貴州省銅仁市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測試題 數(shù)學(xué) 含解析

銅仁市2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測試卷高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題辿出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若數(shù)列的前五項分別為，，，，，則下列最有可能是其通項公式的是（）A. B. C. D.2.已知直線：和圓：，若點在圓上運動，則其到直線的最短距離為（）A. B. C. D.3.在空間直角坐標系中，若對應(yīng)點，，若關(guān)于平面的對稱點為，則（）A.2 B. C.5 D.4.如圖，在四面體中，點是棱上的點，且，點是棱的中點.若，其中，，為實數(shù)，則的值是（）A. B. C. D.5.已知橢圓：（）的離心率為，點是上一點，，分別是兩個焦點，則的面積為（）A. B. C.16 D.326.與圓：及圓：都外切的圓的圓心在（）A.雙曲線上 B.橢圓上 C.拋物線上 D.雙曲線的一支上7.在等差數(shù)列中，m，n，p，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點，，過引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點，，過作，垂足為，且（為坐標原點），若，則與的離心率之和為（）A. B. C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知直線：與直線：，其中，則下列命題正確的是（）A.若，則或或 B.若，則或C.直線和直線均與圓相切 D.直線和直線的斜率一定都存在10.以下四個命題為真命題是（）A.已知的周長為6，且，，則動點的軌跡方程為（）B.若直線的方向向量為，是直線上的定點，為直線外一點，且，則點到直線的距離為C.等比數(shù)列中，若，，則D.若圓：與圓：（）恰有三條公切線，則11.著名的冰雹猜想，又稱角谷猜想，它是指任何一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，則先乘以3再加上1；如果是偶數(shù)，就除以2.這樣經(jīng)過若干次變換后，最終一定得1，若是數(shù)列或中的項，則下列說法正確的是（）A.若，則需要4次變換得到1B.若，則需要7次變換得到1C.中的項變換成1的次數(shù)一定少于中的項變換成1的次數(shù)D.存在正整數(shù)，使得與變換次數(shù)相同12.在棱長為1正方體中，為平面上一動點，下列說法正確的有（）A.若點在線段上，則平面B.存在無數(shù)多個點，使得平面平面C.將以邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，三棱錐的體積為定值D.若，則點的軌跡為拋物線三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，，若，則______.14.設(shè)為數(shù)列的前項和，若，，則______.15.圓與圓的公共弦長為______.16.已知拋物線：，且過焦點的直線與拋物線交于、兩點，若以為直徑的圓與軸交于和兩點，則直線的方程為______.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在下列三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答.①垂直于直線；②平行于直線；③截距相等.問題：直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且______.（1）求直線方程；（2）直線不過坐標原點，且與軸和軸分別交于、兩點，求的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.18.已知圓心為的圓經(jīng)過點，直線：.（1）求圓的方程；（2）寫出直線恒過定點的坐標，并求直線被圓所截得的弦長最短時的值及最短弦長.19.如圖，是拋物線型拱橋，當水面在時，水面寬16米，拱橋頂部離水面8米.（1）當拱頂離水面2米時，水面寬多少米？（2）現(xiàn)有一艘船，可近似為長方體的船體高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船體寬為12米，前后長為80米，若河水足夠深，要使這艘船能安全通過，則水面寬度至少應(yīng)為多少米？（計算結(jié)果保留至小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：）20.已知數(shù)列前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.21.長方體中，，是對角線上一動點（不含端點），是的中點.（1）若，求三棱錐體積；（2）平面與平面所成角的余弦值，求與平面所成角的余弦值.22.