算法設(shè)計與分析 課件 第3、4章 分治法；動態(tài)規(guī)劃

計算機(jī)算法設(shè)計與分析第三章

分治法學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握分治法的基本思想掌握分治法的特點和基本框架掌握分治法解決實際問題3.1分治法基本思想孫子兵法兵勢篇曰：凡治眾如治寡，分?jǐn)?shù)是也。其大致意思就是管理大規(guī)模部隊和管理小股部隊是一樣的，分開治理就是了。這就是分治法在軍事上的運用。分治法的基本思想就是將一個較難以解決的規(guī)模大的問題，分割成多個相似的規(guī)模較小的子問題，先求出小規(guī)模子問題的解，然后將各小規(guī)模子問題的解組合起來就是規(guī)模大的問題的解。其中的一個關(guān)鍵點是分割的子問題一定要相似，這樣就可以采取同樣的方法來求解，從而將問題簡化。例3.1

二分查找問題。在一個升序的含n個元素的數(shù)組a[]中查找x，輸出x在數(shù)組a中的下標(biāo)位置，若沒查到返回-1。分析：可以考慮使用分治思想來解決，具體做法是設(shè)計三個變量left，mid和right將整個數(shù)組分成3個部分a[left,mid-1],a[mid],a[mid+1,right]。如果a[mid]>x，則使用相同的辦法在較小范圍[left,mid-1]中查找；如果a[mid]=x，則已查找到，返回mid即可；如果a[mid]<x，則使用相同的辦法在較小范圍[mid+1,right]中查找。以上過程都沒查找到的話，則數(shù)組中不存在x，返回-1。3.1分治法基本思想例3.2

二分歸并排序。將含有n個元素的數(shù)組a[]按關(guān)鍵字大小升序排列。以數(shù)組a[8]={8,4,5,7,1,3,6,2}為例來分析。3.1分治法基本思想3.2分治法的特點和基本框架當(dāng)采用分治法時，一般原問題都需要具備以下幾個特征：（1）難度遞降：即原問題的解決難度，隨著數(shù)據(jù)的規(guī)模的縮小而降低，當(dāng)降低到一定程度時，問題很容易解決。（2）問題可分：原問題可以分解為若干個規(guī)模較小的同類型問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。這是應(yīng)用分治法的前提。（3）解可合并：利用所有子問題的解，可合并出原問題的解。這個特征很關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于這個特征。（4）相互獨立：各個子問題之間相互獨立，某個子問題的求解不會影響到另一個子問題。如果子問題之間不獨立，則分治法需要重復(fù)地解決公共的子問題，造成效率低下的結(jié)果。設(shè)P是要求解的問題，|P|為問題P的輸入規(guī)模，現(xiàn)將分治法求解問題的基本框架描述如下：Divide-and-Conquer(P)：if|P|≤cthenS(P)

