新疆烏魯木齊市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期4月月考試題含解析

Page15新疆烏魯木齊市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期4月月考試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.化簡（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算法則干脆求解．【詳解】解：．故選：．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先對復(fù)數(shù)化簡，從而可得其共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得答案【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以對?yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D3.在中，，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)由余弦定理，可得，代入數(shù)據(jù)即得.【詳解】由余弦定理，得，.故選：D.4.在中，??所對的邊分別為??，若，，，則（

）A. B. C. D.或，【答案】B【解析】【分析】由正弦定理即可求得，再由大邊對大角，舍去不符合要求的值，即可得到結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，由正弦定理，可得:，解得，故可得或，由，可得，故.故選:B.5.下列說法正確的有（）①兩個(gè)面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；②以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；③各側(cè)面都是正方形的四棱柱肯定是正方體；④圓錐的軸截面是等腰三角形.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】A【解析】【分析】對于①：利用棱臺的定義進(jìn)行推斷；對于②：以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐.即可推斷；對于③：舉反例：底面的菱形，各側(cè)面都是正方形的四棱柱不是正方體.即可推斷；對于④：利用圓錐的性質(zhì)干脆推斷.【詳解】對于①：棱臺是棱錐過側(cè)棱上一點(diǎn)作底面的平行平面分割而得到的.而兩個(gè)面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體中，把梯形的腰延長后，有可能不交于一點(diǎn)，就不是棱臺.故①錯(cuò)誤；對于②：以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐.故②錯(cuò)誤；對于③：各側(cè)面都是正方形的四棱柱中，假如底面的菱形，肯定不是正方體.故③錯(cuò)誤；對于④：圓錐的軸截面是等腰三角形.是正確的.故④正確.故選：A6.已知一個(gè)水平放置的平面四邊形的直觀圖是邊長為1的正方形，則原圖形的周長為（）A.6 B.8 C. D.【答案】B【解析】【分析】由斜二測畫法的規(guī)則，把直觀圖還原為原平面圖形，再求原圖形的周長．【詳解】解：由斜二測畫法的規(guī)則知，與軸平行的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對角線在軸上，可求得其長度為，所以在平面圖中其在軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼?倍，是，其原來的圖形如圖所示；所以原圖形的周長是：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形的直觀圖應(yīng)用問題，能夠快速的在直觀圖和原圖之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．7.下列命題正確的是（）A.若，都是單位向量，則B.若，則四點(diǎn)，，C，D構(gòu)成平行四邊形C.若兩向量，相等，則它們是始點(diǎn)、終點(diǎn)都相同的向量D.與是兩平行向量【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量相關(guān)概念逐一推斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得正確選項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，單位向量長度相等，但方向不肯定相同，故A項(xiàng)不對；對于B項(xiàng)，，，C，D四點(diǎn)可能共線，故B項(xiàng)不對；對于C項(xiàng)，只要方向相同且長度相等，則這兩個(gè)向量就相等，與始點(diǎn)、終點(diǎn)無關(guān)，故C項(xiàng)不對；對于D項(xiàng)，因與是方向相反，大小相等，所以與是平行向量，故D項(xiàng)對.故選：D.8.若為所在平面內(nèi)隨意一點(diǎn)，且滿意，則肯定為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形【答案】C【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算可知，所以，作出圖形，結(jié)合向量加法的平行四邊形法則，可得，進(jìn)而可得，即可得出答案.【詳解】由題意，，所以，取的中點(diǎn)，連結(jié)，并延長到，使得，連結(jié)，，則四邊形為平行四邊形，所以.所以，即，故，是等腰三角形.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角形形態(tài)的推斷，考查平面對量的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.如圖所示，某圓錐的高為，底面半徑為1，O為底面圓心，OA，OB為底面半徑，且∠AOB=M是母線PA的中點(diǎn)，則在此圓錐側(cè)面上，從M到B的路徑中，最短路徑的長度為（）A. B.-1 C. D.+1【答案】A【解析】【分析】畫出圓錐側(cè)面綻開圖，求得，再求出，即可利用余弦定理求解.【詳解】如圖為圓錐的側(cè)面綻開圖，,，則，在中，，則，為M到B的路徑中，最短路徑的長.故選：A.10.若向量滿意，，且當(dāng)時(shí)，的最小值為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面對量數(shù)量積的運(yùn)算律可得到，依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，利用的最小值構(gòu)造方程可求得，依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求得后可得結(jié)果.【詳解】，由二次函數(shù)性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，取得最小值，，解得：，，.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用平面對量數(shù)量積的運(yùn)算律求解向量的模長的問題，解題關(guān)鍵是能夠通過平方運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定取得最小值時(shí)的值.11.