新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 題型歸納演練專題10-2 概率統(tǒng)計（解答題）原卷版

專題10-2概率統(tǒng)計（解答題）目錄TOC\o"1-1"\h\u專題10-2概率統(tǒng)計（解答題） 1 1題型一：回歸直線方程 1題型二：非線性回歸 8題型三：獨立性檢驗 18題型四：超幾何分布 25題型五：二項分布 35題型六：正態(tài)分布 45題型七：概率綜合 55題型八：概率統(tǒng)計與數(shù)列 61題型九：概率統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù) 70題型一：回歸直線方程【典例分析】例題1．（2022春·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度在6℃~22℃之間，一農(nóng)學(xué)實驗室研究人員為研究溫度SKIPIF1<0（℃）與綠豆新品種發(fā)芽數(shù)SKIPIF1<0（顆）之間的關(guān)系，每組選取了成熟種子50顆，分別在對應(yīng)的8℃~14℃的溫度環(huán)境下進(jìn)行實驗，得到如下散點圖：(1)由折線統(tǒng)計圖看出，可用線性回歸模型擬合SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程，并預(yù)測在19℃的溫度下，種子發(fā)芽的顆數(shù).參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.參考公式：相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，回歸直線方程SKIPIF1<0中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例題2．（2022春·陜西·高三陜西省榆林中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）隨著人民生活水平的日益提高，汽車普遍進(jìn)入千家萬戶，尤其在近幾年，新能源汽車涌入市場，越來越受到人們喜愛．某新能源汽車銷售企業(yè)在2017年至2021年的銷售量SKIPIF1<0（單位：萬輛）數(shù)據(jù)如下表：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代號SKIPIF1<012345銷售量SKIPIF1<0（萬輛）75849398100(1)請用相關(guān)系數(shù)判斷SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性相關(guān)程度（參考：若SKIPIF1<0，則線性相關(guān)程度一般，若SKIPIF1<0，則線性相關(guān)程度較高，計算SKIPIF1<0時精確到小數(shù)點后兩位）；(2)求出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程，并預(yù)計2022年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為多少萬輛？參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0附：相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，回歸直線方程的斜率SKIPIF1<0，截距SKIPIF1<0【提分秘籍】回歸直線方程過樣本點的中心SKIPIF1<0，是回歸直線方程最常用的一個特征；我們將SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線。這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的SKIPIF1<0，叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小二乘估計,其中SKIPIF1<0稱為回歸系數(shù)，它實際上也就是經(jīng)驗回歸直線的斜率，SKIPIF1<0為截距.其中SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·青海西寧·湟川中學(xué)?？家荒＃┠畴娮赢a(chǎn)品生產(chǎn)商經(jīng)理從眾多平板電腦中隨機抽取6臺，檢測它們充滿電后的工作時長（單位：分鐘），相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示．平板電腦序號123456工作時長/分220180210220200230(1)從被抽中的6臺平板電腦中隨機抽出2臺，設(shè)抽出的2臺平板電腦充滿電后工作時長小于210分鐘的臺數(shù)為SKIPIF1<0，求隨機變量SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)下表是一臺平板電腦的使用次數(shù)與當(dāng)次充滿電后工作時長的相關(guān)數(shù)據(jù)．求該平板電腦工作時長SKIPIF1<0與使用次數(shù)SKIPIF1<0之間的回歸直線方程，并估計該平板電腦使用第200次時充滿電后的工作時長．使用次數(shù)SKIPIF1<0/次20406080100120140工作時長SKIPIF1<0/分210206202196191188186附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．（2022春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動力的新一代無繩類電動工具以其輕巧便攜?工作效率高?環(huán)保?可適應(yīng)多種應(yīng)用場景下的工作等優(yōu)勢，被廣泛使用.在消費者便攜無繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動下，鋰電類無繩電動工具及配套充電器市場有望持續(xù)擴大.某公司為適應(yīng)市場并增強市場競爭力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對2017~2021年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計，如下圖：2017~2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對應(yīng)2017~2021年）(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)，計算該公司研發(fā)人數(shù)SKIPIF1<0與年份代碼SKIPIF1<0的相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，并由此判斷其相關(guān)性的強弱；(2)試求出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程，并預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù).（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.參考公式：相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0.線性回歸方程的斜率SKIPIF1<0，截距SKIPIF1<0.附：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0相關(guān)性弱一般強題型二：非線性回歸【典例分析】例題1．（2022·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？