已知橢圓的焦點坐標，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，且，關(guān)于原點的對稱點分別為，，若是一個與無關(guān)的常數(shù)，求此時的常數(shù)及四邊形面積的最大值.銅仁市2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測試卷高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題辿出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若數(shù)列的前五項分別為，，，，，則下列最有可能是其通項公式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用觀察法求解.【詳解】數(shù)列，，，，，，，，，，所以數(shù)列的一個通項公式是，故選：C.2.已知直線：和圓：，若點在圓上運動，則其到直線的最短距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出點到直線：的距離為，點在圓上運動，則其到直線的最短距離為，求解即可.【詳解】圓：的圓心，所以點到直線：的距離為，所以點在圓上運動，則其到直線的最短距離為：.故選：A.3.在空間直角坐標系中，若對應(yīng)點，，若關(guān)于平面的對稱點為，則（）A.2 B. C.5 D.【答案】C【解析】【分析】利用空間直角坐標系中的點的對稱關(guān)系求出，進而求出，再由空間向量數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】關(guān)于平面的對稱點為，所以，所以，即，，所以.故選：C.4.如圖，在四面體中，點是棱上的點，且，點是棱的中點.若，其中，，為實數(shù)，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將用表示，對比系數(shù)即可.【詳解】因為，所以，故.故選：A.5.已知橢圓：（）的離心率為，點是上一點，，分別是兩個焦點，則的面積為（）A. B. C.16 D.32【答案】A【解析】【分析】由已知求出，再求的面積即可.【詳解】由題意可得，解得，所以，.故選：A.6.與圓：及圓：都外切的圓的圓心在（）A.雙曲線上 B.橢圓上 C.拋物線上 D.雙曲線的一支上【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩圓方程得出兩圓的圓心坐標和半徑，判斷出兩圓的位置關(guān)系，再利用與兩圓都外切的位置關(guān)系得出圓心距離所滿足的等量關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線的定義即可得出答案.【詳解】由圓可知，圓心，半徑，圓化為標準方程，圓心，半徑因此圓心距，所以兩圓相離；設(shè)與兩圓都外切圓的圓心為，半徑為則滿足，所以，即圓心的軌跡滿足到兩定點距離之差為定值，且定值小于兩定點距離，根據(jù)雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，即圓心在雙曲線的一支上.故選：D.7.在等差數(shù)列中，m，n，p，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分充分性和必要性分別判斷：充分性：取進行否定；必要性：直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可.【詳解】在等差數(shù)列中，若，則成立，故必要性滿足；下面討論充分性：取，若，則不一定成立，故充分性不滿足，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點睛】判斷充要條件的四種方法：（1）定義法；（2）傳遞性法；（3）集合法；（4）等價命題法.8.已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點，，過引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點，，過作，垂足為，且（為坐標原點），若，則與的離心率之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線方程可得焦點坐標，故可得橢圓離心率，點作于點，結(jié)合題目所給條件，可由、表示出、，結(jié)合雙曲線定義即可得雙曲線離心率.【詳解】由可得，故焦點坐標為、，則橢圓的離心率為，由，，則，過點作于點，由為中點，故，，由，故，則，，由雙曲線定義可知，，故，則離心率為，故與的離心率之和為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵點在作出，方可將題目所給條件結(jié)合起來，得出、，結(jié)合雙曲線定義求出雙曲線離心率.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知直線：與直線：，其中，則下列命題正確的是（）A.若，則或或 B.若，則或C.直線和直線均與圓相切 D.