//當(dāng)問題規(guī)模較小時，很容易求出解endifdividePintoP1,P2,...,Pk//將原問題分割為規(guī)模小的子問題fori=1tokdoxi=Divide-and-Conquer(Pi)//遞歸求解每個子問題endforreturnMerge(x1,x2,...,xk)//將子問題的解合并成原問題的解3.2分治法的特點和基本框架3.3分治法的時間復(fù)雜度分析分治法的實現(xiàn)一般都是采用遞歸算法。分析分治法的時間復(fù)雜度需要使用其遞推公式來推導(dǎo)。分治法中通常的遞推方程有以下兩種類型：第一類是歸約后子問題規(guī)模比原問題規(guī)模呈常數(shù)級減少。遞推方程為如Hanoi塔問題使用分治法，將n個圓盤的問移動題歸約為兩個n-1圓盤移動子問題，也就是歸約后的子問題規(guī)模只比原問題規(guī)模少1。遞推方程為解得：第二類是歸約后子問題規(guī)模比原問題規(guī)模呈倍數(shù)減少。該算法的時間復(fù)雜度可以通過以下遞推公式求出：根據(jù)1.4.4節(jié)介紹的MasterTheorem主定理結(jié)論可知：3.3分治法的時間復(fù)雜度分析3.4.1分治法的典型實例——快速排序快速排序是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中經(jīng)典且高效的一種排序算法，它在實踐中應(yīng)用非常廣泛。設(shè)待排的數(shù)組為A，快速排序的基本思想為：用數(shù)組的首元素作為標(biāo)準(zhǔn)將A劃分為前、后兩部分，前部分元素都比首元素小，后部分元素都比首元素大，這兩部分就構(gòu)成兩個新的子問題。算法接著分別對這兩部分遞歸地進(jìn)行排序，各子問題排序完成后自然整個數(shù)組也就排序完成。算法的關(guān)鍵在于怎樣劃分?jǐn)?shù)組A而將其歸約成兩個相同結(jié)構(gòu)的子問題。3.4.1分治法的典型實例——快速排序快速排序算法Quicksort(A,p,r) //p和r分別為數(shù)組A的首元素和尾元素的下標(biāo)輸入：數(shù)組A[p..r],1≤p≤r≤n輸出：從A[p]到A[r]按照升序排好序的數(shù)組Aifp<rthenq←Partition(A,p,r) //劃分?jǐn)?shù)組，找到首元素A[p]在排好序后的位置qA[p]?A[q] //交換A[p]，A[q]中元素的值Quicksort(A,p,q-1) //對前部分繼續(xù)遞歸地用快速排序算法Quicksort(A,q+1,r) //對后部分繼續(xù)遞歸地用快速排序算法endif其算法中的Partition函數(shù)是劃分的過程函數(shù)，它實現(xiàn)的就是以A[p..r]的首元素A[p]作為標(biāo)準(zhǔn)，輸出q表示A[p]應(yīng)該處在的正確位置，即排好序后A[p]應(yīng)該放在數(shù)組下標(biāo)為q的位置。過程如下：（1）先從后向前掃描數(shù)組A，找到第一個不大于A[p]的元素A[j]（2）從前向后掃描A找到第一個大于A[p]的元素A[i]（3）當(dāng)i＜j時，交換A[i]與A[j]。這時A[j]后面的元素都大于A[p]，A[i]前面的元素都小于或等于A[p]。（4）接著對數(shù)組A從i到j(luò)之間的部分繼續(xù)上面的掃描過程，直到i和j相遇，當(dāng)i>j時，j就代表了A在排好序的數(shù)組中的正確位置q。此刻在q位置之前的元素都不大于A[p]，在q位置后面的元素都大于A[p]。3.4.1分治法的典型實例——快速排序3.4.1分治法的典型實例——快速排序劃分算法Partition(A,p,r)輸入：數(shù)組A[p..r],1≤p≤r≤n輸出：數(shù)組首元素A[p]在排好序的數(shù)組中的位置x←A[p]i←pj←r+1whiletruedorepeatj←j-1untilA[j]≤x//從后往前找到不大于x的元素repeati←i+1untilA[i]>x//從前往后找到大于x的元素ifi<jthenA[i]?A[j]//交換A[i]，A[j]中元素的值elsereturnj //i，j相遇，返回相遇的位置即為數(shù)組首元素A[p]的正確位置endifendwhile舉例說明一趟劃分的過程數(shù)組A[6]={64，57，86，42，12，53}，第一趟劃分以64為標(biāo)準(zhǔn)，p=1i=2j=5交換A[2]和A[5]的值，繼續(xù)循環(huán)。j=4i=5i<j不成立，一趟劃分結(jié)束，返回值為4。在Quicksort中q=4,交換A[p]，A[q]中元素的值，就得到一次劃分后的結(jié)果。在一趟快速排序結(jié)束后，繼續(xù)對兩個子數(shù)組{12,57,53,42}和{86}實施相同的操作。3.4.1分治法的典型實例——快速排序第1次循環(huán)645786421253第2次循環(huán)645753421286劃分后1257534264863.4.2分治法的典型實例——大整數(shù)乘法1.問題描述采用分治法設(shè)計一個有效的算法，計算兩個n位大整數(shù)的乘法。（n=2k,k=1,2,3....）。2.問題分析根據(jù)分治法的思想，可以將兩個大的整數(shù)乘法分而治之。將大整數(shù)按位數(shù)的一半分成兩個小整數(shù)，轉(zhuǎn)換成稍簡單的小整數(shù)乘法，再進(jìn)行合并。上述的過程可以重復(fù)進(jìn)行，直到得到最簡單的兩個1位數(shù)的乘法，從而解決上述問題。

