2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之模擬檢測卷1（新高考專用）解析版

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之模擬檢測卷01（新高考專用）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知集合&=國y=log2（2-x）｝,B=｛y|y=2-2｝,則枷=（）

A.（0,2）B.[0,2]C.（0,+e）D.

2.（2023?江蘇?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=5+i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（23-24高一下?安徽滁州?階段練習(xí)）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四

象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深萎的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形

ABCDEFGH,其中AB=1,O為正八邊形的中心，則瓦不說=（）

A.V2-1B.1C.72D.1+72

4.（23-24高二上?山東青島?階段練習(xí)）等比數(shù)列｛。.｝的各項均為正數(shù)，且%%+%%=18,則

log3ax+log3?,+■.■+log3=（）

A.12B.10C.5D.21og35

5.（2024?浙江嘉興?二模）若正數(shù)x，y滿足/-2孫+2=0,則*+＞的最小值是（）

A.屈B.—C.2A/2D.2

2

6.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，在正四棱柱-AqGR中，AAi=3AB,則異面直線與AR所

成角的余弦值為（）

37

C.一D.——

510

22

7.（23-24高三上?四川成者B?期中）己知耳，工分別為雙曲線=-3=l（a>0,6>0）的左、右焦點，過工與雙

ab

曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點尸，若|3|=3|桃則雙曲線的離心率為（）

A.3B.75C.GD.2

8.（2023?河北?模擬預(yù)測）設(shè)。=電立，b=二,。=叱，貝IJ（）

3e24兀

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.（2024?福建廈門?一模）己知函數(shù)/（x）=2sin12x高，則（）

A./（x）的最小正周期為T

B./（x）的圖象關(guān)于點成中心對稱

7T

C./（X）在區(qū)間0,-上單調(diào)遞增

D.若/（x）的圖象關(guān)于直線x=x°對稱，則sin2x°=g

10.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）若（1一1）6=〃0+%%+〃2必,貝!J（）

A.a0=1

B.%=20

C.2弓+4a2+8/+16%+32?5+64a6=0

D.K+%+4+聞=h+%+

IL（2024?河北保定?三模）已知拋物線CV=?的焦點為七過點尸的直線/與拋物線c交于A乃兩點,0

為坐標(biāo)原點，直線k過點A且與OA垂直，直線k過點B且與OB垂直，直線4與12相交于點。，則（）

A.設(shè)4B的中點為H,則軸

2

B.點。的軌跡為拋物線

C.點Q到直線/距離的最小值為26

D.AAB。的面積的取值范圍為［8,+8）

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）

12.（23-24高三下?廣東廣州?階段練習(xí)）已知等比數(shù)列｛%,｝的前〃項和為S“，且5=27,S6=35,數(shù)列｛aj

的公比4=.

13.（2024?廣東深圳?二模）已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為&,則該圓錐的表面積為.

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

/、\y/x—2+a,x>2

14.（2024?北京海淀?三模）設(shè)函數(shù)“無）=［,_斗x<2且a*，給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)。=2時，存在乙方程=r有唯一解；

②當(dāng)。€（0,1）時，存在/,方程f（x）=r有三個解；

③對任意實數(shù)。（。>0且"1）,“X）的值域為［。,+8）；

④存在實數(shù)。，使得了（尤）在區(qū)間（a,+s）上單調(diào)遞增；

其中所有正確結(jié)論的序號是.

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（13分）（2024?全國?模擬預(yù)測）記VABC的內(nèi)角A,3,C所對邊分別為a,b,c,已知

Z?（3cosC-l）=c（l-3cosB）.

⑴證明：b+c-3a；

（2）求cosA的最小值.

16.（15分）（2024?河南?一模）近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用

戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能.某

機構(gòu)在網(wǎng)上隨機對1000人進行了一次市場調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP,得到如下

數(shù)據(jù)：

青年人中年人老年人

對短視頻剪接成長視頻的A叩有需求2a+45200a

對短視頻剪接成長視頻的APP無需求a+b1504b

3

其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400.

⑴求。,方的值;

（2）根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是

否有差異？

n(ad-bc)2

參考公式：Z其中〃=a+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)伍+d)，

臨界值表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.（15分）（2024?全國?一模）如圖，棱柱ABCD-ABCQ的所有棱長都等于2,ZABC=ZA,AC=6Q0,

平面AA|C]C±平面ABCD.

