等差數(shù)列與等比數(shù)列例題和知識(shí)點(diǎn)梳理

#等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和■知識(shí)梳理.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示..等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列｛/｝的首項(xiàng)為4,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是a,=%+(n—1)d..等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)..等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(n—m)d(n,m￡N*).(2)若｛an｝為等差數(shù)列，且k+1=m+n(k,l,m,n￡N*),貝|a；fa,產(chǎn)a出+a於.(3)若｛an｝是等差數(shù)列，公差為d則｛a2n｝也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若｛an｝,｛bn｝是等差數(shù)列，則Qan十夕bn｝也是等差數(shù)列.(5)若｛an｝是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+m,a&2m，…(k,m￡N*)是公差為md_的等差數(shù)列.⑹數(shù)列Sm，S2m—Sm,S3m-S2m,…構(gòu)成等差數(shù)歹九(7)若｛an｝是等差數(shù)列，則］S｝也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與｛an｝的首項(xiàng)相同，公差為2d..等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,其前n項(xiàng)和Sn=na25或sn=nai+nln—Dd..等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn=2n2+(。1—2)n.數(shù)歹|J｛an｝是等差數(shù)列臺(tái)Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).

.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列｛an｝中，4>0，d<0，則Sn存在最大值；若％<0，介0,則Sn存在最小值.【概念方法微思考】.“a，A,b是等差數(shù)列"是“A="b”的什么條件？提示充要條件..等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù)嗎？提示不一定.當(dāng)公差d=0時(shí)，Sn=n4,不是關(guān)于n的二次函數(shù).「基礎(chǔ)自測題組一思考辨析.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.TOC\o"1-5"\h\z( )(2)等差數(shù)列｛an｝的單調(diào)性是由公差d決定的.( )(3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).( )(4)數(shù)列也an｝為等差數(shù)列的充要條件是對任意n￡N*,都有2an+1=an+an+2.( )題組二教材改編.設(shè)數(shù)歹也an｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a6=2且S5=30,則S8等于()A.31B.32C.33D.34.在等差數(shù)列|J{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,則a2+a8=,4.一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為254.一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為25從第10項(xiàng)起開始比1大，則這個(gè)等差數(shù)列的公差d的取值范圍是( )3B3B.d<百A.d>7583C-75<83C-75<d25D-75<d<255.(多選)設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5<S6,S6=S7>S8,則下列結(jié)論正確的是( )A.d<0 B.a7=0C.S9>S5 D.S6與S7均為Sn的最大值

.若等差數(shù)歹也4｝滿足為+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=—時(shí)，｛an｝的前n項(xiàng)和最大..一物體從1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m,以后每秒比前一秒多降落9.80m,那么經(jīng)過 秒落到地面．題型突破 典題深度剖析重點(diǎn)齊堆探究自主演練等差數(shù)列基本量的運(yùn)算TOC\o"1-5"\h\z（2018?全國I）記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若3s3=S2+S4,a1=2,則a5等于（ ）A.－12 B.－10C.10 D.12（2019?全國I）記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.已知S4=0,%=5,則（）A.a=2n－5 B.a=3n－10nnC.S=2n2—8n D.S=1n2—2nn n2（2019?江蘇）已知數(shù)列以an｝（n￡N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是.（2019?全國0）記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.若a1W0,a2=3a1,題型二師生共研等差數(shù)列的判定與證明題型二師生共研等差數(shù)列的判定與證明12例1（2020?日照模擬）已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,an+1=1—訪，bn=27—T其中nGN*.n an求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛。附｝的通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練1在數(shù)歹也4｝中，4=2,an是1與aan+1的等差中項(xiàng).「1〕(1)求證：數(shù)歹"a■二力是等差數(shù)列，并求｛an｝的通項(xiàng)公式；、n，…，一11〕一一(2)求數(shù)列“na1的前n項(xiàng)和Sn.、n，題型三「、…等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用題型三「、…等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用命題點(diǎn)1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例2(2019?江西師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列|J,Sn為其前n項(xiàng)和，2+a5=a=a6＋a3,A．2B．則S7等于()7C．14D．28命題點(diǎn)2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例3(1)(2020?漳州質(zhì)檢)已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn.若S5=7,S10=21,則S15等于( )A．35B．42C．49D．63(2)已知S是等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，若a=-2018,S流一S泮=6,則邑。,。=n n 1 20192013 2020跟蹤訓(xùn)練2(1)已知等差數(shù)歹也an｝、等差數(shù)歹也bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若苧=n^2,nn則齊的值是()a13b13c11d11A.16B-14C.16D.15若S13>0,S14<0,則Sn若S13>0,S14<0,則Sn取最大值時(shí)nA．6B．7C．8D．13課時(shí)精練V基礎(chǔ)保分練.在等差數(shù)歹|J｛an｝中，a1=2,a5=3a3，則a3等于（ ）A．－2B．0C．3D．6.（2019?晉城模擬）記等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn若a6=16,S5=35,則｛an｝的公差為（）A．3B．2C．－2D．－3.在等差數(shù)列｛an｝中，已知a1011=1,則該數(shù)列前2021項(xiàng)的和S2021等于（）A.2020B.2021C.4040D.4042.已知數(shù)列也an｝是公差不為0的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1+5a3=S8,給出下列結(jié)論：①a10=0；②S10最?。虎跾7=S12；④S20=0.其中一定正確的結(jié)論是（ ）A.①②B.①③④C.①③D.①②④5.程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉,贈(zèng)分八子做盤纏.次第每人多十七,要將第八數(shù)來言.務(wù)要分明依次弟,孝和休惹外人傳.”意為：996斤棉花,分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi),從第一個(gè)開始,以后每人依次多17斤,直到第八個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要等級(jí)分明,使孝順子女的美德外傳,則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為（ ）

