2025屆新高考數學專題復習專題09圓錐曲線中的直線線段的問題學生版

專題09圓錐曲線中的直線（線段）的問題解析幾何題的解題思路一般很簡單覓得，實際操作時，往往不是因犯難于實施，就是因為實施起來運算繁瑣而被卡住，最終放棄此解法，因此方法的選擇特殊重要．從思想方法層面講，解決解析幾何問題主要有兩種方法：．一般的，設線法是比較順應題意的一種解法，它的參變量較少，目標集中，思路明確；而設點法要用好點在曲線上的條件，技巧性較強，但運用的好，解題過程往往會顯得很簡捷．對于這道題，這兩種解法差別不是很大，但對于有些題目，方法選擇的不同，差別會很大，因此要留意從今題的解法中體會設點法和設線法的不同．一、題型選講題型一、圓錐曲線中的線段的關系例1、【2024年高考北京】設拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線A．經過點 B．經過點C．平行于直線 D．垂直于直線例2、(2024南京學情調研）在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且直線l：x＝2被橢圓E截得的弦長為2.與坐標軸不垂直的直線交橢圓E于P，Q兩點，且PQ的中點R在直線l上．點M(1，0)．(1)求橢圓E的方程；(2)求證：MR⊥PQ.例3、(2016南京三模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，點(2,1)在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)設直線l與圓O：x2＋y2＝2相切，與橢圓C相交于P，Q兩點.①若直線l過橢圓C的右焦點F，求△OPQ的面積；②求證：OP⊥OQ.題型二、圓錐曲線中直線的斜率問題例4、（2024屆浙江省臺州市溫嶺中學3月模擬）已知，是橢圓上的兩點(點在第一象限)，若，且直線，的斜率互為相反數，且，則直線的斜率為____________.例5、（2024屆山東省煙臺市高三上期末）已知橢圓的離心率為，是其右焦點，直線與橢圓交于，兩點，.（1）求橢圓的標準方程；（2）設，若為銳角，求實數的取值范圍.例6、(2024蘇錫常鎮(zhèn)調研）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，點A是橢圓的下頂點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點A且相互垂直的兩直線l1，l2與直線y＝x分別相交于E，F兩點，已知OE＝OF，求直線l1的斜率．例7、(2024蘇州期初調查）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為eq\f(1,2)，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))為橢圓上一點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．題型三、圓錐曲線中直線的方程例8、【2024年高考全國Ⅰ卷理數】已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．例9、（2024屆浙江省十校聯(lián)盟高三下學期開學）如圖，已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線于，兩點，點在準線上的投影為，若是拋物線上一點，且.（1）證明：直線經過的中點；（2）求面積的最小值及此時直線的方程.例10、(2024南通、泰州一調）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，兩條準線之間的距離為4eq\r(2).(1)求橢圓的標準方程；(2)已知橢圓的左頂點為A，點M在圓x2＋y2＝eq\f(8,9)上，直線AM與橢圓相交于另一點B，且△AOB的面積是△AOM的面積的2倍，求直線AB的方程．二、達標訓練1、(2024宿遷期末）如圖所示，橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，右準線方程為x＝4，過點P(0，4)作關于y軸對稱的兩條直線l1，l2，且l1與橢圓交于不同兩點A，B，l2與橢圓交于不同兩點D，C.(1)求橢圓M的方程；(2)證明：直線AC與直線BD交于點Q(0，1)；(3)求線段AC長的取值范圍．2、(2024揚州期末）已知橢圓E1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若橢圓E2：eq\f(x2,ma2)＋eq\f(y2,mb2)＝1(a>b>0，m>1)，則稱橢圓E2與橢圓E1“相像”．(1)求經過點(eq\r(2)，1)，且與橢圓E1：eq\f(x2,2)＋y2＝1“相像”的橢圓E2的方程．(2)若橢圓E1與橢圓E2“相像”，且m＝4，橢圓E1的離心率為eq\f(\r(2),2)，P在橢圓E2上，過P的直線l交橢圓E1于A，B兩點，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→)).①若B的坐標為(0，2)，且λ＝2，求直線l的方程；②若直線OP，OA的斜率之積為－eq\f(1,2)，求實數λ的值．3、(2017南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(2,3)，C為橢圓上位于第一象限內的一點．(1)若點C的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)))，求a，b的值；(2)設A為橢圓的左頂點，B為橢圓上一點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，求直線AB的斜率．4、(2017無錫期末）已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，動直線l與橢圓交于B，C兩點(點B在第一象限)．(1)若點B的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，求△OBC的面積的最大值；(2)設B(x1，y1)，C(x2，y2)，且3y1＋y2＝0，求當△OBC的面積最大時直線l的方程．5、(2024南京、鹽城、連云港二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，上頂點A到右焦點的距離為eq\r(2).過