新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對(duì)點(diǎn)題型第8講求與幾何體的切接（學(xué)生版）

第8講球與幾何體的切接問題真題展示2022新高考一卷第8題已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知識(shí)要點(diǎn)整理球與各種幾何體切、接問題近幾年全國(guó)高考命題來看,這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見。首先明確定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.一、球與柱體的切接規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.球與正方體（1）正方體的內(nèi)切球，如圖1.

位置關(guān)系：正方體的六個(gè)面都與一個(gè)球都相切，正方體中心與球心重合；

數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.

（2）正方體的棱切球，如圖2.

位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；

數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.（3）正方體的外接球，如圖3.

位置關(guān)系：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上；正方體中心與球心重合；

數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.例1棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長(zhǎng)為（） B． C． D．球與長(zhǎng)方體例2自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．例3（全國(guó)卷I高考題）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（）.A.B.C.D.球與正棱柱（1）結(jié)論1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn)．（2）結(jié)論2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)．二、球與錐體的切接規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.1、正四面體與球的切接問題

（1）

正四面體的內(nèi)切球，如圖4.位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)面都與一個(gè)球相切，正四面體的中心與球心重合；

數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為；球的半徑為，這時(shí)有；

例4正四面體的棱長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切球的半徑為______．例5求棱長(zhǎng)為1的正四面體外接球的半徑。結(jié)論：正四面體的高線與底面的交點(diǎn)是△ABC的中心且其高線通過球心，這是構(gòu)造直角三角形解題的依據(jù)．此題關(guān)鍵是確定外接球的球心的位置，突破這一點(diǎn)此問題便迎刃而解，正四面體外接球的半徑是正四面體高的eq\f(3,4)，內(nèi)切球的半徑是正四面體高的eq\f(1,4).（3）

正四面體的棱切球，位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；

數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為；球的半徑為，這時(shí)有

例6例7設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的表面積之比及體積之比．（4）為什么正四面體外接球和內(nèi)切球心是同一個(gè)點(diǎn)？2.其它棱錐與球的切接問題（1）球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.（2）球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.結(jié)論1：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計(jì)算找到．結(jié)論2：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心．長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心是在其體對(duì)角線的中點(diǎn)處．以下是常見的、基本的幾何體補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體的途徑與方法．途徑1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體．途徑2：同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長(zhǎng)方體和正方體．途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體．途徑4：若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體．例8正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切．求球的表面積與體積．例9（福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是.思路分析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法.三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長(zhǎng)方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造長(zhǎng)方體，由側(cè)棱長(zhǎng)均相等，所以可構(gòu)造正方體模型.點(diǎn)評(píng)：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中計(jì)算問題，這是解決幾何體與球切接問題常用的方法．例10【2012年新課標(biāo)高考卷】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是球的直徑，且；則此棱錐的體積為（）A.B.C.D.思路分析：的外接圓是球面的一個(gè)小圓，由已知可得其半徑，從而得到點(diǎn)到面的距離.由練習(xí)：3、由性質(zhì)確定球心利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心．4、內(nèi)切球問題若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。三、球與球相切問題對(duì)于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過準(zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例11思路分析：結(jié)合圖形，的方程.例12把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離．思路分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體四、球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對(duì)棱的一半：.例13把一個(gè)皮球放入如圖10所示的由8根長(zhǎng)均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（） A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm球與旋轉(zhuǎn)體切接問題首先畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關(guān)系．例14求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．例15在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最小．綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面來作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問題即可得解．如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解,此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確.高考題往往與三視圖相結(jié)合，題目的難易不一，在復(fù)習(xí)中切忌好高騖遠(yuǎn)，應(yīng)重視各種題型的備考演練，重視高考信息的搜集，不斷充實(shí)題目的類型，升華解題的境界.三年真題1．已知正四面體SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，其四個(gè)面的中心分別為SKIPIF1<0，設(shè)四面體SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=SKIPIF1<0E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．13．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF相交的是（）.A．直線AA1 B．直線A1B1C．直線A1D1 D．直線B1C15．兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為SKIPIF1<0，兩個(gè)圓錐的高之比為SKIPIF1<0，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為SKIPIF1<0（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為SKIPIF1<0的球，其上點(diǎn)A的緯度是指SKIPIF1<0與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為SKIPIF1<0，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%8．某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：SKIPIF1<0）．24h降雨量的等級(jí)劃分如下：在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級(jí)是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨9．在正方體SKIPIF1<0中，P為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為SKIPIF1<0，側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，體積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三年模擬1．已知正四面體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為6，設(shè)集合SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0表示的區(qū)域的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知直線l與平面SKIPIF1<0相交，則下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①平面SKIPIF1<0內(nèi)的所有直線均與直線l異面；②平面SKIPIF1<0內(nèi)存在與直線l垂直的直線；③平面SKIPIF1<0內(nèi)不存在直線與直線l平行；④平面SKIPIF1<0內(nèi)所有直線均與直線l相交.A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．木楔子在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正方形，且SKIPIF1<0均為正三角形，SKIPIF1<0，則該木楔子的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，SKIPIF1<0，若截面SKIPIF1<0分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，沿對(duì)角線SKIPIF1<0把SKIPIF1<0折起，使二面角SKIPIF1<0為直二面角，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡所圍成圖形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則底面SKIPIF1<0的面積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則該四棱錐內(nèi)切球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知A，B，C均在球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為6，則球O的體積為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且該圓錐內(nèi)切球的表面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．四面體ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，正三角形ABC的面積為SKIPIF1<0，則四面體ABCD的體積最大為（）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<013．如