2025年湖北省武漢市高考數(shù)學模擬試卷（附答案解析）

2025年湖北省武漢市高考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.（5分）已知集合人={1官}避={2,3,4},且AUB={1,2,3,4},則實數(shù)a取值的集合是（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2}D.{3}

2.（5分）已知4ABC的三個角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若3a=2b,B=2A,則cosB=（）

A.—B,2

C.D.-

“16R

3.（5分）二項式（2標一白：8的展開式中的常數(shù)項為（）

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

4.（5分）如圖，A,B是兩個形狀相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的勺士，則B杯容積與A杯容積之比

4

最接近的是（）

AB

A.1:3B.2:5C.3:5D.3:4

5.（5分）已知數(shù)歹U{an},貝?。荨癮n-2+an+2=2an（n23,nGN*）”是“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”的（）

A.充分不必烈條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（5分）若0<a<b<l,c>l,則（）

A.cb<caB.logca>logcb

C.sin->SinTD.aC<bO

ah

7.（5分）如圖展示了一個由區(qū)間（0,1）到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0,1）中的實數(shù)m對應數(shù)軸上

的點M,如圖1;將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合（從A到B是逆時針），如圖2;再

將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0,1）,如圖3.圖3中直線AM

與X軸交于點N(n,O),則m的象就是n,記作f(m)=n.則下列說法中正確命題的是()

A⑻

AMBn

c.--------1-----------(-.■

0m|

圖1圖2圖3

A.6)=1

B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(x)在定義域上單調遞增

D.f(x)的圖象關于y軸對稱

8.(5分)已知點知-c,0)(c>0)是雙曲線公三一1的左焦點，過F且平行于雙曲線漸近線的直

a2b2

線與圓x2+y2=c2交于點P,且點P在拋物線y2=4cx上，則該雙曲線的離心率是()

V5-1

D.<5

、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

(多選)9.(6分)已知復數(shù)zl,z2滿足：zl為純虛數(shù)，z2-l|=2|z2-4|,則下列結論正確的是()

A.z2=-|zil2

B.3<|z21<7

C.|zl-z2l的最小值為3

D.jzl-z2+31的最小值為3

(多選)10.(6分)已知函數(shù)f(x)=|l-2sin2x|,下列結論正確的是()

A.f(x)的最小正周期為n

B.函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線融=-今對稱

C.函數(shù)f(x)在喘，冷上單調遞增

D.方程f(x尸1在［-口，上有7個不同的實根

(多選)11.(6分)勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始

終保持與兩平面都接觸.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個

球的相交部分圍成的幾何體，若用棱長為4的正四面體ABCD作勒洛四面體，如圖4,則下列說法正確

的是（）

A.平面ABC截勒洛四面體所得截面的面積為8n-8V3

B.記勒洛四面體上以C,D為球心的兩球球面交線為弧AB,則其長度為?。?7r

C.該勒洛四面體表面上任意兩點間距離的最大值為4

D.該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為4-V6

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）已知向￡=2，貝打謁-1吐2=

13.（5分）已知直線l:ax+by-3=0經過點（a,b-2）,則原點到點P（a,b）的距離可以

是.（答案不唯一，寫出你認為正確的一個常數(shù)就可以）

14.（5分）已知a,bER,若函數(shù)f（x）=|asinx+bcosx-l|+lbsinx-acosxl的最大值為5,貝如2+匕=

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA_L平面ABCD,AC與BD相交于點E

點F^EPC上,EF±PC,AC=4^2,BD=4,EF=2.

（1）證明:DF_L平面PBC;

（2）若PA與平面BDF所成的角為a,平面PAD與平面PBC的夾角為B,求a+6.

16.（15分）某學校為提升學生的科學素養(yǎng)，要求所有學生在學年中完成規(guī)定的學習任務，并獲得相應過

程性積分.現(xiàn)從該校隨機抽取100名學生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數(shù)）及相應過程性

積分數(shù)據，整理如下表：

科普測試成績x科普過程性積分人數(shù)

90WxW100410

80^x<903a

70<x<802b

60<x<70123

0Wx〈6002

(I)當a=35時，

(i)從該校隨機抽取一名學生，估計這名學生的科普過程性積分不少于3分的概率；

(ii)從該?？破諟y試成績不低于80分的學生中隨機抽取2名，記X為這2名學生的科普過程性積分

之和，估計X的數(shù)學期望E(X);

(II)從該?？破者^程性積分不高于1分的學生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為Yi,上述100

名學生科普測試成績的平均值記為Y2.若根據表中信息能推斷YKY2恒成立，直接寫出a的最小值.

