2025年新高考數(shù)學一輪復習第1章拔高點突破02柯西不等式、反柯西不等式與權(quán)方和不等式(十一大題型)(學生版+解析)

拔高點突破02柯西不等式、反柯西不等式與權(quán)方和不等式目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：柯西不等式之直接套公式型 2題型二：柯西不等式之根式下有正負型 3題型三：柯西不等式之高次定求低次型 3題型四：柯西不等式之低次定求高次型 4題型五：柯西不等式之整式與分式型 4題型六：柯西不等式之多變量型 5題型七：柯西不等式之三角函數(shù)型 5題型八：Aczel不等式 5題型九：權(quán)方和不等式之整式與分式綜合型 6題型十：權(quán)方和不等式之三角函數(shù)型 6題型十一：權(quán)方和不等式之雜合型 703過關(guān)測試 7

1、柯西不等式（Cauchy不等式）（1）二元柯西不等式：對于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等條件：或（）．2、Aczel不等式（反柯西不等式）設；均為實數(shù)，或，則有．當且僅當，成比例時取等．3、權(quán)方和不等式（1）二維形式的權(quán)方和不等式對于任意的，都有．當且僅當時，等號成立．（2）一般形式的權(quán)方和不等式若，，，則，當時等號成立．題型一：柯西不等式之直接套公式型【例1】已知且則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【變式1-1】若，則的最小值為（

）A．25 B．8 C． D．【變式1-2】已知a，b，，滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6題型二：柯西不等式之根式下有正負型【例2】（2024·高三·山東青島·期中）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法國數(shù)學家柯西與德國數(shù)學家施瓦茨分別獨立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)學分析中有廣泛的應用.現(xiàn)給出一個二維柯西不等式：，當且僅當時等號成立.根據(jù)柯西不等式可以得知函數(shù)的最大值為（

）A． B． C．12 D．20【變式2-1】柯西不等式是數(shù)學家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的一個重要不等式,而柯西不等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,當且僅當時取等號.現(xiàn)已知,,,則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2024·浙江·模擬預測）已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型三：柯西不等式之高次定求低次型【例3】設a，b，c為正數(shù)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）柯西不等式最初是由大數(shù)學家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的.而后來有兩位數(shù)學家Buniakowsky和Schwarz彼此獨立地在積分學中推而廣之，才能將這一不等式應用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對實數(shù)和，有等號成立當且僅當已知，請你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【變式3-2】已知實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．題型四：柯西不等式之低次定求高次型【例4】若實數(shù)a，b，c，d滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對【變式4-1】已知空間向量，，且，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【變式4-2】已知，，為實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．題型五：柯西不等式之整式與分式型【例5】（2024·高三·浙江臺州·期末）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為．【變式5-1】已知、、，且滿足，則的最小值為.【變式5-2】已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型六：柯西不等式之多變量型【例6】已知且，a，b，c為常數(shù)，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【變式6-1】已知實數(shù)a，b，c，d，e滿足則e的取值范圍是（

）A． B． C． D．以上答案都不對【變式6-2】已知，且，則的最小值是（

）A． B．C．417 D．以上答案都不對題型七：柯西不等式之三角函數(shù)型【例7】函數(shù)的最大值為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【變式7-1】（2024·浙江·一模）若，則的最小值是（

）A．0 B． C． D．【變式7-2】函數(shù)的最大值為（

）A． B．5 C．4 D．題型八：Aczel不等式【例8】的最小值為．【變式8-1】為提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和學習數(shù)學的興趣，學校在高一年級開設了《數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)》選修課．在某次主題是“向量與不等式”的課上，學生甲運用平面向量的數(shù)量積知識證明了著名的柯西不等式（二維）；當向量時，有，即，當且僅當時等號成立；學生乙從這個結(jié)論出發(fā)．作一個代數(shù)變換，得到了一個新不等式：，當且僅當時等號成立，并取名為“類柯西不等式”．根據(jù)前面的結(jié)論可知：當時，的最小值是．題型九：權(quán)方和不等式之整式與分式綜合型【例9】已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為【變式9-1】權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設a，b，x，y>0，則，當且僅當時等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．49【變式9-2】已知a，b，c為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為.題型十：權(quán)方和不等式之三角函數(shù)型【例10】已知正實數(shù)、且滿足，求的最小值.【變式10-1】已知為銳角，則的最小值為.【變式10-2】（2024·四川·模擬預測）“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學楊克昌教授于上世紀80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設，則，當且僅當時，等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當取得最小值時，的值為（

