廣東省中山市2024屆高三上學期1月第一次調(diào)研數(shù)學試卷

廣東省中山市2024屆高三上學期1月第一次調(diào)研數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合A={x||4x?1|<9，x∈R}，B={x?xA．(?∞，?3C．(?∞，?32．已知復數(shù)z滿足z(1+2i)A．255 B．255i 3．若tan(α?π4A．6425 B．4825 C．1 4．已知向量a，b，c滿足|?a?|=|?b?|=3，aA．27 B．3+27 C．235．已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為SnA．911 B．711 C．10136．某品牌可降解塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量y與時間t（單位：年）之間的關系為y=y0?ekt.其中y0為初始量，k為降解系數(shù).已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的75%.若該品牌塑料袋需要經(jīng)過n年，使其殘留量為初始量的10A．20 B．16 C．12 D．77．已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，點P，Q，T分別在棱BB1，CC1和AB上，且B1P=3，A．m的長度為553 B．mC．n的長度為233 D．n8．已知M(a，3)是拋物線C：x2=2py(p>0)上一點，且位于第一象限，點M到拋物線C的焦點A．?1 B．1 C．16 D．?12二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，得部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知事件A，B是相互獨立事件，且P(AB)=1A．P(A)=13 B．P(B)=34 C．10．函數(shù)f(x)=23A．函數(shù)f(xB．函數(shù)g(x)的圖象上存在點P，使得在PC．函數(shù)y=g(x)D．函數(shù)g(2x+π3)11．已知雙曲線C：y2a2?x2b2=1(a>0，b>0)的上、下焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作斜率為?A．|MF2|=2|MC．∠MON可以是直角 D．直線OA的斜率為?12．已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f'(x)的定義域均為R，若fA．f'(1C．k=120f(三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．(x2?14．已知數(shù)列{an}，an=15．設F1、F2是橢圓C1：x2a12+y2b12=1(a1>16．在三棱錐A?BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2，BD=BC=2，則三棱錐A?BCD外接球表面積的最小值為四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知數(shù)列{an}（1）求數(shù)列{a（2）若bn=log218．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足3c（I）求C的值；（II）若ca=2，b=4319．如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，底面（1）若AA1=1，P為AA1（2）若AA1=a(0<a<3)，設二面角A1?B1C120．網(wǎng)球運動是一項激烈且耗時的運動，對于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球運動員提高自己的耐力.耐力訓練分為無氧和有氧兩種訓練方式.某網(wǎng)球俱樂部的運動員在某賽事前展開了一輪為期90天的封閉集訓，在封閉集訓期間每名運動員每天選擇一種方式進行耐力訓練.由訓練計劃知，在封閉集訓期間，若運動員第n(n∈N*，n≤89)天進行有氧訓練，則第n+1天進行有氧訓練的概率為59，第n+1天進行無氧訓練的概率為49；若運動員第n天進行無氧訓練，則第n+1天進行有氧訓練的概率為（1）封閉集訓期間，記3名運動員中第2天進行有氧訓練的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；（2）封閉集訓期間，記某運動員第n天進行有氧訓練的概率為Pn，求P21．已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過x軸上的定點E（E點不與A1、A2重合），且交橢圓C于P、Q兩點（yP>0，yQ22．已知函數(shù)f(（1）當a=1時，討論f(（2）討論函數(shù)f(

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：集合A={x|4x-1|<9,x∈R}={x|-9<4x-1<9,x∈R}={x|-2<x<52故答案為：A.【分析】先求出集合A、B，根據(jù)補集與交集的定義進行計算即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：因為z(1+2i)=|故答案為：C.【分析】由復數(shù)的除法運算及模的運算可得z=53．【答案】A【解析】【解答】解：因為tan(α?π4)=?17，所以tanα-故答案為：A.【分析】根據(jù)正切和角公式展開tan(α?π4)=?14．【答案】D【解析】【解答】解：設OA→=a→，OB→=b→,OC→=c→，D為圓D的圓心如圖所示：

，

由題意，a→=b→=3,a→×b→=a→b→cos∠AOB=-3故答案為：D.【分析】令OA→=a→，OB→5．【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列，顯然兩個數(shù)列都不是常數(shù)列，

