三角函數(shù)專題復(fù)習(xí)09三角形中的最值、范圍問題 訓(xùn)練精講【老師版】

高中數(shù)學(xué)精編資源2/209三角形中的最值、范圍問題【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】三角形中的最值范圍問題處理方法1.利用基本不等式求最值、范圍-化角為邊余弦定理公式里有“平方和”和“積”這樣的整體,一般可先由余弦定理得到等式,再由基本不等式求最值或范圍,但是要注意“一正二定三相等”,尤其是取得最值的條件.2.轉(zhuǎn)為三角函數(shù)求最值、范圍-化邊為角如果所求整體結(jié)構(gòu)不對(duì)稱,或者角度有更細(xì)致的要求,用余弦定理和基本不等式難以解決,這時(shí)候可以轉(zhuǎn)化為角的函數(shù),消元后使得式子里只有一個(gè)角,變?yōu)槿呛瘮?shù)最值、范圍問題進(jìn)行解決.要注意三角形隱含角的范圍、三角形兩邊之和大于第三邊【題型精講】【題型一與角有關(guān)的最值、范圍問題】例1(2022·全國·高三課時(shí)練習(xí))在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知2bsinA－eq\r(3)a=0.(1)求角B的大小;(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范圍.【解析】(1)由正弦定理,得2sinBsinA=eq\r(3)sinA,又在△ABC中,sinA>0,故sinB=eq\f(\r(3),2),由題意得B=eq\f(π,3).(2)由A＋B＋C=π,得C=eq\f(2π,3)－A.由△ABC是銳角三角形,得A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))).由cosC=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))=－eq\f(1,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA,得cosA＋cosB＋cosC=eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA＋eq\f(1,2)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).故cosA＋cosB＋cosC的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).例2(2022·全國·高三專題練習(xí))已知中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,且.(1)求角的大小;(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2), 【解析】(1)因?yàn)?又,所以,故,由為三角形的內(nèi)角得;(2)由(1)知,,,因?yàn)?所以,所以,所以,,故的取值范圍,．【題型精練】1.(2022·全國高三單元測(cè)試)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.△ABC的面積為S,若.(1)求角C;(2)求的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】(1)由題設(shè),,而,所以,又,所以,又,且,所以且,則.(2)由(1),,由,則.所以,故.2.(2022·合肥百花中學(xué)高三期末)已知中,角的對(duì)邊分別為.若,則的最大值為(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵,∴,∴由正弦定理得：,即,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)),的最小值為.∵,∴,∴的最大值為.故選：C.3.(2022·全國高三課時(shí)練習(xí))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足(2c－a)cosB－bcosA=0.(1)若b=7,a＋c=13,求△ABC的面積;(2)求sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,6)))的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)?2c－a)cosB－bcosA=0,由正弦定理得(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA=0,則2sinCcosB－sin(A＋B)=0,求得cosB=eq\f(1,2),B=eq\f(π,3).由余弦定理得b2=a2＋c2－2accosB,即49=(a＋c)2－2ac－2accosB,求得ac=40,所以△ABC的面積S=eq\f(1,2)acsinB=10eq\r(3).(2)sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,6)))=sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A－\f(π,6)))=sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))=－cos2A＋cosA＋1,A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))),令u=cosA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)),y=－u2＋u＋1∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(5,4))).4.(2022·山東濰坊高三期末)在中,,,分別是角,,的對(duì)邊,并且.(Ⅰ)已知_______,計(jì)算的面積;請(qǐng)從①,②,③這三個(gè)條件中任選兩個(gè),將問題(Ⅰ)補(bǔ)充完整,并作答.(Ⅱ)求的最大值.【解析】(Ⅰ)∵b2+∴由余弦定理知,cosA=b2+c2-a選擇①②：∵b2∴4+c2-7=2c,即c2-2c-3=0,解得c=3∴?ABC的面積S=12選擇①③：由正弦定理知,bsin∵sinC=2sinB,∴∴b2+c2-7=bc(*),由*∴?ABC的面積S=1選擇②③：由正弦定理知,bsin∵sinC=2sinB,∴?ABC的面積S=1(Ⅱ)由(Ⅰ)知,A=π3,∴∴cosB+∵0<B<2π3,∴∴sinB+π6∈(1【題型二與邊有關(guān)的最值、范圍問題】例3(2022·廣西河池·高三期末)在中,內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,若,,則邊上的中線長的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】是邊上的中線,在中,①,在中,②.