17.(15分)已知函數(shù)=整

(I)求f(x)的單調區(qū)間；

(11)若函數(shù)8(*)=廳(*)+6-22屬￡(0,+一)存在最大值，求a的取值范圍。

18.(17分)已知圓Ai：(x+l)2+y2=16,直線li過點A2(l,0)且與圓Al交于點B,C,BC中點為

D,過A2c中點E且平行于AQ的直線交AiC于點P,記P的軌跡為1

(1)求F的方程；

(2)坐標原點O關于A1,A2的對稱點分別為B1,B2,點A1,A2關于直線kx的對稱點分別為Cl,

C2,過Al的直線12與「交于點M,N,直線BiM,B2N相交于點Q.請從下列結論中，選擇一個正確

的結論并給予證明.

①△QB1C1的面積是定值；②△QSBZ的面積是定值：③△QGC2的面積是定值.

19.(17分)如果無窮數(shù)列｛an｝滿足“對任意正整數(shù)i,j(irj),都存在正整數(shù)k,使得ak=ai-aj”，則稱

數(shù)列｛an｝具有“性質P”.

(1)若等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,且公比q>l,Sz=12,S4=120,求證：數(shù)列｛an｝具有“性質P”；

(2)若等差數(shù)列｛bn｝的首項b=l,公差dez,求證：數(shù)列｛bn｝具有“性質P”，當且僅當deN;

(3)如果各項均為正整數(shù)的無窮等比數(shù)列｛cn｝具有“性質P”，且T3,5i2,4i5,10"四個數(shù)中恰有兩

個出現(xiàn)在數(shù)列｛cn｝中，求cl的所有可能取值之和.

2025年湖北省武漢市高考數(shù)學模擬試卷

參考答案與趣解析

-、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.（5分）已知集合人={13},：6={2,3,4},且AUB={1,2,3,4},則實數(shù)a取值的集合是（)

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4)C.{2}D.{3}

【解答】解：\?集合A={l,a},B={2,3,4},且AUB={1,2,3,4},

實數(shù)a取值的集合為{2,3,4}.

B.

2.（5分）已知4ABC的三個角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若3a=2b,B=2A,貝!］cosB=()

A.Y7

B.—C.D5

16

【解答】解：因為3a=2b,B=2A,

由正弦定理可得：3sinA=2sinB=2sin2A=4sinAcosA,

因為Ae(0,冗)，所以sinA>0,

所以3=4cosA,即JCOSA=7

4

所以cosB=cos2A=2COS2A-1=2X(1)2-1=1

故選：D.

3.(5分)二項式(24一白：8的展開式中的常數(shù)項為()

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

［解答］解：因為胃+1=4(268T.T)r=(-l)rX2?-rCJx4-r

令4-r=0,得r=4,

所以二項式展開式中的常數(shù)項為Ts=（V）&X24c8=1120.

故選：C.

3

4.（5分）如圖，A,B是兩個形狀相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的勺一，則B杯容積與A杯容積之比

4

最接近的是（）

A.1:3B.2:5C.3:5D.3:4

【解答】解：因為A,B是兩個形狀相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的勺;

4

3

所以底面半徑比也是

4

所以兩個杯子的底面積之比為Sp§4=弓)％

所以B杯容積與A杯容積之比紅竺=(―)2x—=—*0.4=2：5)

SA4464

B.

5.(5分)已知數(shù)列｛an｝,則“an-2+an+2=2an(n23,ndN*)”是“數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列”的()

A.充分不必烈條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解答】解：判斷充分性：因為an-2+an+2=2an,所以an+2-an=an-an-2,

令n=2k(kEN*),則a2k+2-a2k=a2k-a2k-2=...=a4-a2,所以數(shù)列｛an｝的偶數(shù)項成等差數(shù)列,

令n=2k-l(kGN*),則a2k+l-a2k-l=a2k-l-a2k-3=..=a3-a,,所以數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項成等差數(shù)列，

但數(shù)列｛an｝不一定是等差數(shù)列,如：1,1,2,2,3,3;

所以“an-2+an+2=2an(n23,n6N*)”不是“數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列”的充分條件；

再判斷必要性：若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，則12冊=冊_1+冊+1=維亭出+咄抖^=冊+竽+

Qyi+2

所以2an=an-2+an+2,所以“an-2+an+2=2an(n23,n￡N*)”是“數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列”的必要條

件；

綜上，“an-2+an+2=2an(n^3,ne?”是“數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列”的必要不充分條件.

