是一所大學(xué)的社會(huì)實(shí)踐基地，實(shí)踐結(jié)束后學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行考核評(píng)分,

其得分的頻率分布直方圖如圖所示，該學(xué)校規(guī)定，把成績(jī)位于后25%的學(xué)生劃定為不及格，把成績(jī)位于前

25%的學(xué)生劃定為優(yōu)秀，則下列結(jié)論正確的是（）

8

A.本次測(cè)試及格分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值為60分B.本次測(cè)試優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值為75分

C.本次測(cè)試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計(jì)值為70分D.本次測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)小于中位數(shù)

三、填空題

5.(2024?上海?模擬預(yù)測(cè))某同學(xué)高三以來(lái)成績(jī)依次為"0,93,92,93,88,86,則這組數(shù)據(jù)的第40百分

位數(shù)為.

6.(2024?云南曲靖?二模)抽樣統(tǒng)計(jì)得到某班8名女生的身高分別為160,155,157,155.5,154,158,155,162,則

這8名女生身高的第75百分位數(shù)是.

參考答案:

題號(hào)1234

答案DBABCD

1.D

【分析】根據(jù)百分位數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的定義一一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：10x25%=2.5,所以男生樣本數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是86,故A正確；

對(duì)于B：男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為咬尸=89,男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90,故B正確；

2

對(duì)于C：女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為《(82+84+85+87x3+88x2+90+92)=87,

女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1(84+85+87x3+88x2+90)=87,故

O

C正確；

對(duì)于D：女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，

但是極差變小，所以方差變小，故D錯(cuò)誤.

故選:D

2.B

【分析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序得72,78,80,81,83,86,88,90,

因?yàn)?x75%=6,

所以第75百分位數(shù)是^^=87.

故選：B.

9

3.AB

【分析】由頻率分布直方圖的眾數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)以及頻數(shù)的計(jì)算公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A：樣本的眾數(shù)為67.5,故A正確；

對(duì)于B：設(shè)樣本的80%分位數(shù)為。，

因?yàn)?.03x5+0.05x5+0.06x5=0.7<0.8,

貝iJ0.03x5+0.05x5+0.06x5+(a-70)x0.04=0.8,解得：a=12.5,故B正確；

對(duì)于C：設(shè)樣本的平均值為元，

則元=(57.5x0.03+62.5x0.05+67.5x0.06+72.5x0.04+77.5x0.02)x5=66.75,故C不正確；

對(duì)于D：該校男生中低于60僅的學(xué)生所占的頻率為：0.03x5=0.15,

該校男生中低于60像的學(xué)生大約為0.15x2000=300人，故D不正確.

故選：AB.

4.CD

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可判斷AB,根據(jù)中位數(shù)的定義可判斷C,根據(jù)頻率分布直方圖左拖尾可判斷

D.

【詳解】A.由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)小于60分的概率為1-(0.2+0.3+0.2)=0.3,分?jǐn)?shù)小于50分的概率

為1-(0.1+0.2+0.3+0.2)=0.2,

所以分?jǐn)?shù)的25%分位數(shù)在區(qū)間［50,60)內(nèi)，故A錯(cuò)誤；

B.由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)大于80分的概率為0.2,分?jǐn)?shù)大于70分的概率為0.5,

所以優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值在區(qū)間［70,80)內(nèi)，設(shè)其為機(jī)，

則(80-m)x0.03+0.2=0.25,

解得"個(gè)78.3,故B錯(cuò)誤；

C.因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)大于70分的概率為0.5,所以本次測(cè)試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計(jì)值為70分，故C正確；

D.因?yàn)轭l率分布直方圖左拖尾，所以平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.

故選：CD.

5.92

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行求解.

【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列，86,88,92,93,93,110,

6x40%=2.4,故從小到大，選擇第3個(gè)數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)，即92.

故答案為：92

6.159

10

【分析】利用百分位數(shù)的估計(jì)公式計(jì)算可得.

【詳解】將數(shù)據(jù)由小到大排列為：154,155,155,155.5,157,158,160,162,

由8x75%=6,得第75百分位數(shù)是158丁60=159.

