非線性方程的求解畢業(yè)論文

非線性方程的求解畢業(yè)論文題目(中文):非線性方程的求解(英文):TheSolutionofNonlinearEquations目錄緒論................................................................................................................................11非線性方程的簡(jiǎn)介.....................................................................................................11.1非線性方程的背景...........................................................................................11.2非線性方程的概念...........................................................................................22非線性方程求解的數(shù)值方法.......................................................................................32.1二分法..............................................................................................................32.1.1二分法的思想........................................................................................32.1.2二分法的推理........................................................................................32.1.3二分法的應(yīng)用........................................................................................42.2牛頓迭代法......................................................................................................42.2.1迭代法...................................................................................................42.2.2牛頓迭代法...........................................................................................62.3改進(jìn)牛頓迭代法............................................................................................102.3.1改進(jìn)牛頓迭代法的背景......................................................................102.3.2改進(jìn)的法................................................................................11Newton3牛頓迭代法和改進(jìn)牛頓迭代法的應(yīng)用....................................................................123.1牛頓迭代法的應(yīng)用.........................................................................................123.2改進(jìn)牛頓迭代法的應(yīng)用.................................................................................194結(jié)束語(yǔ)......................................................................................................................22參考文獻(xiàn)......................................................................................................................23致謝..............................................................................................................................24I非線性方程的求解摘要非線性方程在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，很多熟悉的線性模型都是在一定的條件下由非線性問(wèn)題簡(jiǎn)化得到的;非線性方程在科學(xué)與工程計(jì)算中的地位越來(lái)越重要,因此研究和探討非線性方程求解的方法是非常有必要的。