⑴求平面DAA,與平面CA4所成角的余弦值；

⑵在棱CG所在直線上是否存在點P,使得8尸//平面。4G.若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理

由.

22

18.（17分）（2024?四川樂山三模）已知橢圓E9+4=1（八6>0）的左、右焦點分別為公，工,AC分別是

橢圓E的上下頂點，分別是橢圓E的左右頂點，點尸上亨J在橢圓E上，且AP月外的面積為g.

⑴求橢圓E的方程；

（2）點。是橢圓E上的動點（不與A5c。重合），/是E在點A處的切線，直線交。。于點“，直線C。

交/于點N,求證：直線的斜率為定值.

19.（17分）（23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí)）已知函數(shù)"x）=eE-x-1

⑴當(dāng)4=1時，求函數(shù)的極值；

（2）求函數(shù)〃尤）的單調(diào)區(qū)間；

⑶若對任意的實數(shù)人,6,函數(shù)y=/（x）+6+6與直線>=履+方總相切，則稱函數(shù)為"恒切函數(shù)當(dāng)。=1

4

x1

時，若函數(shù)g（x）=Je/（x）+m是“恒切函數(shù)〃，求證：-三〈機W0.

28

參考答案:

題號12345678910

答案ADDBABCBBCACD

題號11

答案BD

1.A

【分析】先化簡集合A,B,再利用集合的交集運算求解.

x

【詳解】解：因為集合A={dy=log2（2-x）}={x|x<2\,B=\y\y=2^=[y\y>0},

所以4「3=（0,2）,

故選：A

2.D

【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出z,即可判斷.

【詳解】因為2=四=包兒二D=H=3一2i,

1+i22

所以點（3,-2）位于第四象限.

故選：D.

3.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合數(shù)量積的定義計算即得.

【詳解】在正八邊形ABCDEFG"中，連接"C,則"C//AB,

而NABC=135。，即N3CW=45。，于是NHCD=90。，

在等腰梯形AKC//中，C//=l+2xlxcos45;=1+A/2.

所以福?麗=ix|而|cos/aro=i^i=i+JL

5

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)的運算法則即可得解.

【詳解】因為｛&J是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，44+%。7=18,

所以生。6+。4。7=2。5。6=18,即。5&=9,貝4弓。==…=。5〃6=9

記s=log3ax+log3%+,??+log3Go，則S=log3%o+log3%+…+log3ax,

兩式相加得2s=logs(o1al0)+log3(a2o9)+---+log3)=10xlog39=20,

所以S=10,BPlog3at+log3a2+?-?+log3al0=10.

故選：B.

5.A

x1

【分析】根據(jù)題意可得y=：+±,利用基本不等式求解.

2x

【詳解】由尤2-2xy+2=0可得>=：Y+—1,

2x

x13x1l3x1FT

..x-\-y=x-\1—=1-22J----=,

2x2xV2x

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=工，即彳=逅時，等號成立，此時y=9>0符合題意.

2x33

所以無+y的最小值為幾.

故選：A.

6.B

【分析】平行移動AQ與A8相交構(gòu)成三角形，指明NABG或其補角就是異面直線AB與AQ所成的角，在

三角形中由余弦定理解出即可.

如圖連接,因為A3CD-A耳G2為正四棱柱，

所以AB//C.D,且AB=G2,所以四邊形ABQD,為平行四邊形，

所以BG//AR,則ZA.BQ或其補角就是異面直線\B與AD,所成的角,

設(shè)AB=1,則43=廂，BG=M,AG=也，

6

由,余人弦、4定,理E/得口：IcosZ/4ABnC-jI=10、+1g0—2=—9

2x1010

故選：B.

7.C

b

【分析】設(shè)過F?與雙曲線的一條漸近線y=±尤平行的直線交雙曲線于點尸，運用雙曲線的定義和條件可得

a

l^l=3?,\PF2\=a,\FtF2\=2c,再由漸近線的斜率和余弦定理，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值.

