2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章第02講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(八大題型)(講義)(學(xué)生版+解析)

第02講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：平面向量的數(shù)量積 4知識(shí)點(diǎn)2：數(shù)量積的運(yùn)算律 4知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)量積的性質(zhì) 5知識(shí)點(diǎn)4：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 5解題方法總結(jié) 6題型一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算 7題型二：平面向量的夾角問(wèn)題 8題型三：平面向量的模長(zhǎng) 9題型四：平面向量的投影、投影向量 9題型五：平面向量的垂直問(wèn)題 11題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問(wèn)題 11題型七：平面向量的實(shí)際應(yīng)用 13題型八：向量回路恒等式 1504真題練習(xí)·命題洞見(jiàn) 1605課本典例·高考素材 1706易錯(cuò)分析·答題模板 18易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)向量數(shù)量積的定義理解不深刻導(dǎo)致出錯(cuò) 18答題模板：利用定義法計(jì)算平面圖形的數(shù)量積 19

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）平面向量的數(shù)量積（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義2024年I卷第3題，5分2024年II卷第3題，5分2023年I卷第3題，5分2023年II卷第13題，5分2023年甲卷（理）第4題，5分2022年II卷第4題，5分平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡(jiǎn)、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單獨(dú)命題時(shí)，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時(shí)，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，而此時(shí)向量作為工具出現(xiàn)．向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，務(wù)必引起重視．預(yù)測(cè)命題時(shí)考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點(diǎn)．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義（2）了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系．（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（4）會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)1：平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上射影的乘積．③設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．【診斷自測(cè)】（2024·安徽安慶·三模）已知線段是圓的一條長(zhǎng)為4的弦，則（

）A．4 B．6 C．8 D．16知識(shí)點(diǎn)2：數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：①；②；③．【診斷自測(cè)】（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，且，則（）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別地，或．④．⑤．【診斷自測(cè)】（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，．若，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．2知識(shí)點(diǎn)4：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）【診斷自測(cè)】已知平面向量，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．解題方法總結(jié)（1）在上的投影是一個(gè)數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0．（2）數(shù)量積的運(yùn)算要注意時(shí)，，但時(shí)不能得到或，因?yàn)闀r(shí)，也有．（3）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直的問(wèn)題．（4）若、、是實(shí)數(shù)，則（）；但對(duì)于向量，就沒(méi)有這樣的性質(zhì)，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量．（5）數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即，這是由于表示一個(gè)與共線的向量，表示一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．題型一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【典例1-1】設(shè)平面向量，，且，則=（

）A．1 B．14 C． D．【典例1-2】在中，，，，為的外心，則（

）A．5 B．2 C． D．【方法技巧】（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量數(shù)量積是中學(xué)數(shù)學(xué)較多知識(shí)的交匯處，因此它的應(yīng)用也就十分廣泛．【變式1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（

）A．6 B．8 C．10 D．14【變式1-2】已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．2【變式1-3】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式1-4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）菱形的邊長(zhǎng)為，以為圓心作圓且與相切于是與的交點(diǎn)，則.【變式1-5】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．1題型二：平面向量的夾角問(wèn)題【典例2-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量滿足，則.【典例2-2】（2024·陜西·二模）已知，則向量的夾角的余弦值為.【方法技巧】求夾角，用數(shù)量積，由得，進(jìn)而求得向量的夾角．【變式2-1】（2024·江西宜春·三模）已知，均為非零向量，若，則與的夾角為．【變式2-2】已知與的夾角為．若為鈍角，則的取值范圍是．【變式2-3】（2024·高三·天津?qū)幒印て谀┮阎獑挝幌蛄颗c的夾角為，則向量與的夾角為．【變式2-4】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）平面向量與相互垂直，已知，，且與向量的夾角是鈍角，則.【變式2-5】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量滿足，且，則的夾角大小為．【變式2-6】（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知向量，，滿足，，且，則．題型三：平面向量的模長(zhǎng)【典例3-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，則【典例3-2】（2024·浙江溫州·二模）平面向量滿足，，，則．【方法技巧】求模長(zhǎng)，用平方，．【變式3-1】（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，且與共線，則.【變式3-2】（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）若向量，滿足，，且，則（