既＃榱藰?gòu)筑“綠色長城”，我國開展廣泛的全民義務(wù)植樹活動，有力推動了生態(tài)狀況的改善.森林植被狀況的改善，不僅美化了家園，減輕了水土流失和風(fēng)沙對農(nóng)田的危害，而且還有效提高了森林生態(tài)系統(tǒng)的儲碳能力.某地區(qū)統(tǒng)計了2011年到2020年十年中每年人工植樹成活數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10）（單位：千棵），用年份代碼SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10）表示2011年，2012年，2013年，…，2020年，得到下面的散點圖：對數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析發(fā)現(xiàn)，有兩個不同的回歸模型可以選擇，模型一：SKIPIF1<0，模型二；SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是自然對數(shù)的底數(shù).(1)根據(jù)散點圖，判斷所給哪個模型更適宜作為每年人工植樹成活數(shù)SKIPIF1<0與年份代碼SKIPIF1<0相關(guān)關(guān)系的回歸分析模型（給出判斷即可，不必說明理由）；(2)根據(jù)（1）中選定的模型，求出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程；(3)利用（2）中所求回歸方程，預(yù)測從哪一年開始每年人工植樹成活棵數(shù)能夠超過5萬棵？附：對于一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例題2．（2022·安徽·安徽省含山中學(xué)校聯(lián)考三模）2020年新冠肺炎疫情突如其來，在黨中央的號召下，應(yīng)對疫情，我國采取特殊的就業(yè)政策、經(jīng)濟政策很好地穩(wěn)住了經(jīng)濟社會發(fā)展大局．在全世界范圍內(nèi)，我國疫情控制效果最好，經(jīng)濟復(fù)蘇最快．某汽車銷售公司2021年經(jīng)濟收入在短期內(nèi)逐月攀升，該公司在第1月份至6月份的銷售收入SKIPIF1<0（單位：百萬元）關(guān)于月份SKIPIF1<0的數(shù)據(jù)如表：時間（月份）123456收入（百萬元）6.68.616.121.633.041.0根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖，如圖所示．(1)根據(jù)散點圖判斷，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為常數(shù)）哪一個適宜作為該公司銷售收入SKIPIF1<0關(guān)于月份SKIPIF1<0的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程，并預(yù)測該公司8月份的銷售收入．（結(jié)果近似到小數(shù)點后第二位）參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.5021.152.8517.50125.356.73其中設(shè)SKIPIF1<0參考公式和數(shù)據(jù)：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的解率和截距的最小二乘法估計公式分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【提分秘籍】非線性回歸最重要的方法就是通過換元，將非線性問題，轉(zhuǎn)化為線性問題求解；換元后注意代入數(shù)據(jù)不要出錯?！咀兪窖菥殹?．（2022春·湖北襄陽·高三襄陽五中?？茧A段練習(xí)）多年來，清華大學(xué)電子工程系黃翔東教授團(tuán)隊致力于光譜成像芯片的研究，2022年6月研制出國際首款實時超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測技術(shù)，實現(xiàn)了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發(fā)投入計劃，該研發(fā)團(tuán)隊為需要了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額SKIPIF1<0（單位：億元）的影響，結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量x，和年銷售額SKIPIF1<0，的數(shù)據(jù)（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，12），該團(tuán)隊建立了兩個函數(shù)模型：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點圖如圖，令SKIPIF1<0，計算得如下數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0206677020014SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0460SKIPIF1<03125000SKIPIF1<021500(1)設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的相關(guān)系數(shù)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的相關(guān)系數(shù)為SKIPIF1<0，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；(2)（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額SKIPIF1<0需達(dá)到80億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量SKIPIF1<0是多少億元？附：①相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，回歸直線SKIPIF1<0中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0.2．（2022春·福建三明·高三三明一中?？计谥校┙陙?，美國方面濫用國家力量，不擇手段打壓中國高科技企業(yè)，隨著貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級，中國某科技公司為了不讓外國“卡脖子”，決定在企業(yè)預(yù)算中減少宣傳廣告預(yù)算，增加對技術(shù)研究和人才培養(yǎng)的投入，下表是的連續(xù)7年研發(fā)投入x和公司年利潤y的觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)繪制的散點圖決定用回歸模型：SKIPIF1<0來進(jìn)行擬合.表I研發(fā)投入SKIPIF1<0（億元）20222527293135年利潤SKIPIF1<0（億元）711212465114325表II（注：表中SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0189567SKIPIF1<016278106SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03040SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)請借助表II中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型的方程；（精確到0.01）(2)試求研發(fā)投入為20億元時年利潤的殘差.