浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題B卷含解析

Page20浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題B卷本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘．第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.如圖，已知平行六面體，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間向量的加法法則即可計(jì)算．【詳解】．故選：C．2.用分層抽樣的方法，從某中學(xué)3000人（其中高一1200人，高二1000人，高三800人）中抽取若干人．已知從高一抽取了12人，則從高二和高三共抽取的人數(shù)為（）A.18 B.24 C.27 D.32【答案】A【解析】【分析】由題意求出樣本容量，再利用分層抽樣的定義求解即可【詳解】解：設(shè)從三個(gè)年級(jí)中共抽取人，因?yàn)楦咭怀槿×?2人，所以，，解得，則從高二和高三年級(jí)共抽取的人數(shù)為，故選：A3.已知為空間隨意一點(diǎn)，滿意隨意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由題知，存在，使得，進(jìn)而得，再結(jié)合已知即可得答案.【詳解】解：因?yàn)闈M意隨意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，所以，依據(jù)共面對(duì)量基本定理，存在，使得，因?yàn)?，，，所以，即，因?yàn)?，所以，，解得故選：B4.已知向量，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量，非零向量在直線上，則“，且”是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】由線面垂直的定義和判定定理即可得到答案.【詳解】解：由題意，，.因?yàn)橄蛄?，是平面?nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量，所以，依據(jù)平面對(duì)量基本定理，對(duì)于平面內(nèi)的隨意直線，其方向向量為，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得成立，所以，，即，所以直線與平面內(nèi)的隨意直線都垂直，故；若，依據(jù)線面垂直的定義，可以得到，且.所以“，且”是的充分必要條件.故選：C.5.如圖，正方體中，異面直線，的夾角為（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】B【解析】【分析】首先通過做平行線把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面直線所成的角，進(jìn)一步通過解三角形學(xué)問得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，在△中，所以：△為等邊三角形，則在正方體中，，四邊形為平行四邊形所以即即為異面直線與所成的角為，則：異面直線與所成的角為故選：B．6.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的700個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將700個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，001，002，……，699，700，從中抽取70個(gè)樣本，下圖供應(yīng)隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列起先向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第8個(gè)樣本編號(hào)是（）A.623 B.368 C.253 D.072【答案】B【解析】【分析】從表中第5行第6列起先向右讀取數(shù)據(jù)，每3個(gè)數(shù)為一個(gè)編號(hào)，不在編號(hào)范圍內(nèi)或重復(fù)的解除掉，第8個(gè)數(shù)據(jù)即為答案.【詳解】從表中第5行第6列起先向右讀取數(shù)據(jù)，依次得到（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），由此可得出第8個(gè)樣本編號(hào)是故選：B7.一個(gè)質(zhì)地勻稱的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事務(wù)A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事務(wù)B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.事務(wù)A與事務(wù)B互斥C.事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立 D.【答案】C【解析】【分析】利用互斥事務(wù)、相互獨(dú)立事務(wù)的意義及古典概率公式逐項(xiàng)計(jì)算推斷作答.【詳解】依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個(gè)基本領(lǐng)件，則，A不正確；事務(wù)B含有的基本領(lǐng)件有8個(gè)：，其中事務(wù)發(fā)生時(shí)，事務(wù)A也發(fā)生，即事務(wù)A，B可以同時(shí)發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的全部基本領(lǐng)件有16個(gè)，，即事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立，C正確；，D不正確.故選：C8.如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．【詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以平面的一個(gè)法向量．點(diǎn)到平面的距離為．故選：D．二、選擇題：本題共小4題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間向量，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，依據(jù)垂直得到數(shù)量積為0，列出方程，求出，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，依據(jù)向量平行列出方程組，求出；C選項(xiàng)，依據(jù)向量運(yùn)算法則計(jì)算出，利用模長(zhǎng)公式列出方程，求出；D選項(xiàng)，先利用向量夾角余弦公式計(jì)算出兩向量夾角的余弦，進(jìn)而計(jì)算出正弦值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，故A錯(cuò)誤；令，則，，故B正確；，所以，解得：，故C正確；當(dāng)，，因?yàn)?，，故D正確．故選：BCD10.