新教材2025版高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.2用空間向量研究距離夾角問(wèn)題第1課時(shí)用空間向量研究距離問(wèn)題學(xué)生用書(shū)新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第1課時(shí)用空間向量探討距離問(wèn)題[課標(biāo)解讀]1.理解點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面距離的公式及其推導(dǎo).2.了解利用空間向量求點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、直線到直線、直線到平面、平面到平面的距離的基本思想．教材要點(diǎn)要點(diǎn)空間距離的向量求法分類(lèi)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到平面的距離圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言設(shè)u為直線l的單位方向向量，A∈l，P?l，AP＝a，向量AP在直線l上的投影向量為AQ，則PQ＝AP2設(shè)已知平面α的法向量為n，A∈α，P?α，向量AQ是向量AP在平面上的投影向量，PQ＝________狀元隨筆AP·nn表示向量AP在法向量n→方向上的投影的大小，因此點(diǎn)P到平面α的距離也可以表示成AP基礎(chǔ)自測(cè)1.思索辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)點(diǎn)到直線的距離是指過(guò)該點(diǎn)作直線的垂線，該點(diǎn)與垂足間的距離．()(2)直線到平面的距離指直線與平面平行時(shí)，直線上隨意一點(diǎn)到平面的距離．()(3)兩異面直線間的距離不能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．()(4)平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離在平面α內(nèi)任一點(diǎn)與點(diǎn)P的距離中最短．()2．已知直線l過(guò)定點(diǎn)A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)P(4，3，2)到直線l的距離為()A．322C．102D．3．已知向量n＝(1，0，－1)與直線l垂直，且l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3，1)，則點(diǎn)P(4，3，2)到l的距離為()A．32B．C．2D．34．已知平面α的一個(gè)法向量n＝(－2，－2，1)，點(diǎn)A(－1，3，0)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P(－2，1，4)到α的距離為()A．10B．3C．83D．5．兩平行平面α，β分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2，1，1)，且兩平面的一個(gè)法向量為n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是________．題型1利用空間向量求點(diǎn)線距例1如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點(diǎn)B到直線A′C的距離．方法歸納用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟鞏固訓(xùn)練1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點(diǎn)B到直線A1C1的距離．題型2利用空間向量求點(diǎn)面距、線面距例2如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．方法歸納用向量法求點(diǎn)面距的一般步驟鞏固訓(xùn)練2在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M，N分別為AB，SB的中點(diǎn)，如圖所示．求點(diǎn)B到平面CMN的距離．題型3利用空間向量求面面距例3如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，求平面A1BD與平面B1CD1間的距離．方法歸納求兩個(gè)平行平面的距離，先在其中一個(gè)平面上找到一點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離求解．留意：這個(gè)點(diǎn)要選取適當(dāng)，以便利求解為主．鞏固訓(xùn)練3如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD的距離．易錯(cuò)辨析對(duì)距離公式記憶不夠精確致誤例4已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離．解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(xiàn)(2，－4，0)，B(4，0，0)，GE＝(4，－2，－2)，BE＝(0，－2，0)，GF＝(2，－4，－2)．設(shè)平面EFG的法向量為n＝(x，y，z)．由GE·n所以x＝－y，z＝－3y.取y＝1，則n＝(－1，1，－3)．所以點(diǎn)B到平面EFG的距離d＝BE·nn＝2易錯(cuò)警示易錯(cuò)緣由糾錯(cuò)心得忽視法向量的模，誤認(rèn)為d＝|BE·n|.利用距離公式求解時(shí)肯定牢記距離公式．第1課時(shí)用空間向量探討距離問(wèn)題新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)a[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：PA＝(－2，0，－1)，|PA|＝5，PA·則點(diǎn)P到直線l的距離d＝5-12答案：A3．解析：∵n＝(1，0，－1)與直線l垂直，∴n的單位向量n0＝22又∵l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3，1)，∴AP＝(2，0，1)，∴AP在n上的投影AP·n0＝(2，0，1)·22，0，-22＝2答案：B4．解析：∵α的一個(gè)法向量為n＝(－2，－2，1)，∴n0＝-2又點(diǎn)A(－1，3，0)在α內(nèi)，∴AP＝(－1，－2，4)，∴點(diǎn)P到平面α的距離為|AP·n0|＝-1，-答案：D5．解析：由題意知：OA＝(2，1，1)，所以兩平面間的距離為d＝OA·nn＝-答案：2題型探究·課堂解透例1解析：因?yàn)锳B＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直線A′C的方向向量A'又BC＝(0，2，0)，所以BC在A'C上的投影長(zhǎng)為BC·所以點(diǎn)B到直線A′C的距離d＝BC2-BC·A鞏固訓(xùn)練1解析：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直線A1C1的方向向量A1C1所以點(diǎn)B到直線A1C1的距離d＝BC12-B例2解析：(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則D(0，0，0)，P(0，0，1)，E1，12，0，所以EF＝-12，12設(shè)平面PEF的法向量為n＝(x，y，z)，則n·EF令x＝2，則y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)為平面PEF的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)D到平面PEF的距離為DE·nn＝2+1(2)連接AC，則AC∥EF，直線AC到平面PEF的距離即為點(diǎn)A到平面PEF的距離，平面PEF的一個(gè)法向量為n＝(2，2，3)，AE＝0，所求距離為AE·nn＝1鞏固訓(xùn)練2解析：取AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.又BO?平面ABC，∴SO⊥BO.又∵△ABC為正三角形，O為AC的中點(diǎn)，∴AO⊥BO.如圖所示，分別以O(shè)A，OB，OS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(0，23，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，22)，M(1，3，0)，N(0，3，∴CM＝(3，3，0)，MN＝(－1，0，2)，MB＝(－1，3，0)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則CM·n=3x+則x＝2，y＝－6，∴n＝(2，－6，1)．∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d＝n·MBn例3解析：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A1B＝(0，1，－1)，A1設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·A令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1)，∴點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d＝A1D1·n易證平面A1BD∥平面B1CD1，∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點(diǎn)D1到平面A1BD的距離，∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離為33鞏固訓(xùn)練3解析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)，N(4，2，4)，∴EF＝(2，2，