參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，附：回歸方程中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，殘差SKIPIF1<03．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某生物研究所為研究某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)SKIPIF1<0和溫度SKIPIF1<0的關(guān)系，經(jīng)過一段時間觀察，收集到如下數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0產(chǎn)卵數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0以該種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)SKIPIF1<0和溫度SKIPIF1<0為變量，作出如圖所示的散點圖，現(xiàn)分別用模型①SKIPIF1<0與模型②SKIPIF1<0進(jìn)行分析．(1)請利用模型②SKIPIF1<0建立兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系式（系數(shù)保留兩位小數(shù)）；(2)已知模型①的回歸直線方程為SKIPIF1<0，模型②的樣本相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，請根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好；(3)該種昆蟲的防治以噴灑殺蟲劑為主，其防治成本SKIPIF1<0與溫度SKIPIF1<0和產(chǎn)卵數(shù)SKIPIF1<0的關(guān)系為SKIPIF1<0，用（2）中得出的擬合效果最好的模型計算，當(dāng)溫度SKIPIF1<0（SKIPIF1<0取整數(shù)）為何值時，昆蟲的防治成本的預(yù)估值最??？附：對于一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、…、SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，樣本相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0．參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．題型三：獨立性檢驗【典例分析】例題1．（2022春·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）近年來中年人的亞健康問題日趨嚴(yán)重，引起了政府部門和社會各界的高度關(guān)切.一研究機構(gòu)為了解亞健康與鍛煉時間的關(guān)系，對某地區(qū)的中年人隨機調(diào)查了SKIPIF1<0人，得到如下數(shù)據(jù)：平均每天鍛煉時間不足半小時半小時到SKIPIF1<0小時（含半小時）SKIPIF1<0小時及以上亞健康SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0無亞健康SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)從這些中年人中任選SKIPIF1<0人，記SKIPIF1<0“該中年人亞健康”，SKIPIF1<0“該中年人平均每天鍛煉時間不足半小時”，分別求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)完成下面的列聯(lián)表，根據(jù)小概率值SKIPIF1<0的獨立性檢驗，能否認(rèn)為亞健康與鍛煉時間有關(guān)聯(lián)？平均每天鍛煉時間不足SKIPIF1<0小時SKIPIF1<0小時及以上合計亞健康無亞健康合計附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例題2．（2022春·江蘇徐州·高三期末）某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，在該批棉花中隨機抽取了容量為120的樣本，測量每個樣本棉花的纖維長度（單位：mm，纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)，將其按組距為2分組，制作成如圖所示的頻率分布直方圖，其中纖維長度不小于28mm的棉花為優(yōu)質(zhì)棉.(1)求頻率分布直方圖中SKIPIF1<0的值；(2)已知抽取的容量為120的樣本棉花產(chǎn)自于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩個試驗區(qū)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下2×2列聯(lián)表：SKIPIF1<0試驗區(qū)SKIPIF1<0試驗區(qū)合計優(yōu)質(zhì)棉10非優(yōu)質(zhì)棉30合計120將2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)棉與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩個試驗區(qū)有關(guān)系；注：①獨立性檢驗的臨界值表：SKIPIF1<00.150.100.050.0250.0100.0050.001SKIPIF1<02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.【變式演練】1．（2022·陜西漢中·統(tǒng)考一模）某企業(yè)為響應(yīng)國家在《“十四五”工業(yè)綠色發(fā)展規(guī)劃》中提出的“推動綠色發(fā)展，促進(jìn)人與自然和諧共生”的號召，推進(jìn)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)高端化轉(zhuǎn)型，決定開始投入生產(chǎn)某新能源配件.該企業(yè)初步用甲?乙兩種工藝進(jìn)行試產(chǎn)，為了解兩種工藝生產(chǎn)新能源配件的質(zhì)量情況，從兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取了SKIPIF1<0件進(jìn)行質(zhì)量檢測，得到下圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定質(zhì)量等級包含合格和優(yōu)等兩個等級，綜合得分在SKIPIF1<0的是合格品，得分在SKIPIF1<0的是優(yōu)等品.(1)從這100件甲工藝所生產(chǎn)的新能源配件中按質(zhì)量等級分層抽樣抽取5件，再從這5件中隨機抽取2件做進(jìn)一步研究，求恰有1件質(zhì)量等級為優(yōu)等品的概率；(2)根據(jù)頻率分布直方圖完成下面的SKIPIF1<0列聯(lián)表，并判斷是否有SKIPIF1<0的把握認(rèn)為新能源配件的質(zhì)量等級與生產(chǎn)工藝有關(guān)？該企業(yè)計劃大規(guī)模生產(chǎn)這種新能源配件，若你是該企業(yè)的決策者，你會如何安排生產(chǎn)，為什么？合格品優(yōu)等品合計甲生產(chǎn)工藝乙生產(chǎn)工藝總計附：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02．（2022·四川廣安·廣安二中?？