專題02 規(guī)律探索題（數(shù)式規(guī)律、圖形規(guī)律、與函數(shù)有關(guān)規(guī)律）（原卷版）

專題02律探索題（數(shù)式規(guī)律、圖形規(guī)律、與函數(shù)有關(guān)規(guī)律）類型一數(shù)式規(guī)律1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．2．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知一列均不為1的數(shù)滿足如下關(guān)系：，，若，則的值是（

）A． B． C． D．23．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)若排在第a行b列，則的值為(

)

……A．2003 B．2004 C．2022 D．20234．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定，例如：，，，，計(jì)算：（）A．199 B．200 C．201 D．2025.（2021·湖北鄂州市·中考真題）已知為實(shí)數(shù)﹐規(guī)定運(yùn)算：，，，，……，．按上述方法計(jì)算：當(dāng)時(shí)，的值等于（）A． B． C． D．6.（2021·湖北隨州市·中考真題）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第個(gè)圖中的，則的值為（）A．100 B．121 C．144 D．1697.（2021·山東濟(jì)寧市·中考真題）按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，，□，，，，…，其中□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是（）A． B． C． D．8.（2021·湖北十堰市·）將從1開始的連續(xù)奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行第3列的數(shù)為27，則位于第32行第13列的數(shù)是（）A．2025 B．2023 C．2021 D．20199.（2020?天水）觀察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣210．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）觀察下列式子：；；；；；…依此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個(gè)等式是．11．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）觀察下列式子；；；……按照上述規(guī)律，．12．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)，的平方差，且，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，，16就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用進(jìn)行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是；第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是．13．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對(duì)：；；；；…如果單把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．請(qǐng)寫出第n個(gè)數(shù)對(duì)：．

14．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為一元一次方程的解，縱坐標(biāo)為的值，其中a，b滿足二元一次方程組，則點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．15．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：，4，，16，，64，……①0，7，，21，，71，……②根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為；取每行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為．16.（2021·湖南懷化市·中考真題）觀察等式：，，，……，已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，，，……，，若，用含的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是___________．17.（2022·湖南懷化）正偶數(shù)2，4，6，8，10，……，按如下規(guī)律排列，24

68

10

1214

16

18

20……則第27行的第21個(gè)數(shù)是______．18.（2021·四川眉山市·中考真題）觀察下列等式：；；；……根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算______．19.（2022·安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第5個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．20.（2021·貴州銅仁市·中考真題）觀察下列各項(xiàng)：，，，，…，則第項(xiàng)是______________．21.（2022·四川達(dá)州）人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)，，記，，…，，則_______．22.（2021·江西中考真題）下表在我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，因而人們把這個(gè)表叫做楊輝三角，請(qǐng)你根據(jù)楊輝三角的規(guī)律補(bǔ)全下表第四行空缺的數(shù)字是______．23.（2022·山東泰安）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：若有序數(shù)對(duì)表示第n行，從左到右第m個(gè)數(shù)，如表示6，則表示99的有序數(shù)對(duì)是_______．24.（2022·浙江舟山）觀察下面的等式：，，，……(1)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）(2)請(qǐng)運(yùn)用分式的有關(guān)知識(shí)，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．類型二圖形規(guī)律25．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）用長(zhǎng)度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（

）

A．39 B．44 C．49 D．5425．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（

）

A．14 B．20 C．23 D．2627．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)家高斯推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，被數(shù)學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在計(jì)算時(shí)，用到了一種方法，將首尾兩個(gè)數(shù)相加，進(jìn)而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中，且是整數(shù)．記，如，即，即，即，以此類推．則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B． C． D．28.（2022·江西）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)是（

）A．9 B．10 C．11 D．1229.（2022·重慶）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，第②個(gè)圖案中有9個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有13個(gè)正方形，第④個(gè)圖案中有17個(gè)正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（

）A．32 B．34 C．37 D．4130.（2021·廣西玉林市·中考真題）觀察下列樹枝分杈的規(guī)律圖，若第個(gè)圖樹枝數(shù)用表示，則（）

A． B． C． D．31.（2021·黑龍江大慶市·中考真題）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有______個(gè)交點(diǎn)32．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤(rùn)滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學(xué)式為，乙烷的化學(xué)式為，丙烷的化學(xué)式為……，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為．

33．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成．第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）34．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）在求的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個(gè)三角形，記作；分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2），有5個(gè)三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖（3），有9個(gè)三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）

35.（2022·山東泰安）觀察下列圖形規(guī)律，當(dāng)圖形中的“○”的個(gè)數(shù)和“．”個(gè)數(shù)差為2022時(shí)，n的值為____________．36.（2022·四川遂寧）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)為______．37.（2021·湖南常德市·中考真題）如圖中的三個(gè)圖形都是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，其中第一個(gè)圖形有個(gè)正方形，所有線段的和為4，第二個(gè)圖形有個(gè)小正方形，所有線段的和為12，第三個(gè)圖形有個(gè)小正方形，所有線段的和為24，按此規(guī)律，則第n個(gè)網(wǎng)格所有線段的和為____________．(用含n的代數(shù)式表示)38.（2021·黑龍江綏化市·中考真題）下面各圖形是由大小相同的三角形擺放而成的，圖①中有1個(gè)三角形，圖②中有5個(gè)三角形，圖③中有11個(gè)三角形，圖④中有19個(gè)三角形…，依此規(guī)律，則第個(gè)圖形中三角形個(gè)數(shù)是_______．類型三與函數(shù)有關(guān)規(guī)律39．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形，正方形，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．40.（2021·四川德陽·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）41．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．把按如圖所示的方式放置，并將進(jìn)行變換：第一次變換將繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為邊長(zhǎng)的2倍，得到；第二次旋轉(zhuǎn)將繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為，邊長(zhǎng)的2倍，得到，…．依次類推，得到，則的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

42．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有等點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，…，2024，分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，則．

43．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧；是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點(diǎn)，，，為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開線”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．44．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與x軸交于點(diǎn)，以為邊作正方形點(diǎn)在y軸上，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)在y軸上，以同樣的方式依次作正方形，…，正方形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．

45．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，按下圖所示擺放．點(diǎn)都在x軸正半軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．

46．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且均為等邊三角形．則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

47．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)B在x軸上，垂直軸，且，頂點(diǎn)在直線上，；過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點(diǎn)作垂直x軸，交于點(diǎn)，連接，得到第一個(gè)；過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點(diǎn)作垂直x軸，交于點(diǎn)，連接，得