）A． B． C． D．題型十一：權(quán)方和不等式之雜合型【例11】已知，則的最小值是．【變式11-1】已知，求的最小值為【變式11-2】求的最大值為1．（2024·吉林白山·一模）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設正數(shù)，，，，滿足，當且僅當時，等號成立．則函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．492．已知a，b，c均大于1，，則的最小值為（

）A．243 B．27 C．81 D．93．（2024·福建·模擬預測）設、，，則的最小值是（

）A． B． C． D．4．由柯西不等式，當時，求的最大值為（

）A．10 B．4 C．2 D．5．已知，則的取最小值時，為（

）A． B． C．3 D．6．已知：，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．實數(shù)x、y滿足，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．48．已知a，，，則的最大值為（

）A．18 B．9 C． D．9．若實數(shù)，則的最小值為（

）A．14 B． C．29 D．10．函數(shù)的最小值是A． B． C． D．11．若，則的最大值（

）A．3 B．6 C．9 D．2712．函數(shù)的最大值是()A． B． C．3 D．513．已知，，則的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．414．函數(shù)，則的最大值是（）A． B． C． D．15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知，，，且，則的最大值為（）A．3 B． C．18 D．916．已知x，y均為正數(shù)，且，則的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．1117．（2024·廣西南寧·二模）設實數(shù)滿足關(guān)系：，，則實數(shù)的最大值為A． B． C． D．18．（2024·山西·二模）柯西不等式是數(shù)學家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的一個重要不等式，而柯西不等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，當且僅當時取等號.現(xiàn)已知，，，則的最大值為.19．若不等式對任意正實數(shù)x，y都成立，則實數(shù)k的最小值為.20．已知x，y，，且，則的最小值為．21．（2024·高三·江蘇蘇州·開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是．22．在銳角中，的最小值是．23．函數(shù)的最大值與最小值之積為．24．（2024·高三·天津南開·期中）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為.25．已知，則的最小值是．26．已知x>0，y>0，且，則x+2y的最小值為.拔高點突破02柯西不等式、反柯西不等式與權(quán)方和不等式目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：柯西不等式之直接套公式型 2題型二：柯西不等式之根式下有正負型 4題型三：柯西不等式之高次定求低次型 5題型四：柯西不等式之低次定求高次型 7題型五：柯西不等式之整式與分式型 8題型六：柯西不等式之多變量型 9題型七：柯西不等式之三角函數(shù)型 11題型八：Aczel不等式 12題型九：權(quán)方和不等式之整式與分式綜合型 13題型十：權(quán)方和不等式之三角函數(shù)型 14題型十一：權(quán)方和不等式之雜合型 1503過關(guān)測試 16

1、柯西不等式（Cauchy不等式）（1）二元柯西不等式：對于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等條件：或（）．2、Aczel不等式（反柯西不等式）設；均為實數(shù)，或，則有．當且僅當，成比例時取等．3、權(quán)方和不等式（1）二維形式的權(quán)方和不等式對于任意的，都有．當且僅當時，等號成立．（2）一般形式的權(quán)方和不等式若，，，則，當時等號成立．題型一：柯西不等式之直接套公式型【例1】已知且則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：，即所以，當且僅當即時取等號，故的最小值為，故選：B．【變式1-1】若，則的最小值為（

）A．25 B．8 C． D．【答案】C【解析】由柯西不等式，得，∴，∴，當且時，即，且與異號時，，則的最小值為.選：C.【變式1-2】已知a，b，，滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】設，，，可得，所以．因為，所以，當且僅當，取得最大值6，此時，所以的最大值為．故選：B.題型二：柯西不等式之根式下有正負型【例2】（2024·高三·山東青島·期中）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法國數(shù)學家柯西與德國數(shù)學家施瓦茨分別獨立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)學分析中有廣泛的應用.現(xiàn)給出一個二維柯西不等式：，當且僅當時等號成立.根據(jù)柯西不等式可以得知函數(shù)的最大值為（

