廣東省廣州重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

廣東省廣州重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合A={x|x>1}，B={x|x2?2x?3>0}A．(3，+∞)C．(?∞，?1)∪(1，2．已知a>b，則下列不等式中成立的是（）A．a(chǎn)b>b2 B．a(chǎn)2>b23．復(fù)數(shù)z滿足(2?i)2z=?i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若P(AB)=19，P(A)=A．事件A?與B?互斥B．事件A?與B?對(duì)立C．事件A?與B?相互獨(dú)立D．事件A?與B?既互斥又相互獨(dú)立5．《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國(guó)古畫，現(xiàn)收藏于中國(guó)臺(tái)北故宮博物院．有甲、乙，丙，丁想根據(jù)該圖編排一個(gè)舞蹈，圖中的小孩撲棗有爬、扶、撿、頂四個(gè)的動(dòng)作，每人模仿一個(gè)動(dòng)作，若他們采用抽簽的方式來決定誰模仿哪個(gè)動(dòng)作，則甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“撿”的概率是（）A．12 B．13 C．146．在(x+1)(x?1)5展開式中A．?1 B．0 C．1 D．27．已知a，b∈R+，且a+2b=3ab，則A．3 B．4 C．6 D．98．設(shè)隨機(jī)變量X~B(A．E(x)=3，D(x)=2 B．E(x)=4，D(x)=2C．E(x)=2，D(x)=1 D．E(x)=3，D(x)=1二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分.完全正確得5分，漏選得2分，錯(cuò)選或不選不得分.9．下列命題正確的是()A．“a>1”是“1aB．命題“若x<1，則xC．設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2D．設(shè)a，b∈R，則“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分條件10．在(x?2A．不存在常數(shù)項(xiàng) B．所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32C．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為111．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件.第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，則下列選項(xiàng)正確的有（）A．任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來的次品概率為0.06B．任取一個(gè)零件是次品的概率為0.0525C．如果取到的零件是次品，且是第2臺(tái)車床加工的概率為2D．如果取到的零件是次品，且是第3臺(tái)車床加工的概率為212．下列說法正確的是（）A．某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8B．對(duì)于隨機(jī)事件A與B，若P(B)=0.C．若二項(xiàng)式(12?xD．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，1三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13．復(fù)數(shù)z=2?1+i14．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4，σ2)，且P(ξ>6)=015．現(xiàn)有A，B，C，D，E五人排成一列，其中16．對(duì)?x∈R，不等式(a?2)x2+2(a?2)x?4<0恒成立，則四、解答題：本題共6小題，共70分.17題10分，18^22每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．設(shè)p：x?2x?4≤0，q：實(shí)數(shù)（1）若a=1，且p，q都為真命題，求（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中的情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450～950分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．（1）求a的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在[550，650)，[750，850)內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量19．已知關(guān)于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，解關(guān)于x的不等式．20．多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營(yíng)造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過色彩艷麗的時(shí)裝調(diào)動(dòng)正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個(gè)箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任取4個(gè)小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5.（1）寫出小李同學(xué)抽到紅球個(gè)數(shù)的分布列及期望；（2）求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.21．從2013年開始.的9年來，某地區(qū)第x年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值y（單位：百萬元）統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示.根據(jù)該圖提供的信息解決下列問題.（1）在所統(tǒng)計(jì)的9個(gè)生產(chǎn)總值中任選2個(gè)，記其中不低于平均值的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；（2）由統(tǒng)計(jì)圖可看出，從第6年開始，該地區(qū)第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值呈直線上升趨勢(shì)，試從第6年開始用線性回歸模型預(yù)測(cè)該地區(qū)第11年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值.（附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，22．為了迎接2022年世界杯足球賽，某足球俱樂部在對(duì)球員的使用上一般都進(jìn)行一些數(shù)據(jù)分析，在上一年的賽季中，A球員對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn)度數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：球隊(duì)勝球隊(duì)負(fù)總計(jì)A上場(chǎng)22rA未上場(chǎng)s1220總計(jì)50（1）求r，s的值，據(jù)此能否有99%（2）根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，B球員能夠勝任前鋒?中鋒?后衛(wèi)以及守門員四個(gè)位置，且出場(chǎng)率分別為：0.2，①當(dāng)他參加比賽時(shí)，求球隊(duì)某場(chǎng)比賽贏球的概率；②當(dāng)他參加比賽時(shí)，在球隊(duì)贏了某場(chǎng)比賽的條件下，求B球員擔(dān)當(dāng)守門員的概率；③在2022年的4場(chǎng)聯(lián)賽中，用X表示“球隊(duì)贏了比賽的條件下B球員擔(dān)當(dāng)守門員”的比賽場(chǎng)次數(shù)，求X的分布列及期望．附表及公式：P(000000k2236710χ2

