新教材2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專項分層特訓(xùn)卷二命題點加強練命題點11數(shù)列的遞推小題突破

命題點11數(shù)列的遞推一、單項選擇題1．[2024·湖南長沙模擬]若數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，a2＝eq\f(1,4)，且anan＋2＝an＋1(n∈N*)，記數(shù)列{an}的前n項積為∏n，則eq\f(∏2024,a2024)的值為()A．1B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)2．[2024·河南許昌模擬]設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2Sn＝3an－2(n∈N*)，則a6＝()A．243B．244C．486D．4883．已知數(shù)列{an}滿意eq\f(an＋1＋an,an＋1－an)＝2n，a1＝1，則a2024＝()A．2024B．2024C．4045D．40474．[2024·山東濰坊模擬]數(shù)列1，3，2，…中，an＋2＝an＋1－an，則a2024＋a2024＝()A．6B．5C．4D．35．[2024·河南鄭州模擬]已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，a1＝3，且有an＋1＝3－eq\f(2,an)，則an＝()A．eq\f(1,2n－1)B．eq\f(3,2n－1)C．4－eq\f(1,2n－1)D．eq\f(1,2n－1)＋26．[2024·吉林模擬]大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于說明中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)驗過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項與第24項的差為()A．22B．24C．25D．267．[2024·河北石家莊模擬]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，a2＝－1，(Sn＋1－Sn)(1＋Sn－1－Sn)＝1(n≥2，n∈N*)，則S2024＝()A．eq\f(1,2)B．2C．1011D．20248．[2024·安徽淮南模擬]斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，斐波那契數(shù)列{an}可以用如下方法定義：an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列{bn}，則數(shù)列{bn}的前2024項的和為()A．2024B．2024C．2696D．2697二、多項選擇題9．[2024·廣東廣州5月聯(lián)考]已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋an－1＝n2(n≥2，n∈N*)，Sn為其前n項和，則()A．a(chǎn)4－a2＝7B．a(chǎn)10＝55C．S5＝35D．a(chǎn)8＋a4＝2810．[2024·重慶模擬]對于數(shù)列{an}，若a1＝1，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)4＝3B．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列{a2n－1}是等差數(shù)列D．a(chǎn)2n＝2n－111．[2024·江蘇鹽城模擬]已知數(shù)列{an}對隨意的整數(shù)n≥3，都有n2an－2an＋2＝(n2－4)aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))，則下列說法中正確的有()A．若a2＝2，a4＝2，則a6＝2B．若a1＝1，a3＝3，則a2n＋1＝2n＋1(n∈N)C．?dāng)?shù)列{an}可以是等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列{an}可以是等比數(shù)列12．[2024·江蘇宿遷模擬]設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1>0，a2＝eq\f(2,21)，3an＋1＝2SnSn＋1，則()A．a(chǎn)1＝eq\f(1,3)B．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是公差為eq\f(2,3)的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前5項和最大D．a(chǎn)n＝eq\f(6,（2n－11）（2n－13）)[答題區(qū)]題號123456789101112答案三、填空題13．[2024·廣東佛山模擬]數(shù)列{an}滿意an＋1>an，a2n＝2an＋1，寫出一個符合上述條件的數(shù)列{an}的通項公式________．14．[2024·安徽馬鞍山模擬]設(shè)數(shù)列{an}滿意a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，且n2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝(n2－1)an＋1an－1(n∈N*，n≥2)，則a6＝________．15．[2024·河北邯鄲模擬]已知數(shù)列{an}滿意：對隨意n≥2，均有an＋1＝an－an－1＋n.若a1＝a2＝2，則a2024＝________．16．[2024·安徽淮南模擬]記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知eq\f(3Sn,n)＋n＝3an＋1，a1＝－eq\f(1,3)，則數(shù)列{an}的通項公式是________．

