四川省南充市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)考試文試題

Page5四川省南充市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)考試（文）試題一.選擇題；本小題共12題，每小題5分.1．若復(fù)數(shù)z滿意（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限2．某生物愛好小組為探討一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x（單位：℃）的關(guān)系.現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在20℃至36℃之間，下面四個(gè)回來方程類型中最相宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回來方程類型的是（

）A． B． C． D．3．在極坐標(biāo)系中，若，，則（

）A． B． C． D．4．已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的一條漸近線方程為（）A．B．C．D．5．在“一帶一路”學(xué)問測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成果進(jìn)行預(yù)料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一個(gè)人預(yù)料正確，那么三人按成果由高到低的次序?yàn)?/p>

（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．一拋物線狀的拱橋，當(dāng)橋頂離水面1時(shí)，水面寬4，若水面下降3，則水面寬為（

）A．6 B．7 C．8 D．97．曲線在橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．8．函數(shù)在區(qū)間[－，]上的圖像大致為（

）A． B．C． D．9．已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿意：直線的斜率與直線的斜率之積為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若方程有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題；本題共四小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的準(zhǔn)線方程是____________________．14．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為______．15．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_______.16．丹麥數(shù)學(xué)家琴生是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特殊是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了許多珍貴的成果.定義：函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)是上的“嚴(yán)格凸函數(shù)”，稱區(qū)間為函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”.則下列正確命題的序號(hào)為____________.①函數(shù)在上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”；②函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”為；③函數(shù)在為“嚴(yán)格凸函數(shù)”，則的取值范圍為.三、解答題。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）求的一般方程和的極坐標(biāo)方程；（2）求曲線上的點(diǎn)到曲線距離的最小值．18．（12分）隨著手機(jī)的日益普及，中學(xué)生運(yùn)用手機(jī)的人數(shù)也越來越多，運(yùn)用的手機(jī)也越來越智能.某中學(xué)為了解學(xué)生在校內(nèi)運(yùn)用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成果的影響，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了150名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有的學(xué)生在校內(nèi)期間運(yùn)用手機(jī)，且運(yùn)用手機(jī)的學(xué)生中學(xué)習(xí)成果優(yōu)秀的占，另不運(yùn)用手機(jī)的學(xué)生中學(xué)習(xí)成果優(yōu)秀的占.（1）請(qǐng)依據(jù)以上信息完成列聯(lián)表，并分析是否有99.9%的把握認(rèn)為“在校期間運(yùn)用手機(jī)和學(xué)習(xí)成果有關(guān)”？學(xué)習(xí)成果優(yōu)秀學(xué)習(xí)成果不優(yōu)秀合計(jì)在校期間運(yùn)用手機(jī)在校期間不運(yùn)用手機(jī)合計(jì)（2）現(xiàn)從上表中學(xué)習(xí)成果優(yōu)秀的學(xué)生中按在校期間是否運(yùn)用手機(jī)分層抽樣選出6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中至少有1人運(yùn)用手機(jī)的概率？參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0．1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819．（12分）函數(shù)f(x)＝xlnx﹣a(x﹣1)(a∈R)，已知x＝e是函數(shù)f(x)的一個(gè)微小值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，3]上的最值．(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))20．（12分）如圖，已知拋物線:，其上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于左、右兩點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若，求直線的方程．21．（12分）已知橢圓：（）上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓的方程和短軸長(zhǎng)；(2)已知點(diǎn)，過左焦點(diǎn)且與不垂直坐標(biāo)軸的直線交橢圓于，，設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接，求證：平分.22．（12分）已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.(1)設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，試探討的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若是的極大值點(diǎn)，推斷并證明與大小關(guān)系.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．C【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)即可依據(jù)幾何意義得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選:C2．C【解析】【分析】結(jié)合散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，選擇合適的方程類型作為回來方程類型.【詳解】由散點(diǎn)圖可以看出紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y隨著溫度x的增長(zhǎng)速度越來越快，所以最相宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回來方程類型.故選：C3．C【解析】【分析】化兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式求解.【詳解】由兩點(diǎn)，，得兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，由兩點(diǎn)的距離公式得：.