雌：B.

6.（5分）若0va〈bvl,c>l,則）

A.cb<caB.logca>logcb

cC

C.Sin->sin^D.a<bC

【解答】解：對于A「??c>l,???指數(shù)函數(shù)產c在R上單調遞增,

又a<b,c<cb,故A錯誤；

對于對數(shù)函數(shù)y=logex在(0,+一)上單調遞增,

又,.,(KaVbVl,，logcaVlogcb,故B錯誤；

對于C「??()vavbvl,c>l,

CC

:>—>1,

ab

?.?正弦函數(shù)尸sinx在(1,+0)上不具有單調性，.?.無法判斷小濡與川清的大小，故C錯誤；

ah

對于幕函數(shù)尸x"在(0,+0)上單調遞增，

又?.?0<a〈b〈l,...aybC,故D正確.

W：D.

7.(5分)如圖展示了一個由區(qū)間(0,1)到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間(0,1)中的實數(shù)m對應數(shù)軸上

的點M,如圖1;將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合(從A到B是逆時針)，如圖2;再

將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為(0,1),如圖3.圖3中直線AM

與x軸交于點N(n,0),則m的象就是n,記作f(m)=n.則下列說法中正確命題的是()

A./&)=1

B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(x)在定義域上單調遞增

D.f(x)的圖象關于y軸對稱

【解答】解：由題意知，f(3=-1,故A錯；

J4

又?..函數(shù)f(x)的定義域為(0,1),不關于原點對稱,

，函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)，故B、D錯.

當x從0-1變化時，點N從左邊向右邊移動，其對應的坐標值漸漸增大，

故f(x)在定義域上單調遞增，所以C正確。

腌：C

8.(5分)已知點F(-c,0)(c>0)是雙曲線久至一絲=1的左焦點，過F且平行于雙曲線漸近線的直

a2b2

線與圓W+y=(?交于點P,且點P在拋物線y2=4cx上，貝ij該雙曲線的離心率是()

3+V5IJ5+IV5-1,

AA--B.J竽C.-DW5

【解答】解：如圖，設拋物線產kx的準線為1,作PQL1于Q

設雙曲線的右焦點為F,P(x,y).

由題意可知FF為圓X斗產C2的直徑，

--.PF'±PF,直lan/PRF'=-\FF'\=2c,

Cl

fy2=4cx①

滿足."+y2=c2②，

Vr+ca

將①代入②得X2+4CX-C2=0,

貝!Jx=-2c±V5c,

即x=(0-2)c,(負值舍去)

2

代入③，即v=(西二1)加再將丫代入①得，L._:黑-e-1

7aa2(V5-1)2

即.=.+1

匕7

.175+1

..e=J丁

SfcfeB.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

(多選)9.(6分)已知復數(shù)zl,z2滿足：zl為純虛數(shù)，z|2-l|=2|z2-4,則下列結論正確的是()

A.z2=-|zil2

B.3<|z21<7

C.Izl-z2|的最小值為3

D.|zl-z2+3i的最小值為3

【解答】解：：zl為純虛數(shù)，.?.可設zl=bi(bWO),.?.zi=-b2=Tz/2,選項A正確；

對B:設z2=m+ni(m,neR),|z2-l|=2|z2-4|,

則(m-iy+n2=4(m-4)2+4n2,即(m-5)2+n2=4,

則z2所對應點的軌跡是以(5,0)為圓心，以2為半徑的圓，

.,.3<|z21<7,.,.選項B正確；

對C:：zl為純虛數(shù)，...zl對應點在y軸上(除去原點)，

z2所對應點的軌跡是以(5,0)為圓心，以2為半徑的圓，

?,.|zl-z2|的取值范圍為(3,+0),|zl-z21無最小值，選項C錯誤；

對D:Y|zl-z2+3il=|(b+3)i-z2|,

表示點(0,b+3)到以(5,0)為圓心，以2為半徑的圓上的點的距離，

V(b+3)i(b^0)為純虛數(shù)或0,(0,b+3)在y軸上(除去點(0,3)),

.?.當b=-3時|zl-z2+3i［取得最小值3,.?.選項D正確.