A．65B．176C．183D．184.（2019?寧夏銀川一中月考）在等差數(shù)歹也。附｝中，若?<—1,且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn>0成立的正整數(shù)n的最大值是（）A.15B.16C.17D.14.（多選）已知數(shù)歹也an｝是公差不為0的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn,滿足4+5%=S8,下列選項(xiàng)正確的有（ ）A.a10=0 B.S10最小C.S7=S12 D.S20=0.（多選）設(shè)Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，且4=—1,an+1=SSn+1,則（A.A.a=--n 2n－1B.a=B.a=<

n:，n三2,n￡N*nC.一J1〕 數(shù)列｛不卜為等差數(shù)列D.S+S+…+s-=-5050.（2019?全國O）記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.若a3=5,a7=13,則S10=.S 3n1a.等差數(shù)列也an｝,｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且京=2■工3,則%=.nn nn Tn2n＋3 b1011.已知數(shù)列｛11.已知數(shù)列｛an｝滿足(an+1—1)(an-1)=3(an-an+J,。1=2,令b1>= 7.nan-1（1）證明：數(shù)歹也bn｝是等差數(shù)列l(wèi)j；（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式..已知等差數(shù)歹也。附｝的公差辦0,設(shè)｛。附｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1,S2S33=36.⑴求d及Sn；(2)求m,k(m,kENO的值，使得am+am+1+am+2+…+%+上=65.V技能提升練.(2020?大連模擬)已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，bn=2a且b1+b3=17,b2+b4=68,則S10等于()A.90B.100C.110D.120.已知數(shù)列也an｝與］胃均為等差數(shù)列U(nEN*),且a1=2,則a20=.寸拓展沖剌練.(2020?黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)模擬)已知x2+歹2=4,在這兩個(gè)實(shí)數(shù)x,歹之間插入三個(gè)實(shí)數(shù),使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)歹,那么這個(gè)等差數(shù)歹后三項(xiàng)和的最大值為( )A.2寸宜B1國C.\；!0D.3.JT016.記m=da+4冊+…+在"，若｛dn｝是等差數(shù)列ij,則稱m為數(shù)列也a｝的“d等差均值”；n n nn若｛dn｝是等比數(shù)列，則稱m為數(shù)列也an｝的“dn等比均值”.已知數(shù)列也an｝的“2n-1等差均值”為2,數(shù)列也bn｝的“3n-1等比均值”為3.記cn=2+klog3bn,數(shù)列U｛cn｝的前n項(xiàng)和為Sn,n若對任意的正整數(shù)n都有SnWS6,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和■知識(shí)梳理1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為十=q(n￡N*，q為非零常數(shù))?n(2)等比中項(xiàng)：如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).即G是a與b的等比中項(xiàng)=a,G,b成等比數(shù)列=G2=ab.2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an=4中t.(2)前n項(xiàng)和公式：na"q=1),S=1na[1—qn)a1一aqi^rS=1n3．等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am-qn-m(n,m￡N*).(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k￡N*),貝°am-an=%?〃0=線.「1〕 「a〕(3)若數(shù)列U{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{丸an},{了卜{a2},{an-bn},「a}(丸W0)仍然InJ In，是等比數(shù)列．(4)在等比數(shù)列也an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列，公比為qk.4.在等比數(shù)列也an}中，若Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列U(n為偶數(shù)且q=-1除外).［概念方法微思考】1．將一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)取倒數(shù),所得的數(shù)列還是一個(gè)等比數(shù)列嗎？若是,這兩個(gè)等比數(shù)列的公比有何關(guān)系？提示仍然是一個(gè)等比數(shù)列,這兩個(gè)數(shù)列的公比互為倒數(shù)．

