破解離心率問(wèn)題之建立齊次式和幾何化練習(xí)題及解析答案

破解離心率問(wèn)題之建立齊次式和幾何化一．選擇題（共9小題）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)（在軸上方），連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)，且，若垂直于軸，則橢圓的離心率為A． B． C． D．3．設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．圓與雙曲線的右支交于點(diǎn)，且，則雙曲線離心率為A． B． C． D．4．如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與圓在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．5．設(shè)圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，．若曲線上存在點(diǎn)滿足，則曲線的離心率等于A．或 B．或 C．2或 D．或6．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，軸，若，，成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為A． B． C． D．7．如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與圓在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．8．如圖，已知雙曲線上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為A． B． C． D．9．已知在菱形中，，曲線是以，為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的橢圓，其離心率為；曲線是以，為焦點(diǎn)，漸近線分別和，平行的雙曲線，其離心率為，則A． B． C．1 D．二．多選題（共1小題）10．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是A．橢圓的離心率 B．雙曲線的離心率 C．橢圓上不存在點(diǎn)使得 D．雙曲線上存在點(diǎn)使得三．填空題（共9小題）11．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓與雙曲線的離心率之積為．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，線段與橢圓的交點(diǎn)為，且則該橢圓的離心率為．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，分別為橢圓的右、下、上頂點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)．若，則橢圓的離心率是．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的右焦點(diǎn)，，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線的斜率為，則該橢圓的離心率為．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，且，則橢圓的離心率等于．16．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與圓相切，且與雙曲線的兩漸近線分別交于點(diǎn)，，若，則該雙曲線的離心率為．17．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線的半焦距，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，線段交雙曲線的右支于點(diǎn)，且有，，則雙曲線的離心率是．18．設(shè)圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，若曲線上存在點(diǎn)滿足，則曲線的離心率等于．19．已知雙曲線右支上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，雙曲線的右焦點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率的值是．

破解離心率問(wèn)題之建立齊次式和幾何化參考答案與試題解析一．選擇題（共9小題）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)右焦點(diǎn)，將代入橢圓方程可得，可得，，，，由，可得，即有，化簡(jiǎn)為，由，即有，由，可得，可得，故選：．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)（在軸上方），連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)，且，若垂直于軸，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，，由垂直于軸可得，由，可得，設(shè)，由，可得，，解得，，將，代入橢圓方程可得，即，即有，則，故選：．3．設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．圓與雙曲線的右支交于點(diǎn)，且，則雙曲線離心率為A． B． C． D．【解答】解：可設(shè)為第一象限的點(diǎn)，且，，由題意可得，①由雙曲線的定義可得，②由勾股定理可得，③聯(lián)立①②③消去，，可得：，即，則，故選：．4．如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與圓在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，，由整理可得：，即，因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線與圓在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，則，，由可得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，整理可得：，所以，即，兩邊同時(shí)平方可得：，所以，即，，可得：或（舍，所以，故選：．5．設(shè)圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，．若曲線上存在點(diǎn)滿足，則曲線的離心率等于A．或 B．或 C．2或 D．或【解答】解：由題意可設(shè)：，，．當(dāng)圓錐曲線為橢圓時(shí)，，．離心率；當(dāng)圓錐曲線為雙曲線時(shí)，，，離心率．