直線和直線的斜率一定都存在【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)直線垂直公式建立方程求角判斷A，根據(jù)直線平行公式建立方程求角判斷B，結(jié)合點到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關(guān)系判斷C，舉例判斷D.【詳解】對于A，直線：與直線：，若，則，即，又，所以，或或，解得或或，正確；對于B，若，則，所以，又，所以或，當時，直線：即，直線：即，兩直線重合，不符合題意，舍去；當時，直線：即，直線：即，兩直線平行，符合題意；所以，B錯誤；對于C，圓的圓心為，半徑為1，圓心到直線：的距離為，圓心到直線：的距離為，所以直線和直線均與圓相切，正確；對于D，當時，直線：化簡為，直線斜率不存在；當時，直線：化簡為，直線斜率不存在；D錯誤.故選：AC10.以下四個命題為真命題的是（）A.已知的周長為6，且，，則動點的軌跡方程為（）B.若直線的方向向量為，是直線上的定點，為直線外一點，且，則點到直線的距離為C.等比數(shù)列中，若，，則D.若圓：與圓：（）恰有三條公切線，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，可判斷A，利用點到直線的距離公式判斷B，由等比中項可知的值判斷C，利用兩圓外切建立方程求解判斷D.【詳解】對于A：設(shè)，，所以，滿足橢圓的定義，即點點是以頂點為焦點的橢圓，，，則，所以橢圓方程，因為三點不能共線，所以，則動點的軌跡方程為（），正確；對于B：因為直線的方向向量為，是直線上的定點，為直線外一點，且，所以點到直線的距離為，錯誤；對于C，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以是和的等比中項，所以，，錯誤；對于D，圓：的圓心，半徑，圓：（）的圓心，半徑，因為圓與圓恰有三條公切線，所以兩圓外切，則，所以，解得，正確.故選：AD11.著名的冰雹猜想，又稱角谷猜想，它是指任何一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，則先乘以3再加上1；如果是偶數(shù)，就除以2.這樣經(jīng)過若干次變換后，最終一定得1，若是數(shù)列或中的項，則下列說法正確的是（）A.若，則需要4次變換得到1B若，則需要7次變換得到1C.中的項變換成1的次數(shù)一定少于中的項變換成1的次數(shù)D.存在正整數(shù)，使得與的變換次數(shù)相同【答案】ABD【解析】【分析】選項A中，，按照流程變換即可判斷；選項B中，，按照流程變換即可判斷；選項C中，舉出反例“時”即可；選項D，從角度思考，問題即可解決.【詳解】對于選項A，，變化過程為：，4次變換得到1，A正確；對于選項B，，變化過程為：，7次變換得到1，B正確；對于選項C，舉例說明，當時，，變化過程為：，16次變換得到1；，變化過程為：，3次變換得到1；C錯誤；對于D，舉例說明，當時，，變換次數(shù)相同，D正確；故選：ABD.12.在棱長為1的正方體中，為平面上一動點，下列說法正確的有（）A.若點在線段上，則平面B.存在無數(shù)多個點，使得平面平面C.將以邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，三棱錐的體積為定值D.若，則點的軌跡為拋物線【答案】AB【解析】【分析】利用面面平行證線面平行可判定A項；利用線面垂直證面面垂直可判定B項；由三棱錐的體積公式可判斷C；利用平面截圓錐的結(jié)論可判定D項；.【詳解】對于A項，如圖所示，連接對應(yīng)面對角線，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知：，平面，平面，∴平面，同理可知平面，又平面，∴平面平面，又，∴平面，∴平面，故A正確;對于B項，

連接，易知面，面，則，又平面，∴平面，而平面，∴，同理，又平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面，所以存在無數(shù)多個點，使得平面平面，故B正確;對于C項，設(shè)點到平面的距離為，三棱錐，因為以邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所以為一個變量，所以棱錐的體積為不為定值，故C不正確.對于D，因為為定直線，是定角，到的距離為定值，所以時，在以為旋轉(zhuǎn)軸，到的距離為半徑的圓錐上，又平面，故平面截圓錐的軌跡為雙曲線的一支，即D錯誤；故選：AB.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題D選項關(guān)鍵點需要利用平面截圓錐曲線（不過圓錐頂點）來判定即可（當且僅當平面平行于圓錐底面時截圓錐所得圖形為圓，慢慢傾斜平面至與圓錐母線平行之前截圓錐得圖形均為橢圓，當且僅當平面與圓錐的母線平行時所截圖形為拋物線，再傾斜平面直至與圓錐的軸平行時所截圖形均為雙曲線的一支）.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，，若，則______.