由于SnTn=2n3n+1故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，利用SnTn=2n6．【答案】B【解析】【解答】解：因為該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的75%，所以y0·e2k=75%y0,

即ek=3412，若該品牌塑料袋需要經(jīng)過n年，使其殘留量為初始量的10%，故答案為：B.【分析】根據(jù)題意得ek7．【答案】A【解析】【解答】解：已知如圖所示：

連接QP并延長交CB的延長線于E，連接ET并延長交AD于點S，交CD的延長線于點H，連接HQ，交DD1于點R，連接SR，則m即為SR，n即為ST，

由PBIIQC，得PBQC=EBEB+4=13，所以EB=2,EC=6,

由ASIIEB,得ASEB=ATTB=13，則AS=12,EB=23，

所以n=ST=A故答案為：A.【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)，確定平面PQT與側(cè)面ADD1A1的交線m即為SR，與底面8．【答案】B【解析】

【解答】解：因為M(a，3)是拋物線C：x2=2py(p>0)上一點，且位于第一象限，點M到拋物線C的焦點F的距離為4，

所以MF=P2+yM=P2+3=4,∴p=2，

∴拋物線C方程為：x2=4y,∴y'=故答案為：B.【分析】先根據(jù)拋物線定義得MF=P2+yM求出p，再設過P點與拋物線C:x2=4y9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：根據(jù)題意，事件A，B是相互獨立事件，則A,B也是相互獨立事件，

則有P(AB)=P(A)P(B)=16，P(AB)=P(A)P(B)=112，

則有P(A)P(B)+PAPB=P(A)+PAP(B)=P(B)=16+10．【答案】A,B【解析】【解答】解：f(x)=23cos(2wx-π3)-2sin2wx

=23(cos2wxcosπ3+sin2wxsinπ3)-2sin2wx=3cos2wx+3sin2wx-2sin2wx

=3cos2wx+sin2wx=2sin(2wx+π3)，

由圖象可知，f(π6)=2，所以sin(π3w+π3)=1,解得w=12故答案為：AB.【分析】利用兩角和的正弦將f(x)=23cos(2ωx?11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：雙曲線C：y2a2?x2b2=1(a>0，b>0)的上、下焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作斜率為?1515的直線l與C的上支交于M，N兩點（點M在第一象限），A為線段MN的中點，O為坐標原點.若C的離心率為2，如圖：

A：設直線的傾斜角為α，因為直線的斜率為-1515,所以tanα=-1515，

則π3×52+φ=π+2kπ(k∈Z)，所以tan∠MF1F2=-1tanα=15,

由同角的三角函數(shù)關系可得cos∠MF1F2=14，

在△MF1F2中由余弦定理可得：cos∠MF1F2=14=MF12+F1F2-MF222MF1F1F2，

故答案為：ABD.【分析】由直線的傾斜角，三角函數(shù)的誘導公式，余弦定理和雙曲線的性質(zhì)及離心率求出，可判斷A、B正確，C錯誤；用點差法，結(jié)合中點和離心率，斜率公式求出直線OA的斜率，判斷D正確.12．【答案】B,D【解析】【解答】解：對于A，令x=y=1，得f(2)=2f(1)f'(1),因為f(2)=-f(1)≠0,

所以f'(1)=-12,所以A錯誤；

對于B和C，令y=1,得f(x+1)=f(x)f'(1)+f'(x)f(1)①，

所以f(1-x)=f(-x)f'(1)+f'(-x)f(1)，

因為f(x)是奇函數(shù)，所以f'(x)是偶函數(shù)，

所以f(1-x)=-f(x)f'(1)+f'(x)f(1)②,由①②，

得f(x+1)=2f(x)f'(1)+f(1-x)=-f(x)-f(x-1)，

即f(x+2)=-f(x+1)-f(x),所以f(x+3)=-f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)+f(x)-f(x+1)=f(x)