）A． B． C．12 D．20【答案】A【解析】由，解得，所以函數(shù)的定義域為，由柯西不等式得，，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為.故選：A.【變式2-1】柯西不等式是數(shù)學家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的一個重要不等式,而柯西不等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,當且僅當時取等號.現(xiàn)已知,,,則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為,令,又,,,所以,當且僅當即時等號成立,即,故選:D.【變式2-2】（2024·浙江·模擬預測）已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，即.由可知，所以.由，可得，由柯西不等式得，所以，當即時，取等號.所以的最大值為.故選：C.題型三：柯西不等式之高次定求低次型【例3】設a，b，c為正數(shù)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一根據(jù)題意，有，其中，令，解得，于是，等號當時取得，因此所求最大值為．解法二令，其中，則，等號當時取得，因此所求最大值為．解法三根據(jù)題意，有，等號當，且即時取得，因此所求最大值為．故選：A.【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）柯西不等式最初是由大數(shù)學家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的.而后來有兩位數(shù)學家Buniakowsky和Schwarz彼此獨立地在積分學中推而廣之，才能將這一不等式應用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對實數(shù)和，有等號成立當且僅當已知，請你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】由題干中柯西不等式可得，所以的最大值為，當且僅當時取等號.故選：A【變式3-2】已知實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則條件為，所以，等號當且時取得，因此所求代數(shù)式的最大值為．故選：D題型四：柯西不等式之低次定求高次型【例4】若實數(shù)a，b，c，d滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對【答案】B【解析】根據(jù)題意，有，而，當且僅從時等號成立.同理，當且僅當式等號成立，記題中代數(shù)式為M，于是，等號當時取得，因此所求代數(shù)式的最小值為2．故選：B.【變式4-1】已知空間向量，，且，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】因為，所以，當且僅當時等號成立，即時等號成立.所以，所以的最小值為.故選：B【變式4-2】已知，，為實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】由三維柯西不等式：當且僅當時取等,所以所以，當且僅當時取等,所以的最小值為：2故選：C題型五：柯西不等式之整式與分式型【例5】（2024·高三·浙江臺州·期末）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】/0.5【解析】由柯西不等式而，所以時等號成立，故答案為：.【變式5-1】已知、、，且滿足，則的最小值為.【答案】【解析】因為、、，且滿足，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.【變式5-2】已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為且，，，因為所以，當且僅當時，的最小值為.故選：D.題型六：柯西不等式之多變量型【例6】已知且，a，b，c為常數(shù)，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【答案】D【解析】根據(jù)柯西不等式，有，等號當時取得，因此所求最小值為．故選：D.【變式6-1】已知實數(shù)a，b，c，d，e滿足則e的取值范圍是（

）A． B． C． D．以上答案都不對【答案】D【解析】根據(jù)柯西不等式，有，從而，因此e的取值范圍是．故選：D.【變式6-2】已知，且，則的最小值是（

）A． B．C．417 D．以上答案都不對【答案】A【解析】由可得，由對稱性可設，則條件即即，從而，根據(jù)柯西不等式，等號當時取得．因此所求最小值為．故選：A.題型七：柯西不等式之三角函數(shù)型【例7】函數(shù)的最大值為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【答案】D【解析】題中代數(shù)式為，等號當時可以取得，因此所求最大值為．故選：D.【變式7-1】（2024·浙江·一模）若，則的最小值是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由已知整理得，由柯西不等式得，當時取等號，所以，即，解得，所以的最小值為.故選：C．【變式7-2】函數(shù)的最大值為（