本文先開(kāi)始介紹了非線性方程的概念及相關(guān)背景，再著重描述了非線性方程的求解的一些常用分法:二分法，迭代法，牛頓迭代法。在這些方法當(dāng)中，牛頓迭代法是求解非線性方程的一種非常常用并且有效的方法，但是牛頓迭代法有一些應(yīng)用條件限制，因此提出了改進(jìn)的牛頓迭代法;針對(duì)非線性方程的實(shí)例用上面提到的方法進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并且比較了牛頓迭代法和改進(jìn)牛頓迭代法，最后介紹了牛頓迭代法在實(shí)際生活中的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵字】非線性方程牛頓迭代法數(shù)值計(jì)算IITheSolutionofNonlinearEquationsAbstractNonlinearequationsappearfrequentlyinpracticalproblems,andmanyofusarefamiliarwiththelinearmodelobtainedbythesimplifiednonlinearproblemsundercertainconditions.Nonlinearequationsarebecomingmoreandmoreimportantinscienceandengineeringcomputing.Therefore,itisnecessarytostudyandexplorewaystosolvenonlinearequations.Firstly,thispaperrecommendsomebasicconceptionsandrelatedbackgroundofnonlinearequations,thendescribesomemethodsofthesolutionofnonlinearequationemphatically,suchas:theprocedureofdichotomy,theiteratemethod,theNewtoniteratemethodandtheimprovedNewtoniteratemethod.ItisveryusefulandeffectivetousetheNewtoniteratemethodforsolvingnonlinearequationsinthosemethods.However,weproposetheimprovedNewtoniteratemethodbecauseofthelimitsoftheNewtoniteratemethod.Also,wehavecarriedontheapproximatecalculationtothenonlinearequationsandhavecomparedtheNewtoniteratemethodwiththeimprovedNewtoniteratemethod,Intheend,weintroducetheapplicationoftheNewtoniteratemethodinthereallife.【Keywords】ThenonlinearequationsTheNewtoniteratemethodNumericalcomputationIII緒論非線性是實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)的，并且在科學(xué)與工程計(jì)算中的地位越來(lái)越重要，很多我們熟悉的線性模型都是在一定的條件下由非線性問(wèn)題簡(jiǎn)化得到的，為得到更符合實(shí)際的解答，往往需要直接研究非線性模型，從而產(chǎn)生非線性科學(xué)，它是21世紀(jì)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要支柱.非線性問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型有無(wú)限維的如微分方程，也有有限維的.從線性到非線性是一個(gè)質(zhì)的變化，方程的性質(zhì)有本質(zhì)的不同，求解方法也有很大的差別.非線性方程的數(shù)值解法在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，特別是在各種非線性問(wèn)題的科學(xué)計(jì)算中更顯出它的重要性，而且，隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，有更多的領(lǐng)域涉及到非線性方程的求解問(wèn)題，例如，動(dòng)力系統(tǒng)，非線性有限元問(wèn)題，非線性力學(xué)問(wèn)題，還有非線性最優(yōu)化與非線性規(guī)劃問(wèn)題等，因此，研究性方程的解法就具有重要的實(shí)際意義.由于非線性方程的復(fù)雜性，在解法上除了極特殊的非線性方程外，直接法幾乎是不能使用的，這需借助于二分法，迭代法來(lái)求解.