所以f(x),f'(x)是周期為3的函數(shù)，所以f(9)=f(0)=0,B正確；

對于C，由B的結(jié)論，k=120f(k)=[f(1)+f(2)+f(3)]x6+[f(1)+f(2)]=0,C錯誤；

對于D，因為f'(2)=f'(-1)=f'(1)=-12，

在①中令x=0得f(1)=f(0)f'(1)+f'(0)f(1),所以f'(0)=1,

k=113．【答案】11【解析】【解答】解：(x2?1x+2)3即3個x2?1x+2相乘，常數(shù)項為一個x2兩個(14．【答案】10【解析】【解答】解：[解析]已知數(shù)列{an}中，an=n?82n?83=1+83-82n-83

故當n<故答案為：10.【分析】將an=n?82n?15．【答案】(【解析】【解答】解：因為F1、F2是橢圓C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)與雙曲線C2：x2a22?y2b22=1(a2>0，b2>0)16．【答案】(2+2【解析】【解答】解：如圖所示：

設∠ABD=α,∠CBD=β，K為△BCD外接圓的圓心，O為球心，DK=r，

OD=R,OK=h,則AD=2tanα=2tanβ,CD=4sinβ2,則2r=4sinβ2sinβ,即r=1cosβ2，

又h2+r2=R2(AD-h)2+r2=R2，則h=AD217．【答案】（1）解：由題意得a12當n≥2時，a12由①－②得an2n又n=1時，a121綜上，an（2）解：由（1）可得bn=lo設數(shù)列{1bn所以T=1?【解析】【分析】（1）先令n=1，求得a1，當n≥2時，利用an=Sn-Sn-118．【答案】解：（I）因為3c所以由正弦定理得3sin又0<C<π，故C=π（II）因為ca=2，即c=2a，又b=43所以由余弦定理可得4a整理得a2+4a?16=0.解得故△ABC的面積為1【解析】【分析】(1)根據(jù)誘導公式、正弦定理，及同角三角函數(shù)基本關系式化簡3ccosC=a19．【答案】（1）解：如圖所示：

取CC1的中點Q，連接AQ，QB則∠QAB1為異面直線PC又|AQ|=1+(由余弦定理得cos（2）解：如圖所示：

分別取B1C1，BC的中點G，H，連接A1G，PH在正三棱柱ABC?A1B1C又A1G∩A1A=A1，所以B所以B1C1同理∠AHP為二面角A?BC?P的平面角，設A1P=t，則所以tan∠A1則tan(α+β當t=a2時，即P為AA1的中點時，【解析】【分析】(1)取CC的中點Q，連接AQ，QB，根據(jù)三角形中位線定理得AQ//PC1，找到∠QAB1為異面直線PC1與AB1所成的角，利用余弦定理代入即可求解.

(2)分別取B1C120．【答案】（1）解：設運動員第2天進行有氧訓練為事件M，第2天進行無氧訓練為事件N，則P(M)所以3名運動員第2天進行有氧訓練的人數(shù)X~B(3，則P(X=0)P(X=2)所以X的分布列為X0123P1248所以E（2）解：依題意可得Pn+1=Pn×59則Pn+1?711=?29所以數(shù)列{Pn?711則Pn?7所以P【解析】【分析】(1)分別求出運動員第2天進行有氧訓練與無氧訓練的概率，得出3名運動員第2天進行有氧訓練的人數(shù)X~B(3，23)，X=0，1，2，21．【答案】（1）解：由題知離心率e=32=ca又因為點(1，32)在橢圓上，所以1a所以橢圓C的方程為x2故橢圓C的標準方程為x2（2）解：已知如圖所示：

設直線l的方程為x=ty+m，P(x1，y由（1）知A1(?2，聯(lián)立x=ty+mx24+由韋達定理，得y1+由題得kA1因為x224+所以(?)=故直線l的方程為x=ty+13，經(jīng)過x軸上的定點【解析】【分析】(1)根據(jù)離心率為32，點(1，32)在橢圓上結(jié)合a，b，c之間的關系，列出等式解出a和b的值，即可求解；

（2）設出直線l的方程x=ty+m22．【答案】（1）解：當a=1時，f(x)記g(x)∴f'(又f'∴f'(x)當x∈(0，x0)時，當x∈(x0，+∞)時，∴