【詳解】設(shè)過F?與雙曲線的一條漸近線y=2bx平行的直線交雙曲線于點尸，

a

由雙曲線的定義可得IP耳ITPg1=2。，

由|防|=3|至|，可得1P用=3。，|尸工|=。，|FrF21=2c,

b,cosZF.FP=,=—

由tanN耳片尸=—可得-?f廬c,

a卜/

在三角形尸耳工中，由余弦定理可得：

2

I尸耳2=|PF2|+1/777|2-2|%I百巴IcosN耳鳥］,

22

即有9a=合+公2—2〃x2cx@,化簡可得i=?,

c3

所以雙曲線的離心率e=￡=百.

a

故選：C.

8.B

InX

【分析】根據(jù)所給數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，設(shè)函數(shù)/5)=與，(尤>0),利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大

x

小，可得答案.

【詳解】設(shè)函數(shù)/(?=與，(尤>0),則:(尤)=上二空,@>0),

XX

當(dāng)0<x<加'時，f'M>0,當(dāng)尤A加時,廣(無)<0,

故“X)在(0,6)單調(diào)遞增，在(金,+00)上單調(diào)遞減，

?lnV3In否/-Ine，/、Inn2In五廠、

Xa=——=—^=f(^),b=F=/(e),c=——=~^=f^n),

3行e4兀而

因為正<有<五<e,故/(百)>/(6)>/(e),即a>c>b,

故選：B

【點睛】方法點睛：此類比較大小類題目，要能將所給數(shù)進行形式上的變化，進而由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)

數(shù)判斷單調(diào)性，進而比較大小.

7

9.BC

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合代入法、整體法逐一判斷各項正誤.

【詳解】由"x)=2sin(2xq],最小正周期T=g=兀，A錯;

由/(7)=2sin(2xy-])=0,即(可,。)是對稱中心，B對；

由xe0q，則%-乂-三中，顯然了⑴在區(qū)間04上單調(diào)遞增，C對；

jr71SirI

由題意2%---=kji-i—=>2x=kji-i---,故sin2%o=±—,D錯.

32062

故選：BC

10.ACD

623456

【分析】將％=0,x=2,x=±lA(x-1)=a0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6xACD,利用二項式

展開式的通項公式判斷B即可.

【詳解】將l=0代入(％-1)6=%+4%+%/+//+%%6得(0-1)6=%,解得%=1,A正確；

由二項式定理可知(AI),展開式的通項為Tr+i=C"6f(-1)-,

令6—r=3得r=3,所以g=C：(—1)=—20,B錯誤；

23456

將x=2代入(x—I)，=%+%%+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x得

(2—1)=%+2q+4a2+8q+16g+32a,+64%，

即2q+4〃2+8色+164+32%+644=0,CTF*；

將X=1代入(X—1)6=%+4%+。2%2+%%3+&/+%X5+以%6得。一])二/+“+4+生+g+%+%，

即4+卬+%+%+“4+〃5+〃6=。(X)，

將廣一1代入(兄-1)6=/+4%+%%2+。3%3+。4%4+。5%5+〃6%6得(一1一球二4-4+%/+=一。5+。6，

即%—%+%—〃3+〃4—〃5+〃6=64(^2),

①+②得2(%+/+4+々6)=鈿，所以/+%+%+。6=32,

①)-②得2(q+%+%)=—64,所以％+/+%=—32,

所以|%+%+〃4+4|=|%+%+。5|，D正確；

故選：ACD

11.BD

8

【分析】通過設(shè)/：x=my+l,設(shè)4/,2°）,8（62,26）,然后聯(lián)立方程后結(jié)合韋達定理得到°+"血然后求出直

線4與4,進而求出。點坐標(biāo),然后可以判斷A,B選項，然后通過參數(shù)機表示點。到直線/的距離和AABQ的面

積，進而可以判斷.

【詳解】易知尸。,0),設(shè)/：尤=町+1,設(shè)A(a2,2a),B(Z?2,2b),

[x=my+1,c

將/與拋物線C的方程聯(lián)立，則，-'可得y2_4my-4=0,

[y=4x,

所以2。+28=4/九，2a-2b=即a+b=2m,ab--l,

所以yH=^^^=2加，因為壇4=工,所以直線40：了=_20_2。)+/,有無=_2,+°2+4,

2aaa

292

同理可知，直線BQ：%=-7丁+/+4,所以—y+a2=-—y+b2,

baQbQ

所以(2-務(wù)°=/-此所以改幾=(a+6)(〃-6),所以人=學(xué)=〃-劃抑A錯誤；

abab2

又無0=—2根+。？+4=+a2+4=ab+a2+b2+4=(a+b)2-ab+4=4m2+5,

aa2

所以Q的軌跡方程為尢=4丁+5,即B正確；

匚q』lm2-(4m2+5)+113m2+4_~~1

。到/的距禺d=-----/-----=/=3〃+l+-y==,

Vm+1y/m+1+1

因為所以〃=3府工+冊一力,即C錯誤；

因為IA5|=Q2+b2+2=(a+b)2-2ab+2=4m2+4=4(m2+1),

2222

所以S^ABQ=—?4(m+1)-(3A/m+1+.)=2^m+l(3m+4)^2x4=8zgpD正確.