寄M預(yù)測）第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日在北京開幕，本次冬季奧運會共設(shè)7個大項，15個分項，109個小項.為調(diào)查學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況，某大學(xué)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為SKIPIF1<0，統(tǒng)計得到以下2×2列聯(lián)表，經(jīng)過計算可得SKIPIF1<0.男生女生合計了解SKIPIF1<0不了解SKIPIF1<0合計SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的值，并判斷有多大的把握認(rèn)為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān)；(2)為弄清學(xué)生不了解冬季奧運會項目的原因，采用分層抽樣的方法從抽取的不了解冬季奧運會項目的學(xué)生中隨機抽取6人，再從這6人中抽取2人進(jìn)行面對面交流，“至少抽到一名男生”的概率；附表：SKIPIF1<00.100.050.0250.0100.001SKIPIF1<02.7063.8415.0246.63510.828附：SKIPIF1<0題型四：超幾何分布【典例分析】例題1．（2022春·河北衡水·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）隨著人們生活水平的提高，國家倡導(dǎo)綠色安全消費，菜籃子工程從數(shù)量保障型轉(zhuǎn)向質(zhì)量效益型.為了測試甲、乙兩種不同有機肥料的使用效果，某科研單位用西紅柿做了對比實驗，分別在兩片實驗區(qū)各摘取100個，對其質(zhì)量的某項指標(biāo)值進(jìn)行檢測，質(zhì)量指數(shù)值達(dá)到35及以上的為“質(zhì)量優(yōu)等”，由測量結(jié)果繪成如下頻率分布直方圖.其中質(zhì)量指數(shù)值分組區(qū)間是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)請根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“質(zhì)量優(yōu)等”與使用不同的肥料有關(guān)；甲有機肥料乙有機肥料合計質(zhì)量優(yōu)等質(zhì)量非優(yōu)等合計(2)在摘取的用乙種有機肥料的西紅柿中，從“質(zhì)量優(yōu)等”中隨機選取2個，記區(qū)間SKIPIF1<0中含有的個數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：SKIPIF1<0.SKIPIF1<00.1000.0500.0100.0050.001SKIPIF1<02.7063.8416.6357.87910.828例題2．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考開學(xué)考試）為了研究高三年級學(xué)生的性別與體重是否超過55kg的關(guān)聯(lián)性，某機構(gòu)調(diào)查了某中學(xué)所有高三年級的學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表．性別體重合計超過55kg不超過kg男180120300女90110200合計270230500參考公式和數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)依據(jù)小概率值SKIPIF1<0的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重有關(guān)聯(lián)？(2)按性別采用分層隨機抽樣的方式在該中學(xué)高三年級體重超過55kg的學(xué)生中抽取9人，再從這9人中任意選取3人，記選中的女生數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列與期望．【提分秘籍】一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有SKIPIF1<0件，其中有SKIPIF1<0件次品，從SKIPIF1<0件產(chǎn)品中隨機抽取SKIPIF1<0件(不放回)，用SKIPIF1<0表示抽取的SKIPIF1<0件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如果隨機變量SKIPIF1<0的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量SKIPIF1<0服從超幾何分布．【變式演練】1．（2022春·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）文化月活動中，某班級在宣傳欄貼出標(biāo)語“學(xué)好數(shù)學(xué)好”，可以不同斷句產(chǎn)生不同意思，“學(xué)/好數(shù)學(xué)/好”指要學(xué)好的數(shù)學(xué)，“學(xué)好/數(shù)學(xué)/好”強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，假設(shè)一段時間后，隨機有SKIPIF1<0個字脫落．(1)若SKIPIF1<0，用隨機變量SKIPIF1<0表示脫落的字中“學(xué)”的個數(shù)，求隨機變量SKIPIF1<0的分布列及期望；(2)若SKIPIF1<0，假設(shè)某同學(xué)檢起后隨機貼回，求標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率．2．（2022春·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從本班SKIPIF1<0名女同學(xué)，SKIPIF1<0名男同學(xué)中隨機抽取一個容量為SKIPIF1<0的樣本進(jìn)行分析．(1)如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）(2)如果隨機抽取的SKIPIF1<0名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：學(xué)生序號i1234567數(shù)學(xué)成績SKIPIF1<060657075858790物理成績SKIPIF1<070778085908693（i）若規(guī)定SKIPIF1<0分以上（包括SKIPIF1<0分）為優(yōu)秀，從這SKIPIF1<0名同學(xué)中抽取SKIPIF1<0名同學(xué)，記SKIPIF1<0名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望；（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）（ii）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績SKIPIF1<0關(guān)于數(shù)學(xué)成績SKIPIF1<0的線性回歸方程（系數(shù)精確到SKIPIF1<0）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)镾KIPIF1<0分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑扛剑壕€性回歸方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<076838125263．