命題點11數(shù)列的遞推(小題突破)1．解析：由題意，得a3＝eq\f(5,12)，a4＝eq\f(5,3)，a5＝4，a6＝eq\f(12,5)，a7＝eq\f(3,5)，a8＝eq\f(1,4)，發(fā)覺數(shù)列{an}是以6為周期的數(shù)列，且前6項積為1，則∏2024＝eq\f(3,5)，a2024＝eq\f(12,5)，所以原式的值為eq\f(1,4).故選D.答案：D2．解析：由2Sn＝3an－2，①所以2Sn＋1＝3an＋1－2，②②－①：2an＋1＝3an＋1－3an，所以an＋1＝3an?eq\f(an＋1,an)＝3，當(dāng)n＝1時，2S1＝3a1－2，所以a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項為a1＝2，公比q＝3的等比數(shù)列，所以an＝2·3n－1(n∈N*)，所以a6＝2×36－1＝2×35＝486.故選C.答案：C3．解析：∵eq\f(an＋1＋an,an＋1－an)＝2n，∴an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2n＋1,2n－1)，∴a2024＝eq\f(a2024,a2024)×eq\f(a2024,a2024)×eq\f(a2024,a2024)×…×eq\f(a3,a2)×eq\f(a2,a1)×a1＝eq\f(4045,4043)×eq\f(4043,4041)×eq\f(4041,4039)×…×eq\f(5,3)×eq\f(3,1)×1＝4045.故選C.答案：C4．解析：因為an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an，所以an＋6＝－an＋3＝an(n∈N*)，所以數(shù)列{an}的周期為6，因為2024＝6×337＋1，2024＝6×337＋2，所以a2024＝a1＝1，a2024＝a2＝3，所以a2024＋a2024＝4.故選C.答案：C5．解析：an＋1＝3－eq\f(2,an)，an＋1－2＝1－eq\f(2,an)＝eq\f(an－2,an)，明顯若an－2＝0，則an＋1－2＝0，則?n∈N*，an＝2，與題意沖突，所以?n∈N*，an－2≠0，兩邊同時取倒數(shù)，得：eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(an,an－2)＝1＋eq\f(2,an－2)，設(shè)bn＝eq\f(1,an－2)，b1＝1，bn＋1＝1＋2bn，bn＋1＋1＝2(bn＋1)，因為b1＋1＝2≠0，故bn＋1≠0，故eq\f(bn＋1＋1,bn＋1)＝2，所以{bn＋1}為等比數(shù)列，所以bn＋1＝2×2n－1＝2n，故bn＝2n－1，所以eq\f(1,an－2)＝2n－1，故an＝eq\f(1,2n－1)＋2.故選D.答案：D6．解析：設(shè)該數(shù)列為{an}，當(dāng)n為奇數(shù)時，a1＝eq\f(12－1,2)＝0，a3＝eq\f(32－1,2)＝4，a5＝eq\f(52－1,2)＝12，a7＝eq\f(72－1,2)＝24，…所以an＝eq\f(n2－1,2)，n為奇數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時，a2＝eq\f(22,2)＝2，a4＝eq\f(24,2)＝8，a6＝eq\f(62,2)＝18，a8＝eq\f(82,2)＝32，…所以an＝eq\f(n2,2)，n為偶數(shù)；所以a25－a24＝eq\f(252－1,2)－eq\f(242,2)＝24.故選B.答案：B7．解析：∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，a2＝－1，(Sn＋1－Sn)(1＋Sn－1－Sn)＝1(n≥2，n∈N*)，∴an＋1·(1－an)＝1，即an＋1＝eq\f(1,1－an)，∴a3＝eq\f(1,1－a2)＝eq\f(1,1－（－1）)＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,1－a3)＝eq\f(1,1－\f(1,2))＝2，a5＝eq\f(1,1－a4)＝eq\f(1,1－2)＝－1，…可得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且前三項為：2，－1，eq\f(1,2)，則S2024＝674×(a1＋a2＋a3)＝674×(2－1＋eq\f(1,2))＝1011.故選C.答案：C8．解析：因為an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，所以數(shù)列{an}為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列{bn}為1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，是以6為周期的周期數(shù)列，所以數(shù)列{bn}的前2024項的和S2024＝eq\f(2024,6)(1＋1＋2＋3＋1＋0)＋b1＋337×6＝2697.故選D.答案：D9．