2

故答案為：159

反思提升：

計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

三按從小到大排列原始數(shù)據(jù)］

計(jì)算口兀xp%］

若，不是整數(shù)，而大于泊勺比鄰

r整數(shù)為7,則第p百分位數(shù)為第

-----------------------------

若，?是整數(shù)，則第P百分位數(shù)為第

i項(xiàng)與第（i+D項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)

【考點(diǎn)2］總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

一、單選題

1.（2024?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè)）為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知

識(shí)測(cè)試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為“，眾數(shù)為6,平均值為J則（）

頻數(shù)

一一

010

」

8-

66

4

一

存3---3-2r

2E什-2"

L!仃

-n-A

得

O3456789O分

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

2.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位學(xué)生100天每

天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了

下列結(jié)論，其中正確的是（）

A.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天

11

B.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為0.3

C.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.625小時(shí)

D.估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的眾數(shù)為2.3小時(shí)

二、多選題

3.（2025?廣東?一模）現(xiàn)有十個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（加0）,（程。），、國(guó)，0），它們分別與（%,10）,（網(wǎng)」。），…，（％，1。）

關(guān)于點(diǎn)（3,5）對(duì)稱.已知玉,9,?，稅的平均數(shù)為。，中位數(shù)為b,方差為c,極差為d,貝|為%，,，為）這組

數(shù)滿足（）

A.平均數(shù)為6-aB.中位數(shù)為6-b

C.方差為cD.極差為d

4.（23-24高一下?全國(guó)?期末）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對(duì)稱

形態(tài)，圖（2）形成"右拖尾"形態(tài)，圖（3）形成"左拖尾"形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）

A.圖（1）的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)

B.圖（2）的平均數(shù)（眾數(shù)（中位數(shù)

C.圖（2）的眾數(shù)〈中位數(shù)（平均數(shù)

D.圖（3）的平均數(shù)〈中位數(shù)〈眾數(shù)

三、填空題

5.（2022?北京,模擬預(yù)測(cè)）某班在一次考試后分析學(xué)生在語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三個(gè)學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級(jí)

排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）.

語(yǔ)文和英語(yǔ)年級(jí)排名散點(diǎn)圖語(yǔ)文和數(shù)學(xué)年級(jí)排名散點(diǎn)圖

300300

250250

r0oZ20o

造

部

趴5o15o

彘

1

10O0O

51)5()

°0°0

5010015020025030035050100150200250300350

語(yǔ)文排名語(yǔ)文排名

關(guān)于該班級(jí)學(xué)生這三個(gè)學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個(gè)結(jié)論:

12

①三科中，數(shù)學(xué)年級(jí)排名的平均數(shù)及方差均最?。?/p>

②語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)年級(jí)排名均在150名以外的學(xué)生為1人；

③本次考試該班語(yǔ)文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語(yǔ)第一名可能為三名不同的同學(xué)；

④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語(yǔ)文排名大于200,則其英語(yǔ)和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為;.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

6.（2014高三?全國(guó)?專題練習(xí)）為了解本書居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對(duì)三個(gè)社區(qū)

進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、

乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為瑪，$2，S3,則它們的大小關(guān)系為.（用連接）

參考答案:

題號(hào)1234

答案DCABCDACD

1.D

【分析】根據(jù)題意求中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，對(duì)比即可得結(jié)果.

【詳解】30個(gè)數(shù)中第15個(gè)數(shù)是5,第16個(gè)數(shù)是6,所以中位數(shù)。=個(gè)=5.5,

由題意可知：眾數(shù)6=5,

十士3x2+4x3+5x10+6x6+7x3+8x2+9x2+10x2179

平均值°=----------------------------------------------=——.

3030

所以

故選：D.

2.C

【分析】利用頻率分別直方圖、頻數(shù)、頻率、中位數(shù)、眾數(shù)直接求解.

13

【詳解】對(duì)于A,該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的天數(shù)為：0.5x0.5x100=25天，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為（0.3+0.2+0.1+0.1）x0.5=0.35,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,[1,2.5）的頻率為（0.1+0.3+0.5）x0.5=0.45,[1,3）的頻率為0.45+0.4x0.5=0.65,

則該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.5+0R5-=0?4x50.5=2.625,故C正確；

0.2

對(duì)于D,估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的眾數(shù)為老2+三25二2.25,故D錯(cuò)誤；

故選：C

3.ABCD

【分析】根據(jù)對(duì)稱知識(shí)可得y=6-結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的性質(zhì)，即可判斷

出答案.

【詳解】由于（和0）,伍,0）,、（%,0）,它們分別與（加10）,（%,1。），-、（卅,1。）關(guān)于點(diǎn)（3,5）對(duì)稱，

則有七+X=6(ieZ,lV，V10),即有y;=6-x,.(zeZ,l</<10).

則由平均數(shù)的性質(zhì)可得%,%,-，%這組數(shù)的平均數(shù)為6-a,

結(jié)合中位數(shù)性質(zhì)可知中位數(shù)為6-b,結(jié)合方差性質(zhì)可得方差為c,極差非負(fù)，所以極差為d.

故選：ABCD

4.ACD

【詳解】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.

【分析】圖（1）的分布直方圖是對(duì)稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；

圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；

圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

5.①②④

【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的定義判斷①；求得語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)年級(jí)排名均在150名以外的學(xué)生人數(shù)判

斷②；求得語(yǔ)文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語(yǔ)第一名的同學(xué)判斷③；求得從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其

語(yǔ)文排名大于200,則其英語(yǔ)和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率判斷④.