2．任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？提示不是．只有同號(hào)的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)才有等比中項(xiàng)．3.“b2=ac”是“a,b,c”成等比數(shù)列的什么條件？提示必要不充分條件.因?yàn)閎2=ac時(shí)不一定有a,b,c成等比數(shù)列，比如a=0,b=0,c=1.但a,b,c成等比數(shù)列一定有b2=ac.r基礎(chǔ)自測題組一思考辨析.判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）TOC\o"1-5"\h\z（1）滿足an+1=qan（n￡N*,q為常數(shù)）的數(shù)列也an｝為等比數(shù)列.（ ）（2）如果數(shù)列也an｝為等比數(shù)列，則數(shù)歹U｛lnan｝是等差數(shù)列.（ ）（3）數(shù)列也an｝的通項(xiàng)公式是an=an，則其前n項(xiàng)和為Sn=a（二.（ ）（4）數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，則S4,S8—S4,S12—S8成等比數(shù)列.（ ）題組二教材改編.已知｛an｝是等比數(shù)列，a2=2,a5=1,則公比q=..公比不為1的等比數(shù)列也an｝滿足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,則m的值為（）A.8B.9C.10D.11題組三易錯(cuò)自糾也InC.{an＋an＋也InC.{an＋an＋1}B.log2an2D.{an＋an＋1＋an＋2}5.若1,a1,a2,4成等差數(shù)列，1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列，則—2的值為b5..設(shè)Sn為等比數(shù)歹也an｝的前n項(xiàng)和，8a2+a5=0,則g=..一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1MB,然后每3秒自身復(fù)制一次，復(fù)

制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)秒，該病毒占據(jù)內(nèi)存8GB.（1GB=2i0MB）題型一題型突破 典題深度剖析重點(diǎn)多維探究題型一自主演練等比數(shù)列基本量的運(yùn)算（2020?晉城模擬）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)歹也aj的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=3,S4=15,則公比q等于（ ）A.5B.4C.3D.2（2019?全國0）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝的前4項(xiàng)和為15,且a5=3%+44,則%等于（）A.16B.8C.4D.23（2019?全國I）記Sn為等比數(shù)列｛a/的前n項(xiàng)和，若％=1,S3=4，則S4=.（2018?全國ni）等比數(shù)列ij｛an｝中,a1=1,a5=4a3.⑴求｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）記Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和，若Sm=63,求m.題型二師生共研等比數(shù)列的判定與證明