（2022春·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知某校高三進(jìn)行第一次摸底考試，從全校選考地理的高三學(xué)生中，隨機抽取100名學(xué)生的地理成績制成如圖所示的頻率分布直方圖，滿分為100分，其中80分及以上為優(yōu)秀，其他為一般．已知成績優(yōu)秀的學(xué)生中男生有10名，成績一般的學(xué)生中男生有40名，得到如下的SKIPIF1<0列聯(lián)表．性別考試成績合計優(yōu)秀一般男生1040女生合計(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成上面SKIPIF1<0列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值SKIPIF1<0的獨立性檢驗，分析“考試成績優(yōu)秀”與“性別”是否有關(guān)?(2)從考試成績在SKIPIF1<0中，利用分層隨機抽樣抽取7名學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)方法經(jīng)驗介紹，從抽取的學(xué)生中，再確定3名學(xué)生做學(xué)習(xí)經(jīng)驗的介紹，則抽取的3名學(xué)生中，考試成績在SKIPIF1<0的學(xué)生數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：SKIPIF1<0，（其中SKIPIF1<0）SKIPIF1<00.100.050.0100.001SKIPIF1<02.7063.8416.63510.828題型五：二項分布【典例分析】例題1．（2022·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）2022年，某省啟動高考綜合改革，改革后，不再分文理科，改為采用是“SKIPIF1<0”模式，“3”是語文、外語、數(shù)學(xué)三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學(xué)，生物，政治，地理四科中選擇兩科作為高考科目，某學(xué)校為做好選課走班教學(xué)，給出三種可供選擇的組合進(jìn)行模擬選課，其中SKIPIF1<0組合：物理、化學(xué)、生物，SKIPIF1<0組合：歷史、政治、地理，SKIPIF1<0組合：物理、化學(xué)、地理.根據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇SKIPIF1<0組合的概率為SKIPIF1<0，選擇SKIPIF1<0組合的概率為SKIPIF1<0，選擇SKIPIF1<0組合的概率為SKIPIF1<0，甲、乙、丙三位同學(xué)每人選課是相互獨立的.(1)求這三位同學(xué)恰好有兩位同學(xué)選擇相同組合的概率.(2)記SKIPIF1<0表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.例題2．（2022春·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學(xué)?？计谥校┌殡S經(jīng)濟的飛速發(fā)展，中國全民健身賽事活動日益豐富，公共服務(wù)體系日趨完善.據(jù)相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達(dá)到《國民體質(zhì)測定標(biāo)準(zhǔn)》合格以上的人數(shù)比例達(dá)到90%以上.健身之于個人是一種自然而然的習(xí)慣，之于國家與民族，則是全民健康的基礎(chǔ)柱石之一，某市一健身連鎖機構(gòu)對去年的參與了該連鎖機構(gòu)健身的會員進(jìn)行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖，圖1為該健身連鎖機構(gòu)會員年齡等級分布圖，圖2為一個月內(nèi)會員到健身連鎖機構(gòu)頻數(shù)分布扇形圖若將會員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類，將一月內(nèi)來健身房鍛煉16次及以上的會員稱為“健身達(dá)人”，15次及以下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達(dá)人”中有SKIPIF1<0是“年輕人”.(1)現(xiàn)從該健身連鎖機構(gòu)會員中隨機抽取一個容量為100人的樣本，根據(jù)上圖的數(shù)據(jù)，補全下方SKIPIF1<0列聯(lián)表，并判斷依據(jù)小概率值SKIPIF1<0的獨立性檢驗，能否認(rèn)為是否為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)；類別年輕人非年輕人合計健身達(dá)人健身愛好者合計100臨界值表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)將（1）中的頻率作為概率，連鎖機構(gòu)隨機選取會員進(jìn)行回訪，抽取3人回訪.①若選到的3人中2人為“年輕人”，1人為“非年輕人”,再從這3人中隨機選取的1人，了解到該會員是“健身達(dá)人”，求該人為非年輕人的概率；②設(shè)3人中既是“年輕人”又是“健身達(dá)人”的人數(shù)為隨機變量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和期望值.【提分秘籍】一般地，在SKIPIF1<0重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，用SKIPIF1<0表示事件SKIPIF1<0發(fā)生的次數(shù)，則SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如果隨機變量SKIPIF1<0的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量SKIPIF1<0服從二項分布，記作SKIPIF1<0．【變式演練】1．（2022·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）隨著人臉識別技術(shù)的發(fā)展，“刷臉支付”成為了一種便捷的支付方式，但是這種支付方式也帶來了一些安全性問題．為了調(diào)查不同年齡層的人對“刷臉支付”所持的態(tài)度，研究人員隨機抽取了300人，并將所得結(jié)果統(tǒng)計如下表所示．年齡SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數(shù)30751056030持支持態(tài)度2466904218(1)完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9％的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度具有相關(guān)性；年齡在50周歲以上（含50周歲）年齡在50周歲以下總計持支持態(tài)度不持支持態(tài)度總計(2)以（1）中的頻率估計概率，若在該地區(qū)所有年齡在50周歲以上（含50周歲）的人中隨機抽取4人，記X為4人中持支持態(tài)度的人數(shù)，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；(3)已知某地區(qū)“萬嘉”連鎖超市在安裝了“刷臉支付”儀器后，使用“刷臉支付”的人數(shù)y與第x天之間的關(guān)系統(tǒng)計如下表所示，且數(shù)據(jù)的散點圖呈現(xiàn)出很強的線性相關(guān)的特征，請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求y與x的回歸直線方程SKIPIF1<0．