【詳解】①：三科中，數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)比英語(yǔ)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離近且較為密集，

數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離比語(yǔ)文對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到縱軸距離近且較為密集，

所以數(shù)學(xué)年級(jí)排名的平均數(shù)及方差均最小.判斷正確；

②：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)年級(jí)排名均在150名以外的學(xué)生為1人.判斷正確；

14

③：本次考試該班語(yǔ)文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語(yǔ)第一名為同一名同學(xué).判斷錯(cuò)誤；

(4)：由圖表可知語(yǔ)文排名大于200的有3位同學(xué)，

語(yǔ)文排名大于200且英語(yǔ)和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的同學(xué)僅有1位同學(xué).

故從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語(yǔ)文排名大于200,

則其英語(yǔ)和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為g.判斷正確.

故答案為①②④

6.s2<s3<Sj

【分析】根據(jù)平均數(shù)公式及方差公式分別計(jì)算S；、s；、S；,即可判斷；

【詳解】由圖甲：平均值為

，=500(1250X0.0006+1750x0.0004+2250x0.0002+2750x0.0002+3250x0.0006)=2200,

s：=(1250-2200)2x0.3+(l750-2200)2x0.2+(2250-2200)2x0.1

+(2750-2200)2x0.1+(3250-2200)2x0.3

=672500,

元=1250x0.1+1750x0.2+2250x0.4+2750x0.2+3250x0.1=2250,

s；=(1250一2250)2x0.1+(1750-2250)2x0.2+(2250-2250)2x0.4

+(2750-2250)2x0.2+(3250-2250)2x0.1

=300000,

=1250x0.2+1750x0.2+2250x0.3+2750x0.2+3250x0.1=2150,

s；=(1250-2150)2x0.2+(1750-2150)2x0.2+(2250-2150)2x0.3

+(2750-2150)2x0.2+(3250-2150)2x0.1

=390000,

則標(biāo)準(zhǔn)差e<鳥<8,

故答案為：$2<$3<邑.

反思提升：

⑴眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點(diǎn)

中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水

平，我們需根據(jù)實(shí)際需要選擇使用.

(2)頻率分布直方圖的數(shù)字特征

15

①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來(lái)表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布

直方圖中，最高小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；

③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.

【考點(diǎn)3］總體離散程度的估計(jì)

一、單選題

1.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）已知有4個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為5,方差為4,現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10,則這6

個(gè)數(shù)據(jù)的新方差為（）

713

A.-B.—C.6D.10

33

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知一組樣本數(shù)據(jù)項(xiàng),馬，…，毛的方差為10，且無(wú)|+瑪=%+.%，則樣本數(shù)據(jù)

再-1,尤2+1,%3-1，尤4+1，毛的方差為（）

A.9.2B.10.8C.9.75D.10.25

二、多選題

3.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）下列結(jié)論正確的是（）

A.回歸直線￡=%+4至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)（%,%）,（9,%），?,（%,%）中的一個(gè)點(diǎn)

B.已知命題P：Vx,ye（0,l）,x+y<2,則命題P的否定為Hx,ye（0,1）,x+y>2

C.若X為取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量，則［E（x）『.（x2）

D.若一組樣本數(shù)據(jù)4、3、L、X"的平均數(shù)為10,另一組樣本數(shù)據(jù)2再+4、2七+4、L、2x,+4的

方差為8,則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為17和54

4.（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.數(shù)據(jù)40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位數(shù)為32

B.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布尸3<4）=0.84；則P（2<J<4）=0.34

C.己知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為&+若5=2,元=1,歹=3,則4=1

D.若樣本數(shù)據(jù)幣%，…，稅的方差為2,則數(shù)據(jù)2網(wǎng)-1,29-1,…,2/-1的方差為4

三、填空題

5.（2023?吉林?一模）吉林市一中學(xué)有男生900人，女生600人.在“書香校園”活動(dòng)中，為了解全校學(xué)生的

讀書時(shí)間，按性別比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100名學(xué)生，其中男生、女生每天讀書時(shí)間的平均值分別

為60分鐘和80分鐘，方差分別為10和15.結(jié)合上述數(shù)據(jù)估計(jì)該校學(xué)生每天讀書時(shí)間的平均值為分

鐘，方差為.

6.（2022?北京?模擬預(yù)測(cè)）某班在一次考試后分析學(xué)生在語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三個(gè)學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級(jí)

16

排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）.