從計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看,Newton迭代法用來(lái)求非線性方程一種非常常見(jiàn)的而且是有效的方法，所以我們有必要研究和探討求解非線性方程的Newton方法.1非線性方程的簡(jiǎn)介1.1非線性方程的背景非線性科學(xué)是一門(mén)研究非線性現(xiàn)象共性的基礎(chǔ)學(xué)科.它是自20世紀(jì)六十年代以來(lái)，在各門(mén)以非線性為特征的分支學(xué)科的基礎(chǔ)上逐步發(fā)展起來(lái)的綜合性學(xué)科，被譽(yù)線性科學(xué)幾乎涉及了自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)為本世紀(jì)自然科學(xué)的“第三次革命”.非的各個(gè)領(lǐng)域，并正在改變?nèi)藗儗?duì)現(xiàn)實(shí)世界的傳統(tǒng)看法.科學(xué)界認(rèn)為:非線性科學(xué)的研究不僅具有重大的科學(xué)意義，而且對(duì)國(guó)計(jì)民生的決策和人類(lèi)生存環(huán)境的利用也具有實(shí)際意義.由非線性科學(xué)所引起的對(duì)確定論和隨機(jī)論、有序與無(wú)序、偶然性與必然性等范疇和概念的重新認(rèn)識(shí)，形成了一種新的自然觀，將深刻地影響人類(lèi)的思維方法，并涉及現(xiàn)代科學(xué)的邏輯體系的根本性問(wèn)題.1非線性問(wèn)題的“個(gè)性”很強(qiáng)，處理起來(lái)十分棘手.歷史上曾有過(guò)一些解非線性方程的“精品”，但與大量存在的非線性方程相比，只能算是“鳳毛麟角”.因此，長(zhǎng)期以來(lái)，對(duì)非線性問(wèn)題的研究一直分散在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.20世紀(jì)六十年代以來(lái)，情況發(fā)生了變化.人們幾乎同時(shí)從非線性系統(tǒng)的兩個(gè)極端方向取得了突破:一方面從可積系統(tǒng)的一端，即從研究多自由度的非線性偏微分方程的一端獲得重大進(jìn)展.如在淺水波方程中發(fā)現(xiàn)了“孤子”，發(fā)展起一套系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，如反散射法，貝克隆變換等，對(duì)一些類(lèi)型的非線性方程給出了解法;另一方面，從不可積系統(tǒng)的極端，如在天文學(xué)、生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域?qū)σ恍┛雌饋?lái)相當(dāng)簡(jiǎn)單的不可積系統(tǒng)的研究，都發(fā)現(xiàn)了確定性系統(tǒng)中存在著對(duì)初值極為敏感的復(fù)雜運(yùn)動(dòng).促成這種變化的一個(gè)重要原因十計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和廣泛應(yīng)用.科學(xué)家們以計(jì)算機(jī)為手段，勇敢地探索那些過(guò)去不能用解析方法處理的非線性問(wèn)題，從中發(fā)掘出規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，并打破了原有的學(xué)科界限，從共性、普適性方面來(lái)探討非線性系統(tǒng)的行為.在數(shù)值計(jì)算中，非線性問(wèn)題也是經(jīng)常遇到的一類(lèi)難題，特別是非線性方程組的數(shù)值求解問(wèn)題構(gòu)成了非線性科學(xué)的一個(gè)重要組成部分.1.2非線性方程的概念非線性方程，就是因變量與自變量之間的關(guān)系不是線性的關(guān)系，一般可以表示為.這類(lèi)方程很多，例如平方關(guān)系、對(duì)數(shù)關(guān)系、指數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)關(guān)系等f(wàn)x()0,32等.下面這些例子就是常見(jiàn)的非線性方程:，，xxx,，，,10xx,,tan0x.xae,,0非線性方程可分為兩類(lèi):一類(lèi)是多項(xiàng)式方程，這類(lèi)方程可以定義為:2n，.另一類(lèi)是非多項(xiàng)式方程，fxxxx()0,,，,，,，,,nNC,,,,,,,,01n012n它不能用多項(xiàng)式方程的形式表示，沒(méi)有固定的形式.求解第一類(lèi)多項(xiàng)式方程，現(xiàn)在已經(jīng)有了比較成熟的理論和方法.現(xiàn)在比較常用的一種數(shù)值方法是迭代法，能通過(guò)迭代次數(shù)的增加，從而越來(lái)越接近方程的解，求解第二類(lèi)非多項(xiàng)式方程，是現(xiàn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重點(diǎn)研究方向.一般來(lái)說(shuō)，求解此類(lèi)方程是采用隨機(jī)搜索的辦法.22非線性方程求解的數(shù)值方法2.1二分法2.1.1二分法的思想二分法是區(qū)間迭代法的一種.