故選：ABD.

(多選)10.(6分)已知函數(shù)f(x)=|l-2sin2x］,下列結論正確的是()

A.f(x)的最小正周期為Ji

B.函數(shù)y=f(x)的圖象關于直緣=:福爾

C.函數(shù)f(x)在尊卷上單調遞增

D.方程f(x)=l在［-?m上有7個不同的實根

1—2sin2x,sin2x<i

【解答】解：由題意，函數(shù)/<(%)=|1-2sin2x|=,彳

2sin2x-1/sin2x>

作出f(x)在［-兀，口上的圖象，

將y=2sin2x的圖象向下平移1個單位可得到y(tǒng)=2sin2xT的圖象，

將所得圖象在X軸下方的部分沿X軸翻折,

如圖所示：

由圖可知f(x)的最小正周期為",故A正確；

曲線y=f(x)關于直線無=—左對稱，故B正確；

函數(shù)f(x)在4，器：上單調遞減，則C錯誤；

方程f(x)=l在［-n,n］上有7個不同的實根，所以D正確.

故選：ABD.

(多選)11.(6分)勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始

終保持與兩平面都接觸.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個

球的相交部分圍成的幾何體，若用棱長為4的正四面體ABCD作勒洛四面體，如圖4,則下列說法正確

的是()

A.平面ABC截勒洛四面體所得截面的面積為8n-8V3

47r

B.記勒洛四面體上以C,D為球心的兩球球面交線為弧AB,則其長度為寸刀

C.該勒洛四面體表面上任意兩點間距離的最大值為4

D.該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為4-V6

【解答】解：對于A,平面ABC截勒洛四面體所得截面如圖甲,

它的面積為三個半徑為4,圓心角為60°的扇形的面積減去兩個邊長為4的正三角形的面積,

即3—2x坐x4?=8“一8>/5,故A正確;

對于B,如圖乙，取CD中點G,

，AB=4,記該勒洛四面體上以C,D為球心的兩球交線為弧AB,

則該弧是以CD的中點G為圓心，以2J3為半徑的圓弧，

設圓心角為/AOB=a,則=(2何?+及何；4?=1q,2y[3*in,

47r

所以弧長不等于:W，故B錯誤；

對于C,如圖丙，設弧AB的中點是M,線段AB的中點是N,設弧CD的中點是H,線段CD的中點

是G,

則根據圖形的對稱性，四點M,N,G,H共線且過正四面體ABCD的中心O,則MG=GA=NH=2包

NG=>JAG2-AN2=J(2>/3)2-22=2V2,MN=GH=2A/3-2^2,MH=4^3-2^2,

即勒洛四面體表面上任意兩點間距離可能大于4,最大值為4V3-2V2,故C錯誤;

對于D,勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切，如圖乙，其中點E為該球與勒洛四面

體的一個切點，

由對稱性可知O為該球的球心，內半徑為OE,連接BE,易知BOE三點共線，

設正四面體ABCD的外接球半徑為r,如圖丁，

則由題意得：正四面體ABC.D的高，222

B0l=-5AOI=A/AB-BO=J4-(43=436

則(華F+(第、洛解得：r=V6,所以BE=4,0B=r=J6,內半徑0E=4-V6,D

正確.

AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知Ing=2,l/!!jlna2-Inb2=4

【解答】解:Ina1-1^=21/10-2lnb=2Una-Inb)=2/n^=4.

故答案為:4.

13.(5分)已知直線l:ax+by-3=0經過點(a,b-2),則原點到點P(a,b)的距離可以是2(答案

不唯一).(答案不唯一，寫出你認為正確的一個常數(shù)就可以)

【解答】解：由于直線l:ax+by-3=0經過點(a,b-2),

即a2+b(b-2)-3=0,

BPa2+(b-I)2=4,

故P(a,b)在以(0,1)為圓心，2為半徑的圓上，

由于CP+(0-1)2<4,

即原點在該圓內，

故|0P|e[l,3],

則原點到點P(a,b)的距離可以是2.

故答案為：2(答案不唯一).

