2024-2025學(xué)年山西省太原市常青藤中學(xué)高一（上）月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年山西省太原市常青藤中學(xué)高一（上）月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列不等式一定成立的是(

)A.x2+1>2x(x>0) B.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)

2.已知函數(shù)f(x)=ax?2+1(a>0,a≠1)的圖像恒過(guò)一點(diǎn)P，且點(diǎn)P在直線(xiàn)mx+ny?1=0(mn>0)的圖像上，則1mA.4 B.6 C.7 D.83.若2a=5b=10A.?1 B.lg7 C.1 D.log4.下列各式中，值為12的是(

)A.12(cos15°?sin15°) B.tan22.5°1?tan222.55.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)，且函數(shù)y=f(x)x在區(qū)間I上是增函數(shù)，那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)是區(qū)間I上的“可變函數(shù)”，區(qū)間I叫作“可變區(qū)間”.若函數(shù)f(x)=x2?4x+2是區(qū)間I上的“可變函數(shù)”，則“可變區(qū)間”A.[2,2] B.(?∞,?2]和[6.已知函數(shù)f(x)=log3x+ax≥13x?2+A.(?2,4) B.(?2,+∞) C.(?4,2) D.(?1,4)7.已知tanα=2，則cos2α?12A.130 B.45 C.?38.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，則f(A.?94 B.?32 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)O為△ABC的外心，AB=2，AC=4，∠BAC的角平分線(xiàn)AM交BC于點(diǎn)M，則(

)A.AM=23AB+13AC 10.已知復(fù)數(shù)z1，z2，下列說(shuō)法正確的有(

)A.若z1=z2?，則z1?=z2 B.若z111.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱A.三棱錐A1?ACD的外接球的表面積為12π

B.三棱錐A1?ACD的外接球的體積為43π

C.點(diǎn)C到平面C1EF的距離為13

D.已知點(diǎn)P是底面ABCD(不含邊界三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.f(x)=x5+100x3+x+1，若13.當(dāng)x，y∈(0,+∞)時(shí)，x2+514.在△ABC中，AC=2AB=2，AB⊥BC，點(diǎn)M滿(mǎn)足∠AMC=∠BMC=2π3，則AM+BM+CM=______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)y=f(x)，其中f(x)=4?2x．

(1)求y=f(x)的定義域；

(2)若2f(a)=f(log16.(本小題15分)

已知向量a，b．

(1)若a=(1,1)，b=(1,2)，求(a?2b)?(a+b)；

(2)若a17.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且bsinC=3csinB2．

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若b=6，且△ABC的面積為18.(本小題17分)

2023年上海書(shū)展于8月16日至22日在上海展覽中心舉辦.展會(huì)上隨機(jī)抽取了50名觀眾，調(diào)查他們每個(gè)月用在閱讀上的時(shí)長(zhǎng)，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)求x的值，并估計(jì)這50名觀眾每個(gè)月閱讀時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)；

(2)用分層抽樣的方法從[20,40)，[80,100)這兩組觀眾中隨機(jī)抽取6名觀眾，再若從這6名觀眾中隨機(jī)抽取2人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求所抽取的2人恰好都在[80,100)這組的概率．19.(本小題17分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)．

(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E?BC?D的大小為45°，求三棱錐A?BCD的體積．

參考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.B

6.A

7.D

8.D

9.AC

10.AC

11.ABD

12.4

13.0

14.715.解：(1)函數(shù)y=f(x)有意義，則有4?2x≥0，得x≤2，

所以函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)??∞,2]．

(2)因?yàn)閒(log23)=4?2log23=4?3=1，16.解：(1)因?yàn)閍=(1,1)，b=(1,2)，

所以a?2b=(?1,?3)，a+b=(2,3)，

所以(a?2b)?(a+b)=?1×2?3×3=?11；

(2)因?yàn)閍,b是單位向量，設(shè)a,b的夾角為θ，

由|a+xb|≥32得：(a+xb)2≥34，

所以a2+2xa?b+x17.解：(1)bsinC=3csinB2，由正弦定理得：sinBsinC=3sinCsinB2，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以sinC≠0，

故sinB=3sinB2，即2sinB2cosB2=3sinB2，

因?yàn)锽2∈(0,π2)，所以sinB2≠0，故cosB2=32，

所以B2=π6，所以18.解：(1)由頻率分布直方圖得：(0.004+x+0.02+0.008+0.002)×20=1，解得x=0.016，

閱讀時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]內(nèi)的頻率分別為0.08，0.32，0.40，0.16，0.04，

所以閱讀時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)x?=0.08×30+0.32×50+0.40×70+0.16×90+0.04×110=65.2．

(2)由頻率分布直方圖，得數(shù)據(jù)在[20,40)，[80,100)兩組內(nèi)的頻率比為0.004：0.008=1：2，

則在[20,40)內(nèi)抽取2人，記為A1，A2，在[80,100)內(nèi)抽取4人，記為B1，B2，B3，B4，

從這6名志愿者中隨機(jī)抽取2人的不同結(jié)果如下：

(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,B4)，(A2,B1)，(A2,B219.解：(1)證明：因?yàn)锳B=AD，O為BD的中點(diǎn)，所以AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，

所以AO⊥CD；

(2)方法一：

取OD的中點(diǎn)F，因?yàn)椤鱋CD為正三角形，所以CF⊥OD，

過(guò)O作OM/?/CF與BC交于點(diǎn)M，則OM⊥OD，

所以O(shè)M，OD，OA兩兩垂直，

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)M，OD，OA所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則B(0,?1,0)，C(32,12,0)，D(0,1,0)，

設(shè)A(0,0,t)(t>0)，則E(0,13,2t3)，

因?yàn)镺A⊥平面BCD，故平面BCD的一個(gè)法向量為OA=(0,0,t)，

設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z)，

又BC=(32,32,0),BE=(0,43,2t3)，

所以由n?BC=0n?BE=0，得32x+32y=043y+2t3z=0，

令x=3，則y=?1，z