它是重復(fù)運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理,每次將區(qū)間壓縮一半且其中一個(gè)區(qū)間至少包含一個(gè)根,逐步縮短區(qū)間,直至最終區(qū)間長(zhǎng)度滿(mǎn)足一定的精度要求為止.2.1.2二分法的推理先考察有根區(qū)間,a,b],取中點(diǎn)，將它分成兩半，然后進(jìn)行根的xab,，()/20*搜索，即檢查與是否同號(hào)，如果確系同號(hào)，說(shuō)明所求的根在x的右fx()fa()x00axb側(cè)，這時(shí)令=,=.b101*否則必在x的左側(cè)，這時(shí)令a=，b=x，不管出現(xiàn)哪一種情況，新的有xa0110abab根區(qū)間[,]的長(zhǎng)度僅為,,,的一半.對(duì)壓縮了有根區(qū)間[,]又可施行同樣ab1111xabab的過(guò)程，即用中點(diǎn)=(+)/2，以將區(qū)間[,]再分為兩半，然后通過(guò)根的搜11111x[]abab索判定所求根在的哪一側(cè)，從而又確定一個(gè)新的有根區(qū)間，長(zhǎng)度是[,]12,211的一半.如此反復(fù)二分下去，可得出一系列有根區(qū)間，[,][,][][,]abababab,,,,,112,2kkk其中每個(gè)區(qū)間都是前一個(gè)區(qū)間的一半，因此[,]ab的長(zhǎng)度ba,=，()/2ba,kkkk當(dāng)時(shí)趨向零，就是說(shuō)，如果二分過(guò)程無(wú)限地繼續(xù)下去，這些區(qū)間最終必將k,,*收縮于一點(diǎn)x，該點(diǎn)顯然就是所求的根.[,]ab每次二分后，設(shè)取有根區(qū)間的中點(diǎn)xab,，()/2作為根的近似值，則kkkkk*在二分過(guò)程中可以獲得一個(gè)近似根的序列xxxx,,,,，則該序列必以根x為012k極限.不過(guò)在實(shí)際計(jì)算時(shí)，不可能完成這個(gè)無(wú)限過(guò)程，其實(shí)也沒(méi)有這個(gè)必要，因?yàn)閿?shù)值分析的結(jié)果允許帶有一定的的誤差，由于:3*1k，||()/2()/2xxbaba,,,,,(2.1.1)kkk*只要二分足夠多次(即k充分大)便有,，這里為預(yù)定的精度.||xx,,,k2.1.3二分法的應(yīng)用3例1求方程在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)實(shí)根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)fxxx()10,,,,(1.0,1.5)點(diǎn)后第二位.,解這里,而，取的中點(diǎn)x=將區(qū)間二fa()(,)abab,,1.0,1.50,()0fb,1.250*等分，由于，即與同號(hào)，故所求的根在x右側(cè)，這時(shí)應(yīng)fx()fx()fa()x,0000a=x=,而得到新的有根區(qū)間[a,b].1.25,1.5bb,,10111如此反復(fù)二分下去，二分過(guò)程無(wú)需贅述，現(xiàn)在預(yù)估所要二分的次數(shù)，按誤差估計(jì)式，只要二分6次，便能達(dá)到預(yù)定的精度:(6)k,(2.1.1)*||0.005xx,,0二分法計(jì)算結(jié)果如表1所示表1二分法的計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)表kabxfx()kkkk01.01.51.25-11.25…1.375+2…1.3751.3125-31.3125…1.3438+4…1.34381.3281+5…1.32811.3203-61.3203…1.3242-2.2牛頓迭代法2.2.1迭代法2.2.1.1迭代法的思想迭代法是一種逐步逼近的方法，首先選定方程f(x)=0的一個(gè)近似根后，然后使用某個(gè)固定公式，反復(fù)校正這個(gè)根的近似值，使之逐步精確化，一直到滿(mǎn)足給定的精度要求為止.42.2.1.2迭代法的推理設(shè)方程有根，把方程化為等價(jià)方程fx()0,xx,(),(2.2.1)這種方程是隱式的，不能直接得出它的根，但如果給出根的某個(gè)猜測(cè)值代x0放在的右端，可得，然后，又可取x作為猜測(cè)值，進(jìn)一步得到xx,,()(2.2.1)110，如此反復(fù)迭代如果按公式xx,,()21xxk,,,(),0,1,2(2.2.2)kk，1*確定的數(shù)列有極限，則稱(chēng)迭代過(guò)程式收斂，這時(shí)極限值xxx,lim(2.2.2),,kk,,k*顯然就是方程的根.