2，加+1

故選:BD.

【分析】利用等比數(shù)列前n項和公式聯(lián)立方程組即可求解.

【詳解】由題意可知：4工1,

根據(jù)等比數(shù)列的前"項公式可得：S3="（i）=27①,$6="'（j）=35②,

31-q6i_q

359

聯(lián)立①②可得1+八||,解得q

故答案為：|

13.8兀

【分析】借助過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長，即可求出圓錐表面積.

【詳解】由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

9

s

AB

設(shè)圓錐高為/2,母線長為/,

則在三角形">田中有膏+產(chǎn)=產(chǎn),即〃2+2=/①，

又由△SOOySOd得幺=與4,即/=應(yīng)(/?一1)②,

rI

所以由①②得/=3后,/?=4,

所以圓錐的表面積為S=S底+5=兀廠2+兀〃=2兀+6兀=8兀.

故答案為：8兀.

14.①②④

【分析】分情況，做出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可得問題答案.

由|2-2|=0nx=l；72^2+2=2,怛-2|=2,結(jié)合圖象:

當(dāng)XG(YO,1]時,函數(shù)單調(diào)遞減，且/(x)e[0,2)；

當(dāng)xe[l,+8),函數(shù)單調(diào)遞增，/(x)e[0,+oo).

所以當(dāng)此2時，方程=f有唯一解.故①正確;

由，一2卜0nx=loga2<0；由圖象可知,

10

當(dāng)x?y』og〃2］時，函數(shù)單調(diào)遞減，〃x)e［0,+8)；

當(dāng)xe(log02,2)時，函數(shù)單調(diào)遞增，/(x)e(0,2-a2)；

當(dāng)xe［2,y)時，函數(shù)單調(diào)遞增，/(x)G(a,+oo).

因為2——a=—(a+2)(a—1),因為0<a<l,所以—(a+2)(a—1)>0,即2—a?〉。.

所以，當(dāng)a<f<2-/時，方程〃x)=f有三個解.故②正確;

如圖:

由.工一4=0n尤=log”2,再由logfl2>2n]<q<0,

此時〃x)在(-匕2)上單調(diào)遞減，在［2,y)上單調(diào)遞增，且0<2-4<°,

所以此時函數(shù)的值域不是［0,+8).故③錯誤；

由①可得，當(dāng)。=2時，函數(shù)/'(X)在(2,+8)上單調(diào)遞增.

即：存在實數(shù)。，使得了(無)在區(qū)間(4,+8)上單調(diào)遞增.故④正確.

故答案為：①②④

【點睛】方法點睛：本題可以畫出分段函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合，可以比較輕松的解答.

15.⑴證明見解析

【分析】(1)將已知條件利用兩角和差公式與正弦定理即可計算出結(jié)果；

(2)利用第一問的結(jié)果代入cosA的余弦定理表達式，再利用基本不等式即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)已知可3cosc—I)=c(l—3cos3),

由正弦定理得：sinB(3cosC-1)=sinC(1-3cos3),

整理得：sinC—3cosBsinC=3sinBcosC-sinB,

sinB+sinC=3(cosBsinC+sinBcosC)=3sin(B+C).....①

11

因為A=7T-(5+C)=>sinA=sin(兀一(5+。))=sin(5+C)②

②代入①有：sinB+sinC=3sinA,

再由正弦定理得b+c=3a.

(2)由余弦定理得：

“b2+c2-a29b2+9c2-(b+cYS(b2+c2\-2bc8x26c-26c7

2bc18bc18bc18bc9

7

當(dāng)且僅當(dāng)匕=c時，等號成立，所以cosA的最小值為

16.⑴。=6=50

(2)有差異

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解即可；

（2）根據(jù)題意可得2x2列聯(lián)表，計算并與臨界值對比分析.

