新教材2025版高中數(shù)學(xué)本冊過關(guān)檢測新人教A版必修第二冊

本冊過關(guān)檢測一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．[2024·河北邯鄲高一期末]在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,1＋3i)(i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．[2024·湖南郴州高一期末]底面半徑為2，母線長為4的圓錐的表面積為()A．eq\r(6)πB．12πC．2eq\r(3)πD．2eq\r(6)π3．[2024·山東濱州高一期末]在△OAB中，點P滿意eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AP,\s\up6(→))，則()A．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))B．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))C．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))4．[2024·江蘇蘇州高一期末]某單位有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，老、中、青職工共有430人，為了解職工身體狀況，現(xiàn)采納分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為()A．16B．18C．27D．365．[2024·山東棗莊高一期末]拋擲兩個質(zhì)地勻稱的骰子，則“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是6”的概率為()A．eq\f(1,7)B．eq\f(1,11)C．eq\f(5,36)D．eq\f(1,12)6．[2024·山東青島高一期末]下列說法正確的為()A．互斥事務(wù)肯定是對立事務(wù)，對立事務(wù)不肯定是互斥事務(wù)B．事務(wù)A與事務(wù)B中至少有一個發(fā)生的概率肯定比A與B中恰有一個發(fā)生的概率大C．事務(wù)A與事務(wù)B中同時發(fā)生的概率肯定比A與B中恰有一個發(fā)生的概率小D．設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事務(wù)，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)7．[2024·山東淄博高一期末]已知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\f(1,2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\f(1,3).若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋3b))＝()A．eq\r(2)B．2eq\r(2)C．2D．48．[2024·福建福州高一期末]A，B，C，D是半徑為4的球面上的四點，已知AB＝5，BC＝3，cos∠BAC＝eq\f(4,5)，當(dāng)AD取得最大值時，四面體ABCD的體積為()A．6eq\r(13)B．2eq\r(13)C．6eq\r(39)D．2eq\r(39)二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．[2024·遼寧渤海高校附中高一期末]一組數(shù)據(jù)6，7，8，a，12的平均數(shù)為8，則此組數(shù)據(jù)的()A．眾數(shù)為8B．極差為6C．中位數(shù)為8D．方差為eq\f(22,5)10．[2024·廣東珠海高一期末]設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，則下列結(jié)論不正確的是()A．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0B．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0C．eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))D．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝011．已知α，β，γ是不同的平面，a，b是兩條不重合的直線，下列說法不正確的是()A．若a?α，α∩β＝b，a⊥b，則a⊥βB．若a⊥b，a⊥α，則b∥αC．若a?α，b?β，a∥β，b∥α，則α∥βD．若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ12．[2024·湖北武漢高一期末]在一個質(zhì)地勻稱的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事務(wù)A為“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事務(wù)B為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”；事務(wù)C為“其次次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是()A．事務(wù)B與事務(wù)C是互斥事務(wù)B．事務(wù)A與事務(wù)B是相互獨立事務(wù)C．P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)D．P(ABC)＝eq\f(1,8)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．