這種迭代法又稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)迭代法，由迭代過(guò)程所產(chǎn)xxx,(),生的數(shù)列并不都是收斂于某個(gè)數(shù)，與迭代方程的選取有關(guān).2.2.1.3迭代法的誤差公式假定函數(shù)定理1滿(mǎn)足下列條件:,()xo1對(duì)任意，有xab,[,]axb,,(),o2L,1存在正數(shù)，使對(duì)任意，有xab,[,]'|()|1,xL,,(2.2.3)*則迭代過(guò)程對(duì)任意初值均收斂于方程的根，且xx,,()xab,[,]xx,()x,kk，10有如下誤差估計(jì)式:*k||||/(1)xxLxxL,,,,(2.2.4)k10證明由式有(2.2.3)|||()()|||xxxxLxx,,,,,,,kkkkkk，,,111k,據(jù)此反復(fù)遞推得||xx,，于是對(duì)任意正整數(shù)，有:,,Lxx||kk，110||||||||xxxxxxxx,,,，,，，,kkkkkkkk，，，,，,，,，,,,,,1121kpkpkk，,，,12，,，，，,,,,()||||/(1)LLLxxLxxL1010*在上式中令,,,，注意到limxx,，即得(2.2.4)，證畢.k，,,,,52.2.1.4迭代法的局部收斂性*'*'*定理2設(shè)為方程的根，在的鄰近連續(xù)且，則迭代xxx,(),()xx,|()|1,x,*過(guò)程在鄰近具有局部收斂性.xx,,()xkk，1**證明由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，存在的某個(gè)鄰域R:，使對(duì)任意x||xx,,,'成立。此外，對(duì)任意，總有，這是因?yàn)閨()|1,xL,,,()xR,xR,xR,****|()||()()|||||,,,xxxxLxxxx,,,,,,,于是，依據(jù)定理1可以斷定，迭代過(guò)程對(duì)任意初值均收斂，xR,xx,,()kk，10證畢.2.2.2牛頓迭代法2.2.2.1牛頓迭代法的背景牛頓迭代法(Newton'smethod)又稱(chēng)為牛頓-拉夫遜方法(Newton-Raphsonmethod)，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法.多數(shù)方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.2.2.2.2牛頓迭代法的推導(dǎo)1通過(guò)Taylor進(jìn)行理論推導(dǎo)xx設(shè)是f(x)=0的一個(gè)近似根，把f(x)在處泰勒展開(kāi):kk'''2fxfxfxxxfxxx()()()()()()/2!,，,，,，kkkkk若取前兩項(xiàng)近似代替fx()，則fx()=0的近似線性方程為'fxfxfxxx()()()()0,，,,kkk'xx設(shè)fx()0,，設(shè)其根為，則的計(jì)算公式為k，1k，1kfx()k(0,1,2)k,(2.2.5),,xx，1kk'fx()k這即是牛頓法，稱(chēng)(2.2.5)為牛頓迭代公式，其迭代函數(shù)為fx(),,,(2.2.6)()xx'fx()2通過(guò)微分中值定理進(jìn)行推導(dǎo)6*設(shè)是根的某個(gè)預(yù)測(cè)值，用迭代公式校正一次得，而由微分中值xxx,,()x010定理有*'*xxxx,,,,,()()10*其中介于與之間.x,x0'假定改變不大，近似地取某個(gè)近似值L，則由,()x**xxLxx,,,()101L*得xxx,,1011,,LL可以期望，按上式右端可得1LLxxxxxx,,,，,()210110111,,,LLLx是比更好的近似值.1將每得到一次改進(jìn)值算作一步，并用和x分別表示第步的校正值和改進(jìn)值，xkkk則加速迭代計(jì)算方案可表述如下:校正xx,(),kk，1L改進(jìn)(2.2.7),，,()xxxxkkkk，，，1111,L其中xx,()中的,()x可以是多種多樣的，當(dāng),()x,，xfx()時(shí)，相應(yīng)的迭代公式,是xxfx,，()(2.2.8)kkk，1運(yùn)用前面的加速技巧，對(duì)于迭代過(guò)程，其加速公式如下:(2.2.8),xxfx(),，kkk，1,,Lxxxx,，,(),kkkk，，，111,,1LML,,1記，上面兩個(gè)式子可以合并寫(xiě)成fx()k,,xx，1kkM7這種迭代公式通常稱(chēng)為簡(jiǎn)化的公式，其相應(yīng)的的迭代函數(shù)是Newtonfx(),,,(2.2.9)()xxM'L需要注意的是，由于是的估計(jì)值，而，這里的實(shí)際ML,,1,()x,()()xxfx,，''M上是的估計(jì)值，如果用代替式中的，則得如下形式的迭代函fx()fx()(2.2.9)數(shù):fx(),,,，()xx'fx()其相應(yīng)的迭代公式fx()k(2.2.10),,xx，1kk'fx()k這就是著名的公式.Newton2.2.2.3法的幾何解釋Newton對(duì)于方程，如果是線性函數(shù)，則對(duì)它求根是容易的，法fx()0,fx()Newton實(shí)質(zhì)上是一種線性化方法，其基本思想是將非線性方程逐步歸結(jié)為某種線fx()0,性方程來(lái)求解.圖1與軸的交點(diǎn)圖fx()x8*方程的解可解釋為曲線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),(見(jiàn)圖1)fx()0,yfx,()xx取初值，將在初值處作Taylor展開(kāi)得:fx()xx00''fx()'20fxfxfxxxxx()()()()(),，,，,，00002!''