14.(5分)已知a,bER,若函數(shù)f(x)=|asinx+bcosx-l|+|bsinx-acosx|的最大值為5,貝Ija2+b2=8

【解答】解：設asinx+bcosK^+tAinlx+cp)淇中匕叫H=^^”7",,.一.h...

JQT*[d+b-

JJl!jbsinx-acosx=^a2+b2(sinxsin(p-cosxcos(p)=-^a2+b2cos(x+(p),

f(x)=|Na2+b2sin(x+(p)-l|+|Va2+b2cos(x+(p)|,

當sin(x+(p)取負值時，f(x)取得最大值，

f(x)達到最大值時，f(x)=-Va2+b2sin(x+4))+1+Va2+b2|cos(x+4))1

=—Va2+b2[sin{x4-<p)±cos(x+(p)]+1=—y/a2+b2?迎(辛sin(x+伊)±與cos?+(p))+1

=-Va2+?V2s/n(x+尹±今)+1,

,當1sin(x+<p±j)=TH寸,f(x)max=V2(a2+b2)+l=5,MWa2+tf=8.解題過程中同時取“+”

或“-”)

sin(x+(p)是負值，x+(p的終邊在x軸下方，即最大值能取到.

故答案為：8.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PAL平面ABCD,AC與BD相交于點E

點F在PC上,EF±PC,AC=4^2,BD=4,EF=2.

(1)證明：DF±平面PBC;

(2)若PA與平面BDF所成的角為a,平面PAD與平面PBC的夾角為B,求a+6.

【解答】解：（1）證明：?.,底面ABCD是菱形，；.AC，BD,

:PA_L平面ABCD,且BDC平面ABCD,

.'.PA±BD.

又：ACNPA=A,AC,PAc平面PAC,

，BD_L平面PAC,

VPCc平面PAC,

.'.BD±PC,又：EF_LPC,且EF,BDc平面BDF,EFNBD=E,

；.PC,平面BDF,：DFc平面BDF,

/.PCJ.DF,

:EF=ED=EB=2,

；./DFB=90。,BPDF±FB,又；PC,FBC平面PBC,且PCNFB=F,

.'.DF±平面PBC

(2)以E為原點，以EA,EB所在直線分別為x軸、y軸，過點E且平行PA的直線為z軸建立空間直

角坐標系，如圖所示，

則八(2也,0,0)。(-2也,0,0),口(0,-2,0),

:EF=2,AC=4、2,BD=4,

.,.EC=2A/2,又VEF±PC,

在AFEC中由勾股定理得

即FC=2,乙FEC=1

F(A2,0、2).；.DF=(-^2,2^2),AD=(-2^2,-2,0),

："EFIPC,EF=2,EC=2^2,

.NACP=45。

.：PA=AC=4e,?：/APC=45。,

:PC_L平面BDF,

；.PA與平面BDF所成的角為a=90°-ZAPC=45°,

:DF_L平面PBC,

；.DF是平面PBC的一個法向量，

\'PA±平面ABCD,PAc平面PAD,

，平面PAD_L平面ABCD,

設iRxyO),只需11，AD,則nl平面PAD,

則n?AD=(x,y,0)(-2V2,-2,0)=-2V2x-2y=0,

茄J_3夜_百

令n=(T,J2,0),則cos0

|n||DF|仔2&2

B=30°,

/.a+0=45°+30°=75°

16.(15分)某學校為提升學生的科學素養(yǎng)，要求所有學生在學年中完成規(guī)定的學習任務，并獲得相應過

程性積分.現(xiàn)從該校隨機抽取100名學生，獲得其科普測試成績(百分制，且均為整數(shù))及相應過程性

積分數(shù)據，整理如下表：

科普測試成績X科普過程性積分人數(shù)

90?00410

80^x003a

70Wx<802b

60<x<70123

0Wx〈6002

(I)當a=35時，

(i)從該校隨機抽取一名學生，估計這名學生的科普過程性積分不少于3分的概率；

(ii)從該?？破諟y試成績不低于80分的學生中隨機抽取2名，記X為這2名學生的科普過程性積分

之和，估計X的數(shù)學期望E(X);

(II)從該校科普過程性積分不高于1分的學生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為Yi,上述100

名學生科普測試成績的平均值記為Yz.若根據表中信息能推斷YEY2恒成立，直接寫出a的最小值.