語(yǔ)文和英語(yǔ)年級(jí)排名散點(diǎn)圖語(yǔ)文和數(shù)學(xué)年級(jí)排名散點(diǎn)圖

300300

250250

r0oN2

i造00

15o價(jià)

凝

10O

5()5()

°0°0

5010015020025030035050100150200250300350

語(yǔ)文排名語(yǔ)文排名

關(guān)于該班級(jí)學(xué)生這三個(gè)學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①三科中，數(shù)學(xué)年級(jí)排名的平均數(shù)及方差均最??；

②語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)年級(jí)排名均在150名以外的學(xué)生為1人；

③本次考試該班語(yǔ)文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語(yǔ)第一名可能為三名不同的同學(xué)；

④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語(yǔ)文排名大于200,則其英語(yǔ)和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為;.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

參考答案:

題號(hào)1234

答案CBBDBC

1.C

【分析】設(shè)原來(lái)的4個(gè)數(shù)依次為a,b,c,d,再利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式結(jié)合整體法即可.

【詳解】設(shè)原來(lái)的4個(gè)數(shù)依次為a,b,c,d,

.原來(lái)4個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為5,方差為4,.?.4+8+c+d=20,

1[(o-5)2+0-5)2+(c-5)2+(^-5)2]=4,

(a-5)2+(6-5)2+(c-5>+(d-5)2=16,

+c~+d~-10(a+b+c+d)+100=16,

:.a2+b2+c2+d2=16+10x20-100=116,

現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10,則這6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

一(。+Z?+c+d+6+10)=6,

6

則這6個(gè)數(shù)據(jù)的方差為::[5-6y+S-6)2+(c-胡+(d-6)2+(6-6)2+(10-6)2]

17

=：“+/+02+屋一i2m+b+c+d）+4x36+16］

=:（116-12x20+4x36+16）=6.

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)條件中的方差和為+%=%+%，代入新數(shù)據(jù)的方差公式，即可求解.

15

【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)占,3,.，%的平均數(shù)為元，貝《2（無(wú)，一葉=1°，

3i=l

且樣本數(shù)據(jù)占-1,9+1,x3-l,x4+1,x5的平均數(shù)也為X,

故選:B

3.BD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,回歸直線一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，回歸直線可能不過(guò)任何一個(gè)點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)B,全稱量詞

命題的否定的方法是改量詞，否結(jié)論；對(duì)于選項(xiàng)C,由。（*）=E儂2）-倒乂）］230即可判斷正誤；對(duì)于選

項(xiàng)D,計(jì)算出g>,、的值，再利用平均數(shù)和方差公式可求得合并后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.

1=11=1

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,回歸直線亍=淡+&一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)（只可，但不一定經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)

（占，%），（尤2,%”（尤“，％）中的點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,命題P的否定為"改,ye（O,l）,無(wú)+yN2”,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,X為取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量，D（X）=E（X2）-［E（X）］2>0,則囪X）『〈E（X2）,故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,由題意可知，數(shù)據(jù)七、%、L、%的平均數(shù)為10,則工￡>,=10,則g>,=10w,

〃i=li=l

所以，數(shù)據(jù)2為+4、2%+4、L、2xn+4,

平均數(shù)為,￡（2%+4）=2￡/+4=2x10+4=24,￡（2%+4）=24/7,

〃i=\〃i=li=l

方差為，寸（2尤,+4）-（2元+4）］2=-^（x,.-10）2-400,

ni=l〃z=l〃z=l

Ann

即方差為一?；-400=8,所以￡x；=102n.

Hi=lz=l

將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)4、X?、L、無(wú)“、2%+4、2%+4、L、2X.+4,

18

平均數(shù)為--￡>+￡（2%+4）=；（10〃+24"）=17,

2〃|_i=ii=\J2YI

irn0n"|]fnn）

方差為丁2（x，T7）+￡（2七+4-17）9=卜￡片一86》；+458〃，

ZHL1=1i=l」，八i=li=lJ

即方差為：（5xl02w-860a+458〃）=54.故D正確.

故選：BD.

4.BC

【分析】根據(jù)第50百分位數(shù)為中位數(shù)判斷A,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B,根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)判斷C,

根據(jù)方差的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對(duì)數(shù)據(jù)排列:27,30,31,32,38,40,50,54,因?yàn)榈?0百分位數(shù)為中位數(shù)，所以50百分位數(shù)為35,故

A錯(cuò)誤；

因?yàn)殡S機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（202）,P（J<4）=0.84,所以尸（短4）=0.16,所以尸（”0）=0.16,所以

P（0<J<4）=0.68,所以P（2<J<4）=0.34,故B正確；

因?yàn)間=2,于=1，7=3,則a=》一敘=3-2=1,故C正確;

因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)玉，々，…凸。的方差為2,所以數(shù)據(jù)2x1T2%-1,…,2占。-1的方差為2?x2=8,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

5.68108

【分析】利用分層抽樣的平均值與方差公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知男生女生抽取比例分別為：其二|，恐0r|，