上海市普陀區(qū)2022-2023學年高三上學期教學質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學試卷 附答案

高三數(shù)學質(zhì)量調(diào)研第2頁共4頁普陀區(qū)2022學年第一學期高三數(shù)學質(zhì)量調(diào)研2022.12考生注意：1.本場考試時間120分鐘.試卷共4頁，滿分150分，答題紙2頁.2.作答前，在答題紙正面填寫姓名、準考證號，反面填寫姓名.將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置.3.所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試題題號對應的區(qū)域，不得錯位.在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結(jié)果.1.若（其中表示虛數(shù)單位），則.2.若正四棱柱的底面周長為、高為，則該正四棱柱的體積為.3.設，則滿足的的取值范圍為.4．函數(shù)在區(qū)間上的零點為.5.函數(shù)的最小正周期為.6.在展開式中，含有項的系數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)值表示）7.雙曲線的兩條漸近線的夾角大小為.8.“青山”飲料廠推出一款新產(chǎn)品——“綠水”，該廠開展促銷活動，將罐“綠水”裝成一箱，且每箱均有罐可以中獎.若從一箱中隨機抽取罐，則能中獎的概率為.（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）9.設R.若直線：與曲線：僅有一個公共點，則.10.某地“小康果”大豐收，現(xiàn)抽取5個樣本，其質(zhì)量分別為、、、、（單位：克）.若該樣本的中位數(shù)和平均數(shù)均為，則此樣本的標準差為（用數(shù)字作答）.11.設、R且.若函數(shù)的表達式為（R），且，則的最大值為.12.設、、均為正數(shù)且，則使得不等式總成立的的取值范圍為.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.已知直線、和平面、，下列命題中的真命題是（）若，，則若，，則若，，則若，，則14.設，則的充要條件是（）15.設，若向量、、滿足，且，則滿足條件的的取值可以是（）16.設、、、…、是均含有個元素的集合，且，（），記，則中元素個數(shù)的最小值是（）三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）（第17題圖）如圖所示，為四邊形的對角線，設，△為等邊三角形.記（）.（第17題圖）（1）當時，求的值；（2）設為四邊形的面積，用含有的關(guān)系式表示，并求的最大值.18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）設、均為正整數(shù)，為首項為、公差為的等差數(shù)列，為首項為、公比為的等比數(shù)列.（1）設為正整數(shù)，當，，時，求的值；（2）若，且對于某項，存在，使得，試提出一個關(guān)于、的結(jié)論，并說明理由.19．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，“復興”橋為人行天橋，其主體結(jié)構(gòu)是由兩根等長的半圓型主梁和四根豎直的立柱吊起一塊圓環(huán)狀的橋面.主梁在橋面上方相交于點且它們所在的平面互相垂直，在橋面上的射影為橋面的中心.主梁連接橋面大圓，立柱連接主梁和橋面小圓，地面有條可以通往橋面的上行步道.設為其中的一根立柱，為主梁與橋面大圓的連接點.（1）求證：平面；（2）設為經(jīng)過的一條步道，其長度為米且與地面所成角的大小為.橋面小圓與大圓的半徑之比為，當橋面大圓半徑為米時，求點到地面的距離.第19題圖第19題圖20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）在坐標平面內(nèi)，已知橢圓：的左、右焦點分別為、，直線（）與相交于、兩點.（1）記為到直線的距離，當變化時，求證：為定值；（2）在△中，當時，求的值；y第20題第（3）題圖x第20題第（2）題圖xy（3）過作軸，垂足為，的中點為，延長交于另一點，記直線的斜率為，當取何值時，有最小值？并求出此最小值.y第20題第（3）題圖x第20題第（2）題圖xy第20題第（3）題圖第20題第（3）題圖PABMNx第20題第（2）題圖yx21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2題滿分6分，第3小題滿分8分）若函數(shù)（）同時滿足下列兩個條件，則稱在上具有性質(zhì).①在上的導數(shù)存在；②在上的導數(shù)存在，且（其中）恒成立.（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說明理由.（2）設、均為實常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.（3）設且，對于任意的，不等式成立，求的最大值.高三數(shù)學質(zhì)量調(diào)研第2頁共4頁2022學年普陀區(qū)高三數(shù)學質(zhì)量調(diào)研評分細則一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.題號13141516答案CDBA17.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：（1）在△中，由余弦定理，得，……4分其中，故……6分（2）在等腰三角形中，由，，得；……8分由△為等邊三角形，得……10分故（）12分故當時，取得最大值1，即的最大值為.……14分18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：（1）當，時，，，其中為正整數(shù).……2分代入，得，解得，故.……3分于是.…4分（2）由，得，其中、均為正整數(shù)……6分由，得；再由，得，故，所以，只有.……8分又因為，所以.……10分，即，……12分因為是正整數(shù)，所以，，故.……14分19．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：（1）連接，根據(jù)題設條件，得平面,平面,故,且不在平面內(nèi)，平面,所以平面.……6分第19題圖FE（2）過作平面的垂線，垂足為,連接,則為在平面上的射影，故為直線與平面所成的角，即，……9分第19題圖FE易得……10分過向水平面作垂線，垂足為,則即為到地面的距離.……12分其中，，故……13分所以米答：點到地面的距離為米.……14分20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）解（1）由，得，，故，即.……1分設，則及,故，……3分第20題第（2）題圖xy所以（定值）……4分第20題第（2）題圖xy（2）連接,根據(jù)橢圓的對稱性,得四邊形為平行四邊形…6分由橢圓定義，得,故，…………8分因為，所以在△中，,代入上式，得，故.………10分（3）設，則，故，，令直線的斜率為，故:，代入，得………………12分得，于是故，又因為………………14分故。又因為，所以.于是根據(jù)平均值不等式定理，得………………16分等號當且僅當，即時成立。所以當時，.…18分21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2題滿分6分，第3小題滿分8分）解：（1）記（），則，且.當時，，即.故函數(shù)在區(qū)間上有性質(zhì).……4分（2）根據(jù)題設條件，對于任意，均有，即對任意實數(shù)都成立，故.……6分于是，，因為當時，函數(shù)取得極值，故，解得.……8分，解得