[2024·山東濟(jì)南高一期末]在一次校內(nèi)歌手大賽中，6位評委對某選手的評分分別為92，93，88，99，89，95.則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是________．14．[2024·湖北武漢高一期末]若復(fù)數(shù)z滿意eq\f(z＋i,1－2i)＝1＋i，其中i是虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))＝________．15．[2024·湖南衡陽高一期末]已知向量a＝(1，0)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，則λ＝________．16．[2024·遼寧錦州高一期末]已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AB＝1，BC＝CD＝eq\r(2)，DA＝eq\r(3)，對角線AC與BD交于點O，則BD＝________；OB＝________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)[2024·廣東揭陽高一期末]已知a＝(1，2)，b＝(－3，1).(1)設(shè)a，b的夾角為θ，求cosθ的值；(2)若向量a＋kb與a－kb相互垂直，求k的值．18．(12分)[2024·山東德州高一期末]如圖，在圓錐PO中，AB是底面的一條直徑，C為底面圓周上一點．(1)若D為AC的中點，求證：BC∥平面POD；(2)若AС＝ВС，求證：РС⊥АB.19．(12分)[2024·河北滄州高一期末]某報社發(fā)起“建黨100周年”主題征文競賽，活動中收到了來自社會各界的大量文章，報社從中選取了60篇文章，準(zhǔn)備以專欄形式在報紙上發(fā)表，已知這些文章的作者各不相同，且年齡都集中在[15，65]內(nèi)，依據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，作出頻率分布直方圖如圖所示．(1)估計這60名作者年齡的平均數(shù)；(同一組數(shù)據(jù)用該組所在區(qū)間的中點值作代表)(2)估計這60名作者年齡的中位數(shù)；(結(jié)果保留整數(shù))(3)為了展示不同年齡作者心中的黨的形象，報社依據(jù)各年齡段人數(shù)的比例，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這60篇文章中抽出20篇文章，并邀請相應(yīng)作者參與座談會，若從參與座談會的年齡在[15，35)的作者中隨機(jī)選出2人作為代表發(fā)言，求這2人中至少有1人的年齡在[15，25)的概率．20．(12分)[2024·湖北十堰高一期末]記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且eq\f(c,a)＝eq\f(sinA＋2sinBcosA,2sinA).(1)求B的大??；(2)若b＝2eq\r(2)，△ABC的面積為2eq\r(3)，求△ABC的周長．21.(12分)[2024·廣東肇慶高一期末]甲、乙、丙三人進(jìn)行摔跤競賽，競賽規(guī)則如下：①每場競賽有兩人參與，另一人當(dāng)裁判，沒有平局；②每場競賽結(jié)束時，負(fù)的一方在下一場當(dāng)裁判；③累計負(fù)兩場者被淘汰；④當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人接著競賽，直至其中一人累計負(fù)兩場被淘汰，另一人最終獲得冠軍，競賽結(jié)束．已知在每場競賽中，甲勝乙和甲勝丙的概率均為eq\f(2,3)，乙勝丙的概率為eq\f(1,2)，各局競賽的結(jié)果相互獨立．經(jīng)抽簽，第一場競賽甲當(dāng)裁判．(1)求前三場競賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四場競賽就決出冠軍的概率；(3)求甲最終獲勝的概率．22．(12分)[2024·河北石家莊高一期末]如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E為AB的中點，沿DE將△ADE折起，使得點A到點P的位置，且PE⊥EB，M為PB的中點，N是BC上的動點(與點B，C不重合).(1)證明：平面EMN⊥平面PBC；(2)是否存在點N，使得二面角B-EN-M的正切值為eq\r(5)？若存在，確定N點位置；若不存在，請說明理由．本冊過關(guān)檢測1．解析：∵z＝eq\f(1,1＋3i)＝eq\f(1－3i,（1＋3i）（1－3i）)＝eq\f(1－3i,10)＝eq\f(1,10)－eq\f(3,10)i，∴在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,1＋3i)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，－\f(3,10)))，位于第四象限．故選D.答案：D2．解析：由圓錐的底面半徑為2，母線長為4，則圓錐的表面積為S＝π×2×4＋π×22＝12π.故選B.答案：B3．解析：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，故選A.答案：A4．解析：設(shè)老年職工有x人，則160＋2x＋x＝430，解得x＝90；因為樣本中有青年職工32人，所以抽樣比為eq\f(32,160)＝eq\f(1,5)，所以樣本中的老年職工人數(shù)為eq\f(1,5)×90＝18.故選B.答案：B5．解析：拋擲兩個質(zhì)地勻稱的骰子，總的基本領(lǐng)件有6×6＝36(個)，其中點數(shù)之和是6的有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5個，則“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是6”的概率為eq\f(5,36).故選C.答案：C6．