河南省信陽市多校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

河南省信陽市多校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知非零實數(shù)，，若，則下列不等式成立是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合不等式和函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合列舉法即可求解.【詳解】對AC，令，滿意，但不滿意，故A錯；對B，令，滿意，但不滿意，故B錯；對C，令，滿意，但不滿意，故C錯；對D，設(shè)，函數(shù)為增函數(shù)，若，則，故D正確.故選：D2.在數(shù)列{中，，，，則的值為（）A.17 B.18 C.19 D.21【答案】C【解析】【分析】由題知公差為2，結(jié)合通項公式求出即可.【詳解】由得，故.故選：C3.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，很多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的.“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問小兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.這位公公年齡最小的兒子年齡為（）A.8歲 B.9歲 C.11歲 D.12歲【答案】C【解析】【分析】將年齡從小到大排列成公差為3的等差數(shù)列，利用公式計算得到答案.【詳解】將年齡從小到大排列成公差為3的等差數(shù)列，前項和為，則，解得.故選：C.4.在下列函數(shù)中，最小值是2為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】取時，，A錯誤，CD選項中均值不等式等號條件不成立，錯誤，利用均值不等式得到B正確，得到答案.【詳解】當時，，A錯誤；，當，即時等號成立，B正確；，則，，，即時等號成立，，等號不成立，故C錯誤；，，，，即時等號成立，，等號不成立，故D錯誤.故選：B.5.設(shè)變量滿意約束條件，則的最小值為（）A.2 B.4 C.-2 D.12【答案】B【解析】【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)可化為直線，當直線過點A時，此時直線在軸上的截距最小，此時目標函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最小值為.故選：B.【點睛】依據(jù)線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題的常見形式：（1）截距型：形如.求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值間接求出的最值；（2）距離型：形如，轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點到定點的距離的平方，結(jié)合點到直線的距離公式求解；（3）斜率型：形如，轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)點與定點的連線的斜率，結(jié)合直線的斜率公式，進行求解.6.在中，，則該三角形的最大內(nèi)角是（）A.135° B.120° C.84° D.75°【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正弦邊化角原則，求出三邊比例，再由大邊對大角，對最大角采納余弦定理即可求解.【詳解】由可得，不妨設(shè)，則，則，故.故選：B7.已知等差數(shù)列滿意，，，則值為（）A.20 B.19 C.18 D.17【答案】A【解析】【分析】依據(jù)得到，帶入求和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)解得答案.【詳解】，故，即.，解得.故選：A.8.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則外接圓半徑為（）A.2 B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】結(jié)合正弦定理邊化角得，由得，聯(lián)立第三角公式可求出，結(jié)合可求外接圓半徑.【詳解】由正弦定理可得，即，又，故，結(jié)合第三角公式得，故，，由.故選：D9.已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列前項和有最大值，那么取得最小正值時等于（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】A【解析】【分析】將條件處理得，再結(jié)合等差數(shù)列下標性質(zhì)即可求解.【詳解】，又，數(shù)列的前項和有最大值，故數(shù)列為遞減數(shù)列，，所以，，，所以，又，故取得最小正值時等于19.故選：A10.在中，，，分別是角，，對邊的長，依據(jù)下列條件解三角形，有兩解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦定理得到的值，依據(jù)角度范圍得到解的個數(shù)，得到答案.【詳解】依據(jù)正弦定理：，，，，有一解，A不滿意；，，，有一解，B不滿意；，，，有一解，C不滿意；，，，有兩解，D滿意.故選：D.11.在數(shù)列中，，，，，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)，可得，則數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，再求出，即可得解.【詳解】，故，故，數(shù)列的周期為6.，，，，，，，.故選：B.12.已知數(shù)列滿意，，，則數(shù)列的前2024項的和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用累加法得到，帶入得到，再利用分組求和法計算得到答案.【詳解】，即...故.故選：A.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知關(guān)于的不等式的解集是{或}，則的解集為________.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到和是方程的根，從而得到，再解不等式即可.【詳解】由題知：和是方程的根，所以，解得.所以，解得.所以解集為.故答案為：14.中，，，則在中，________.【答案】【解析】【分析】計算，依據(jù)正弦定理推斷得到，依據(jù)和差公式計算得到答案.【詳解】，則，，，依據(jù)正弦定理知，故，為銳角，故..故答案為：.15.如圖是某商業(yè)小區(qū)的平面設(shè)計圖，初步設(shè)計該小區(qū)為半徑是200米，圓心角是120°的扇形.為南門位置，為東門位置，小區(qū)里有一條平行于的小路，若米，則圓弧的長為___________米【答案】【解析】【分析】連結(jié)，由，可得，，在△中，由正弦定理可得，，可求出，進而可求出，進而依據(jù)圓弧所對應(yīng)的圓心角及半徑，可求出圓弧的長度.【詳解】連結(jié)，因為，所以，.在△中，由正弦定理可得，，即，解得，因為，且，所以，所以.故答案為：.16.正數(shù)，滿意，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】采納基本不等式，先求出的最小值，再采納分別參數(shù)法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，當且僅當時取到等號，故，則對恒成立等價于對恒成立，即對恒成立，，在單增，則，則.故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)S為△ABC的面積，滿意．（Ⅰ）求角C的大??；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【詳解】解：（1）由題意可知，；（2）當△ABC為等邊三角形的時候取得最大值．18.設(shè)函數(shù).當時，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】答案見解析.【解析】【分析】探討，和三種大狀況，再考慮，，三種狀況，解不等式得到答案.【詳解】若，原不等式可化為，解得；若，原不等式可化為，解得或；若，原不等式可化為，其解得狀況應(yīng)由與1的大小關(guān)系確定，當時，解為；當時，解得；當時，解得.綜上所述：當時，解集為或；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為.19.若數(shù)列的前項和為，且；數(shù)列滿意，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）采納作差法結(jié)合關(guān)系式可求，再驗證可求的通項公式；對變形得，求出的通項公式，進而求出的通項公式；（2）采納錯位相減法即可求解.【小問1詳解】由，得，.又，，兩式相減，得，，.∴數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列..由，得，又，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列..；【小問2詳解】，.兩式相減，得.20.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C；（2）若，且的面積，求的周長l的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用正弦定理，邊角互化，再結(jié)合余弦定理，即可求解.(2)先利用三角形面積公式，得出的范圍，再結(jié)合余弦定理，即可求出范圍.【詳解】（1）由正弦定理，得，∴，∴由余弦定理，得，∵，∴.（2）∵的面積，∴，∴，若，則，∴，∵的周長，且，∴，即的周長的取值范圍為.21.首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，實行了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？假如獲利，求出最大利潤；假如不獲利，則須要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？【答案】（1）400噸；（2）不獲利，須要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.【解析】【分析】（1）由題設(shè)平均每噸二氧化碳的處理成本為，應(yīng)用基本不等式求其最小值，留意等號成立條件.（2）依據(jù)獲利，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)推斷是否獲利，由其值域確定最少的補貼額度.【小問1詳解】由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；當且僅當，即時等號成立，故該當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.【小問2詳解】不獲利，設(shè)該單位每個月獲利為S元，則，因為，則，故該當單位每月不獲利，須要國家每個月至少補