聞名的費(fèi)馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德費(fèi)馬（1601-1665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”費(fèi)馬問題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，則使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．依據(jù)以上材料，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意確定出費(fèi)馬點(diǎn)位置，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則表示點(diǎn)到三頂點(diǎn)、、的距離之和.依題意結(jié)合對稱性可知的費(fèi)馬點(diǎn)位于虛軸的負(fù)半軸上，且，則.此時(shí).故選：B.12.在中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，若，，則面積的最大值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．結(jié)合，，都用表示，利用余弦定理及其基本不等式的性質(zhì)可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面積的最大值．【詳解】由正弦定理得：由余弦定理得：，即當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)取等號，,則，所以面積的最大值1.故選.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理和基本不等式，屬于難題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是_________．【答案】【解析】【分析】利用除法運(yùn)算公式計(jì)算復(fù)數(shù)，即可計(jì)算其共軛復(fù)數(shù).【詳解】，故復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是．故答案為：14.已知向量與的夾角為，且，則_________．【答案】2【解析】【分析】依據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求解即可【詳解】因?yàn)?，所以．故答案?15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，，則的面積S為_______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理和已知條件可知，從而可知邊長關(guān)系，然后利用余弦定理求出，再利用三角形的面積公式求出三角形的面積.【詳解】解：由題意得：由，可得，即所以，由余弦定理，得所以，，又由可得，則．故答案為：16.在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，，且的面積為，則內(nèi)切圓的面積為_________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理邊角互化可得出，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，利用三角形的面積公式可求得的值，利用等面積法可求得內(nèi)切圓的半徑，再利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由，可得，結(jié)合化簡可得，因?yàn)?，則，所以，則，因?yàn)?，則，則，所以．又，所以，因，所以，故內(nèi)切圓的半徑滿意，可得，所以，內(nèi)切圓的面積．故答案為：.三．解答題（本大題共6小題，共70分，其中第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）17.已知復(fù)數(shù)（1）若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于其次象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及的最小值【答案】（1）1；（2），.【解析】【分析】（1）利用純虛數(shù)的定義，實(shí)部為零，虛部不等于零即可得出．（2）利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式、幾何意義即可得出．【詳解】解：（1）為純虛數(shù)，且（2）在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為由題意：，．即實(shí)數(shù)的取值范圍是．而，當(dāng)時(shí)，．18.已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，，，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求出向量，的坐標(biāo)，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示求值；(2)先求出向量，的坐標(biāo)，由，，三點(diǎn)共線得向量與共線，再由向量共線的坐標(biāo)表示求值.【詳解】(1)由題知，，，若，則，.(2)由題知，，.若，，三點(diǎn)共線，則向量與共線，有，解得.19.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)數(shù)量積的定義得到，即可求出、，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）由余弦定理求出，即可求出，再由兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【小問1詳解】解：∵，，∴，由，解得或（舍去），∴，∴.【小問2詳解】解：由余弦定理可得，∴，∴.20.中，角A，B，C的對邊分別為a，b，.（1）求B的大??；（2）若，且，是邊的中線，求長度.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先結(jié)合正弦定理邊化角，然后利用余弦定理解三角形即可；（2）法一：結(jié)合中線公式求出，然后借助平面對量的運(yùn)算求出，進(jìn)而求出的模長，即長度；法二：在中利用余弦定理求出，結(jié)合得到，然后在和結(jié)合余弦定理可得，解方程即可求出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，即即，所以，故法一：中線公式：由，故又，則故，故法二：，則，故，又即21.如圖，在中，已知點(diǎn)D在上滿意，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，過M作直線交，于P，Q兩點(diǎn)，記，，且，．（1）試用的線性運(yùn)算結(jié)果分別表示有向線段與；（2）求的最小值，并寫出取等條件．【答案】（1），（2）最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等【解析】【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）利用向量共線可得，再利用基本不等式“1”的代換即可求解.【小問1詳解】由得，則又，所以【小問2詳解】由已知，得，∴由P，M，Q共線，則故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，∴最小值為22.