某小組有2名男生和3名女生，從中任選2名同學(xué)去參與唱歌競(jìng)賽，在下列各組事務(wù)中，是互斥事務(wù)的是（）A.恰有1名女生和恰有2名女生 B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生 D.至少有1名女生和全是男生【答案】AD【解析】【分析】逐個(gè)選項(xiàng)分析事務(wù)之間是否有同時(shí)發(fā)生的可能性再推斷即可.【詳解】A中兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù),恰有一名女生即選出的兩名學(xué)生中有一名男生一名女生,它與恰有2名女生不行能同時(shí)發(fā)生，A是；B中兩個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù),兩個(gè)事務(wù)均可能有一名男生和一名女生，B不是；C中兩個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù),至少一名女生包含全是女生的狀況，C不是；D中兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù),至少有一名女生與全是男生明顯不行能同時(shí)發(fā)生，D是.故選：AD11.直線l的方向向量為，兩個(gè)平面，的法向量分別為，，則下列命題為真命題的是（）A.若，則直線平面B.若，則直線平面C.若，則直線l與平面所成角的大小為D.若，則平面，所成角的大小為【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)空間中線面角、二面角的范圍及求法，結(jié)合線面的位置關(guān)系，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案【詳解】對(duì)于A：若，則直線平面，或直線平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，依據(jù)平行的傳遞性可得直線平面，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)橹本€與平面所成角范圍為，且若，即與的夾角為，所以直線與平面所成角的大小為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)閮擅嫠山欠秶鸀椋?，則平面，所成二面角的大小為，故D正確.故選：BCD.12.以下對(duì)各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是()A.袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，從中取出一個(gè)球是紅球的概率是B.每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如，在不超過14的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于14的概率為C.將一個(gè)質(zhì)地勻稱的正方體骰子(每個(gè)面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6)先后拋擲2次，視察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是D.甲、乙兩人玩剪刀、石頭、布的嬉戲，則玩一局甲不輸?shù)母怕适恰敬鸢浮緼BC【解析】【分析】依據(jù)古典概型概率計(jì)算方法可干脆推斷A；利用列舉法可推斷BC，利用列舉法或畫樹狀圖，可推斷D.【詳解】對(duì)于A，袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，從中取出一個(gè)球是紅球的概率是，故A正確；對(duì)于B，不超過14的素?cái)?shù)有共6個(gè)，從這6個(gè)素?cái)?shù)中任取2個(gè)有如下組合：，，，共15種結(jié)果，其中和等于14的只有一組，∴在不超過14的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于14的概率為，故B正確；對(duì)于C，基本領(lǐng)件總共有(種)狀況，其中點(diǎn)數(shù)之和是6的有，共5種狀況，則所求概率是，故C正確；對(duì)于D，畫樹形圖如下：從樹形圖可以看出，全部可能出現(xiàn)結(jié)果共有9種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，(乙獲勝)，故玩一局甲不輸?shù)母怕适?，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，則向量的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示方法即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：.14.已知一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是2，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)平均數(shù)計(jì)算方式計(jì)算即可.【詳解】平均數(shù)故答案為:15.某校高二年級(jí)一名學(xué)生一學(xué)年以來七次月考數(shù)學(xué)成果（滿分100分）依次為84，86，78，82，84，89，96，則這名學(xué)生七次月考數(shù)學(xué)成果的第70百分位數(shù)為________．【答案】86【解析】【分析】依據(jù)題意，將七次考試的成果從小到大排列，進(jìn)而利用百分位數(shù)的定義分析計(jì)算可得答案．【詳解】解：依據(jù)題意，七次考試的成果從小到大依次為：78，82，84，84，86，89，96；又由，故則這名學(xué)生七次月考數(shù)學(xué)成果的第70百分位數(shù)為86；故答案為：86.16.如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)P是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，記AP與平面所成的角為，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)已知條件找到其橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)之間的關(guān)系，再求線面角正切值的最大值即可.【詳解】依據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：則，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，因?yàn)椋?，即；取平面的一個(gè)法向量為，故，則，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故時(shí)，取得最小值，取得最大值，此時(shí)，取得最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在空間四邊形OABC中，E是線段BC的中點(diǎn)．