i1234567第SKIPIF1<0天24812222638使用人數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<00.0500.0100.001k3.8416.63510.828參考公式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．（2022春·湖南湘潭·高三湘潭一中?？计谥校㏒KIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣“立秋”，該日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，據(jù)此，學(xué)校社會實踐小組隨機調(diào)查了該地區(qū)SKIPIF1<0位奶茶愛好者的年齡，得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.(1)估計奶茶愛好者的平均年齡；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）(2)估計奶茶愛好者年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0的概率；(3)以頻率替代概率進(jìn)行計算，若從該地區(qū)所有奶茶愛好者中任選SKIPIF1<0人，求SKIPIF1<0人中年齡在SKIPIF1<0歲以下的人數(shù)SKIPIF1<0的分布列和期望.3．（2022春·甘肅蘭州·高三蘭州西北中學(xué)?？计谥校樨S富學(xué)生的校園生活，提升學(xué)生的實踐能力和綜合素質(zhì)能力，培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，某校計劃借課后托管服務(wù)平臺開設(shè)書法興趣班．為了解學(xué)生對這個興趣班的喜歡情況，該校隨機抽取了本校100名學(xué)生，調(diào)查他們對這個興趣班的喜歡情況，得到數(shù)據(jù)如下：喜愛不喜愛合計男402060女301040合計7030100以調(diào)查得到的男、女學(xué)生喜歡書法興趣班的頻率代替概率．(1)從該校隨機抽取1名男學(xué)生和1名女學(xué)生，求這2名學(xué)生中恰有1人喜歡書法興趣班的概率；(2)從該校隨機抽取4名女學(xué)生，記X為喜歡書法興趣班的女生人數(shù)，求X的分布列與期望．題型六：正態(tài)分布【典例分析】例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康，經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了SKIPIF1<0年SKIPIF1<0位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計SKIPIF1<0位農(nóng)民的年平均收入SKIPIF1<0（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似為年平均收入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似為樣本方差SKIPIF1<0，經(jīng)計算得SKIPIF1<0，利用該正態(tài)分布，求：①在扶貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有SKIPIF1<0的農(nóng)民的年收入不低于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機走訪了SKIPIF1<0位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相獨立，這SKIPIF1<0位農(nóng)民中的年收入不少于SKIPIF1<0千元的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.附參考數(shù)據(jù)：①SKIPIF1<0，②若隨機變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某收費APP（手機應(yīng)用程序）自上架以來，憑借簡潔的界面設(shè)計?方便的操作方式和實用的強大功能深得用戶喜愛.為回饋市場并擴大用戶量，該APP在2022年以競價形式做出優(yōu)惠活動，活動規(guī)則如下：①每月1到15日，大家可通過官網(wǎng)提交自己的報價（報價低于原價），但在報價時間截止之前無法得知其他人的報價和當(dāng)月參與活動的總?cè)藬?shù)；②當(dāng)月競價時間截止后的第二天，系統(tǒng)將根據(jù)當(dāng)期優(yōu)惠名額，按出價從高到低的順序給相應(yīng)人員分配優(yōu)惠名額，獲得優(yōu)惠名額的人的最低出價即為該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價，出價不低于優(yōu)惠價的人將獲得數(shù)額為原價減去優(yōu)惠價的優(yōu)惠券，并可在當(dāng)月下載該APP時使用.小明擬參加2022年7月份的優(yōu)惠活動，為了預(yù)測最低成交價，他根據(jù)網(wǎng)站的公告統(tǒng)計了今年2到6月參與活動的人數(shù)，如下表所示：時間SKIPIF1<0（月）23456參與活動的人數(shù)SKIPIF1<0（萬人）0.50.611.41.7(1)若可用線性回歸模型擬合參與活動的人數(shù)SKIPIF1<0（單位：萬人）與時間t（單位：月）之間的關(guān)系，請用最小二乘法求SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程SKIPIF1<0，并預(yù)測今年7月參與活動的人數(shù)；(2)某自媒體對200位擬參加今年7月份活動的人進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：報價SKIPIF1<0（單位：元）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數(shù)206060302010①求這200人的報價X（單位：元）的平均值SKIPIF1<0和方差SKIPIF1<0（同一區(qū)間的報價用該價格區(qū)間的中點值代替）；②假設(shè)所有參與活動的人的報價X（單位：元）可視為服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可分別由①中所求的樣本平均數(shù)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0估計，若2022年7月計劃發(fā)放優(yōu)惠名額數(shù)量為3173，請你合理預(yù)測該SKIPIF1<0在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價，并說明理由.參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③若隨機變量X服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【提分秘籍】正態(tài)變量的取值范圍是SKIPIF1<0，但在一次試驗中，SKIPIF1<0的值幾乎總是落在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布SKIPIF1<0的隨機變量SKIPIF1<0只取SKIPIF1<0中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為SKIPIF1<0原則.【變式演練】1．