數(shù)學(xué)課堂探究：演繹推理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一假言推理假言推理的規(guī)則為“如果pq,p為真，則q為真”，要想驗證q為真，若p是q的充分條件，則只要驗證p為真即可．此種推理方法可以將所證問題進(jìn)行合理遷移．有的問題需要借助p與q的關(guān)系，進(jìn)行逆推進(jìn)而求參．【典型例題1】已知函數(shù)f(x）＝meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x））)的圖象與函數(shù)h（x）＝eq\f(1，4)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（1，x)）)＋2的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱．(1)求m的值；（2)若g(x)＝f(x）＋eq\f(a，4x)在區(qū)間(0，2]上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍．思路分析：應(yīng)用假言推理，根據(jù)對稱的性質(zhì)，f(x)圖象上的點關(guān)于點A（0,1)的對稱點在h(x）的圖象上，代入h（x）即可求得．解：（1）設(shè)P(x，y）為函數(shù)h（x)圖象上的任一點，點P關(guān)于點A的對稱點為Q（x′，y′)，則有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝－x，,y′＝2－y。）)∵點Q（x′,y′)在函數(shù)f（x）＝meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1，x）））的圖象上，∴y′＝meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x′＋\f（1，x′））).將x′＝－x，y′＝2－y代入上式，得2－y＝meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－x－\f(1，x））)。整理，得y＝meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，x）））＋2。又點P(x，y）滿足h(x）＝eq\f(1,4)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x）））＋2，即y＝eq\f（1,4)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,x))）＋2，∴m＝eq\f（1，4).（2）由（1）知，g（x)＝eq\f（1,4）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1,x)）)＋eq\f（a，4x)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1＋a，x)）).設(shè)x1,x2是區(qū)間（0，2]上的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，則g(x1)－g（x2)＝eq\f(1，4）（x1－x2)·eq\f(x1x2－(1＋a），x1x2)＞0對一切x1，x2∈（0，2］恒成立．∴x1x2－（1＋a)＜0對一切x1，x2∈(0，2］恒成立．∵x1x2的最大值為4，∴1＋a＞4，∴a的取值范圍是（3，＋∞)．探究二三段論推理三段論推理用集合的觀點來講，就是:若集合M中的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P?！镜湫屠}2】已知△ABC中,∠A＝30°，∠B＝60°,求證：a＜b.證明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B.∴a＜b.其中,畫線部分是演繹推理的（)A．大前提B．小前提C．結(jié)論D．三段論答案：B點評演繹推理是從一般到特殊的推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果大前提是顯然的，則可以省略．探究三傳遞性關(guān)系推理傳遞性關(guān)系推理的推理規(guī)則是“若aRb，bRc，則aRc”．要注意與三段論推理的形式及實質(zhì)區(qū)別開來，三段論推理中的每一步都是一種邏輯上的銜接，且有大前提、小前提、結(jié)論三個部分，而傳遞性關(guān)系推理要用a，b，c之間的關(guān)系來銜接．【典型例題3】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1,求證：eq\r(a＋\f（1，2）)＋eq\r（b＋\f(1，2)）≤2。思路分析：本題屬于條件不等式的證明，直接用條件a＋b＝1來推理,方向不夠明確,但只要注意所求證式子的特點,我們不難想到利用傳遞性關(guān)系推理進(jìn)行證明．證明：∵a＞0,b＞0，且1＝a＋b≥2eq\r（ab），∴ab≤eq\f（1,4）?！鄀q\f（1,2)(a＋b)＋ab＋eq\f(1，4）≤1.∴eq\r(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1,2））)\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（b＋\f（1，2））)）≤1。∴2＋2eq\r（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1,2））)\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(b＋\f(1，2））)）≤4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a＋\f(1，2)））＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（b＋\f(1,2））)＋2eq\r（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1，2）)）\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（b＋\f(1,2）））)≤4.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a＋\f(1，2)）＋\r（b＋\f(1,2)）)）2≤4。∴eq\r（a＋\f(1，2)）＋eq\r（b＋\f(1，2))≤2.探究四完全歸納推理完全歸納推理要求把所有研究對象都要進(jìn)行歸納，從而得到一個結(jié)論,完全歸納推理可以用來證明命題；而歸納推理實際上是不完全歸納推理,它是合情推理的一種形式，能產(chǎn)生一些結(jié)論，但需嚴(yán)格證明后方知真假，不完全歸納推理不能用來證明命題．【典型例題4】(教材改編題)設(shè)f（n)＝n2＋n＋41，n∈{1，2,3,…，10}，試證明f（1）,f(2)，f(3），…，f（10）都是質(zhì)數(shù)．思路分析:令n取1,2,3，…，10得出f（1),f(2)，…，f（10）再判斷即可．解：f（1）＝12＋1＋41＝43，f（2)＝22＋2＋41＝47，f（3）＝32＋3＋41＝53，f(4）＝42＋4＋41＝61，f（5)＝52＋5＋41＝71,f(6）＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97,f（8）＝82＋8＋41＝113,f(9）＝92＋9＋41＝131,f（10）＝102＋10＋41＝151.由上可知,n∈{1，2,3，…，10}時,f(n)＝n2＋n＋41均為質(zhì)數(shù)．點評若將本例題中的“n∈｛1,2，3,…，10｝”改為“n∈N＋”結(jié)論就不成立了，可舉反例f（40）來說明．探究五易錯辨析易錯點:在應(yīng)用三段論推理來證明問題時，首先應(yīng)明確什么是問題中的大前提和小前提．在應(yīng)用三段論進(jìn)行推理的過程中，大前提、小前提或推理形式任何一個出現(xiàn)錯誤,都可能導(dǎo)致結(jié)論錯誤．【典型例題5】如圖，在△ABC中，AC＞BC,CD是AB邊上的高．求證:∠ACD＞∠BCD.錯解：證明：在△ABC中,因為CD⊥AB，AC＞BC，所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD。錯因分析:上面的證明過程中，小前提由AD＞BD