）A．1 B． C． D．2【變式3-3】（2024·高三·上海奉賢·期中）已知平面向量，的夾角為，若，則的值為.題型四：平面向量的投影、投影向量【典例4-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在直線上.若向量，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【典例4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【方法技巧】設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．【變式4-3】在三角形中，若，則向量在向量上的投影向量為.【變式4-4】已知向量與的夾角為，，設(shè)在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【變式4-5】已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為B，C，以BC為直徑的圓與漸近線交與點(diǎn)A，連接AB與另一條漸近線交與點(diǎn)E，為原點(diǎn)，，且.若在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．題型五：平面向量的垂直問(wèn)題【典例5-1】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則（

）A．2或3 B．或 C．1或 D．或6【典例5-2】（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，且，若，則（

）A． B．C． D．【方法技巧】【變式5-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（

）A．0 B．2 C． D．【變式5-2】（2024·浙江紹興·二模）已知，是單位向量，且它們的夾角是，若，，且，則（

）A． B． C． D．【變式5-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知，且與不共線，若向量與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問(wèn)題【典例6-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在菱形ABCD中，，若點(diǎn)M在線段AD上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為．【典例6-2】如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，且，連接交于，則【方法技巧】邊長(zhǎng)為的等邊三角形已知夾角的任意三角形正方形矩形平行四邊形直角梯形等腰梯形圓【變式6-1】（2024·高三·河南濮陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作注時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，其中四邊形均為正方形，，則.【變式6-2】（2024·天津·二模）已知菱形邊長(zhǎng)為1，且為線段的中點(diǎn)，若在線段上，且，則，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做的垂線交邊于點(diǎn)，則的最小值為.【變式6-3】窗，古時(shí)亦稱為牖，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國(guó)建筑文化中是一種獨(dú)具文化意蘊(yùn)和審美魅力的重要建筑構(gòu)件．如圖是某古代建筑群的窗戶設(shè)計(jì)圖，窗戶的輪廓ABCD是邊長(zhǎng)為50cm的正方形，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的小正方形EFGH拼接而成，則．【變式6-4】如圖，正八邊形中，若，則的值為．題型七：平面向量的實(shí)際應(yīng)用【典例7-1】（2024·高三·廣東汕頭·期末）設(shè)表示向東走了10km，表示向南走了5km，則所表示的意義為（

）A．向東南走了km B．向西南走了kmC．向東南走了km D．向西南走了km【典例7-2】（2024·浙江溫州·二模）物理學(xué)中，如果一個(gè)物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說(shuō)這個(gè)力對(duì)物體做了功，功的計(jì)算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中這兩個(gè)力的合力對(duì)物體所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．【方法技巧】用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟【變式7-1】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對(duì)岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．【變式7-2】（2024·廣東梅州·二模）如圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子AB上.已知物體M的重力大小為20牛，且，在下列角度中，當(dāng)角取哪個(gè)值時(shí)，繩承受的拉力最小.（

）A． B． C． D．【變式7-3】在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時(shí)行駛速度的方向和大小為（）A．北偏西，B．北偏西，C．北偏東，D．北偏東，【變式7-4】在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況（如圖所示）．假設(shè)行李包所受的重力為，所受的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為，則以下結(jié)論不正確的是（）A．的最小值為B．的范圍為C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，題型八：向量回路恒等式【典例8-1】如圖，在平面四邊形中，，，則．【典例8-2】如圖，在平面四邊形中，若，，則．【方法技巧】向量回路恒等式：【變式8-1】如圖，已知在四邊形中，．則．1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．23．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．14．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件5．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．17．一條河的兩岸平行，河的寬度，一般船從河岸邊的A處出發(fā)到河對(duì)岸.已知船在靜水中的速度的大小為，水流速度的大小為.如果要使船行駛的時(shí)間最短，那么船行駛的距離與合速度的大小的比值必須最小.此時(shí)我們分三種情況討論：（1）當(dāng)船逆流行駛，與水流成鈍角時(shí)；（2）當(dāng)船順流行駛，與水流成銳角時(shí)；（3）當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛，與水流成直角時(shí).請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算上面三種情況下船行駛的時(shí)間，判斷是否當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛，與水流成直角時(shí)所用時(shí)間最短.易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)向量數(shù)量積的定義理解不深刻導(dǎo)致出錯(cuò)易錯(cuò)分析：（1）解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，一定要注意向量的夾角與已知角之間的關(guān)系是互補(bǔ)還是相等．（2）向量的數(shù)量積與代數(shù)中，的乘積寫(xiě)法不同，不能漏掉其中的“?”．【易錯(cuò)題1】在中，，，，則的值為.【易錯(cuò)題2】已知在上的投影向量為，則的值為.答題模板：利用定義法計(jì)算平面圖形的數(shù)量積1、模板解決思路通過(guò)定義法求解本模板問(wèn)題時(shí)，要將待求數(shù)量積的向量用已知模和夾角的向量表示出來(lái)，再運(yùn)算求解．2、模板解決步驟第一步：根據(jù)條件，把向量用已知模和夾角的向量表示出來(lái)．第二步：將的表示式代入，再根據(jù)定義法求數(shù)量積．第三步：進(jìn)一步求解相關(guān)問(wèn)題．【經(jīng)典例題1】已知在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)滿足，則.【經(jīng)典例題2】如圖，在△ABC中，，，，則．第02講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：平面向量的數(shù)量積 4知識(shí)點(diǎn)2：數(shù)量積的運(yùn)算律 5知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)量積的性質(zhì) 5知識(shí)點(diǎn)4：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 6解題方法總結(jié) 7題型一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算 7題型二：平面向量的夾角問(wèn)題 10題型三：平面向量的模長(zhǎng) 14題型四：平面向量的投影、投影向量 15題型五：平面向量的垂直問(wèn)題 19題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問(wèn)題 21題型七：平面向量的實(shí)際應(yīng)用 27題型八：向量回路恒等式 3104真題練習(xí)·命題洞見(jiàn) 3305課本典例·高考素材 3406易錯(cuò)分析·答題模板 38易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)向量數(shù)量積的定義理解不深刻導(dǎo)致出錯(cuò) 38答題模板：利用定義法計(jì)算平面圖形的數(shù)量積 39