【答案】4【解析】【分析】利用空間向量垂直的坐標表示可得答案.【詳解】若，則，即，解得.故答案為：.14.設(shè)為數(shù)列的前項和，若，，則______.【答案】27【解析】【分析】題中所給式子使用進行轉(zhuǎn)化，得到數(shù)列第2項及以后各項的通項公式，用公式求即可．【詳解】由于，則，所以，所以.故答案是：.15.圓與圓的公共弦長為______.【答案】【解析】【分析】兩圓方程相減即可得公共弦所在直線，分別求出其中一圓的圓心到直線的距離與半徑，再利用直線與圓的相交弦長公式即可求出答案.【詳解】聯(lián)立方程組，，兩式相減，得，為公共弦長所在直線的方程，又圓的圓心為，，圓心到直線的距離為，所以兩圓公共弦長.故答案為：.16.已知拋物線：，且過焦點的直線與拋物線交于、兩點，若以為直徑的圓與軸交于和兩點，則直線的方程為______.【答案】【解析】【分析】由已知可得直線的斜率存在，將直線設(shè)為點斜式方程，與曲線聯(lián)立，利用韋達定理和，列方程求解.【詳解】由已知可得且直線的斜率存在，將直線設(shè)為，由得設(shè)，則所以，由題意可知，且所以解得，所以直線的方程為.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在下列三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答.①垂直于直線；②平行于直線；③截距相等.問題：直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且______.（1）求直線的方程；（2）直線不過坐標原點，且與軸和軸分別交于、兩點，求的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）通過解方程組求出兩條直線和的交點.選①：根據(jù)互相垂直兩直線方程的特征進行求解即可；選②：根據(jù)互相平行兩直線方程的特征進行求解即可選③：根據(jù)截距是否為零，結(jié)合直線的截距式的方程分類討論進行求解即可.（2）選①、選②、選③都是在直線方程中令求出在縱軸和橫軸的截距，最后根據(jù)三角形的面積公式進行求解即可.【小問1詳解】由，解得交點坐標為.選①，垂直于直線設(shè)直線的方程為：，其過點，則，即，故直線的方程為.選②，平行于直線，設(shè)直線的方程為：，其過點，則，即，故直線的方程為.選③，截距相等，當直線經(jīng)過原點時，，符合題意；當直線不過原點時，設(shè)為，其經(jīng)過點，故，即.得直線：.故直線的方程為或（或）.【小問2詳解】由（1）知選①時，直線的方程為，可知其在軸和軸的交點分別為，，故.選②時，直線的方程為，可知其在軸和軸的交點分別為，，故.選③時，直線的方程為，可知其在軸和軸的交點分別為，.故.18.已知圓心為的圓經(jīng)過點，直線：.（1）求圓的方程；（2）寫出直線恒過定點的坐標，并求直線被圓所截得的弦長最短時的值及最短弦長.【答案】（1）（2）最小值為，.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心與圓上點的距離求出半徑，即可由圓心和半徑直接寫出圓的標準方程；（2）將直線改成關(guān)于m的一次方程形式，根據(jù)方程恒成立列方程組求解定點；當半徑確定時，利用弦心距，半弦長，半徑構(gòu)成的直角三角形知弦長最小時，弦心距最大，即可求出m的值．【小問1詳解】∵圓的半徑，∴圓的方程為.【小問2詳解】∵直線的方程為，令解得：，∴定點的坐標為.∵，∴點在圓的內(nèi)部，故直線恒與圓相交.又圓心到直線的距離∴被圓截得的弦長為，當取得最大值2時，弦長有最小值，最小值為，此時.19.如圖，是拋物線型拱橋，當水面在時，水面寬16米，拱橋頂部離水面8米.（1）當拱頂離水面2米時，水面寬多少米？（2）現(xiàn)有一艘船，可近似為長方體的船體高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船體寬為12米，前后長為80米，若河水足夠深，要使這艘船能安全通過，則水面寬度至少應(yīng)為多少米？（計算結(jié)果保留至小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）8米（2）13.9米.【解析】【分析】（1）合理建立直角坐標系，設(shè)出拋物線方程，根據(jù)題意求出參數(shù)，令即可求出水面寬度；（2）當時，求出拱頂與船頂?shù)淖罱嚯x，加上船在水面以上的高度即令，從而求出水面的寬度.【小問1詳解】如圖建立平面直角坐標系，設(shè)拋物線型拱橋的方程為（）由題意，可知拋物線經(jīng)過點，代入拋物線方程可得，即得，所以拋物線方程為.當拱頂離水面2米時，即，代入拋物線方程可得，即水面寬為8米.【小問2詳解】由于船體寬12米，則當船體恰好能通過時，令米，代入拋物線方程中，則，解得米，即拱頂與船頂?shù)淖罱嚯x為4.5米.又因船在水面上部分高為1.5米，故拱頂離水面6米.在拋物線方程中，令，則，故，所以水面寬度至少應(yīng)為13.9米.20.已知數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】20.（）