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：解不等式x2?2x?3>0，得x<-1或x>3，所以B={x|x<-1或x>3}，已知集合A={x|x>1}，根據(jù)集合的并集集運(yùn)算可得故答案為：C.【分析】先求出集合B={x|x<-1或x>3}，然后根據(jù)集合的并集運(yùn)算求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、當(dāng)b<0，ab<b2，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、a=1，b=-1時(shí)a2=b2，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、a>0，b<0時(shí)1a>1b，故c選項(xiàng)錯(cuò)誤；3．【答案】A【解析】【解答】解：由題意(2?i)2z=?i可得z=-i2-i2=-i(3+4i)3-4i3+4i=4-3i25，4．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)镻(A)=2又P(AB)=19，P(B)=13，所以P(AB)=P(A)?P(B)，則因?yàn)镻(A)≠P(B)，所以事件A?與B?顯然不對(duì)立，無法確定事件A?與故答案為：C

【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的定義進(jìn)行判斷，可得答案。5．【答案】C【解析】【解答】解：由題意得，基本事件總數(shù)為A44=24，設(shè)事件A：甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“撿”或“扶”，

（1）如果甲模仿“爬”則乙模仿“扶”或“撿”，有2種選擇，剩余的2人有2種排法，故有2×2=4種排法.

(2)）如果甲模仿“扶”則乙模仿“撿”，剩余的2人有2種排法，故有1×2=2種排法.

故A包含4+2=6個(gè)基本事件，P(A)=624=16．【答案】B【解析】【解答】解：(x+1)(x?1)5=xx-15+x-15，x-15展開式第k+1項(xiàng)為C5kx5-k-1k，

k=3時(shí)xC53-13x2=-10x3，k=2時(shí)，C57．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)閍+2b=3ab，故2a故2a+b=1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立，故2a+b的最小值為3。故答案為：A.

【分析】利用已知條件a+2b=3ab，變形得出2a+18．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知，二項(xiàng)式(x+p因?yàn)?x+p可得npn?1=A、若選項(xiàng)A成立，則E(x)=np=3D(x)=np(1?p代入上式驗(yàn)證不成立，故A錯(cuò)誤；B、若選項(xiàng)B成立，則E(x)=np=4D(x)=np(1?p代入上式驗(yàn)證不成立，故B錯(cuò)誤；C、若選項(xiàng)C成立，則E(x)=np=2D(x)=np(1?p代入上式驗(yàn)證成立，C正確；D、若選項(xiàng)D成立，則E(x)=np=3D(x)=np(1?p故答案為：C.

【分析】利用二項(xiàng)式的展開式和題設(shè)條件，得到npn?1=9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、a>1”可推出“1a<1”，但是當(dāng)1a<1時(shí)，a有可能是負(fù)數(shù)，所以“1a<1”推不出“a>1”，所以“a>1”是“1D、“a≠0”推不出“ab≠0”，但“ab≠0”可推出“a≠0”，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分條件.

故答案為：ABD.【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合充分條件必要條件的判定可以判斷出ACD.由全稱量詞命題的否定方法可知B正確.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、(x?=x5?10B、(x?2xC、(x?D、當(dāng)x=1時(shí)，(x?2x故答案為：ABC

【分析】】根據(jù)給定的二項(xiàng)式，寫出展開式判斷A；利用二項(xiàng)式性質(zhì)判斷BC；利用賦值法計(jì)算判斷D作答即可.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：記Ai為事件“零件為第i(i=1，2則P(A1)=0.A、即P(AB、P(B)=P(=0.C、P(AD、P(A故答案為：BC【分析】運(yùn)用條件概率公式對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可.12．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、把數(shù)據(jù)從小到大排列為：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，而10×70%因此這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8+92=8B、P(B)因此P(AB)=P(A)P(B)，即事件A與B相互獨(dú)立，故B正確；

C、在二項(xiàng)式(12?x)n解得n=7，因此展開式共有8項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；