取線性部分作為的近似值，有:，若，fx()fxfxxx()()()0，,,fx()0,0000則有fx()0xx,,10'fx()0類(lèi)似，我們也能得到:fx()1xx,,21'fx()1這樣一直下去，我們可以得到迭代序列fx()k,,xx，1kk'fx()k由上面圖可知，過(guò)曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)引切線，并將該切線與X軸xPyfx,()00的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)坐為新的近似值，類(lèi)似這樣下去，我們可以得一個(gè)切線方程:x1'yfxfxxx,，,()()()kkk這樣求得的值必滿(mǎn)足式，由于這種幾何背景，牛頓法亦稱(chēng)切線法.x(2.2.10)k，12.2.2.4法的局部收斂性Newton對(duì)于一種迭代過(guò)程，為了保證它是有效的，需要肯定它的收斂性，同時(shí)考察它的收斂速度.所謂收斂速度，是指在接近收斂過(guò)程中迭代誤差的下降速度.*1定義設(shè)迭代過(guò)程xx,,()收斂于方程的根，如果迭代誤差xx,,()xkk，1*當(dāng)時(shí)成立下列漸近關(guān)系式exx,,k,,kkek，1(0C,為常數(shù)),C,ek,,,>1則稱(chēng)該迭代過(guò)程是階收斂的，特別地，=1時(shí)稱(chēng)為線性收斂，時(shí)稱(chēng)為超線,性收斂，=2時(shí)稱(chēng)為平方收斂.(),*xx,,(),()x定理3對(duì)于迭代過(guò)程，如果在所求根x的鄰近連續(xù)，并且kk，19'*''*(1)*,,,,,,()()()0xxx,,,,,(2.2.11),()*,()0x,,,,*則該迭代過(guò)程在點(diǎn)鄰近是階收斂的.,x'*2證明由于，據(jù)定理可以馬上斷定迭代過(guò)程具有局部收,()0x,xx,,()kk，1斂性.*再將在根處展開(kāi)，利用條件，則有,()xx(2.2.11)k(),,,()**,xxxx,，,()()(),,kk!,**注意到，，xx,,(),()xx,kk，1(),,,()**,由上式可得xxxx,,,()kk，1!,()*,e,()xk，1因此對(duì)于迭代誤差，有，這表明迭代過(guò)程確實(shí)是階收xx,,(),,kk，1,e!,k斂的，證明完畢.由上面定理可知，迭代過(guò)程的收斂速度依賴(lài)于迭代函數(shù),()x的選取.對(duì)于公Newton式，其迭代函數(shù)為(2.2.10)''fx()fxfx()()',,,,,，()x()xx''2[()]fxfx()**'*'*假定是fx()的一個(gè)單根，即，則由上式知，于是依xfxfx()0,()0,,,()0x,*據(jù)定理可以斷定，法在根的鄰近是平方收斂的.3xNewton2.3改進(jìn)牛頓迭代法2.3.1改進(jìn)牛頓迭代法的背景牛頓迭代法是解非線性方程最著名和最有效的方法之一，在單根附近它比一般的迭代法有較快的收斂速度，但要注意它也有缺點(diǎn):首先，它對(duì)迭代初值選取要求'fx()嚴(yán)格，初值選取不好，可能導(dǎo)致不收斂;其次，它迭代一次要計(jì)算的值，這k勢(shì)必會(huì)增加計(jì)算量，因此在這種情況下，提出改進(jìn)的法是非常有必要的.Newton102.3.2改進(jìn)的法Newton2.3.2.1Simpson牛頓法和幾何平均牛頓法設(shè)是方程的根，是可導(dǎo)函數(shù)，顯然成立:fx()0,fx(),x'fxfxfxdx()()(),，n,xn若將上面公式的右端積分用數(shù)值積分Simpson公式近似代替，并令，則得:x,,,,，,xx'''nn(2.3.1)0()[()4()()],，，，,fxfxffnn62上式中用近似代替，整理得迭代格式(2.3.1)x,n，16()fxn(2.3.2),,xx，1nn，xx'''，1nn，，fxffx()4()()，1nn2中關(guān)于是隱式的，這給求解帶來(lái)很大的麻煩，為了避免隱式求解，我們(2.3.2)xn，1提出了預(yù)估校正式:(2.3.2)fx(),nzxn,,,,0.1.2.3nn，1',fx()n,(2.3.3),6()fxnxxn,,,,0,1,2,,，1nnxz，'''nn，1,fxffz()4()()，，nn，1,2式是牛頓迭代法與Simpson公式相結(jié)合得到的，我們稱(chēng)它為Simpson牛頓(2.3.3)方法.xx，'''nn，1()4()()fxffx，，nn，1''2若將右端用代替，則得到,|()()|fxfx(2.3.2)nn，16迭代格式:fx()n(2.3.4),,xx，1nn'',|()()|fxfx，1nn''當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)，取,,,1，為了避免隱式求解，同樣給出f()0,,,,1f()0,,了式的預(yù)估校正式:(2.3.4)11fx(),n,,,zxn,0.1.2.3，1nn',fx()n,(2.3.5),fx()n,,,,xxn,0,1,2,，1nn'',,|()()|fxfz，1nn,的取法同上，我們稱(chēng)為幾何平均牛頓方法.(2.3.5),2.3.2.2牛頓下山法*牛頓法的缺點(diǎn)之一是其收斂依賴(lài)與初值x的選取，若x偏離所求根較遠(yuǎn)，x00則牛頓法可能發(fā)散，為了防止迭代發(fā)散，我們對(duì)迭代過(guò)程再附加一項(xiàng)條件，既具有單調(diào)性:|()||()|fxfx,(2.3.6)kk，1滿(mǎn)足這項(xiàng)要求的算法稱(chēng)為下山法.