電子科技大學(xué)電磁場(chǎng)與電磁波課件第一章+矢量分析1

第一章矢量分析1

概述場(chǎng)：物理量的空間分布。即：如果任一時(shí)刻、所在空間的每一點(diǎn)，某物理量都有一個(gè)確定的值，則稱：該空間存在該物理量的場(chǎng)。矢量分析：00分析“場(chǎng)”的數(shù)學(xué)工具。本章重點(diǎn)：（概念、計(jì)算）1．亥姆霍茲定理（即：場(chǎng)的性質(zhì)如何描述？）；2．標(biāo)量場(chǎng)——梯度。3．矢量場(chǎng)——通量和散度、環(huán)量和旋度。

4.球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系。2本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交坐標(biāo)系1.3

標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4

矢量場(chǎng)的通量與散度1.5

矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度1.6

無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)1.7

拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理3一.物理量分類：標(biāo)量、矢量矢量大小（模）：線的長(zhǎng)度單位矢量：線的方向1.標(biāo)量：只用大小描述的物理量。如：u、i、Q、W代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)2.矢量：既有大小又有方向的物理量。如：F、E、H用帶箭頭的字母或黑體字母表示。

矢量的表示：幾何表示：用一條有方向的線段來(lái)表示。

注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊?/p>

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

4矢量的坐標(biāo)表示：zxy51、矢量加、減法：

幾何上：平行四邊形法則,如圖。

符合交換律和結(jié)合律：二.矢量的運(yùn)算矢量的加法矢量的減法

直角坐標(biāo)系中：結(jié)合律交換律62、矢量乘法（1）標(biāo)量乘矢量：（2）矢量乘矢量：點(diǎn)積（標(biāo)積）、叉積（矢積）、混合積標(biāo)積符合交換律、結(jié)合律：q矢量與的夾角點(diǎn)積定義：例：7叉積定義：右手規(guī)則qsinABq矢量與的叉積用坐標(biāo)分量表示為行列式形式：若，則若，則叉積僅服從分配律。8

混合運(yùn)算：——分配律——分配律——標(biāo)量三重積——矢量三重積9

三維空間點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定。1.2

三種常用的正交坐標(biāo)系

電磁理論中，常用的正交坐標(biāo)系：

直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系。正交曲線坐標(biāo)系：三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。101.直角坐標(biāo)系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量：?jiǎn)挝皇噶?/p>

點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odzdydx范圍：112.圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量：?jiǎn)挝皇噶课恢檬噶烤€元矢量體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）范圍：123.球坐標(biāo)系坐標(biāo)變量單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系（半平面）（圓錐面）（球面）范圍：思考：計(jì)算圓柱、球的表面積、體積？13線元矢量體積元面元矢量144.坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系foqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq15例:已知,.

求:???161.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度物理量若是標(biāo)量，稱為標(biāo)量場(chǎng)。

如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、密度場(chǎng)等。物理量若是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。

如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。與時(shí)間無(wú)關(guān)的場(chǎng)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是空間位置和時(shí)間的函數(shù)：一、場(chǎng)的分類：標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)。17二、場(chǎng)的幾何描述：場(chǎng)圖。標(biāo)量場(chǎng)：等值面。矢量場(chǎng)：矢量線。場(chǎng)圖的意義：描述場(chǎng)量在空間的整體變化趨勢(shì)。18標(biāo)量場(chǎng)的等值面

等值面:

場(chǎng)值相同的點(diǎn)形成的面。如：等溫面、等高線等值面方程：C取一不同的值，得到一系列等值面，形成等值面族；充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；互不相交。

等值面特點(diǎn)：意義：幫助了解標(biāo)量場(chǎng)在空間中的分布情況。A點(diǎn)高300B點(diǎn)高300A點(diǎn)比B點(diǎn)陡越密就越陡30040020010019例1-1求標(biāo)量場(chǎng),通過(guò)點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程。解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1,y0=0,z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為其等值面方程為:即20矢量場(chǎng)的矢量線

矢量線：用一些有向矢量線來(lái)形象表示矢量在空間的分布。如靜電場(chǎng)的電力線等。矢量線方程：矢量線上任意點(diǎn)的切線方向必定與該點(diǎn)的矢量方向相同矢量線特點(diǎn)：21A點(diǎn)受到向下電場(chǎng)力B點(diǎn)受到向下電場(chǎng)力A點(diǎn)比B點(diǎn)受到的力大越密矢量越大矢量線的作用：根據(jù)矢量線確定矢量場(chǎng)中各點(diǎn)矢量的方向；根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判別出各處矢量的大小及變化趨勢(shì)。22例1-2

求矢量場(chǎng)的矢量線方程解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為從而有

c1和c2是積分常數(shù)。

23矢量線與矢徑的關(guān)系式：力線圖補(bǔ)充內(nèi)容：關(guān)于矢量線：24三.方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的對(duì)于距離的變化率。1.定義：

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向減??；

——u(M)沿方向無(wú)變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

252．計(jì)算公式直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)u=u(x,y,z)在M0(x0,y0,z0)處可微，則有

式中:當(dāng)Δl→0時(shí)→0。兩邊同除以并取極限,得到方向?qū)?shù)計(jì)算公式：

其中:cosα,cosβ,cosγ為l方向的方向余弦。

可見(jiàn)：方向?qū)?shù)值與點(diǎn)M0及l(fā)方向都有關(guān)系。26梯度公式：圓柱坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系

