江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章概率8.2離散型隨機變量及其分布列8.2.2離散型隨機變量的數(shù)字特征第2課時離散型隨機變量的方差與標準差分層作業(yè)蘇教版選擇性必修第二冊

第2課時離散型隨機變量的方差與標準差基礎(chǔ)達標練1.設(shè)一個隨機試驗的結(jié)果只有A和,且P(A)=m,令隨機變量X=則X的方差D(X)等于()A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m)2.已知隨機變量X的分布列為P(X=k)=,k=1,2,3,4,5,則D(2X-5)=()A.6 B.8C.3 D.43.設(shè)隨機變量X的概率分布列為P(X=k)=pk·(1-p)1-k(k=0,1),則E(X),D(X)的值分別是()A.0和1 B.p和p2 C.p和1-p D.p和p(1-p)4.以往的統(tǒng)計資料表明,甲、乙兩運動員在競賽中的得分狀況為X1(甲得分)012P(X1=xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2=xi)0.30.30.4現(xiàn)有一場競賽,派哪位運動員參與較好?()A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.無法確定5.設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,隨機變量X取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均為0.2,隨機變量Y取值,,,,的概率也均為0.2,若記D(X),D(Y)分別為X,Y的方差,則()A.D(X)>D(Y)B.D(X)=D(Y)C.D(X)<D(Y)D.D(X)與D(Y)的大小關(guān)系與x1,x2,x3,x4的取值有關(guān)6.若在一次試驗中某事務(wù)發(fā)生次數(shù)的方差等于0.25,則該事務(wù)在一次試驗中發(fā)生的概率為.

7.已知隨機變量X的分布列為X01xPm若E(X)=1.1,則D(X)=.

8.已知海關(guān)大樓頂端鑲有A,B兩面大鐘,設(shè)它們的日走時誤差分別為隨機變量X1,X2(單位:s),其分布列如下:X1-2-1012P0.050.050.80.050.05X2-2-1012P0.10.20.40.20.1依據(jù)這兩面大鐘日走時誤差的均值與方差比較這兩面大鐘的質(zhì)量.實力提升練9.若X是離散型隨機變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,則x1+x2的值為()A. B. C.3 D.10.(多選題)已知隨機變量X的分布列是X123Pab若E(X)=,則()A.a= B.b= C.D(X)= D.D(X)=11.(多選題)袋內(nèi)有大小完全相同的2個黑球和3個白球,從中不放回地每次任取1個小球,直至取到白球后停止取球,則()A.抽取2次后停止取球的概率為B.停止取球時,取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為C.取球次數(shù)ξ的均值為2D.取球次數(shù)ξ的方差為12.已知隨機變量ξ的全部可能取值為m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=,則E(ξ)=,當D(ξ)取最小值時,mn=.

13.依據(jù)以往的閱歷,某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表所示.降水量X/mmX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610若歷史氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,則工期延誤天數(shù)Y的均值是,工期延誤天數(shù)Y的方差為.

14.隨機變量X的分布列如下:X-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,若E(X)=,則D(X)=.

15.甲、乙兩個野生動物愛護區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等,記兩個愛護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)覺違反愛護條例的事務(wù)次數(shù)為隨機變量X,Y,分布列如下:甲愛護區(qū)X0123P0.30.30.20.2乙愛護區(qū)Y012P0.10.50.4試評定這兩個愛護區(qū)的管理水平.16.一袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4),現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標號.(1)求X的分布列、均值和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,試求a,b的值.拓展探究練17.甲、乙、丙三人參與2024年冬奧會北京、延慶、張家口三個賽區(qū)志愿服務(wù)活動,若每人只能選擇一個賽區(qū),且選擇其中任何一個賽區(qū)是等可能的.記X為三人選中的賽區(qū)個數(shù),Y為三人沒有選中的賽區(qū)個數(shù),則()A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)18.編號為1,2,3的三名學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位,每名學(xué)生坐一個座位,設(shè)座位與編號相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ,則E(ξ)=,D(ξ)=.

第2課時離散型隨機變量的方差與標準差1.D由題意知X聽從兩點分布,故D(X)=m(1-m).2.B∵E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3,∴D(X)=×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,∴D(2X-5)=4D(X)=4×2=8.3.D由題可知隨機變量X聽從兩點分布,∴E(X)=p,D(X)=p(1-p).4.A∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2),即甲比乙得分穩(wěn)定,選甲參與較好.5.A6.0.5設(shè)該事務(wù)在一次試驗中發(fā)生的概率為p,事務(wù)在一次試驗中發(fā)生次數(shù)記為X,明顯X聽從兩點分布,則D(X)=p(1-p),所以p(1-p)=0.25,解得p=0.5.7.0.49由隨機變量分布列的性質(zhì)可得m=1--=.又E(X)=0×+1×+x·=1.1,解得x=2.所以D(X)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.8.解由題得,E(X1)=0,E(X2)=0,∴E(X1)=E(X2).D(X1)=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5,D(X2)=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-0)2×0.1=1.2.∴D(X1)<D(X2),說明A大鐘日走時誤差更穩(wěn)定.綜上可知,A大鐘的質(zhì)量較好.9.C由題意,x1,x2滿意解得或∵x1<x2,∴x1=1,x2=2,∴x1+x2=3.10.ABC由題意得a+b=.①由E(X)=+2a+3b=,得2a+3b=,②聯(lián)立①②,得a=,b=.所以D(X)=1-2×+2-2×+3-2×=.故選ABC.11.BD設(shè)取球次數(shù)為ξ,則ξ的可能取值為1,2,3,則P(ξ=1)=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=××=.抽取2次后停止取球的概率為P(ξ=2)=,A選項錯誤;停止取球時,取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為P(ξ=1)+P(ξ=2)=+=,B選項正確;取球次數(shù)ξ的均值為E(ξ)=1×+2×+3×=,C選項錯誤;取球次數(shù)ξ的方差為D(ξ)=1-2×+2-2×+3-2×=,D選項正確.12.由分布列的性質(zhì)得+=1,即m+n=1,所以E(ξ)=m·+n·==,D(ξ)=m-2×+n-2×=m-2×+1-m-2×=m-2≥0,當且僅當m=n=時等號成立,此時mn=.13.39.8由已知條件和概率的加法公式知,P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以隨機變量Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延誤天數(shù)Y的方差為9.8.14.由題意得解得a=,b=,c=,故D(X)=-1-2×+0-2×+1-2×=.15.解甲愛護區(qū)違規(guī)次數(shù)X的均值和方差為E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙愛護區(qū)違規(guī)次數(shù)Y的均值和方差為E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因為E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以兩個愛護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事務(wù)的平均次數(shù)相同,但甲愛護區(qū)的違規(guī)事務(wù)次數(shù)相對分散和波動,乙愛護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事務(wù)次數(shù)更加集中和穩(wěn)定.所以乙愛護區(qū)管理水平較高.16.解(1)X的取值為0,1,2,3,4,其分布列為X01234P∴E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5,D(X)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.(2)由D(Y)=a2D(X)得2.75a2=11,得a=±2,又E(Y)=aE(X)+b,∴當a=2時,由1=2×1.5+b,得b=-2;當a=-2時,由1=-2×1.5+b,得b=4,∴或17.D由題意得X的可能取值為1,2,3,則P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,∴E(X)=1×+2×+3×=,D(X)=1-2×+2-2×+3-2×=,Y的可能取值為0,1,2,則P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,∴E(Y)=0×+1×+2×=,D(Y)=0-2×+1-2×+2-2×=,∴E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)