又,,由①＋②得.由余弦定理得.,,,即,.故選C.例4(2022·山東青島·高三期末)在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,且滿足.(1)求角的大小;(2)若,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)在中,,∵,∴,即,由正弦定理得：,∴,∴,又,∴,∴.(2)由正弦定理得：,∴,,∴,∵,∴,即,∴,,∴,即.【題型精練】1.(2022·河南·高三期中)在中,,,D為BC中點(diǎn),則AD最長為_________.【答案】3【解析】如圖所示,設(shè),,則,在中,由余弦定理,可得,即,①在中,由余弦定理,可得,即,②由①+②,可得,在中,由余弦定理,可得,即,解得,所以,即的最大值為.故答案為：.2.(2022·甘肅蘭州·高三期中)已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊,.(1)求;(2)若,求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：,,即,即,得,即,,,又,所以.(2)解：因?yàn)?,由正弦定理其中,由于,所以當(dāng)時(shí),3.(2022·四川資陽市高三月考)在銳角中,角,,所對(duì)邊分別為,,,若,,則的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)?,所以由余弦定理得,所以,所以,由正弦定理得,所以,所以,因?yàn)闉殇J角三角形,所以,即,解得,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以的取值范圍是【題型三與周長有關(guān)的最值、范圍問題】例5(2022·河南·高三階段練習(xí))在中,角所對(duì)的邊分別為,已知,且的面積,則周長的最大值是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】,即,又,解得,,又,由余弦定理可得：,,即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則周長的最大值是,故選：B例6(2022·山東濟(jì)南市高三月考)已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(1)求;(2)當(dāng)時(shí),求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)∵,∴,∴,∵,∴,∴.(2)∵,∴.∵為銳角三角形,∴,∴由正弦定理可得：,周長,∵,∴,∴周長的取值范圍是.【題型精練】1.(2022·陜西高三期中)在?ABC中,D在線段AB上,且AD=5,BD=3(1)若cos∠CDB=-55,求?ABC的面積;(2)求【答案】(1)8(2)8+4【解析】(1)設(shè)CD=m,則CB=2m,在?BCD中,由余弦定理知,cos∠CDB=解得m=5,∴CD=由余弦定理知,cos∠CBD=∴sin∠CBD=故?ABC的面積為S=1(2)由(1)知,CB=m,CB=2m,cos∠CDB=∴cos∠CDA=-cos∠CDB=3-m22mAC2=25+m∴AC=210-設(shè)?ABC的周長為z,則z=AB+BC+AC=8+2m+當(dāng)且僅當(dāng)m=10-m2,即m=5故?ABC的周長的最大值為8+452.(2022·綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為且,,則周長的取值范圍為(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椤鳛殇J角三角形,所以,,,即,,,所以,;又因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以;由,即,所以,令,則,又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)值域?yàn)?故選C3.(2022·濟(jì)南省實(shí)驗(yàn)月考)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,滿足.(1)求角的大小;(2)若為銳角三角形,,求周長的取值范圍.【答案】見解析【解析】(1)因?yàn)?所以,即,所以,整理可得,所以可得,因?yàn)?可得,所以,可得.(2)由正弦定理,且,所以,;所以.因?yàn)闉殇J角三角形,所以得,解得.所以;即周長的取值范圍是.【題型四與面積有關(guān)的最值、范圍問題】例7(2022·貴州金沙·高三階段練習(xí))在中,,D是BC上一點(diǎn),且,,則面積的最大值是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè),,,由余弦定理可得,,消去得,又,聯(lián)立消去x得所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,因此.故選：B.例8(2022·湖南益陽·高三期末)為邊上一點(diǎn),滿足,,記,.(1)當(dāng)時(shí),且,求的值;(2)若,求面積的最大值.【答案】(1)(2)【解析】(1)設(shè)長為,當(dāng)時(shí),,,則,因?yàn)?所以,即所以,得,所以,所以.(2)在中,,則,由正弦定理得,又,所以,,則的面積,又,所以因?yàn)?所以,所以當(dāng),即時(shí),有最大值.故面積的最大值為：.【題型精練】1.(2022·山東省濟(jì)寧市高三月考)已知,,分別是內(nèi)角,,的對(duì)邊,,當(dāng)時(shí),面積的最大值為______.【答案】【解析】解:根據(jù)正弦定理邊角互化結(jié)合得,由于,,所以,即,因?yàn)?所以因?yàn)?所以由基本不等式得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,即面積的最大值為.故答案為：2.(2022·湖南益陽月考)(多選)設(shè)的內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,,且,若點(diǎn)是外一點(diǎn),,.下列說法中,正確的命題是(

)A.的內(nèi)角 B.的內(nèi)角C.的面積為 D.四邊形面積的最大值為【答案】ABD【解