解析：對A，互斥事務(wù)不肯定是對立事務(wù)，對立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)，故A錯誤；對B，當(dāng)事務(wù)A與事務(wù)B為對立事務(wù)時，事務(wù)A與事務(wù)B中至少有一個發(fā)生的概率和A與B中恰有一個發(fā)生的概率相等，故B錯誤；對C，當(dāng)A＝B時，事務(wù)A與事務(wù)B中同時發(fā)生的概率等于A與B中恰有一個發(fā)生的概率，故C錯誤；對D，設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事務(wù)，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)正確，故D正確．故選D.答案：D7．解析：因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))，所以(a＋b)2＝(a－b)2，所以a·b＝0，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋3b))＝eq\r(（2a＋3b）2)＝eq\r(4|a|2＋9|b|2＋12a·b)＝eq\r(4×\f(1,4)＋9×\f(1,9)＋0)＝eq\r(2).故選A.答案：A8．解析：在△ABC中，cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(16＋AC2,10AC)＝eq\f(4,5)，解得AC＝4，則AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC.設(shè)球心到平面ABC的距離為d，則d＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(39),2).當(dāng)AD為直徑時AD取得最大值，點D到平面ABC的距離為2d，故四面體ABCD的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·(2d)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×eq\r(39)＝2eq\r(39).故選D.答案：D9．解析：由題可得eq\f(6＋7＋8＋a＋12,5)＝8，∴a＝7，∴此組數(shù)據(jù)眾數(shù)為7，極差為12－6＝6，中位數(shù)為7，方差為eq\f(（6－8）2＋（7－8）2＋（7－8）2＋（8－8）2＋（12－8）2,5)＝eq\f(22,5).故選BD.答案：BD10．解析：由eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))知：P為AC中點，故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))≠0，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))≠0，B正確，A、D錯誤；eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(CP,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，C錯誤．故選ACD.答案：ACD11．解析：對于A，若a?α，α∩β＝b，a⊥b，則a⊥β或a與β相交但不垂直，故A不正確；對于B，若a⊥b，a⊥α，則b∥α或b?α，故B不正確；對于C，若a?α，b?β，a∥β，b∥α，則α∥β或α與β相交，故C不正確；對于D，因為α⊥γ，所以平面α與平面γ所成的二面角為直二面角，因為β∥α，所以平面β與平面γ所成的二面角也為直二面角，即β⊥γ，故D正確．故選ABC.答案：ABC12．解析：對于A，事務(wù)B與事務(wù)C不是互斥事務(wù)，因為它們有可能同時發(fā)生，如，第一次和其次次都是數(shù)字4，故選項A錯誤；對于B，對于事務(wù)A與事務(wù)B，P(A)＝eq\f(8,4×4)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2×4,4×4)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)＝P(A)·P(B)，事務(wù)A與事務(wù)B是相互獨立事務(wù)，故選項B正確；對于C，P(C)＝eq\f(4×2,4×4)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(8,4×4)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2×4,4×4)＝eq\f(1,2)，所以P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)，故選項C正確；對于D，事務(wù)ABC表示第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，其次次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故P(ABC)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，故D錯誤．故選BC.答案：BC13．解析：依題意，先將上述6個分?jǐn)?shù)從小到大排列為：88，89，92，93，95，99，6×75%＝4.5，向上取整為第5個數(shù)，即95.答案：9514．解析：∵z＝(1＋i)(1－2i)－i＝1－2i＋i＋2－i＝3－2i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝3＋2i.答案：3＋2i15．解析：由已知2a＋b＝(4，－2)，因為c∥(2a＋b)，所以－2－4λ＝0，λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)16．