（1）試用，表示向量；（2）若，，，，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)利用向量線性運(yùn)算的計(jì)算方法，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論和，利用向量數(shù)量積運(yùn)算律和數(shù)量積定義即可計(jì)算．小問1詳解】；【小問2詳解】．18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，E，F(xiàn)分別是AD，PB的中點(diǎn)．（1）證明：平面PCD．（2）求直線PA與平面CEF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由平行四邊形可得線線平行，進(jìn)而由線面平行的判定定理即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法即可求解線面角.【小問1詳解】如圖，設(shè)M為PC的中點(diǎn)，連接FM，MD．因?yàn)镕，M分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以．在正方形ABCD中，，所以．所以四邊形DEFM為平行四邊形，．因?yàn)槠矫鍼CD，平面PCD，所以平面PCD．【小問2詳解】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，．設(shè)平面CEF法向量為，則即令，則．設(shè)直線PA與平面CEF所成角為，則，故直線PA與平面CEF所成角的正弦值為．19.為進(jìn)一步增加疫情防控期間群眾的防控意識(shí)，使廣闊群眾充分了解新冠肺炎疫情防護(hù)學(xué)問，提高預(yù)防實(shí)力，做到科學(xué)防護(hù)，科學(xué)預(yù)防.某組織通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行新冠肺炎疫情防控科普學(xué)問問答.共有100人參與了這次問答，將他們的成果（滿分100分）分成，，，，，這六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值，并估計(jì)這100人問答成果的中位數(shù)和平均數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法從問答成果在內(nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本，再從樣本中隨意抽取2人，求這2人的問答成果均在內(nèi)的概率.【答案】（1），中位數(shù)為，平均數(shù)為72（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)以及中位數(shù)和平均數(shù)的概念，進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）依據(jù)分層抽樣在[60，70）內(nèi)的有人，分別記為A，B；問答成果在[70，80）內(nèi)的有人分別記為a，b，C，從中隨意抽取2人，列出試驗(yàn)的樣本空間，再利用概率公式，進(jìn)行計(jì)算即可得解.【小問1詳解】由圖可知，，解得.設(shè)中位數(shù)為x，則，所以.這100人問答成果的平均數(shù)約為.【小問2詳解】用分層隨機(jī)抽樣的方法從問答成果在[60，80）內(nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則問答成果在[60，70）內(nèi)的有人，分別記為A，B；問答成果在[70，80）內(nèi)的有人分別記為a，b，C.從中隨意抽取2人，則試驗(yàn)的樣本空間{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事務(wù)A為2人的問答成果均在[70，80）內(nèi)的概率，則，所以這2人的間答成果均在[70，80）內(nèi)的概率.20.如圖，在三棱柱中，平面，，，且為線段的中點(diǎn)，連接，，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過證明面，即可由線面垂直證明線線垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，求得兩個(gè)平面的法向量，再求兩平面夾角的余弦值即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以；因?yàn)?，所以；因?yàn)?，面，所以面；又因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：則，，，，，，，，，，，.設(shè)平面法向量為，則，所以，不妨??；設(shè)平面的法向量為，則，所以，不妨??；設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.21.已知某聞名高校今年綜合評(píng)價(jià)招生分兩步進(jìn)行：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進(jìn)入其次步面試；若材料初審合格，則進(jìn)入其次步面試．只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評(píng)價(jià)的錄用資格，且材料初審與面試之間相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙、丙三名考生報(bào)名參與該高校的綜合評(píng)價(jià)，假設(shè)甲、乙，丙三名考生材料初審合格的概率分別是，，，面試合格的概率分別是，，．（1）求甲考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄用資格的概率；（2）求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄用資格的概率；（3）求三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄用資格的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】設(shè)事務(wù)A、B、C分別為“甲、乙、丙獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄用資格”，依據(jù)獨(dú)立事務(wù)概率計(jì)算方法可干脆求出、、.由此可得(1)題答案，(2)題概率為，(3)題可先計(jì)算其對(duì)立事務(wù)概率從而求解．【小問1詳解】設(shè)事務(wù)表示“甲獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄用資格”，則；【小問2詳解】設(shè)事務(wù)表示“乙獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄用資格”，則，則甲、乙兩位考生有且只有一位考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄用資格概率為：；【小問3詳解】設(shè)事務(wù)表示“丙獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄用資格”，則，三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄用資格的對(duì)立事務(wù)是三人都