故選：C.4．B【解析】【分析】由題知,雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,進(jìn)而計(jì)算,再求漸近線方程即可得答案.【詳解】解:由題知,雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,所以,所以雙曲線的漸近線為故選:B5．A【解析】【分析】利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)料正確，則乙、丙預(yù)料錯(cuò)誤，則甲比乙成果高，丙比乙成果低，故3人成果由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)料正確，則丙預(yù)料也正確，不符合題意；若丙預(yù)料正確，則甲必預(yù)料錯(cuò)誤，丙比乙的成果高，乙比甲成果高，即丙比甲，乙成果都高，即乙預(yù)料正確，不符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)學(xué)問與時(shí)政結(jié)合，主要考查推理推斷實(shí)力．題目有肯定難度，注意了基礎(chǔ)學(xué)問、邏輯推理實(shí)力的考查．6．C【解析】【分析】依據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出拋物線的方程，代點(diǎn)計(jì)算即可求解.【詳解】依據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)橋頂離水面1時(shí)，水面與拋物線交于、兩點(diǎn)，易知，當(dāng)水面下降3時(shí)，水面與拋物線交于、兩點(diǎn)，設(shè)且.設(shè)拋物線方程為，將代入計(jì)算，易得，故拋物線方程為，代入，得，解得，故水面下降3，則水面寬為8.故選：C.7．D【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以切線的斜率，又，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為，即，故選：D.8．B【解析】【分析】利用的奇偶性和函數(shù)值的特點(diǎn)可選出答案.【詳解】因?yàn)?，所以f（x）為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，解除A項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，解除D項(xiàng)；因?yàn)?，，所以，解除C項(xiàng)，故選：B．9．B【解析】【分析】由題意得，利用橢圓定義及勾股定理求得橢圓參數(shù)關(guān)系，即可求離心率.【詳解】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，所以橢圓的離心率為：.故選：B10．C【解析】【分析】依據(jù)已知條件可得出、所滿意的等式，求出的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】由題意可知，，整理得，則，故，因?yàn)?，所以，所以，即．故選：C．11．C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由已知可推斷出函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，進(jìn)而推斷，，的大?。驹斀狻拷猓毫睿瑒t，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象過原點(diǎn)，又函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，即，所以，是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，又，，所以，所以，；故選：C．12．B【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出對(duì)應(yīng)的切線方程以及斜率，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖：依題意方程有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即與有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楸剡^，且，若時(shí)，方程不行能有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則必有，當(dāng)直線與在時(shí)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，則切線方程為，即，切線方程為，且，則，所以，即當(dāng)時(shí)與在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，要使方程有且僅有三個(gè)的實(shí)數(shù)解，則當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線與切于點(diǎn)，此時(shí)，則，即，所以，故選：B13．【解析】【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后可求出，從而可求出準(zhǔn)線方程【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故答案為：14．【解析】【分析】由極坐標(biāo)系下點(diǎn)與直線的位置關(guān)系及幾何意義即可求解.【詳解】由題，點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：15．【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，即可求得答案.【詳解】由題意得：，令，解得，由于，故，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故答案為：16．①②.【解析】【分析】題中告知了“嚴(yán)格凸函數(shù)”點(diǎn)的定義，那么在推斷①②③時(shí)，嚴(yán)格依據(jù)定義來解題.求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，以及的導(dǎo)函數(shù).對(duì)于①，只要證明在上恒成立；對(duì)于②，，所以，解得；對(duì)于③，在上恒成立，分別參數(shù)，，所以.【詳解】的導(dǎo)函數(shù)，，在上恒成立，所以函數(shù)在上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”，所以①正確；的導(dǎo)函數(shù)，，，所以，解得，所以函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”為，所以②正確；的導(dǎo)函數(shù)，，，所以在上恒成立，即，設(shè)，則在單調(diào)遞增，所以，所以，所以③不正確；故答案為：①②.【點(diǎn)睛】精確理解定義，對(duì)于①②③不同的問法，實(shí)行不同的解題方式，特殊是③，分別參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最值問題.17．（1）；；（2）.【解析】（1）由消去t，可得的一般方程；先把的參數(shù)方程為化為一般方程，再化為極坐標(biāo)方程；（2）利用參數(shù)方程表示上隨意一點(diǎn)坐標(biāo)，用點(diǎn)到直線的距離公式表示距離，用三角函數(shù)求最小值.【詳解】（1）由,所以，代入，整理化簡(jiǎn)得：，因?yàn)橹?，所以，即的一般方程為?由得：，所以的一般方程為：，把代入，整理化簡(jiǎn)得：，所以的極坐標(biāo)方程為：.(2)設(shè)上隨意一點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P到的距離d：其中時(shí)，有，d取得最小值【點(diǎn)睛】(1)參數(shù)方程與一般方程的互化通常用；極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化通常用；(2)利用參數(shù)方程可以用來求最值，簡(jiǎn)化運(yùn)算．18．（1）表格見解析，有；（2）.【解析】【分析】(1)分析題意完成2×2列聯(lián)表,干脆套公式求出,比照參數(shù)下結(jié)論;(2)列舉出基本領(lǐng)件,利用等可能事務(wù)的概率公式求概率.【詳解】解：（1）列聯(lián)表如下：學(xué)習(xí)成果優(yōu)秀學(xué)習(xí)成果不優(yōu)秀合計(jì)在校期間運(yùn)用手機(jī)2080100在校期間不運(yùn)用手機(jī)401050合