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）平面向量的數(shù)量積（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義2024年I卷第3題，5分2024年II卷第3題，5分2023年I卷第3題，5分2023年II卷第13題，5分2023年甲卷（理）第4題，5分2022年II卷第4題，5分平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡(jiǎn)、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單獨(dú)命題時(shí)，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時(shí)，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，而此時(shí)向量作為工具出現(xiàn)．向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，務(wù)必引起重視．預(yù)測(cè)命題時(shí)考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點(diǎn)．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義（2）了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系．（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（4）會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)1：平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上射影的乘積．③設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．【診斷自測(cè)】（2024·安徽安慶·三模）已知線段是圓的一條長(zhǎng)為4的弦，則（

）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【解析】取中點(diǎn)，連接，易知，所以.故選：C．知識(shí)點(diǎn)2：數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：①；②；③．【診斷自測(cè)】（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋裕?故選：B知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別地，或．④．⑤．【診斷自測(cè)】（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，．若，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由題意得，．，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得．故選：A．知識(shí)點(diǎn)4：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）【診斷自測(cè)】已知平面向量，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，，又，所以，即，所以，解得.故選：B.解題方法總結(jié)（1）在上的投影是一個(gè)數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0．（2）數(shù)量積的運(yùn)算要注意時(shí)，，但時(shí)不能得到或，因?yàn)闀r(shí)，也有．（3）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直的問(wèn)題．（4）若、、是實(shí)數(shù)，則（）；但對(duì)于向量，就沒(méi)有這樣的性質(zhì)，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量．（5）數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即，這是由于表示一個(gè)與共線的向量，表示一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．題型一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【典例1-1】設(shè)平面向量，，且，則=（

）A．1 B．14 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以又，則所以，則，故選：【典例1-2】在中，，，，為的外心，則（