3.4.2分治法的典型實例——大整數(shù)乘法3.4.2分治法的典型實例——大整數(shù)乘法3.算法設(shè)計BigIntMul(X,Y,n)輸入：大整數(shù)X，Y和位數(shù)n輸出：X與Y的乘積結(jié)果sx←sign(X),sy←sign(Y) //取X，Y的符號s←sx*sy //求出X×Y的符號ifs=0thenreturn0endifX←|X|,Y←|Y|ifn=1thenreturns*X*YendifA←X的左邊n/2位, B←X的右邊n/2位C←Y的左邊n/2位, D←Y的右邊n/2位m1←BigIntMul(A,C，n/2), m2←BigIntMul((A-B),(D-C)，n/2)m3←BigIntMul(B,D，n/2)S←m1*10^n+(m1+m2+m3)*10^(n/2)+m3returnS舉例:以計算3141×5247為例來說明。將3141分拆成31和41，5247分拆成52和47。然后計算31×52，-10×-5，41×47。當(dāng)出現(xiàn)兩個數(shù)位數(shù)不等時，可以將位數(shù)小的高位補(bǔ)0再進(jìn)行計算。如：-10×-5=10×05=(1×10+0)×(0×10+5)=1×0×100+(1×5+1×0+0×5)×10+0×5=0+50+0=50其他兩個個同理算出：31×52=1612，41×47=1927。帶入原來的算式得：3141×5247=16120000+(50+1612+1927)×100+1927=16480827。3.4.2分治法的典型實例——大整數(shù)乘法4.算法效率分析根據(jù)上述的計算過程得到遞推方程。改進(jìn)前：根據(jù)主定理理論可得：改進(jìn)后：根據(jù)主定理可得：

，有較大的改進(jìn)。3.4.3分治法的典型實例——平面內(nèi)最近點問題

3.4.3分治法的典型實例——平面內(nèi)最近點問題

2.問題分析如果采用蠻力法，就需要遍歷平面上任意兩個點之間的距離，然后比較得出最小的值。很顯然其時間復(fù)雜度是O(n2)。那有沒有更快的方法呢？考慮分治法，如圖3.2所示，用一條垂直的直線l將整個平面中的點分為左半平面PL和右半平面PR兩部分，使得兩部分的點數(shù)近似相等。

3.4.3分治法的典型實例——平面內(nèi)最近點問題將平面的點集一分為二PLPRP直線l

3.4.3分治法的典型實例——平面內(nèi)最近點問題

3.4.4分治法的典型實例——選擇第k小問題

大小S3S4S1S2中位數(shù)組M

3.4.3分治法的典型實例——平面內(nèi)最近點問題平面上最臨近點對算法MinDistance(P,X,Y)輸入：n()個點集合P，X,Y分別表示n個點的x,y坐標(biāo)的值輸出：最近的兩個點以及距離ifn≤

3then直接計算n個點之間的最短距離endifSort(n,X,Y) //把所有的點按照橫坐標(biāo)X排序

l←mid(X) //用一條豎直的線L將所有的點分成兩等份MinDistance(PL,XL,YL)d1←PL中最短距離MinDistance(PR,XR,YR)d2←PR中最短距離d←min(d1,d2)while(PL中的點andXL≥l-d)dowhile(PR中的點andXR≤l+d)doifdistance(XL,YL,XR,YR)<dthen存儲點對(XL,YL),(XR,YR)d←distance(XL,YL,XR,YR)endifendwhileendwhile該算法是遞歸算法，且里面有排序，為了提高效率，可以把排序操作放到遞歸算法的外面。另外在直線l兩邊距離不超過d的區(qū)域內(nèi)檢查與所取點的距離是否小于d的點不超過7個即可。

