江蘇省徐州市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一檢試題含解析

2024—2024學(xué)年度徐州高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一檢模擬（一）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域和指數(shù)函數(shù)的值域求法即可得出結(jié)果.【詳解】依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域可得由指數(shù)函數(shù)的值域可得所以，故選：B.2.若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)滿(mǎn)意（其中為虛數(shù)單位），則的值為（）A. B.5 C.7 D.25【答案】D【解析】【分析】求出共軛復(fù)數(shù)，以及復(fù)數(shù)，即可求出的值.【詳解】解：由題意，則，所以，，∴故選：D.3.隨機(jī)擲兩個(gè)質(zhì)地勻稱(chēng)的正方體骰子，骰子各個(gè)面分別標(biāo)記有共六個(gè)數(shù)字，記事務(wù)“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是和”，事務(wù)“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是和”，事務(wù)“骰子向上的點(diǎn)數(shù)含有”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.事務(wù)與事務(wù)是相互獨(dú)立事務(wù) B.事務(wù)與事務(wù)是互斥事務(wù)C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)古典概型概率公式可計(jì)算得到，知CD正誤；由獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式驗(yàn)證可知A錯(cuò)誤；依據(jù)互斥事務(wù)定義可知B錯(cuò)誤.【詳解】投擲兩個(gè)質(zhì)地勻稱(chēng)的正方體骰子，全部可能的結(jié)果有種；滿(mǎn)意事務(wù)的有，，共種；滿(mǎn)意事務(wù)的有，，共種；滿(mǎn)意事務(wù)的有，，，，，，，，，，，共種；，C正確；，D錯(cuò)誤；，不是相互獨(dú)立事務(wù)，A錯(cuò)誤；事務(wù)和事務(wù)可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事務(wù)，B錯(cuò)誤.故選：C.4.在平行四邊形中，?分別在邊?上，，與相交于點(diǎn)，記，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意過(guò)點(diǎn)作平行于，交于點(diǎn)，先利用三角形相像求出，然后利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作平行于，交于點(diǎn)，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)?，所以，由可得：，所以，因?yàn)?，所以，故選：.5.則三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球半徑為（）A.3 B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】依據(jù)外接球半徑與底面外接圓半徑，高度的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題由正弦定理得，外接圓直徑為，得，設(shè)球心到平面得距離為，所以，所以三棱錐的外接球半徑為，故選：B.6.已知函數(shù)在上恰好取到一次最大值與一次最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式即得解.【詳解】因?yàn)椋『萌〉揭淮巫畲笾蹬c一次最小值，可得，解得.故選：A.7.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例,引入數(shù)列:,該數(shù)列從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和,即遞推關(guān)系式為,故此數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列,又稱(chēng)“兔子數(shù)列”.已知滿(mǎn)意上述遞推關(guān)系式的數(shù)列的通項(xiàng)公式為,其中的值可由和得到,比如兔子數(shù)列中代入解得.利用以上信息計(jì)算表示不超過(guò)的最大整數(shù)（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題不妨設(shè),求出,,進(jìn)而得到,通過(guò)第五項(xiàng),即可得到之間的關(guān)系,依據(jù)的范圍可大致推斷的范圍,進(jìn)而選出選項(xiàng).【詳解】解:由題意可令,所以將數(shù)列逐個(gè)列舉可得:,,,,,故,因?yàn)?所以,故.故選:B8.已知，，（其中為自然常數(shù)），則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將變形，得，，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，依據(jù)單調(diào)性可得，，再依據(jù)可得答案.【詳解】，，，設(shè)，則，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，綜上所述：.故選：D二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.若，則C. D.隨機(jī)變量滿(mǎn)意，則【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布的定義求數(shù)學(xué)期望和方差求解A，再依據(jù)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可求解相應(yīng)的概率求解B,C，再依據(jù)變量關(guān)系的期望公式可求解D.【詳解】因?yàn)?所以，，A正確；因?yàn)椋?，B正確；因?yàn)椋?，C正確；因?yàn)?，所以，所?D錯(cuò)誤，故選:ABC10.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），下列選項(xiàng)正確的有（）A.B.C.直線(xiàn)與平面所成角的最小值是D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A項(xiàng)轉(zhuǎn)化證明平面；對(duì)于B項(xiàng)，反證法證明，也就驗(yàn)證平面是否成立；對(duì)于C項(xiàng)，依據(jù)直線(xiàn)與平面所成角的定義先找到即為直線(xiàn)與平面所成角，在分析求解；對(duì)于D項(xiàng)，把往上翻折到與平面共面，在平面內(nèi)求動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和最小即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，連接，在正方體中，平面，又因?yàn)槠矫妫使蔄正確.對(duì)于B項(xiàng)，假設(shè)成立，又因?yàn)?，并且所以平面，明顯不垂直，假設(shè)不成立，故B不正確.對(duì)于C項(xiàng)，連接，再連接，在正方體，易得平面所以即為直線(xiàn)與平面所成角，在中，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)最大，最大值為，直線(xiàn)與平面所成角的最小值是，故C不正確.對(duì)于D項(xiàng)，把往上翻折到與平面共面，又因?yàn)?，即往上翻折成，即在四邊形中，求，易得最小值為，所以D正確.故選：AD11.已知,，下列說(shuō)法正確的是（）A.存在使得是奇函數(shù)B.隨意?的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形C.若為的兩個(gè)極值點(diǎn)，則D.