四.標(biāo)量場(chǎng)的梯度（或）意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其所在的方向。1.定義：，其中

取得最大值的方向27方向?qū)?shù)的最大值及其方向：令：方向單位矢量矢量（梯度公式）（給定點(diǎn)處，為常矢量）則方向?qū)?shù)公式可表示為：可見(jiàn):與方向相同時(shí),即，則方向?qū)?shù)取最大值，即2、梯度公式28.梯度是矢量。.方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：.梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面）29

解

(1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為

例1.2.1

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)

(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：

(1)

在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，該梯度的單位矢量？(2)求

沿該單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。其單位矢量：30

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為而該點(diǎn)的梯度值為

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)

的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。31例1.3.1已知證明：電磁場(chǎng)中，源點(diǎn)坐標(biāo)（x’,y’,z’）、場(chǎng)點(diǎn)（x,y,z）.32一.矢量場(chǎng)的場(chǎng)圖：矢量線。(1)矢量線的性質(zhì)：線上各點(diǎn)處的切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)處矢量方向。例：電力線、磁力線、流速場(chǎng)中的流線等。根據(jù)矢量線的疏密情況，可判斷出該矢量的整體變化趨勢(shì)。（場(chǎng)線不會(huì)相交）+-1.4矢量場(chǎng)的通量與散度

33(2)矢量線方程：設(shè)：P點(diǎn)為矢量的矢量線上任一點(diǎn)，其位為。則P處的切線為：;根據(jù)矢量線定義，必有

直角坐標(biāo)系中：

矢量線微分方程：圖1.4矢量線

解該微分方程組，可得矢量線方程，從而描出矢量線。34例1.4.1設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，則周圍空間的場(chǎng)強(qiáng)為。求：場(chǎng)強(qiáng)E的矢量線方程？解：

35二.矢量場(chǎng)的通量

問(wèn)題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大?。恳胪康母拍?。

通量定義：其中：——面元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過(guò)面元的通量。

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是面積元矢量36通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的3種可能結(jié)果通量物理意義：反映了區(qū)域內(nèi)場(chǎng)源的總體情況。37三.散度1.散度定義：稱為矢量場(chǎng)的散度。物理意義：表示點(diǎn)P處單位體積內(nèi)散發(fā)的通量（通量的體密度），反映該點(diǎn)處通量源的強(qiáng)度。（正通量源、負(fù)通量源）38圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系2.散度公式：散度的有關(guān)公式：39散度公式的推導(dǎo)

（直角坐標(biāo)系）

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為

不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積

V為直角六面體，如圖。根據(jù)泰勒定理，有：oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP40根據(jù)散度定義，得：

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為413.散度定理（高斯定理）體積的剖分VS1S2en2en1S散度定理是閉合面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。42散度定理的證明43

例球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為r=xex+yey+zez。求：解：根據(jù)散度定理知所以441.5矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度

矢量場(chǎng)的2種源：通量源、旋渦源。

有的矢量場(chǎng)由通量源激發(fā)。如：電場(chǎng)旋渦源所激發(fā)的矢量場(chǎng)特點(diǎn)：力線是閉合的，場(chǎng)沿閉合路徑的積分不為0；對(duì)于任何閉合曲面的通量為0。45

如：磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分，與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。

磁感應(yīng)線要么穿過(guò)曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線46.無(wú)旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)：一.環(huán)流的定義矢量對(duì)閉合曲線C的線積分。.有旋場(chǎng)：。如：電流是磁場(chǎng)的旋渦源。環(huán)量的意義：反映閉合曲線內(nèi)旋渦源的總體情況。47

意義：描述區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)處旋渦源的情況。二.旋度（）

1.環(huán)流面密度定義稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向

的環(huán)流面密度。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向

有關(guān)。過(guò)點(diǎn)M作一微小曲面

S，其邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)

S

0時(shí)，極限48大?。簽镸點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值；方向：環(huán)量密度取最大值時(shí)面積元的法線方向。物理意義：描述了該點(diǎn)處旋渦源密度矢量。性質(zhì)：2.旋度定義：49旋度計(jì)算公式：（推導(dǎo)忽略）直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系50旋度的有關(guān)公式：旋度的散度恒為0梯度的旋度恒為051三.斯托克斯定理斯托克斯定理是線積分與面積分之間的變換關(guān)系式，在電磁理論中有廣泛應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消52例在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置一點(diǎn)電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為求：自由空間任意點(diǎn)(r≠0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度▽×E

？解:

531.矢量場(chǎng)的源不同性質(zhì)的源，它們產(chǎn)生的場(chǎng)具有不同的性質(zhì)。散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過(guò)一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。1.6無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)542.矢量場(chǎng)按源的分類（1）無(wú)旋場(chǎng)：旋度處處為0的場(chǎng)。是散度源的激發(fā)的矢量場(chǎng)，如：靜電場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)可用梯度表示：例如：靜電場(chǎng)55標(biāo)量場(chǎng)由梯度完全確定：對(duì)于無(wú)旋場(chǎng)F，有

該結(jié)論等價(jià)于：線積分結(jié)果與路徑無(wú)關(guān)，只取決于起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q。

56（2）無(wú)散場(chǎng)散度處處為0的矢量場(chǎng)。顯然：無(wú)散場(chǎng)可用另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度表示：如：恒定磁場(chǎng)57（3）無(wú)旋、無(wú)散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分無(wú)旋場(chǎng)部分