](2a+46)+(a+外=400

【詳解】（1）由題意可得:1+46=250解得a=b=5Q.

（2）零假設(shè)為"。：對短視頻剪接成長視頻APP的需求，青年人與中老年人沒有差異.

由已知得,如下2x2列聯(lián)表:

青年人中老年人合計

對短視頻剪接成長視頻的APP有需求300250550

對短視頻剪接成長視頻的APP無需求100350450

合計4006001000

可得2_1000x(300x350-100x250)2

n寸力—400x600x450x550?107.744>10.828,

根據(jù)小概率值0=0.001的獨立性檢驗，我們推斷名不成立,

所以對短視頻剪接成長視頻的APP有需求，青年人與中老年人有差異.

17.

⑵存在，點尸在GC的延長線，且CP=GC.

【分析】（1）取AC中點。，先證4。，平面ABCD.再以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方

12

法求二面角所成的余弦.

(2)根據(jù)P在線段CG上，設(shè)屈=2京，再由麗和平面DAG的法向量，求彳，即可得解.

取AC中點。，連接A。，AC,BD.

因為各棱長均為2,且ZAZ?C=60。，所以AABC是等邊三角形.

所以AC=2.

又因為A4,=2,NAAC=60。，所以懼AC是等邊三角形.

所以419_LAC,又平面A41GC_L平面ABCD,平面441GCf)平面=AC,

A。u平面A41cC，

所以AQ_L平面ABCD.

由AC工BD,所以可以以。為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

那么：D(-73,0,0),4(0-1,0),4(0,0,73),C(0,l,0).

設(shè)平面D4A]的法向量為質(zhì)=(x,y,z),則

m-IDA=o(x,y,z)?(石i,o)=oV^x-〉=o

m-DA=0(x,y,z)?6,0,3)=0［百x+百y=0

因為03，平面CA4,,可取平面CAA的法向量力=(1,0,0).

西m-n娛\[3等x[5即為平面叱與平面CM所求角的余弦值.

則cosm,n=

(2)因為G(0,2，⑹，5(>/3,0,0)

設(shè)網(wǎng)看,如4),因為P在C。上，可設(shè)屈=4工\

則(%，%-1，4)=2(。,1,石),

可得尸(0,1+九網(wǎng).

13

設(shè)平面。4G的法向量為了=（々,%，22），

fs-DA^=O（無2，%/2）?（后。，6）=。Jx2+z2=0

人［?西=0=仇,%/2）?（必,2,不）=0=］氐2+2%+白22=0'

由s-RP=0=（1,0,—1）-^—^3,1+2,^/32j=0=>—^/3—^/32=0=>2=—1.

所以存在點P,使得3尸//平面DAC，此時點尸在CC的延長線，且CP=CC.

18.（吟+9=1

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)條件求。/，c的值，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）因為直線。。的斜率不為0,可設(shè)直線。。方程為：x=沙+2,與直線A3方程聯(lián)立可得M點坐標(biāo),

與橢圓方程聯(lián)立，可得。點坐標(biāo)，進一步寫出直線CQ的方程，令y=l得N點坐標(biāo)，列出直線的斜率,

化簡即可.

【詳解】（1）S.PFF=—x2cxc=^/3.

△年222

???點「‘孝］在橢圓E上，

33

,1,4解得片=4或。一=了（舍）

一二+22=14

aa-3

a-b"=3,:.b2=1.橢圓E的方程為J+『=1.

易知直線。。斜率不為0,設(shè)直線。。方程為了=0+2,。（毛,％）

直線方程為：x—2y+2=0,

x—2y+2=021+441

聯(lián)立得M

x=ty+2

14

由,得卜2+4);/+4"=0,

x=ty+2

-2r+8

???D(2,O),:.yo=-^—^,xo="o+2=0+4?

2-t

直線CQ的斜率為:k

%CQ2。+2)

???直線CQ方程為：》二而5元一1.

令y=i,得N|等『』)

「1

?k=___2^11______=_2+'_=_J_

■,MN~2/+44(Z+2)--2(z+2)-2*

2—t2—t

所以直線MN的斜率為定值.

19.⑴“X)有極小值"0)=0,無極大值.

(2)答案見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)利用極值的定義求解即可；

(2)分類討論求〃x)的單調(diào)區(qū)間即可；