解析：因為a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，a5＋a4＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝62－52＝11，a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，累加得a10－a2＝7＋11＋15＋19＝52，所以a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52＝55，S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋32＋52＝35，因為a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋15＝33，所以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46.故選ABC.答案：ABC10．解析：由an＋an＋1＝2n(n∈N*)，a1＝1，得a2＝2－a1＝1，a3＝4－a2＝3，a4＝6－a3＝3，所以A選項正確；∵2a2≠a1＋a3，∴數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，故B選項錯誤；又an＋an＋1＝2n，an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，兩式相減得an＋2－an＝2，令n＝2n－1，可得a2n＋1－a2n－1＝2，{a2n－1}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故C正確；同理，令n＝2n，則a2n＋2－a2n＝2，所以{a2n}是以a2＝1為首項，公差為2的等差數(shù)列，所以a2n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，故D正確．故選ACD.答案：ACD11．解析：若a2＝2，a4＝2，當(dāng)n＝4時，16a2a6＝12aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))，解得a6＝eq\f(3,2)，故A錯；若a1＝1，a3＝3，當(dāng)n＝3時，9a1a5＝5aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))，解得a5＝5，當(dāng)n＝5時，25a3a7＝21aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))，解得a7＝7，…，依據(jù)遞推關(guān)系可知，當(dāng)n為奇數(shù)，即n＝2n＋1時，a2n＋1＝2n＋1(n∈N)，故B正確；若an＝n，則n2(n－2)(n＋2)＝(n2－4)n2成立，故數(shù)列{an}可以是等差數(shù)列，即C正確；若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，假設(shè)公比為q，則由n2an－2an＋2＝(n2－4)aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))，得(n＋1)2an－1an＋3＝[(n＋1)2－4]aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))，兩式相除得，eq\f(（n＋1）2,n2)×eq\f(an－1,an－2)×eq\f(an＋3,an＋2)＝eq\f(（n＋1）2－4,n2－4)×eq\f(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1)),aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)))，即eq\f(（n＋1）2,n2)q2＝eq\f(（n＋1）2－4,n2－4)q2，解得n＝－eq\f(1,2)，不符合題意，則假設(shè)不成立，故D錯．故選BC.答案：BC12．解析：∵a1>0，a2＝eq\f(2,21)，3an＋1＝2SnSn＋1，∴3a2＝2a1(a1＋a2)，∴a1＝eq\f(1,3)或a1＝－eq\f(3,7)(舍)，故選項A正確；又3an＋1＝2SnSn＋1，∴3(Sn＋1－Sn)＝2SnSn＋1，∴eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－eq\f(2,3)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是公差為－eq\f(2,3)的等差數(shù)列，故選項B錯誤；由eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝3得eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,S1)＋(n－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝3－eq\f(2（n－1）,3)＝eq\f(11－2n,3)，∴eq\f(1,S5)>0，eq\f(1,S6)<0，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前5項和最大，故選項C正確；當(dāng)n＝1時，a1＝eq\f(6,（2×1－11）（2×1－13）)＝eq\f(2,33)，這與a1＝eq\f(1,3)沖突，故選項D錯誤．故選AC.答案：AC13．解析：由a2n＝2an＋1得：a2n＋1＝2(an＋1)，則當(dāng)an＝n－1時，an＋1＝n，∴a2n＋1＝2n，故an＝n－1(n∈N*)滿意遞推關(guān)系，又an＋1－an＝n－(n－1)＝1>0，滿意an＋1>an，∴滿意條件的數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的一個通項公式為：an＝n－1.答案：an＝n－1(答案不唯一)14．