若在上單調(diào)，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí),為奇函數(shù)，從而即可推斷；對(duì)于B，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為,依據(jù)，求出對(duì)稱(chēng)中心即可推斷；對(duì)于C，求導(dǎo)，由題意和韋達(dá)定理可得，，再由重要不等式得，即可推斷；對(duì)于D，由題意可得恒成立，由，求解即可.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí),為奇函數(shù)，故正確；對(duì)于B，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為,則有，又因?yàn)?，，所以，解得，所以的?duì)稱(chēng)中心為，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，又因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若單調(diào)，則有恒成立，所以，解得，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.12.已知，是拋物線(xiàn)：上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則（）A.直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，最小值為2B.直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為60°時(shí)（點(diǎn)在第一象限），C.若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則最大值為8D.點(diǎn)坐標(biāo)，且直線(xiàn)，斜率之和為0，與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)為，則直線(xiàn)方程為：【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于AB項(xiàng)畫(huà)出函數(shù)圖像，把用直線(xiàn)的傾斜角表示，驗(yàn)證是否正確；對(duì)于C項(xiàng)，可求解；對(duì)于D項(xiàng)依據(jù)點(diǎn)可求出，就能求出所以求出直線(xiàn)，分別與拋物線(xiàn)聯(lián)立求出點(diǎn)，就能求出方程.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為，準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，畫(huà)圖為：依據(jù)拋物線(xiàn)的定義：，從圖可知，，在中，，所以，同理則，故當(dāng)時(shí)故最小值為，所以A不正確.對(duì)于B項(xiàng)，由A可知，，所以，故B不正確.對(duì)于C項(xiàng)，所以最大值為8，故C正確.對(duì)于D項(xiàng)，由，，知，所以所以直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為聯(lián)立解得或，所以聯(lián)立解得或，所以所以直線(xiàn)的方程為即，故D正確.故選：CD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.的綻開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】利用乘法安排律得到，則來(lái)自于的綻開(kāi)式，依據(jù)二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】，的綻開(kāi)式中項(xiàng)為：，的綻開(kāi)式中沒(méi)有項(xiàng)，故的綻開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：.14.已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿(mǎn)意，且是與的等比中項(xiàng)，則的前項(xiàng)和___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與，求出的關(guān)系，依據(jù)是與的等比中項(xiàng)，求出的值.再依據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，所以又因?yàn)榧纯傻?，又由即即即且正?xiàng)等差數(shù)列，即解得，所以故答案為：15.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則的直線(xiàn)方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意以為圓心，為半徑作圓，兩圓方程作差即可得直線(xiàn)的方程.【詳解】圓圓心，半徑，方程化為一般式方程為，則，以為圓心，為半徑作圓，其方程為，方程化為一般式方程為，∵，則是圓與圓的交點(diǎn)，兩圓方程作差可得：，∴直線(xiàn)的方程為.故答案為：.16.若函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，分類(lèi)探討3是否為極值點(diǎn)，結(jié)合的圖像性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，所以若3是極值點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，所以；當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于1，趨向于0，則趨向于正無(wú)窮，當(dāng)趨向正無(wú)窮時(shí)，趨向正無(wú)窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于趨向正無(wú)窮的速率，則趨向于正無(wú)窮，若3不是極值點(diǎn)，則3是即的一個(gè)根，且存在另一個(gè)根，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，令，解得；令，解得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿(mǎn)意題意，綜上：或，即.故答案：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知在中，邊,,所對(duì)的角分別為，，，.（1）證明：,,成等比數(shù)列；（2）求角的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)結(jié)合內(nèi)角和關(guān)系，通過(guò)三角恒等變換化簡(jiǎn)條件等式可得，再利用正弦定理化角為邊即可證明；(2)依據(jù)余弦定理和基本不等式可求的最小值，由此可得角的最大值.【小問(wèn)1詳解】通分化簡(jiǎn)可得，，即，即，整理得，由正弦定理可得，所以a?b?c成等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即為正三角形時(shí)等號(hào)成立，所以的最大角為.18.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為（b為常數(shù)）．（1）求b的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依題意等比數(shù)列的公比不為1，再依據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得到，即可得到且，從而求出、，即可得解；（2）首先令，，即可求出的取值范圍，從而求出，即可得到，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；【小問(wèn)1詳解】解：由題設(shè)，明顯等比數(shù)列的公比不為1，若的首項(xiàng)、公比分別為、，則，∴且，所以，故的通項(xiàng)公式為．當(dāng)時(shí)，；【小問(wèn)2詳解】解：令，，解得，所以數(shù)列在中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，則，所以，∵，①∵②兩式相減得∴．∴19.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F(xiàn)分別是AD1，AB1的中點(diǎn)．（1）證明：平面BDEF∥平面CB1D1；（2）若∠ADC＝120°，求直線(xiàn)DB1與平面BDEF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，可證明平面，平面，從而證明結(jié)論.