3.4.3分治法的典型實例——平面內(nèi)最近點問題

3.4.4分治法的典型實例——選擇第k小問題1.問題描述設(shè)A是含有n個元素的數(shù)組，從A中選出第k小的元素，其中1≤k≤n。所以選最小就是k=1；選最大就是k=n；選次大就是k=n-1；選中位數(shù)就是k=n/2。

3.4.4分治法的典型實例——選擇第k小問題

3.4.4分治法的典型實例——選擇第k小問題

計算機(jī)算法設(shè)計與分析第四章

動態(tài)規(guī)劃學(xué)習(xí)目標(biāo)了解動態(tài)規(guī)劃法的基本概念。掌握動態(tài)規(guī)劃法的基本思想。掌握動態(tài)規(guī)劃法解決實際問題。4.1動態(tài)規(guī)劃的提出在現(xiàn)實生活中，有一類活動的過程，由于它的特殊性，可將過程分成若干個互相聯(lián)系的階段，在它的每一階段都需要作出決策，從而使整個過程達(dá)到最好的活動效果。當(dāng)然，各個階段決策的選取不是任意確定的，它依賴于當(dāng)前面臨的狀態(tài)，又影響以后的發(fā)展，當(dāng)各個階段決策確定后，就組成一個決策序列，因而也就確定了整個過程的一條活動路線，如下圖所示。這種把一個問題看作是一個前后關(guān)聯(lián)具有鏈狀結(jié)構(gòu)的多階段過程就稱為多階段決策過程，這種問題就稱為多階段決策問題。1狀態(tài)決策2狀態(tài)狀態(tài)決策n狀態(tài)狀態(tài)...決策4.1動態(tài)規(guī)劃的提出在多階段決策問題中，各個階段采取的決策，一般來說是與時間有關(guān)的，決策取決于當(dāng)前的狀態(tài)，然后又會引起狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，一個決策序列就是在不斷變化的狀態(tài)中依次產(chǎn)生出來的，故有動態(tài)的含義。因此，把處理它的方法稱為動態(tài)規(guī)劃方法。但是，一些與時間沒有關(guān)系的靜態(tài)規(guī)劃，如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等問題，只要人為地引進(jìn)時間因素，也可把它視為多階段決策問題，用動態(tài)規(guī)劃方法去處理。4.2動態(tài)規(guī)劃基本概念1.階段動態(tài)規(guī)劃方法求解的問題都屬于多階段決策問題。因此需要將所求問題劃分為若干個階段。把描述階段的變量稱為階段變量，用k來表示。在劃分階段時，要求劃分后的階段按照時間或空間特征是有序的，否則問題就無法求解。在下圖中，階段可以劃分為5個，即k=1,2,3,4,5。2.狀態(tài)每個階段所處的客觀條件稱為狀態(tài)，它描述了研究問題過程的中間狀況。狀態(tài)就是某階段的出發(fā)位置，既是該階段某支路的起點，又是前一階段某支路的終點。通常一個階段有若干狀態(tài)。在下圖中，第一階段只有狀態(tài){A}，第二階段有狀態(tài){B1，B2}，第三階段有狀態(tài){C1，C2，C3，C4}。描述狀態(tài)的變量稱為狀態(tài)變量。通常用Sk表示第k階段的狀態(tài)變量。在圖中，S3={C1，C2，C3，C4}，該集合就稱為第三階段的可達(dá)狀態(tài)集。4.2動態(tài)規(guī)劃基本概念2.狀態(tài)這里的狀態(tài)必須滿足無后效性（馬爾可夫性），即某階段狀態(tài)一旦確定，就不受這個狀態(tài)以后決策的影響。也就是說，某狀態(tài)以后的過程不會影響以前的狀態(tài)，而只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)。4.2動態(tài)規(guī)劃基本概念