）A．5 B．2 C． D．【答案】D【解析】在中，，，，又為的外心，是的中點(diǎn)，故選：D【方法技巧】（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量數(shù)量積是中學(xué)數(shù)學(xué)較多知識(shí)的交匯處，因此它的應(yīng)用也就十分廣泛．【變式1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【解析】`由，且與的夾角為，所以.故選：B.【變式1-2】已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．2【答案】A【解析】在方向上投影向量為，，.故選：A【變式1-3】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，，，，，所以.故選：D.【變式1-4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）菱形的邊長(zhǎng)為，以為圓心作圓且與相切于是與的交點(diǎn)，則.【答案】1+/【解析】由題可知，則，所以，故，故.故答案為：【變式1-5】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】，，且，而三點(diǎn)共線，，即，，所以.故選：A.題型二：平面向量的夾角問(wèn)題【典例2-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量滿足，則.【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以，所以，?又，所以.故答案為：.【典例2-2】（2024·陜西·二模）已知，則向量的夾角的余弦值為.【答案】【解析】設(shè)向量夾角為，則.故答案為：.【方法技巧】求夾角，用數(shù)量積，由得，進(jìn)而求得向量的夾角．【變式2-1】（2024·江西宜春·三模）已知，均為非零向量，若，則與的夾角為．【答案】【解析】由，可得，即，解得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以．故答案為?【變式2-2】已知與的夾角為．若為鈍角，則的取值范圍是．【答案】且【解析】由，且為鈍角，所以，解得，當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)與夾角為，不成立，且．故答案為：且．【變式2-3】（2024·高三·天津?qū)幒印て谀┮阎獑挝幌蛄颗c的夾角為，則向量與的夾角為．【答案】/【解析】因?yàn)閱挝幌蛄颗c的夾角為，所以，所以，，故，，故，所以，又，所以向量與的夾角為.故答案為：【變式2-4】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）平面向量與相互垂直，已知，，且與向量的夾角是鈍角，則.【答案】【解析】設(shè)，，，①，，②，因?yàn)榕c向量夾角為鈍角，，③，由①②③解得，.故答案為：.【變式2-5】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量滿足，且，則的夾角大小為．【答案】【解析】因?yàn)?，設(shè)向量與的夾角為6，所以，又因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?所以向量的夾角大小為.故答案為：.【變式2-6】（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知向量，，滿足，，且，則．【答案】/0.8【解析】由題，故即，，；，故即，，；，故即，，，所以，且，，所以.故答案為：.題型三：平面向量的模長(zhǎng)【典例3-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，則【答案】【解析】可得，故，故答案為：【典例3-2】（2024·浙江溫州·二模）平面向量滿足，，，則．【答案】【解析】設(shè)向量，由可得，又，則，解得，，則，所以.故答案為：【方法技巧】求模長(zhǎng)，用平方，．【變式3-1】（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，且與共線，則.【答案】【解析】因?yàn)榕c共線，所以，所以，所以，所以，故答案為：.【變式3-2】（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）若向量，滿足，，且，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，其中是的夾角，所以.故選：B.【變式3-3】（2024·高三·上海奉賢·期中）已知平面向量，的夾角為，若，則的值為.【答案】【解析】由兩邊平方得，，，解得故答案為：題型四：平面向量的投影、投影向量【典例4-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在直線上.若向量，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可設(shè)，則，所以，又，故在上的投影向量為，故選：A.【典例4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在直角梯形中，且，過(guò)作于，則，故，從而.因此，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C【方法技巧】設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，得，所以向量在向量方向上的投影向量?故選：C【變式4-2】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，，所以在上的投影向量?故選：B【變式4-3】在三角形中，若，則向量在向量上的投影向量為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所?所以，所以為等腰三角形，所以向量在向量上的投影向量為,故答案為：.【變式4-4】已知向量與的夾角為，，設(shè)在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上的投影向量為，即，則有，又向量與的夾角為，，所以.故選：A.【變式4-5】已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為B，C，以BC為直徑的圓與漸近線交與點(diǎn)A，連接AB與另一條漸近線交與點(diǎn)E，為原點(diǎn)，，且.若在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以BC為直徑的圓與漸近線交與點(diǎn)A，AB與另一條漸近線交與點(diǎn)E，則，由，所以，，又，則，即是等邊三角形，，則，由在上的投影向量，即，所以，由圖得，.故選：A.題型五：平面向量的垂直問(wèn)題【典例5-1】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則（

）A．2或3 B．或 C．1或 D．或6【答案】D【解析】由題意，向量，可得，因?yàn)椋瑒t，即，解得或6．故選：D【典例5-2】（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，且，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，，所以，又，所以，即，因?yàn)?，所?故選：A.【方法技巧】【變式5-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（