（2022春·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某市宣傳部門開展了線上新冠肺炎世界防控現(xiàn)狀及防控知識競賽，現(xiàn)從全市的參與者中隨機抽取了1000名幸運者的成績進(jìn)行分析，把他們的得分（滿分100分）分成以下7組：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，統(tǒng)計得各組的頻率之比為1∶6：8：10：9：4：2．同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值代替．(1)求這1000名幸運者成績的第75百分位數(shù)和平均值SKIPIF1<0（結(jié)果保留整數(shù)）﹔(2)若此次知識競賽得分SKIPIF1<0，為感謝市民的積極參與，對參與者制定如下獎勵方案：得分不超過79分的可獲得1次抽獎機會，得分超過79分不超過93分的可獲得2次抽獎機會，超過93分的有3次抽獎機會，試估計任意一名幸運者獲得抽獎次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國是全球制造業(yè)大國，制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居世界第一，主要產(chǎn)品產(chǎn)量穩(wěn)居世界前列，為深入推進(jìn)傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭力，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)攻堅突破.設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為SKIPIF1<0（單位：nm）.(1)現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共7個，其中直徑大于10nm的有4個.現(xiàn)從這7個零件中隨機抽取3個.記SKIPIF1<0表示取出的零件中直徑大于10nm的零件的個數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0；(2)技術(shù)攻堅突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為SKIPIF1<0，每個零件是否合格相互獨立.現(xiàn)任取6個零件進(jìn)行檢測，若合格的零件數(shù)SKIPIF1<0超過半數(shù)，則可認(rèn)為技術(shù)攻堅成功.求技術(shù)攻堅成功的概率及SKIPIF1<0的方差；(3)若技術(shù)攻堅后新設(shè)備生產(chǎn)的零件直徑SKIPIF1<0，從生產(chǎn)的零件中隨機取出10個，求至少有一個零件直徑大于9.4nm的概率.參考數(shù)據(jù)：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）鹽水選種是古代勞動人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良.現(xiàn)對一批某品種種子的密度（單位：SKIPIF1<0）進(jìn)行測定，認(rèn)為密度不小于SKIPIF1<0的種子為優(yōu)種，小于SKIPIF1<0的為良種.自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.(1)若將這批種子的密度測定結(jié)果整理成頻率分布直方圖，如圖所示，據(jù)圖估計這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）(2)在（1）的條件下，用頻率估計概率，從這批種子（總數(shù)遠(yuǎn)大于2）中選取2粒在自然情況下種植，設(shè)萌發(fā)的種子數(shù)為SKIPIF1<0，求隨機變量SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望（各種子的萌發(fā)互相獨立）；(3)若該品種種子的密度SKIPIF1<0，任取該品種種子20000粒，估計其中優(yōu)種的數(shù)目.附：假設(shè)隨機變量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.題型七：概率綜合【典例分析】例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺．該平臺首次實現(xiàn)了“有組織，有管理，有指導(dǎo)，有服務(wù)”的學(xué)習(xí)，極大地滿足了廣大黨員干部和人民群眾多樣化、自主化、便捷化的學(xué)習(xí)需求，日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP．某市宣傳部門為了解市民利用“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)國家政策的情況，從全市抽取1000人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”的時長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．(1)估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”時長在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的概率；(2)估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”的平均時長；(3)若宣傳部為了解市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從SKIPIF1<0和SKIPIF1<0組中抽取7人了解情況，從這7人中隨機選取2人參加座談會，求所選取的2人來自不同的組的概率．例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）《中華人民共和國未成年人保護(hù)法》是為保護(hù)未成年人身心健康，保障未成年人合法權(quán)益，根據(jù)憲法制定的法律.某中學(xué)為宣傳未成年人保護(hù)法，特舉行一次未成年人保護(hù)法知識競賽.競賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別選答兩題，兩人答題互不影響.若答對題數(shù)合計不少于3題，則稱這個小組為“優(yōu)秀小組”.已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且甲、乙同學(xué)答對每道題的概率分別為SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，則在第一輪競賽中，求該組獲“優(yōu)秀小組”的概率；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，求該組在每輪競賽中獲得“優(yōu)秀小組”的概率的最大值.【變式演練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲乙兩人玩卡片游戲：他們手里都拿著分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片，各自從自己的卡片中隨機抽出1張，規(guī)定兩人誰抽出的卡片上的數(shù)字大，誰就獲勝，數(shù)字相同則為平局.(1)求甲獲勝的概率.(2)現(xiàn)已知他們都抽出了標(biāo)有數(shù)字6的卡片，為了分出勝負(fù)，他們決定從手里剩下的卡片中再各自隨機抽出1張，若他們這次抽出的卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝.請問：這個規(guī)則公平嗎，為什么？2．（2022春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)隨機變量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．