解析：四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，則∠BAD＋∠BCD＝π，則cos∠BAD＋cos∠BCD＝0，又AB＝1，BC＝CD＝eq\r(2)，DA＝eq\r(3)，則eq\f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＋eq\f(CB2＋CD2－BD2,2CB·CD)＝0，即eq\f(1＋3－BD2,2×1×\r(3))＋eq\f(2＋2－BD2,2×\r(2)×\r(2))＝0，解之得BD＝2.又BC＝CD＝eq\r(2)，則△BCD為等腰直角三角形，則∠CBD＝eq\f(π,4).且由∠BAD＝eq\f(π,2)，BC＝CD，故∠DAC＝∠BAC＝∠CBD＝eq\f(π,4).則△OAB∽△ODC，可得eq\f(OB,OC)＝eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,\r(2))，則OC＝eq\r(2)OB.由OC2＝OB2＋BC2－2OB·BC·coseq\f(π,4)，即2OB2＝OB2＋2－2OB，解得OB＝－1＋eq\r(3)或OB＝－1－eq\r(3)(舍).答案：2eq\r(3)－117．解析：(1)因為a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))·cosθ，所以cosθ＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(1×（－3）＋2×1,\r(12＋22)×\r(（－3）2＋12))＝eq\f(－1,\r(5)×\r(10))＝－eq\f(\r(2),10).(2)由a＝(1，2)，b＝(－3，1)可得a＋kb＝(1，2)＋k(－3，1)＝(1－3k，2＋k)，a－kb＝(1，2)－k(－3，1)＝(1＋3k，2－k)，因為向量a＋kb與a－kb相互垂直，所以(a＋kb)·(a－kb)＝(1－3k)(1＋3k)＋(2＋k)(2－k)＝0，即2k2＝1，解得k＝±eq\f(\r(2),2).18．證明：(1)因為O，D為AB，AC的中點，所以O(shè)D∥BC.又因為OD?平面РОD，BC?平面POD.所以ВС∥平面POD；(2)連接OC.因為AB是底面的一條直徑，所以О是AB的中點，又因為AC＝BC，所以ОС⊥АB.因為PO⊥圓面O，且AB?圓面О，所以РО⊥АB.因為PO∩OC＝O，PO，OC?平面РОC，所以А?！推矫鍼OC.因為PC?平面POC，所以РС⊥АB.19．解析：(1)由頻率分布直方圖可知10×(0.01＋0.015＋m＋0.03＋0.01)＝1，所以m＝0，035.樣本平圴數(shù)的估計值eq\o(x,\s\up6(－))＝20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5.(2)因為前兩組頻率之和為0.1＋0.15＝0.25，前三組頻率之和為0.25＋0.35＝0.6，所以中位數(shù)在[35，45)中，中位數(shù)的估計值為35＋10×eq\f(0.5－0.25,0.35)＝35＋eq\f(50,7)≈42.(3)由題可知抽出的20篇文章的作者中，年齡在[15，25)的有2人，記為a1，a2，年齡在[25，35)的有3人，記為b1，b2，b3，現(xiàn)從這5個人中選出2人，全部不同的結(jié)果有10種：a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，b1b2，b1b3，b2b3；至少有1人的年齡在[15，25)內(nèi)對應(yīng)的不同的結(jié)果有7種：a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3.所以所求概率P＝eq\f(7,10).20．解析：(1)由正弦定理得eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sinA＋2sinBcosA,2sinA)，所以sinA＋2sinBcosA＝2sinC＝2sin(A＋B)＝2sinAcosB＋2cosAsinB，得sinA＝2sinAcosB，因為0<A<π，所以sinA≠0，得cosB＝eq\f(1,2)，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).(2)由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝2eq\r(3)，得ac＝8，由余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，得a2＋c2－8＝ac，得(a＋c)2＝3ac＋8＝32，得a＋c＝4eq\r(2)，所以△ABC的周長為6eq\r(2).21．解析：(1)記事務(wù)A為甲勝乙，則P(A)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，事務(wù)B為甲勝丙，則P(B)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，事務(wù)C為乙勝丙，則P(C)＝eq\f(1,2)，P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)，前三場競賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率為P1＝P(Ceq\o(A,\s\up6(－))C)＋P(CAB)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(11,36).(2)只需四場競賽就決出冠軍的概率為P2＝P(Ceq\o(A,\s\up6(－))Ceq\o(A,\s\up6(－)))＋P(eq\o(C,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(CABA)＋P(eq\o(C,\s\up6(－))BAB)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(2