算法設(shè)計與分析 課件 第五章 貪心法 5.2.3 單源最短路徑問題_第1頁
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計算機算法設(shè)計與分析第5章貪心法5.2.3單源最短路徑問題給定一個帶權(quán)有向圖

G=(V,E)，其中每條邊的權(quán)是一個非負實數(shù)。給定圖G中的一個頂點v0∈V，稱為源點。求源點v0到G中其余各頂點的最短路徑長度。這里的長度是指路徑上各邊權(quán)之和。這個問題通常稱為單源最短路徑問題。5.2.3單源最短路徑問題源點終點最短路徑路徑長度11無

2(1,3,2)7

3(1,3)3

4(1,3,2,4)9

5(1,3,5)55.2.3單源最短路徑問題dist[i]表示計算過程中源點到各目標頂點i的當(dāng)前最短路徑長度，dist[i]隨著計算過程會不斷變化，其初始值為源點到其余頂點有向邊的權(quán)值，若不存在有向邊則用無窮大。path[i]表示在最短路徑上頂點i的前一個頂點編號。集合S表示已求出最短路徑的頂點的集合。集合T（T=V-S）表示尚未確定最短路徑的頂點集合，V是圖G中頂點的集合。二維數(shù)組edge表示圖G的鄰接矩陣。貪心策略，Dijkstra算法迪杰斯特拉（Dijkstra）提出了一個按路徑長度遞增次序產(chǎn)生最短路徑的貪心算法，對于有向帶權(quán)圖，算法步驟如下：（1）令S={1}，T=V-S，T中頂點i對應(yīng)的距離值dist[i]：若邊<1,i>∈E，dist[i]=edge[1][i],否則dist[i]=∞。（2）從T中選取一個其距S最近，即dist值最小的頂點k，加入S，T=V-{k}，對T中所有的頂點i的距離值dist[i]進行修改：

（3）重復(fù)上述步驟（2），直到S中包含所有頂點，即|S|=|V|為止，這時T=V-S={}。單源最短路徑問題迭代Sk2345初始{1}--dist[2]=10path[2]=1dist[3]=3path[3]=1dist[4]=∞path[4]=-1dist[5]=∞path[5]=-11{1,3}3dist[2]=7path[2]=3--dist[4]=11path[4]=3dist[5]=5path[5]=32{1,3,5}5dist[2]=7path[2]=3--dist[4]=11path[4]=3--3{1,3,5,2}2----dist[4]=9path[4]=2--4{1,3,5,2,4}4--------效率分析每次從T中尋找一個最小dist值的頂點k加入到S（找最小值時間復(fù)雜度O(n)），并修改T中剩余頂點的dist值。對于n個頂點的圖G，這個過程需要重復(fù)n-1次，所以算法時間復(fù)雜度為O(n2)。若在尋找最小dist值過

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