某工廠對一批零件進(jìn)行抽樣檢測，根據(jù)經(jīng)驗可知每個零件是次品的概率均為SKIPIF1<0．(1)若從這批零件中抽取2個進(jìn)行檢測，求其中次品數(shù)SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)現(xiàn)對這批零件抽取100個進(jìn)行檢測，若其中次品數(shù)多于3個，則這批零件為不合格產(chǎn)品．估算這批零件為不合格產(chǎn)品的概率（精確到SKIPIF1<0．3．（2022春·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校為了迎接黨的二十大召開，增進(jìn)全體教職工對黨史知識的了解，組織開展黨史知識競賽活動并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個紙箱中，甲箱有5個選擇題和3個填空題，乙箱中有4個選擇題和3個填空題，比賽中要求每個支部在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.每個支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個題目放回原紙箱中.(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個題目，求第2題抽到的是填空題的概率；(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個題目，答題結(jié)束后錯將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個選擇題的概率.題型八：概率統(tǒng)計與數(shù)列【典例分析】例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某商場擬在年末進(jìn)行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券“的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點數(shù)不超2點，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪游戲．（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時，總分為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的期望；（2）若累計得分為SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，（初始得分為0分，SKIPIF1<0）．①證明數(shù)列SKIPIF1<0，（i＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；②求活動參與者得到紀(jì)念品的概率．例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為落實《關(guān)于全面加強和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知識＋基本運動技能＋專項運動技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽－校級聯(lián)賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學(xué)校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢足球”深受同學(xué)們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得SKIPIF1<0分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為SKIPIF1<0，乙每次踢球命中的概率為SKIPIF1<0，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望；（2）若經(jīng)過SKIPIF1<0輪踢球，用SKIPIF1<0表示經(jīng)過第SKIPIF1<0輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率．①求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②規(guī)定SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，請根據(jù)①中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．【提分秘籍】借助數(shù)列的地推關(guān)系式，求出概率或統(tǒng)計量之間的關(guān)系，這是高考的重要考點，遞推關(guān)系作為重要的工具，為解決概率統(tǒng)計中的問題提供了便利.【變式演練】1．（2022·全國·模擬預(yù)測）某學(xué)校開展投籃活動，活動規(guī)則是：每名選手投籃SKIPIF1<0次（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），每次投籃，若投進(jìn)，則下一次站在三分線處投籃；若沒有投進(jìn)，則下一次站在兩分線處投籃．規(guī)定每名選手第一次站在兩分線處投籃．站在兩分線處投進(jìn)得2分，否則得0分；站在三分線處投進(jìn)得3分，否則得0分．已知小明站在兩分線處投籃投進(jìn)的概率為0.7，站在三分線處投籃投進(jìn)的概率為0.5，且每次投籃相互獨立．(1)記小明前2次投籃累計得分為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)記第SKIPIF1<0次投籃時，小明站在三分線處投籃的概率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，…，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的表達(dá)式．2．（2022·江蘇連云港·江蘇省贛榆高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）某超市開展購物抽獎送積分活動，每位顧客可以參加SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）次抽獎，每次中獎的概率為SKIPIF1<0，不中獎的概率為SKIPIF1<0，且各次抽獎相互獨立．規(guī)定第1次抽獎時，若中獎則得10分，否則得5分．第2次抽獎，從以下兩個方案中任選一個；方案①：若中獎則得30分，否則得0分；方案②：若中獎則獲得上一次抽獎得分的兩倍，否則得5分．第3次開始執(zhí)行第2次抽獎所選方案，直到抽獎結(jié)束．(1)如果SKIPIF1<0，以抽獎的累計積分的期望值為決策依據(jù)，顧客甲應(yīng)該選擇哪一個方案？并說明理由；(2)記顧客甲第i次獲得的分?jǐn)?shù)為SKIPIF1<0，并且選擇方案②．請直接寫出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的遞推關(guān)系式，并求SKIPIF1<0的值．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0．）3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯在校食堂就餐人數(shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