D、由隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，1)，得對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于直線而P(ξ>1)=p，則故答案為：BD【分析】利用百分位數(shù)的定義可以判斷A；利用對(duì)立事件和條件概率的公式，結(jié)合獨(dú)立事件的定義判斷B；利用賦值法求出指數(shù)n判斷C；利用正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算判斷D.13．【答案】-1【解析】【解答】解：由題得z=2?1+i=2(【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和虛部的意義即可得出.14．【答案】0.3【解析】【解答】解：由題得隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4，σ2所以P(4<ξ<6)=0.所以P(2<ξ<4)=P(4<ξ<6)=0.故答案為：0【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解指定區(qū)間的概率即可得出答案.15．【答案】24【解析】解：先將AB捆綁在一起，再對(duì)C的位置進(jìn)行分類，可得A2故答案為：24.【分析】根據(jù)題意，先將AB捆綁在一起，再對(duì)C的位置進(jìn)行分類，結(jié)合插空法，即可求解.16．【答案】(?2【解析】【解答】解：不等式(a?2)x2+2(a?2)x?4<0當(dāng)a?2=0時(shí)，即a=2時(shí)，?4<0恒成立，滿足題意；當(dāng)a?2≠0時(shí)，要使不等式恒成立，需a?2<0Δ<0，即有a<2解得?2<a<2.綜上可得，a的取值范圍為(?2，2].

【分析】對(duì)a進(jìn)行討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解不等式即可得到a的取值范圍.17．【答案】（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，可得x2可化為x2?2x?3<0，解得又由命題p為真命題，則B={所以p，q都為真命題時(shí)，則x的取值范圍是A∩B={x|2≤x<3}（2）解：由x2?2ax?3a因?yàn)閜：2≤x<4，且p是即集合{x|2≤x<4}是{x|?a<x<3a}的真子集，則滿足?a<23a≥4a>0，解得a≥43，所以實(shí)數(shù)【解析】【分析】（1）求得q命題對(duì)應(yīng)的不等式解集，與p命題對(duì)應(yīng)的不等式取交集即可得出；（2）根據(jù)集合之間的關(guān)系，列出不等式，即可求得結(jié)果.18．【答案】（1）解：由題意知100×(0.解得a=0.樣本平均數(shù)為x=500×0.15+600×0（2）解：由題意，從[550，650)中抽取7人，從隨機(jī)變量x的所有可能取值有0，1，2，3．P(x=k)=C所以隨機(jī)變量X的分布列為：P0123X3563211隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中頻率和為1可求得a的值，每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以頻率相加得均值；（2）由頻率分布直方圖知從[550，650)中抽取7人，從[750，85019．【答案】（1）解：當(dāng)a＝2時(shí)，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化為：（2x+1）（x﹣1）＜0，∴不等式的解集為{x（2）解：不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化為：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，當(dāng)a＞0時(shí)，(x?1)(x+1?1(x?1)(x+1?1a)=0①當(dāng)0＜a＜12時(shí)，1＜1a?1②當(dāng)a=12時(shí)，③當(dāng)a＞12時(shí)，1＞1a?1綜上，當(dāng)0＜a＜12時(shí)，不等式解集為當(dāng)a=12時(shí)，不等式解集為當(dāng)a＞12時(shí)，不等式解集為{x|【解析】【分析】（1）將原不等式化為（2x+1）（x﹣1）＜0即可求得結(jié)果；（2）將不等式化為（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，當(dāng)a＞0時(shí)，不等式變?yōu)?x?1)(x+1?120．【答案】（1）解：設(shè)抽到紅球的個(gè)數(shù)為X，則X的取值可能為4，3，2，P(X=4)=C44C6所以X的分布列為：X432P182故E(X)=4×1（2）解：設(shè)A表示穿紅色衣物，則A表示穿藍(lán)色衣物，B表示穿連衣裙，則B表示穿套裝.因?yàn)榇┘t色衣物的概率為P(A)=P(X=4)+P(X=3)=1則穿藍(lán)色衣物的概率為P(A穿紅色連衣裙的概率為P(B|A)=0.6=3則當(dāng)天穿連衣裙的概率為P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A所以小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率為1425【解析】.【分析】本題考查超幾何分布，全概率的計(jì)算公式.（1）根據(jù)超幾何分布求出P(（2）設(shè)A表示穿紅色衣物，則A表示穿藍(lán)色衣物，B表示穿連衣裙，則B表示穿套裝.求出P(A)，21．【答案】（1）解：依題知，9個(gè)生產(chǎn)總值的平均數(shù)為：14+16+20+26+33+42+60+78+989由此可知，不低于平均值的有3個(gè)，所以X服從超幾何分布，P(X=k)=C所以P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C分布列為：X012P511所以E(X)=0×5（2）