浙江省溫州市環(huán)大羅山聯(lián)盟2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試卷(解析)

高中數(shù)學精編資源學年第二學期環(huán)大羅山聯(lián)盟期中考試高二數(shù)學試題考生須知：1．本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號.3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)全集為，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求出，進而由交集的定義分析可得答案.詳解】根據(jù)題意，，則.故選：A.2.已知冪函數(shù)的圖象過點，則（）A. B. C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】設(shè)，代入，得，從而得，再將代入計算即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以設(shè)，代入，得，解得，所以，所以.故選：C.3.已知隨機變量,則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)函數(shù)的對稱性和得,則求解即可.【詳解】因為隨機變量,所以,所以.故選:C.4.2022年北京冬奧會的順利召開，激發(fā)了大家對冰雪運動的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺滑雪這四項運動中任選一項進行體驗，則不同的選法共有（）A.12種 B.24種 C.64種 D.81種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分步乘法原理求解即可．【詳解】由題意，可知每一人都可在四項運動中選一項，即每人都有四種選法，可分三步完成，根據(jù)分步乘法原理，不同的選法共有種.故選：C．5.我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)圖像的特征，如函數(shù)（）的圖像不可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，分類，和三種情況分類討論，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，當時，函數(shù)且，圖象如選項B中的圖象；當時，若時，函數(shù)，可得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，此時選項C符合題意；當時，若時，可得，則，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以選項D符合題意.故選：A.6.在的展開式中，記項的系數(shù)為，則（）A.45 B.60 C.72 D.96【答案】D【解析】【分析】利用二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】由于的展開式為，且的展開式，記項的系數(shù)為，所以，，故.故選：D7.為了提升全民身體素質(zhì)，學校十分重視學生體育鍛煉，某?；@球運動員進行投籃練習．如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第球投進的概率為，則他第球投進的概率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，由全概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，，，，由全概率公式可得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用全概率公式計算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是弄清第球與第球投進與否之間的關(guān)系，結(jié)合全概率公式進行計算.8.已知函數(shù)的定義域為,滿足,且時,.若,都有,則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)推得其解析式,作出其大致圖象,數(shù)形結(jié)合,求解不等式,即可確定的取值范圍.【詳解】當時,,因為,且時,,所以;當時,,所以;因為,當時,,所以;所以,得,由此做出函數(shù)圖像得:當時,,解得或,結(jié)合圖像得的解為:或,因為,都有,所以.故選:B.二、選擇題（（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.設(shè)M、N是兩個隨機事件，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】對A，根據(jù)是否互斥判斷即可；對B，舉反例判斷即可對CD，根據(jù)條件概率的公式判斷即可【詳解】對A，當不互斥時，不成立，故A錯誤；對B，當為對立事件時，，則不成立，故B錯誤；對C，當時，成立，當時，根據(jù)條件概率的公式可得成立，故C正確；對D，根據(jù)條件概率的公式，結(jié)合C選項可得成立，故D正確；故選：CD10.已知隨機變量，則（）（附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷AD；根據(jù)二項分布的期望、方差公式計算可判斷AB.【詳解】因為，所以，則，故A錯誤；，故D正確；因為，所以，所以，故B錯誤；，故C正確；故選：CD.11.已知，若，則實數(shù)的值可以為（）A. B.0 C.1 D.【答案】ACD【解析】【分析】令求出的值，即可得到或，再根據(jù)分段函數(shù)解析式，分類討論，分別計算可得.【詳解】因為，若，則或，解得或，因為，所以或，所以或或或，解得或或.故選：ACD12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判斷A、B，構(gòu)造函數(shù)，利用特殊值判斷C，利用和差化積公式判斷D．【詳解】對于A：，，，，當且僅當，即時取“”，故A正確，對于B：，，，，當且僅當時取“”，故B正確，對于C：，，，當、，此時，而，此時，故C錯誤，對于D：，，，，，，，當且僅當時取等號，故D正確．故選：ABD．非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若,則=__________.【答案】【解析】【分析】將指數(shù)式化為對數(shù)式，結(jié)合對數(shù)運算，求得值.【詳解】,,..故答案為：【點睛】本小題主要考查指數(shù)式化為對數(shù)式，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.14.已知隨機變量的分布列如表：012mn若，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)離散型隨機變量的分布列和兩個信息，可求出，得值，再根據(jù)離散型隨機變量方差的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】，①，又②，聯(lián)立①②得，所以，則．故答案為：．15.，，，，，，6名同學站成一排參加文藝匯演，若不站在兩端，和必須相鄰，則不同的排列方式共有_________種．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，用間接法分析：先計算和相鄰的排法，排除其中站在兩端的排法，分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，由于和相鄰，把和看成一個元素，與其他個人全排列，有種排法，其中站在兩端的排法有種，則有種符合題意的排法．故答案為：．16.函數(shù)，當時，，則ab的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，由時，，分析可得，然后求解即可.