題型二師生共研等比數(shù)列的判定與證明例1(2019?四川省名校聯(lián)盟模擬)已知數(shù)列｛。附｝的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn=—an+n(n￡N*).，、_ f 1］ (1)求證：數(shù)列［an—2］為等比數(shù)列；(2)求數(shù)歹也an—1｝的前n項(xiàng)和4跟蹤訓(xùn)練1設(shè)數(shù)歹也an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)設(shè)bn=an+1—2an,證明：數(shù)歹也bn｝是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.題型三師生共研等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用題型三師生共研等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)(2019?黑龍江省大慶第一中學(xué)模擬)在各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列｛an｝中，2a2019—a2020+2a2021=0，數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列，且b2020=a2020，則log2(b2019?b202J的值為()A．1B．2C．4D．8(2)(2020?長春質(zhì)檢)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知S6=30,S9=70,則S3= .跟蹤訓(xùn)練2(1)(2019?安徽省江淮十校月考)已知等比數(shù)列｛an｝的公比q=—1，該數(shù)列前9項(xiàng)的乘積為1,則a1等于()A．8B．16C．32D．64(2)已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且S=8,則a—京=(n三2,且n").6 n n—1構(gòu)造新數(shù)列I ■拓展視野■ I對于數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，除了我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的方法以外，根據(jù)所給遞推公式的特點(diǎn)，還有以下幾種構(gòu)造方式．構(gòu)造法1形如an+1=can+d(cW0,其中a1=a)型(1)若c=1,數(shù)歹也an｝為等差數(shù)列；(2)若d=0,數(shù)列也an｝為等比數(shù)列；(3)若cW1且dW0,數(shù)列｛an｝為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.例1在數(shù)列｛an｝中，若a1=1,an+1=3an+2,則通項(xiàng)an=.構(gòu)造法2形如an+1=pan+q?pn+1(pW0,1,qW0)型an+1=pan+q?pn+1(pW0,1,qW0)的求解方法是兩端同時(shí)除以pn+1,即得力^—p=q,則數(shù)列；p｝為等差數(shù)列.例2(1)已知正項(xiàng)數(shù)列｛an｝滿足a1=4,an+1=2an+2n+1,則an等于( )A.n，2n-1 B.(n+1)2nCn.2n+1 D.(n-1)2n(2)(2019?武漢市二中月考)已知正項(xiàng)數(shù)列｛an｝中，a1=2,an+1=2an+3X5n，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an等于()A.-3X2n-1 B.3X2n-1C.5n+3X2n-1 D.5n-3X2n-1

構(gòu)造法3相鄰項(xiàng)的差為特殊數(shù)列（形如an+1=pan+qan_1,其中a1=a,a2=b型）可化為an+1—x1an=x2（an—x1an_1），其中x14是方程x2—px—q=0的兩根.21例3數(shù)列｛an｝中，a1=1，a2=2，an+2=3an+1+3an，求數(shù)列｛a/的通項(xiàng)公式.構(gòu)造法4倒數(shù)為特殊數(shù)列（形如an=ra^+ss型）n－1求數(shù)列｛a求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.例4已知數(shù)列｛an｝中，a1=1,an+1=7+2,n課時(shí)精練“基礎(chǔ)保分練1.（2020?韶關(guān)模擬）若等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，a2=3,4a2=a1a7，則a5等于（）33A.tB.sC.12D.2448.等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn=32n-1+r，則r的值為（1A.3B1A.3B.—3c.9D..（2019?天津市河西區(qū)月考）設(shè)｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“｛an｝為遞增數(shù)列”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.已知遞增的等比數(shù)歹也4｝中，a2=6,a1+1,a2+2,a3成等差數(shù)列，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和S6等于（）189A.93B.189C.斤了D.3785.（2020?永州模擬）設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.數(shù)列｛anan+1｝是公比為q的等比數(shù)列B.數(shù)列｛an+an+1｝是公比為q的等比數(shù)列C.數(shù)列也an—an+1｝是公比為q的等比數(shù)列d.數(shù)列］:1是公比為1的等比數(shù)列aqn6.若正項(xiàng)等比數(shù)列也an｝滿足aan「22n（n￡N*）,則a6-a5的值是（）A.<2 B.-16<2C.2 D.16-；2.（多選）在等比數(shù)列也an｝中，a5=4,a7=16,則a6可以為（）A.8 B.12C.-8 D.-12.（多選）在等比數(shù)列也an｝中，公比為q,其前n項(xiàng)積為Tn,并且滿足a1>1,a99^a100-1>0，a^VO,下列選項(xiàng)中，結(jié)論正確的是（）a100-1A.0VqV1a99-a101-1<0T100的值是Tn中最大的D.使Tn>1成立的最大自然數(shù)n等于198