）A． B．5 C．4 D．【答案】A【解析】利用柯西不等式進行求最值.當且僅當，即時，函數(shù)有最大值.故選：A.題型八：Aczel不等式【例8】的最小值為．【答案】【解析】當且僅當即時取等號，故的最小值為．【變式8-1】為提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和學習數(shù)學的興趣，學校在高一年級開設了《數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)》選修課．在某次主題是“向量與不等式”的課上，學生甲運用平面向量的數(shù)量積知識證明了著名的柯西不等式（二維）；當向量時，有，即，當且僅當時等號成立；學生乙從這個結(jié)論出發(fā)．作一個代數(shù)變換，得到了一個新不等式：，當且僅當時等號成立，并取名為“類柯西不等式”．根據(jù)前面的結(jié)論可知：當時，的最小值是．【答案】【解析】由題意得，則，當且僅當，即時，等號成立，即，則，所以，最小值為，此時．故答案為：.題型九：權(quán)方和不等式之整式與分式綜合型【例9】已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為【答案】【解析】因為正數(shù)，滿足，所以，當且僅當即時取等號.故答案為：.【變式9-1】權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設a，b，x，y>0，則，當且僅當時等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】B【解析】因a，b，x，y>0，則，當且僅當時等號成立，又，即，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以函數(shù)的最小值為25.故選：B【變式9-2】已知a，b，c為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為.【答案】2【解析】由權(quán)方和不等式，可知==，當且僅當時等號成立，所以的最小值為2.故答案為：2.題型十：權(quán)方和不等式之三角函數(shù)型【例10】已知正實數(shù)、且滿足，求的最小值.【答案】【解析】設，，，由權(quán)方和不等式，可知，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為.故答案為：【變式10-1】已知為銳角，則的最小值為.【答案】【解析】當且僅當即，時取“”.故答案為：【變式10-2】（2024·四川·模擬預測）“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學楊克昌教授于上世紀80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設，則，當且僅當時，等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當取得最小值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，則，當且僅當，即時等號成立，所以．故選：C．題型十一：權(quán)方和不等式之雜合型【例11】已知，則的最小值是．【答案】【解析】由題意得，．（權(quán)方和的一般形式為：,,當且僅當時等號成立）當，即時，取得最小值．故答案為：【變式11-1】已知，求的最小值為【答案】【解析】當且僅當時取等號故答案為：60【變式11-2】求的最大值為【答案】【解析】當且僅當，即或時取等號故答案為：.1．（2024·吉林白山·一模）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設正數(shù)，，，，滿足，當且僅當時，等號成立．則函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】D【解析】因為，，，，則，當且僅當時等號成立，又，即，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以函數(shù)的最小值為49．故選：D2．已知a，b，c均大于1，，則的最小值為（

）A．243 B．27 C．81 D．9【答案】B【解析】由得，所以，當且僅當時取等，所以，所以，即的最小值為27，故選：B3．（2024·福建·模擬預測）設、，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，因為，則且，因為，構(gòu)造數(shù)字式，所以，，故，當且僅當，即當時，等號成立，因此，的最小值是.故選：B.4．由柯西不等式，當時，求的最大值為（

）A．10 B．4 C．2 D．【答案】D【解析】由柯西不等式，得，當且僅當，即時，等號成立.因為，所以，則，故的最大值為.故選：D5．已知，則的取最小值時，為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】由柯西不等式得：則．則根據(jù)等號成立條件知，，，所以故選：B6．已知：，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得,，解得.故選:B7．實數(shù)x、y滿足，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】實數(shù)x、y滿足，，，，當且僅當時取等號，的最小值是.故選：A.8．已知a，，，則的最大值為（

）A．18 B．9 C． D．【答案】C【解析】由題意，，當且僅當時等號成立，當，時，故的最大值為.故選：C.9．若實數(shù)，則的最小值為（

）A．14 B． C．29 D．【答案】B【解析】根據(jù)柯西不等式：，即，當且僅當，，時等號成立.故選：B.10．函數(shù)的最小值是A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)柯西不等式，得當且僅當，即時等號成立.此時，，故選：B.11．若，則的最大值（

）A．3 B．6 C．9 D．27【答案】A【解析】根據(jù)柯西不等式可得：，當且僅當，即時，等號成立.故選:A.12．函數(shù)的最大值是()A． B． C．3 D．5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因為當且僅當，即時，取等號.故選：B13．已知，，則的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.，當且僅當時取等號.∴的最大值是故選：A14．函數(shù)，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】將化為，利用柯西不等式即可得出答案.因為所以當且僅當時取等號.故選：A15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知，，，且，則的最大值為（）A．3 B． C．18 D．9【答案】B【解析】由柯西不等式得：，所以，當且僅當時，等號成立，故選B.16．已知x，y均為正數(shù)，且，則的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】當且僅當，即時，等式成立.故選：C17