（2）取的中點(diǎn)，連接，可得,以所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,應(yīng)用向量法求線(xiàn)面角.【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，∵是的中點(diǎn)，平面,平面,所以平面又是的中點(diǎn)平面,平面,所以平面又平面,,所以平面平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，在菱形中，為正三角形，則由平面，故以所在直線(xiàn)分別為軸，建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系則∴設(shè)平面BDEF的法向量為，即，令則設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：向量法求解空間幾何問(wèn)題的步驟：建、設(shè)、求、算、取1、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條相互垂直的直線(xiàn)的交點(diǎn)為原點(diǎn)，沒(méi)有三條垂線(xiàn)時(shí)需做協(xié)助線(xiàn)；建立右手直角坐標(biāo)系，盡可能的使得較多的關(guān)鍵點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi).2、設(shè)：設(shè)出所需的點(diǎn)的坐標(biāo)，得出所需的向量坐標(biāo).3、求：求出所需平面的法向量4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，驗(yàn)證平行、垂直，利用線(xiàn)面角公式求線(xiàn)面角，或求出兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值5、?。阂罁?jù)題意，或二面角的范圍，得出答案.20.某學(xué)校為了迎接黨的二十大召開(kāi)，增進(jìn)全體教職工對(duì)黨史學(xué)問(wèn)的了解，組織開(kāi)展黨史學(xué)問(wèn)競(jìng)賽活動(dòng)并以支部為單位參與競(jìng)賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，競(jìng)賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取其次題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中.（1）假如第一支部從乙箱中抽取了2個(gè)題目，求第2題抽到的是填空題的概率；（2）若其次支部從甲箱中抽取了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時(shí)，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個(gè)題目是選擇題，求其次支部從甲箱中取出的是2個(gè)選擇題的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，分別求出概率，依據(jù)全概率公式即可（2）設(shè)事務(wù)為“第三支部從乙箱中抽1個(gè)選擇題”，事務(wù)為“其次支部從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，事務(wù)為“其次支部從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，事務(wù)為“其次支部從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，則??彼此互斥，求出相關(guān)的概率，再依據(jù)條件概率求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，，2，，，由全概率公式得：第2次抽到填空題的概率為：；【小問(wèn)2詳解】設(shè)事務(wù)為“第三支部從乙箱中抽1個(gè)選擇題”，事務(wù)為“其次支部從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，事務(wù)為“其次支部從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，事務(wù)為“其次支部從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，則??彼此互斥，且，，，，，，，所求概率即是發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：.21.已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為4，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時(shí)，（1）設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）法一：依據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)，求得a值，依據(jù)題意，求得，可得b值，即可得曲線(xiàn)C方程，設(shè)直線(xiàn)方程為，與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，依據(jù)韋達(dá)定理，可得表達(dá)式，代入，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.法二：由題意，求得a，b的值，即可得曲線(xiàn)C方程，設(shè)方程為，與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，依據(jù)韋達(dá)定理，可得表達(dá)式，代入，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.（2）法一：因?yàn)?，依?jù)二倍角的正切公式，結(jié)合及，化簡(jiǎn)計(jì)算，可得，進(jìn)而可得方程，與曲線(xiàn)C聯(lián)立，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，即可得直線(xiàn)的方程，依據(jù)面積公式，即可得答案.法二：設(shè)，由，結(jié)合二倍角正切公式，可得的值，進(jìn)而可得直線(xiàn)方程，與曲線(xiàn)C聯(lián)立，可得，同理可得，代入面積公式，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】法一：因?yàn)?，所以，令得，所以，解得，所以的方程為明顯直線(xiàn)與軸不垂直，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與的方程，消去得，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則.因?yàn)椋?法二：由題意得，解得，雙曲線(xiàn)的方程為.設(shè)方程為，聯(lián)立，可得，