綜上可知，圓錐曲線的離心率為或．故選：．6．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，軸，若，，成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：，，成等差數(shù)列，，由橢圓定義可得，，，，，，可得，所以橢圓的離心率；故選：．7．如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與圓在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：，，聯(lián)立，解得，在第二象限，，設(shè)，則，，由，得，，，，又，，化簡(jiǎn)得：，即，解得：或（舍．可得．故選：．8．如圖，已知雙曲線上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【解答】解：在中，，，在直角三角形中，，可得，，取左焦點(diǎn)，連接，，可得四邊形為矩形，，，，，，故選：．9．已知在菱形中，，曲線是以，為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的橢圓，其離心率為；曲線是以，為焦點(diǎn)，漸近線分別和，平行的雙曲線，其離心率為，則A． B． C．1 D．【解答】解：，，設(shè)，則，，橢圓是以，為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的橢圓，，，得，則橢圓的離心率為，則雙曲線是以，為焦點(diǎn)漸近線分別和，平行的雙曲線，則雙曲線中，的斜率，即，則，即，得，則，則，故選：．二．多選題（共1小題）10．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是A．橢圓的離心率 B．雙曲線的離心率 C．橢圓上不存在點(diǎn)使得 D．雙曲線上存在點(diǎn)使得【解答】解：橢圓，雙曲線，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，則正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)于．將代入橢圓方程，得：，結(jié)合，可得，因?yàn)?，解得，故正確；對(duì)于．把代入雙曲線的漸近線方程不妨設(shè)，，得，所以，則雙曲線的離心率，故正確；對(duì)于．當(dāng)點(diǎn)是短軸的端點(diǎn)時(shí)，最大，由，得，又，從而可得，，所以，則，即，所以．，故錯(cuò)誤；對(duì)于．當(dāng)點(diǎn)在實(shí)軸的端點(diǎn)時(shí)，向量與向量夾角為，此時(shí)，．，故正確；故選：．三．填空題（共9小題）11．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓與雙曲線的離心率之積為．【解答】解：不妨設(shè)，，可設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，，正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，，由，即，解得橢圓的；雙曲線的漸近線的斜率為，即，可得雙曲線的離心率為．即有橢圓與雙曲線的離心率之積為．故答案為：．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，線段與橢圓的交點(diǎn)為，且則該橢圓的離心率為．【解答】解：直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，．，，，把代入橢圓方程得：，即，化簡(jiǎn)得：，，解得或（舍去）．故答案為：．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，分別為橢圓的右、下、上頂點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)．若，則橢圓的離心率是．【解答】解：，，，，，，，，，化為：，．解得，故答案為：．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的右焦點(diǎn)，，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線的斜率為，則該橢圓的離心率為．【解答】解：由題意可得，，，由直線的方程代入橢圓方程，消去，可得，，即為，，直線的斜率為，可得，即有，由，可得，即．故答案為：．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，且，則橢圓的離心率等于．【解答】解：是與軸重合的，且四邊形為平行四邊形，，則、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，、的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，、兩點(diǎn)是關(guān)于軸對(duì)稱的．由題知：四邊形為平行四邊形，則，可設(shè)，，，代入橢圓方程解得：，設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，由于，四邊形為平行四邊形，則，對(duì)點(diǎn)：，解得，根據(jù)得，即有，，即．故答案為：．16．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與圓相切，且與雙曲線的兩漸近線分別交于點(diǎn)，，若，則該雙曲線的離心率為．【解答】解：法1（代數(shù)法）：因?yàn)榕c相切，所以直線斜率，由對(duì)稱性不妨考慮情形．又雙曲線的漸近線方程為，則垂直其中一條漸近線，故與一漸近線的交點(diǎn)，即為該漸近線與在第二象限的交點(diǎn)，可得，如圖，設(shè)中點(diǎn)為，由，即，則有，又，故，且為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，則，三等分，由，得，由在另一漸近線上，即有，則，故離心率．法2（幾何法）：設(shè)，則，由題意易知，，在中，，又，則有，即，故離心率．法3（參數(shù)方程法）：直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），代入，可得對(duì)應(yīng)的參數(shù)又對(duì)應(yīng)的參數(shù)，由及與相切，可知，即，則，則有，故離心率．故答案為：．17．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線的半焦距，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，線段交雙曲線的右支于點(diǎn)，且有，，則雙曲線的離心率是．【解答】解：由，，可得，，由雙曲線的定義可得，在直角三角形中，，在直