）A．0 B．2 C． D．【答案】A【解析】，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則，，因?yàn)榕c垂直，則，即，解得.故選：A.【變式5-2】（2024·浙江紹興·二模）已知，是單位向量，且它們的夾角是，若，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，，即，解得，故選：B．【變式5-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知，且與不共線，若向量與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，即，即，解得.故選：C題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問(wèn)題【典例6-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在菱形ABCD中，，若點(diǎn)M在線段AD上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為．【答案】．【解析】，記的交點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，則，故，又則．【典例6-2】如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，且，連接交于，則【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，可得，因?yàn)?，則，可得，即，解得，即的坐標(biāo)為，設(shè)，則，，由可得，解得，則，，可得所以．故答案為：.【方法技巧】邊長(zhǎng)為的等邊三角形已知夾角的任意三角形正方形矩形平行四邊形直角梯形等腰梯形圓【變式6-1】（2024·高三·河南濮陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作注時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，其中四邊形均為正方形，，則.【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.【變式6-2】（2024·天津·二模）已知菱形邊長(zhǎng)為1，且為線段的中點(diǎn)，若在線段上，且，則，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做的垂線交邊于點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則有、，由，則，則，則，，則，，由，即，則，則，，又在線段上，故有，解得，即，；設(shè)，，則，由，則，由，，則，則，則，故，則，，，則，則當(dāng)時(shí)，有最小值.故答案為：；.【變式6-3】窗，古時(shí)亦稱為牖，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國(guó)建筑文化中是一種獨(dú)具文化意蘊(yùn)和審美魅力的重要建筑構(gòu)件．如圖是某古代建筑群的窗戶設(shè)計(jì)圖，窗戶的輪廓ABCD是邊長(zhǎng)為50cm的正方形，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的小正方形EFGH拼接而成，則．【答案】【解析】根據(jù)正方形的對(duì)稱性，設(shè)其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)與軸正方向的夾角為，則，即，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，解得，所以，所以，所以，又為銳角，所以，所以；故答案為：【變式6-4】如圖，正八邊形中，若，則的值為．【答案】【解析】如圖，以所在的直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，正八邊形的中心即為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)交軸與點(diǎn)，，，所以，，所以，即軸，為等腰直角三角形，設(shè)，則，，所以，所以，，與關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，，，由得，即，解得，所以.故答案為：.題型七：平面向量的實(shí)際應(yīng)用【典例7-1】（2024·高三·廣東汕頭·期末）設(shè)表示向東走了10km，表示向南走了5km，則所表示的意義為（

）A．向東南走了km B．向西南走了kmC．向東南走了km D．向西南走了km【答案】A【解析】可以表示向東走了10km，再向南走了10km，由勾股定理可知，所表示的意義為向東南走了km.故選：A.【典例7-2】（2024·浙江溫州·二模）物理學(xué)中，如果一個(gè)物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說(shuō)這個(gè)力對(duì)物體做了功，功的計(jì)算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中這兩個(gè)力的合力對(duì)物體所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，又，，所以，?故選：A.【方法技巧】用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟【變式7-1】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對(duì)岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為，故選：C.【變式7-2】（2024·廣東梅州·二模）如圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子AB上.已知物體M的重力大小為20牛，且，在下列角度中，當(dāng)角取哪個(gè)值時(shí)，繩承受的拉力最小.（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出示意圖，設(shè)與物體平衡的力對(duì)應(yīng)的向量為，則，以為對(duì)角線作平行四邊形，則，是繩承受的拉力大小，由，得，所以，中，由正弦定理得，即，可得，結(jié)合，可知當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值10.綜上所述，當(dāng)角時(shí)，繩承受的拉力最小.故選：C【變式7-3】在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時(shí)行駛速度的方向和大小為（）A．北偏西，B．北偏西，C．北偏東，D．北偏東，【答案】A【解析】如圖，船從點(diǎn)O出發(fā)，沿方向行駛才能使船垂直到達(dá)對(duì)岸，依題意，，，則，則，因?yàn)闉殇J角，故，故船以的速度，以北偏西的方向行駛，才能垂直到達(dá)對(duì)岸.故選:A.【變式7-4】在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況（如圖所示）．假設(shè)行李包所受的重力為，所受的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為，則以下結(jié)論不正確的是（）A．的最小值為B．的范圍為C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】B【解析】如圖，對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)、方向同向時(shí)，有，此時(shí)取得最小值，且最小值為，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，有，行李包不會(huì)處于平衡狀態(tài)，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)行李包處于平衡時(shí)，，若，則有，變形得，，即，正確；對(duì)于D選項(xiàng)：若，則有則有，變形可得則有，D正確，故選：B．題型八：向量回路恒等式【典例8-1】如圖，在平面四邊形中，，，則．【答案】【解析】由題意得，，，因?yàn)椋?，從?故答案為：.【典例8-2】如圖，在平面四邊形中，若，，則．【答案】5【解析】由題意可得：，故，則，即.故答案為：5.【方法技巧】向量回路恒等式：【變式8-1】如圖，已知在四邊形中，．則．【答案】【解析】如圖，設(shè)分別為的中點(diǎn)．則．又，故．同理，．又，則.故答案為1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，可得，即，可知等價(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無(wú)法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充