計(jì)6090150所以有的把握認(rèn)為“在校期間運(yùn)用手機(jī)和學(xué)習(xí)成果有關(guān)”．（2）從學(xué)習(xí)成果優(yōu)秀的學(xué)生中按在校期間是否運(yùn)用手機(jī)分層抽樣選出6人，其中在校期間運(yùn)用手機(jī)的學(xué)生有人，記為Y1，Y2在校期間不運(yùn)用手機(jī)的學(xué)生有人．記為N1，N2，N3，N4從這6人中選出2人的全部可能狀況：共15種，其中至少有一人在校運(yùn)用手機(jī)的狀況有9種，(Y1N1，Y1N2，Y1N3，Y1N4，Y2N1，Y2N2，Y2N3，Y2N4，Y1Y2)故至少有一人在校運(yùn)用手機(jī)的概率19．(1)2；(2)＝0，＝2﹣e.【解析】【分析】(1)由＝0即可求得a的值，驗(yàn)算即可；(2)利用的正負(fù)推斷f(x)在[1，3]上的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性即可求其最值.(1)∵f(x)＝xlnx﹣a(x﹣1)，∴＝lnx＋1﹣a，∵x＝e是函數(shù)f(x)的一個(gè)微小值點(diǎn)，∴＝2﹣a＝0，解得：a＝2；當(dāng)a＝2時(shí)，＝lnx－1，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞e時(shí)，＞0，f(x)單調(diào)遞增，∴x＝e時(shí)f(x)的微小值點(diǎn).∴a＝2.(2)由(1)得：f(x)＝xlnx﹣2x＋2，且f(x)在[1，e)遞減，在(e，3]遞增，而f(1)＝0，f(3)＝3ln3﹣4＜0，故＝f(1)＝0，＝f(e)＝2﹣e．20．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題意，將點(diǎn)代入拋物線方程得到，另到其焦點(diǎn)的距離為5，可得，聯(lián)立可得或，由題意所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立設(shè)，則，．依據(jù)題意，即可解出，則直線方程可求試題解析：（Ⅰ）由題意，，解得或，由題意，所以，．所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）解方程組，消去，得，明顯，設(shè)，則①②又，所以即③由①②③消去，得，由題意，故直線的方程為．考點(diǎn)：拋物線方程及性質(zhì)；直線與拋物線相交的位置關(guān)系21．(1)，短軸長(zhǎng)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）由橢圓定義、離心率可得，進(jìn)而求得，即可得橢圓方程和短軸長(zhǎng)；（2）將問題化為證明，令為聯(lián)立橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理、斜率兩點(diǎn)式并化簡(jiǎn)，即可證結(jié)論.(1)由題意，則，故，則，所以，短軸長(zhǎng).(2)要證平分，即，如下圖示，所以，只需證即可，，由題意，設(shè)為，聯(lián)立橢圓并整理得：，所以，且，即，而，又