【解答】解：(I)當a=35時，

(i)由表可知，科普過程性積分不少于3分的學生人數(shù)為10+35=45,

45

所以從該校隨機抽取一名學生，這名學生的科普過程性積分不少于3分的頻率為一=0.45,

1AA

所以從該校隨機抽取一名學生，這名學生的科普過程性積分不少于3分的概率估計為0.45;

(ii)根據題意，從樣本中成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，這名學生的科普過程性積分為3

分的頻率沏上35一=47

9

所以從該校學生活動成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，

這名學生的科普過程性積分為3分的概率估計為:

Q

同理，從該校學生活動成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，這名學生的科普過程性積分為4分的

概率估計為

由表可知X的所有可能取值為6,7,8,

P(X=6)=弓7x7弓=舒P(X=7)=2X弓7x12=含P(X=8)=32X32=而4

所以X的數(shù)學期望E(X)=6端+7乂霽+8><言=等

(11)7.

17.(15分)已知函數(shù)=xea4

(I)求f(x)的單調區(qū)間；

(11)若函數(shù)8(*)=及《)+62a1,xE(0,+一)存在最大值，求a的取值范圍.

ax

【解答】解：(I)因為/1(x)=x-e-i

所以/(x)=

令f(x)=0,得x=2,

所以在(-0,2)上f(x)〉0,f(x)單調遞增，

在⑵+0)±f(x)<0,f(x)單調遞減，

所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(-0,2),單調遞減區(qū)間為(2,+0).

(II)令h(x)=f(x)+e?a,則hf(x)=f(x),

由(I)得，函數(shù)h(x)得單調遞增區(qū)間為(-0,2),單調遞減區(qū)間為(2,+0),

所以h(x)在x=2處取得最大值h(2)=2ea」+e，a,

所以當X>2時，h(x)=jr?ea-2x+e2a>e-a=h(C),

當0<x<2時,h(x)>h(0),

即當XG(0,+)時，he(h(0),h(2)),

所以g(x)=Ih(x)|在(0,+0)上存在最大值的充分必要條件是12-ea-i+e^alNle"2al

f-------------------------=e0'+e2a20,

令m(x尸ex」+e—?x,貝！Jmf(x)=ex-1+e-2,

因為m'(x尸xeT+e-2>0,

所以m(x)是增函數(shù)，

因為m(-1)=e?-e-2=0,

所以m(a)=ea」+e-2aeO的充要條件是a2-l,

所以a的取值范圍為［T,+一］.

18.(17分)已知圓&:(x+，+y2=16,直線li過點A2(l,0)且與圓Al交于點B,C,BC中點為

D,過A2c中點E且平行于AQ的直線交AC于點P,記P的軌跡為r

(1)求F的方程；

(2)坐標原點0關于A1,A2的對稱點分別為Bl,B2,點A1,A2關于直線y=x的對稱點分別為Cl,

C2,過Al的直線12與F交于點M,N,直線BlM,BzN相交于點Q.請從下列結論中，選擇一個正確

的結論并給予證明.

①△QBC1的面積是定值；②△QBB2的面積是定值：③△QCiC2的面積是定值.

【解答】解：⑴由題意得，Al(-l,0),A2(l,0).

因為D為BC中點，

所以AQLBC,即AiD±A2C,

XPE//A1D,

所以PELAzC,

又E為A2c的中點，

所以|PA2Hpe

所以|PA1國PA21=|PA,+1PC=|A1C|=4>A,A21,

所以點P的軌跡F是以Al,A2為焦點的橢圓(左、右頂點除外).

設—:I+￡=1(**±孫其中a>b>0,a2-b2=c2

貝(j2a=4,a=2,c=l,b=Va2-c2=V3.

故「:卷+《=l(x￥±2)

(2)結論③正確.下證：△QC￡2的面積是定值.

由題意得,BI(-2,0),B2(2,0),CI(0,-1),C2(0,1),且直線L的斜率不為0,

可設直線12：x=my_l,M(xl,yi),N(x2,y2),且xi#2,x2丹2.

*2y2

由I彳+3=1,得(3m2+4)y2-6my-9=0,

x=my-1

所以為+曠2=忌，為、2=品

所以2my1y2=?3(y1+y2).

直線B1M的方程為:、=焉(、+2)

直線BzN的方程為：y=-2Z-(x-2),

y2)

曲

，=會(4-2)

3