4.2動態(tài)規(guī)劃基本概念4.狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是確定從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài)的過程。給定第k階段的某個狀態(tài)變量sk，在選定好決策uk后，第k+1階段的狀態(tài)變量sk+1也就完全確定下來。這種由sk和uk確定sk+1的對應(yīng)關(guān)系Tk就稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，即sk+1=Tk(sk,uk)。4.2動態(tài)規(guī)劃基本概念5.指標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)值函數(shù)指標(biāo)函數(shù)是用來衡量所選定策略優(yōu)劣的一種數(shù)量指標(biāo)。它是定義在全過程和所有后部子過程上確定的數(shù)量函數(shù)。常用Vk,n表示。即Vk,n=Vk,n(sk,uk,sk+1,...,sn+1)，k=1,2,...,n。常見的指標(biāo)函數(shù)的形式如下：（1）過程和它的任一子過程的指標(biāo)是它所包含的各階段的指標(biāo)的和。（2）過程和它的任一子過程的指標(biāo)是它所包含的各階段的指標(biāo)的乘積。4.2動態(tài)規(guī)劃基本概念5.指標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)值函數(shù)指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，稱為最優(yōu)值函數(shù)，記為fk(sk)。它表示從第k階段的狀態(tài)sk開始到第n階段的終止?fàn)顟B(tài)的過程，采取最優(yōu)策略所得到的指標(biāo)函數(shù)值。在不同的問題中，指標(biāo)函數(shù)的含義是不同的，它可能是距離、利潤、成本、產(chǎn)品的產(chǎn)量或資源消耗等。4.2動態(tài)規(guī)劃基本概念4.3動態(tài)規(guī)劃基本思想與優(yōu)化原則動態(tài)規(guī)劃的基本思想可以總結(jié)為：（1）將多階段決策過程劃分階段，恰當(dāng)?shù)倪x取狀態(tài)變量、決策變量及定義最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)，從而把問題化為一組同類型的子問題，然后逐個求解。（2）求解時從邊界條件開始，逆（或順）過程行進(jìn)方向，逐段遞推尋優(yōu)。在每個子問題求解時，都要使用前面已求出的子問題的最優(yōu)結(jié)果，最后一個子問題的最優(yōu)解，就是整個問題的最優(yōu)解。（3）動態(tài)規(guī)劃的基本方程是遞推逐段求解的依據(jù)，一般的動態(tài)規(guī)劃的基本方程

4.3動態(tài)規(guī)劃基本思想與優(yōu)化原則下面以例子來說明（3）k=2，狀態(tài)變量可以取2個狀態(tài)B1、B2，它們到達(dá)終點E需要通過C1、C2、C3或C4，同樣需要選擇一條最短的路徑。計算如下：（4）k=1，同理可以計算出從而從起點A到終點E的最短路徑為A-B2-C4-D3-E，最短距離為13。4.3動態(tài)規(guī)劃基本思想與優(yōu)化原則優(yōu)化原則（最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)）：一個最優(yōu)決策序列的任何子序列本身一定是相對于子序列的初始和結(jié)束狀態(tài)的最優(yōu)決策序列。一般來說，能用動態(tài)規(guī)劃求解的問題具有以下三個性質(zhì)：（1）滿足最優(yōu)子結(jié)構(gòu)；（2）滿足無后效性；（3）有重疊的子問題。4.3動態(tài)規(guī)劃基本思想與優(yōu)化原則動態(tài)規(guī)劃和分治法的區(qū)別：

分治法拆分的子問題只是求解過程類似，但問題本身是相互獨立的；而動態(tài)規(guī)劃法的子問題之間并不獨立，尤其是相鄰階段的子問題最優(yōu)值函數(shù)是有依賴關(guān)系的，這就是所謂的有重疊的子問題。有重疊的子問題并非動態(tài)規(guī)劃法必須滿足的性質(zhì)，但如果沒有這個性質(zhì)，那么動態(tài)規(guī)劃法相比其他的算法不具備優(yōu)越性。因此，在使用動態(tài)規(guī)劃法時，從邊界條件開始將某子問題的最優(yōu)解求出并保存起來，然后利用它來求解依賴它的其他子問題，直到求出整個問題的解。4.3動態(tài)規(guī)劃基本思想與優(yōu)化原則4.4.1動態(tài)規(guī)劃的典型實例——背包問題1.問題描述給定n種物品和一個背包。物品i的重量是wi，其價值為vi，背包的承重量為C。應(yīng)如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中的物品重量在不超過C的前提下，總價值最大？在第2章中，假定每件物品至多只能裝一個，所以所裝的第i件物品xi=0或1，是一個0-1背包問題。現(xiàn)在問題是每件物品可以裝多個，但仍然不能分割只裝一部分，此時就是一個整數(shù)規(guī)劃問題。2.問題分析（1）不難驗證該背包問題滿足優(yōu)化原則和無后效性，可以使用動態(tài)規(guī)劃法求解。（2）按照所裝物品種類來劃分階段，規(guī)定第i階段可以選擇新裝進(jìn)第i件物品，比如第1階段只能選擇裝第1種物品，第2階段可以選擇裝前兩種物品，……，第k階段可以選擇裝前k種物品，以此下去，最后一階段可以選擇裝入全部的物品，此時的最優(yōu)解就是背包問題的解。4.4.1動態(tài)規(guī)劃的典型實例——背包問題