將法與下山法結(jié)合起來(lái)使用，即我們可在下山法保證函數(shù)值穩(wěn)定下降Newton的前提下，用法加快了收斂速度.為此將法計(jì)算結(jié)果:NewtonNewtonfx()k,,xx，1kk'fx()kx與前一步的近似值適當(dāng)加權(quán)平均作為新改進(jìn)值，即kxxx,，,(1),,kkk，，11其中(01),,稱(chēng)為下山因子，在希望挑選下山因子時(shí)，希望使單調(diào)性條件,,成立.(2.3.6)注意:下山因子的選擇是個(gè)逐步探索的過(guò)程，從開(kāi)始反復(fù)將減半進(jìn)行試,,,1算，如果能定出值使單調(diào)性條件成立，則稱(chēng)下山“成功”，與此相反，如(2.3.6),果在上述過(guò)程中找不到使條件成立的下山因子，則稱(chēng)“下山失敗”，這時(shí)(2.3.6),x需另選初值重算.03牛頓迭代法和改進(jìn)牛頓迭代法的應(yīng)用3.1牛頓迭代法的應(yīng)用ann例1應(yīng)用牛頓迭代法和，分別導(dǎo)出求的迭()10f(x),x,a,0afx,,,nx12代公式并求nax,，1klim2n,,k()ax,k解方程的牛頓迭代法公式:fx()0,fx()k,,xx，1kk'fx()kfx(),,,()xx'fx()'''2''fxfxfx()()(),fx()''，,,fx()lim()0,x,()1x,,'2'2*xx,fx()fx()''*''''fxfx()()fx()''''',,,,，()()[]xfxlim()x'''**xx,fxfx()()fx()*''*''*xx,,()1()xfx*nk，1lim,,,,,xa*2'*k,,()22()xxfx,kn'1n,''2n,由題意知:fxxa(),,fxnx(),fxnnx()(1),,n,1''fxnxfxn()()1,,1,,[],''nfxxafxx()(),fx()k牛頓迭代法公式,,xx，1kk'fx()k1a1,n=,，(1)xxkknnnax,111nn,,，1klim,,,nn,,kn2axaa,2.ka'(1)(2),，,，nnn再由題意知:()1,(),()(1),,,,，fxfxanxfxannxnxa1,n，1n()fxxx,,,nx'(1),，n()fxanxan'(1),，nfxanxn()1，,,,''(2),，nfxannxx()(1),，牛頓迭代法公式13n，1xfx()kk=(1)，,,,nxxx，1kkk'anfx()k''*nax,fxn()1，，k1lim,,,'*2nn,,k2()fx()2.axa,k結(jié)論分析:本題主要應(yīng)用牛頓迭代法公式和極限還有導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，計(jì)算量大，著重考察對(duì)迭代法思想的深刻理解.32例2方程在附近有根，把方程寫(xiě)成3種不同的等價(jià)形x,1.5x,x,1,00式:11(1)，對(duì)應(yīng)迭代格式:x,，x,1，1n，122xxn2323(2)，對(duì)應(yīng)迭代格式:x,1，xx,1，xn，n1112(3)，對(duì)應(yīng)迭代格式:x,x,n，1x,1x,1n討論這些迭代格式在時(shí)的收斂性.若迭代收斂，試估計(jì)其收斂速度，選一種x,1.50收斂格式計(jì)算出附近的根到4位有效數(shù)字.(收斂速度的計(jì)算和比較)x,1.50332解，x,[1,]f(x),x,x,12331*，，故方程在[1,]上有根.x，f(1),,1,0f(),,022835539*，故方程在[,]上有根.xf(),,,04246431111149*，故方程在上有根x.[,]f(),,,0828512對(duì)于迭代式(1):28102412*3,,,(x),,,2,(),,1，，,,(x),1，(x),,23*3111331xxx2*而,(x),,,0，故該迭代局部收斂，且收斂速度為1階的.*3x14對(duì)于迭代式(2):在上，x,[1,2]2x21/3,，(x),,(x),(1，x),22/33(1，x)*332x2x24*3,,，又,(x),,0,(x),,x,,122/3*2/33333(2x)(1，x)故該迭代在上整體收斂，且收斂速度為一階的.x,[1,2]1對(duì)于迭代式(3):(x),在[1，2]上的值域?yàn)?，該迭代式不收?[1,，,)x,123取迭代式，取初值進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果如下:x,1，xx,1.5n，n01，，，x,1.4812x,1.4688x,1.4727x,1.46701324，，，x,1.4662x,1.4659x,1.4657x,1.46565678結(jié)論分析:這題主要是分析迭代法的收斂性，以及收斂速度，著重考察對(duì)迭代法的收斂性和收斂速度的理解.32例3用Newton迭代法解方程在初值附近的fxxxx()330,，,,,x,1.50根，并用數(shù)學(xué)工具軟件Matlab求解.(保留小數(shù)點(diǎn)后6位有效數(shù)字)解由題意知初值，由牛頓迭代公式:x,1.50fx()k,,xx，1kk'fx()k代入其中得，x,1.7777781x,1.7333612x,1.7320513x,1.732051432迭代4次后，發(fā)現(xiàn)xx與近似相等，因此得到此方程在初fxxxx()330,，,,,34值一個(gè)根為1.732051(保留小數(shù)點(diǎn)6位有效數(shù)字)x,1.50下面用數(shù)學(xué)工具軟件Matlab求解.