等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第一課時(shí)Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentation1ADDYOURTITLEHERE復(fù)習(xí)導(dǎo)入一、

等差數(shù)列定義二、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(2)

an＝am＋(n－m)d

.(3)an＝pn＋q

(p、q是常數(shù))(1)

an＝a1＋(n－1)d

an－an－1

＝d

(n≥2)或

an+1－an＝d.三、幾種計(jì)算公差d的方法:四、等差中項(xiàng)a,A,b組成等差數(shù)列m＋n＝p＋q

am＋an＝ap＋aq.五、等差數(shù)列的性質(zhì)ADDYOURTITLEHERE新知探究德國古代著名數(shù)學(xué)家高斯10歲的時(shí)候很快就解決了這個(gè)問題：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎樣算出來的嗎？高斯的算法是：首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和:第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和:第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和:…

1+100=1012+99=1013+98=10150+51=101ADDYOURTITLEHERE新知探究思考1：如何求1＋2＋3＋…＋100+101的值？123101101100991算法過程：由①+②，得ADDYOURTITLEHERE新知探究

因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1+

an=

a2+

an-1=

a3+

an-2=···，

倒序相加法ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和兩個(gè)公式均為等差數(shù)列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五個(gè)量.通常已知其中三個(gè),可求其余兩個(gè),而且方法就是解方程(組),這也是等差數(shù)列的基本問題形式之一.

ADDYOURTITLEHERE例題講解

例6

解得

整理,得

n=12或n=-5（舍去）ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)一

（課本P22練習(xí)T1)（1）51095（2）100-250（3）-210-130（4）在等差數(shù)列中，根據(jù)已知的三個(gè)數(shù)，求未知的兩個(gè)數(shù).1050025502-4-2210-19知三求二ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)二

（課本P22練習(xí)T2)２．等差數(shù)列－１，－３，－５，...的前多少項(xiàng)的和是－１００？ADDYOURTITLEHERE例題講解

例7己知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎?

解：由題意知所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差.方程思想ADDYOURTITLEHERE例題講解

例7己知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎?

己知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220.求數(shù)列{an}前30項(xiàng)的和.

變式1：由例7可得：法一：ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)二

證

明：即等差數(shù)列依次m項(xiàng)之和仍為等差數(shù)列.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為前n項(xiàng)和，則Sm,S2m-Sm，S3m-S2m仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.ADDYOURTITLEHERE例題講解

例7己知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎?

己知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220.求數(shù)列{an}前30項(xiàng)的和.變式1：由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得：法二：成等差數(shù)列.

解得：前30項(xiàng)的和為2730.ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)三（課本P23練習(xí)T3)3．在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)的和，則S4=6,S8=20，求S16.法二：法一：ADDYOURTITLEHERE新知探究

將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

看作是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)有什么特點(diǎn)？當(dāng)d≠0時(shí),Sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)則Sn=An2+Bn令A(yù)DDYOURTITLEHERE知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)三

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為前n項(xiàng)和，則{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn.3．在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)的和，則S4=6,S8=20，求S16.法三：ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)四

3．在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)的和，則S4=6,S8=20，求S16.法四：ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)二

（課本P15練習(xí)T2、5)下列說法是否正確？并說明理由．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n＋5，則數(shù)列{an}的公差與函數(shù)y＝3x＋5的圖象的斜率相等．正確．因?yàn)閍n＝3n＋5的公差d＝3，而直線y＝3x＋5的斜率也是3.ADDYOURTITLEHERE課堂小結(jié)一、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

ADDYOURTITLEHERE課堂小結(jié)二、等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為前n項(xiàng)和，則(2){an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn.

(1)Sm,S2m-Sm，S3m-S2m仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.第二課時(shí)Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentation2ADDYOURTITLEHERE例題講解

例

等差數(shù)列{an}共有2n＋1項(xiàng)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為132，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為120，則n等于________；ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一

ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)一

（課本P23練習(xí)T5)５．已知一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為２９０，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為２６１．求此數(shù)列中間一項(xiàng)的值以及項(xiàng)數(shù).ADDYOURTITLEHERE例題講解

例

ADDYOURTITLEHERE例題講解

ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)二

ADDYOURTITLEHERE例題講解將第１排到第２０排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù){an}

例8某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納８００個(gè)座位，報(bào)告廳共有２０排座位，從第２排起每排都比前一排多２個(gè)座位．問第１排應(yīng)安排多少個(gè)座位．【思路分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求首項(xiàng){an}是等差數(shù)列，公差及前２０項(xiàng)的和已知設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SnADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)三（課本P24上面練習(xí)T1)

1.某市一家商場的新年最高促銷獎(jiǎng)設(shè)立了兩種領(lǐng)獎(jiǎng)方式：第一種，獲獎(jiǎng)?wù)呖梢赃x擇價(jià)值２０００元的獎(jiǎng)品；第二種，從１２月２０日到第二年的１月１日，每天到該商場領(lǐng)取獎(jiǎng)品，第１天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品價(jià)值為１００元，第２天為１１０元，以后逐天增加１０元．你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎(jiǎng)方式獲獎(jiǎng)?wù)哳I(lǐng)取的獎(jiǎng)品價(jià)值更高？ADDYOURTITLEHERE新知探究當(dāng)d≠0時(shí),Sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)思考1：既然等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，

那么它的最值怎么求？用二次函數(shù)的最值求Sn的最值，但要注意ADDYOURTITLEHERE例題講解

例9已知等差數(shù)列{an}中,a1=10，公差d=-2,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn最大？最大值為多少？法一:

a1=10，d=-2所以當(dāng)n=5或6時(shí),Sn最大，最大值為30.ADDYOURTITLEHERE例題講解

例9已知等差數(shù)列{an}中,a1=10，公差d=-2,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn最大？最大值為多少？法二:∴an=10+(n-1)×(-2)=－2n+12由公差d=-2<0,{an}為遞減數(shù)列.所以當(dāng)n=5或6時(shí),Sn最大，最大值為ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)二

求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值則Sn最大.則Sn最小.2.利用等差數(shù)列的單調(diào)性及an的符號(hào)變化求解：1.將Sn配方，求二次函數(shù)的最值，注意

注意：當(dāng)數(shù)列中有數(shù)值為0的項(xiàng)時(shí)，n應(yīng)有兩解.ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)四（課本P24練習(xí)T3)

3.已知等差數(shù)列－４.２，－３.７，－３.２，...的前n項(xiàng)和為Sn，Sn是否存在最大

（小）值？如果存在，求出取得最值時(shí)n的值.