4.4.1動態(tài)規(guī)劃的典型實例——背包問題3.實例計算：設(shè)v1=1，v2=3，v3=5，v4=9；w1=2，w2=3，w3=4，w4=7;C=10。構(gòu)建遞推計算的備忘錄，根據(jù)優(yōu)化函數(shù)計算過程如下：現(xiàn)在還有一個問題是如何得到這個最大價值12，也就是如何裝物品。4.4.1動態(tài)規(guī)劃的典型實例——背包問題ky1234567891010112233445201334667993013556810101140135569101012

4.4.1動態(tài)規(guī)劃的典型實例——背包問題

4.4.1動態(tài)規(guī)劃的典型實例——背包問題ky1234567891010111111111201222222223012333333340123334344

4.4.2動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最長公共子序列問題

4.4.2動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最長公共子序列問題

4.4.2動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最長公共子序列問題

4.4.2動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最長公共子序列問題3.算法設(shè)計算法LCS(X,Y,m,n) else//最后一個字符不同時 ifC[i-1,j]>C[i,j-1]then //滿足情況（2） C[i,j]←C[i-1,j] B[i,j]←‘↑’ endif else //滿足情況（3） C[i,j]←C[i,j-1] B[i,j]←‘←’ end end endforendfor

4.4.2動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最長公共子序列問題

4.4.2動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最長公共子序列問題

4.4.2動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最長公共子序列問題4.實例計算：設(shè)X=<1,3,5,4,2,6,7,8>，Y=<1,4,8,6,7,5>，其中m=8，n=6。構(gòu)建遞推計算的備忘錄，根據(jù)優(yōu)化函數(shù)計算過程如下：4.4.2動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最長公共子序列問題ij0123456000000001011111120111111301111124012222250122222601223337012234480123344

4.4.2動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最長公共子序列問題根據(jù)以上遞推得下表：下面給出求解的追蹤過程：B[8,6]→B[8,5]→B[7,5]→B[6,4]→B[5,3]→B[5,2]→B[4,2]→B[3,1]→B[2,1]→B[1,1]，其中B[7,5]，B[6,4]，B[4,2]，B[1,1]的值為↖，也就是第①種情況，此時應(yīng)該將對應(yīng)的字符加入最長公共子序列中，即為<1,4,6,7>。4.4.2動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最長公共子序列問題ij1234561↖←←←←←2↑←←←←←3↑←←←←↖4↑↖←←←←5↑↑←←←←6↑↑←↖←←7↑↑←↑↖←8↑↑↖←↑←6.算法效率分析在算法LCS中，兩重for循環(huán)時間復(fù)雜度為，在算法TrackSolution中，最多標(biāo)記m+n次，時間復(fù)雜度為。因此，綜合起來整個算法的時間復(fù)雜度為，它從蠻力法的降至，可見在求解這個問題中動態(tài)規(guī)劃法的優(yōu)越性。

4.4.2動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最長公共子序列問題

4.4.3動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最大字段和問題

4.4.3動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最大字段和問題

4.4.3動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最大字段和問題

4.4.3動態(tài)規(guī)劃的典型實例——最大字段和問題3.算法設(shè)計算法MaxConSubSeqSum_DP(A[],n)輸入：序列A[1..n]輸出：最大子段和maxSum，對應(yīng)的開始和結(jié)束位置begin和endmaxSum←-INFb←

0//b是前一個最大子段和fori←