【詳解】設(shè)，，則，在上為增函數(shù)，且，由于當時，，若，則，，即恒成立，顯然不可能；所以，則當時，，當時，，所以，則，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式的解集為空集，求的取值范圍；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【解析】【分析】（1）依題意可得，解得即可；（2）由求出參數(shù)的值，即可得到的解析式，從而得到其對稱軸與開口方向，從而得到其單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】因為函數(shù)，．若不等式的解集為空集，則，解得，所以的取值范圍是；【小問2詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，即，則，解得，所以，對稱軸為，開口向上，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．18.已知在的展開式中，前項的系數(shù)分別為，，，且滿足．（1）求展開式中各項的二項式系數(shù)的和；（2）求展開式中系數(shù)最大的項；（3）求展開式中所有有理項．【答案】（1）（2）和（3）和【解析】【分析】（1）由條件先求出，利用二項式定理系數(shù)的性質(zhì)寫出結(jié)果即可；（2）寫出展開式的通項，記第項系數(shù)最大，則有，且，由此可得展開式中系數(shù)最大的項；（3）令的冪指數(shù)為整數(shù)，求得的值，即可求得展開式中的有理項．小問1詳解】的展開式通項公式為，，，，，，，則，，，因為，即，解得或（舍去），所以二項式展開式中各項的二項式系數(shù)的和為；【小問2詳解】二項式的展開式通項公式為（且），記第項系數(shù)最大，則有，且，即，解得，又，所以或，所以系數(shù)最大項為第3項和第4項；【小問3詳解】因為二項式的展開式通項公式為（且），令，且，則或，所以展開式中有理項為和.19.為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強愛國主義情懷．某校組織了黨史知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關(guān)紅色革命根據(jù)地建立時間的問題，已知甲回答正確這道題的概率為，甲、丙都回答正確這道題的概率是，乙、丙都回答正確這道題的概率是．若每位同學回答這道題是否正確是互不影響的．（1）若規(guī)定三名同學都需要回答這個問題，求甲、乙、丙中至少1名同學回答正確的概率；（2）若規(guī)定三名同學需要搶答這道題，已知甲搶到答題機會的概率為，乙搶到的概率為，丙搶到的概率為，求這個問題回答正確的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由相互獨立事件的概率計算公式，分別計算出甲，乙，丙答對這道題的概率，再由對立事件概率計算公式，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，得到三人答對這道題的概率之和，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】記甲，乙，丙三人獨自答對這道題分別為事件，則甲，乙，丙三人答對這道題的概率為，由于每人回答問題正確與否是相互獨立的，因此事件是相互獨立事件，由題意可得，，，則，且，則，則甲、乙、丙中至少1名同學回答正確的概率為.【小問2詳解】由題意可得，這個問題回答正確的概率為.20.已知函數(shù)．當點在函數(shù)圖像上運動時，對應(yīng)的點在函數(shù)圖像上運動，則稱函數(shù)是函數(shù)的“伴隨”函數(shù)．（1）解關(guān)于x不等式；（2）對任意的的圖像總在其“伴隨”函數(shù)圖像的下方，求a的取值范圍：（3）設(shè)函數(shù)．當時，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由求解，即可得到結(jié)果；（2）由題意得的相關(guān)函數(shù)為，根據(jù)題意得到時，恒成立求解；（3）根據(jù)題意，易得，設(shè)，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【小問1詳解】依題意得，則，所以，所以原不等式的解集為．【小問2詳解】由題意得，所以，所以的“伴隨”函數(shù)為．依題意，對任意的，的圖像總在其“伴隨”函數(shù)圖像的下方，即當時，恒成①．由，對任意的總成立，結(jié)合題設(shè)條件有，在此條件下，①等價于當時，恒成立，即，即．設(shè)，要使當時，恒成立，只需，即成立，解得，即，且，即a的取值范圍是．【小問3詳解】由（2）可得當時，在區(qū)間上，，即．設(shè)，則．令，則，所以，因為（當且僅當時，等號成立），可得，當時，等號成立，滿足，則的最大值為，所以的最大值是．21.孔子曰：溫故而知新，可以為師矣．數(shù)學學科的學習也是如此，為了調(diào)查“數(shù)學成績是否優(yōu)秀”與“是否及時復(fù)習”之間的關(guān)系，某校志愿者從高二年級的所有學生中隨機抽取60名學生進行問卷調(diào)查，得到如下樣本數(shù)據(jù)：數(shù)學成績優(yōu)秀（人數(shù)）數(shù)學成績不優(yōu)秀（人數(shù)）及時復(fù)習（人數(shù)）246不及時復(fù)習（人數(shù)）822（1）試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為“數(shù)學成績優(yōu)秀”與“及時復(fù)習”有關(guān)系？（2）在該樣本中，用分層抽樣的方法從數(shù)學成績優(yōu)秀的學生中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，設(shè)抽取3人中及時復(fù)習的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．臨界值參考表：0100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式，其中）【答案】（1）可以認為“數(shù)學成績優(yōu)秀”與“及時復(fù)習”有關(guān)，理由見解析（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，計算，即可判斷；（2）根據(jù)題意，由條件可得的可能取值為，然后分別計算其對應(yīng)概率，即可得到分布列與期望.【小問1詳解】設(shè)表示數(shù)學成績優(yōu)秀與及時復(fù)習沒有關(guān)聯(lián)，根據(jù)數(shù)據(jù)計算，依據(jù)的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即認為“數(shù)學成績優(yōu)秀”與“及時復(fù)習”有關(guān)，該推斷犯錯誤的概率不超過.【小問2詳解】根據(jù)分層抽樣可得，選取的8人中，及時復(fù)習人，不及時復(fù)習人，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：123所以的期望.22.“函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱”的充要條件是“對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有”．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且當時，．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)．（i）證明函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；（ii）若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合對稱性，得到，進而分別令，和，即可求解；（2）（i）利用分式函數(shù)的性質(zhì)，化簡得到，結(jié)合，即可得證；（ii）先求得的值域為，設(shè)的值域為，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，分離討論求得函數(shù)在上的最值，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，當時，可得；當時，可得；當時，可得，即，則.【小問2詳