首先牛頓迭代法在matlab的計(jì)算程序如下:15Functionx=newton(fname,dfname,x0,e)%用途:Newton迭代法解非線性方程f(x)=0%格式:x=nanewton(fname,dfname,x0,e)x返回?cái)?shù)值解.%fname和dfname分別表示f(x)及其導(dǎo)函數(shù)%f(x),x0為迭代初值，e精度要求(默認(rèn)為1e-4)Ifnargin<4,e=1e-4:%精度默認(rèn)為1e-4EndX=x0;x0=x+2*e;%使while成立，進(jìn)入whiler后x0得到賦值Whileabs(x0-x)>eX0=x;X0=x;X=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);End然后，當(dāng)時(shí)，f(x)>0,f(x)>0,即f(x)恒正，所以根在[0，2]，我們先用圖解法找x,2初值，在用Newton法程序newton.m求解.Fun=inline('x^3+x^2-3*x-3');Fplot(fun,[0,2]);Gridon;163210-1-2-3-4-500.20.40.60.811.21.41.61.82圖2求根圖由圖2可知方程有唯一正根在[1.6，1.8]之間，我們?nèi)〕踔?.5代入Newton程序之中得:Dfun=inline('3*x^2+2*x-3');Formatlong;Newton(fun,dfun,1.5,1e-4);Formatshort;Ans=1.73205080756888而用Matlab本身的函數(shù)fzero求出來(lái)的結(jié)果為:FormatlongFzero(inline('x^3+x^2-3*x-3'),1.5);FormatshortAns=1.7320508075688817例4住房是居民消費(fèi)一個(gè)主要部分，大部分人選擇銀行按揭貸款，然后在若干年內(nèi)逐月分期還款，如果你借了10萬(wàn)，還款額一定超過(guò)10萬(wàn).解設(shè)貸款總額為，貸款期限為N個(gè)月，采取逐月等額方式償還本息，若xx0k為第K個(gè)月的欠款數(shù)，a為月還款，r為月利率，我們得到那些列迭代關(guān)系式xrxa,，,(1)kk，1那么xrxa,，,(1)kk,12,，,，，(1)[1(1)]rxark,2kk21,,，,，，，，，，(1)[1(1)(1)(1)]rxarrr0因此得到月還款計(jì)算公式:N(1)，rx0a,N(1)1，,r下面是一則報(bào)紙?jiān)?002年2月12日第二版上一則房產(chǎn)廣告:表2房貸數(shù)據(jù)表建筑面積總價(jià)30%首付70%按揭月還款236萬(wàn)10.8萬(wàn)30年1436元85.98m不難算出，你向銀行總共借了25.2萬(wàn)，30年內(nèi)共要還款51.96萬(wàn)，約為當(dāng)初借款的兩倍，這個(gè)案例中的貸款年利率的是多少呢,我們根據(jù)a=0.1436，=25.2，N=360，由上a的求解公式得到:x036036025.2(1)0.1436[(1)1]0rrr，,，,,我們令360360frrrr()25.2(1)0.1436[(1)1],，,，,則該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性方程求解的問(wèn)題，令fr()0,求出r我們先用Newton函數(shù)求解，在Matlab中輸入如下程序:常識(shí)1:r應(yīng)比當(dāng)時(shí)活期存款月利率略高一些，我們用當(dāng)時(shí)的活期存款利率為18fr()0.0198/2作為迭代初值，為剔除r=0這個(gè)沒(méi)有意義的根，我們對(duì)稍作變形;Clear;Fun=inline(’25.2*(1+r)^360/0.1436-((1+r)^360-1)/r’,’r’)Fun=Inlinefunction;Fun(r)=25.2*(1+r)^360/0.1436-((1+r)^360-1)/rDfun=inline(’25.2*360*(1+r)^359/0.1436-(360*(1+r)^360-1)/(r^2)’);R=newton(fun,dfun,0.0198/2,1c-4);R=12*r;然后求到結(jié)果:R=0.0553由是得到年利率為5.53%.下面我們用Matlab中的fzero函數(shù)檢驗(yàn)一下:Clear;Fun=inline(’25.2*(1+r)^360-((1+r)^360-1)/r*0.1436’,’r’)Fun=InlinefunctionFun(r)=25.2*(1+r)^360-((1+r)^360-1)/r*0.1436R=fzero(fun,0.0198/2);R=12*rR=0.05533.2改進(jìn)牛頓迭代法的應(yīng)用32例1求方程的根，取初值(要求用三種方法)x,1xx，,,1000解(1)由題意知，用牛頓法公式:x,1032xx，,10kkxx,,，kk1232xx，kk將代入，迭代5次得:x,1x,1.8674605(2)由Simpson牛頓法，x,1019fx()