江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章空間向量與立體幾何午練2空間向量的數(shù)量積蘇教版選擇性必修第二冊

午練2空間向量的數(shù)量積1.已知a,b均為空間單位向量,它們的夾角為60°,則|a+3b|等于()A. B. C. D.42.(2024合肥檢測)已知空間向量a,b,c滿意a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,則cos<a,b>=()A. B. C.- D.3.如圖,在正四面體P-ABC中,棱長為1,且D為棱AB的中點,則的值為()A.- B.-C.- D.4.在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,則在向量上的投影向量為()A. B. C. D.5.(多選題)設(shè)a,b為空間中的隨意兩個非零向量,下列各式正確的有()A.a2=|a|2B.C.(a·b)2=a2·b2D.(a-b)2=a2-2a·b+b26.(多選題)若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,體對角線AC1與BD1相交于點О,則()A.=1 B.C. D.=17.在正四面體ABCD中,|AB|=2,若=2,則=.

8.如圖,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則向量在上的投影向量等于.

9.(人A教材題)如圖,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.求:(1);(2)AC'的長(精確到0.1).10.如圖所示,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證:CC1⊥BD;(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r,能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明.午練2空間向量的數(shù)量積1.C|a+3b|===.故選C.2.D因為a+b+c=0,所以c=-a-b,則c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2,即4+2|a|·|b|cos<a,b>+9=16,從而12cos<a,b>=3,解得cos<a,b>=.故選D.3.D如圖,因為D為棱AB的中點,所以=(+),·=(+)·=(·+·).由題意,知與的夾角為60°,與的夾角也為60°,||=||=||=1,所以·=·=1×1×cos60°=,故·=×=.故選D.4.B四棱錐P-ABCD如圖所示,∵底面ABCD是矩形,∴BA⊥AD.又PD⊥底面ABCD,AD?底面ABCD,∴PD⊥AD.過向量的始點B作直線AD的垂線,垂足為A,過向量的終點P作直線AD的垂線,垂足為D,在向量上的投影向量為.∵底面ABCD是矩形,∴=.故選B.5.AD對于A,a2=a·a=|a|·|a|cos0=|a|2,故A正確;對于B,因為向量不能做除法運算,所以無意義,故B錯誤;對于C,(a·b)2=(|a|·|b|cos<a,b>)2=|a|2·|b|2·cos2<a,b>,故C錯誤;對于D,(a-b)2=(a-b)·(a-b)=a2-2a·b+b2,故D正確.故選AD.6.AC(方法一)·=·(+)==1,故A正確;·=·(++)==1,故B錯誤;·=·=,故C正確;·=·(+)=-=-1,故D錯誤.(方法二)·=·=||||·cos<,>=1××=1,故A正確;由正方體的性質(zhì)可知,AC1=,·=||||cos<,>=||||·=1××=1,故B錯誤;·=·=,故C正確;·=·=1××=-1,故D錯誤.故選AC.7.6·=(2+)·=2·+·=2×2×2cos+2×2cos=6.故答案為6.8.∵PA⊥平面ABC,則PA⊥BC,·=(++)·=·+·+·=0+6×6×+62=54,∴向量在上的投影向量為·==.故答案為.9.解(1)·=||||cos<,>=5×3×cos60°=7.5.(2)||2=(++)2=||2+||2++2(·+·+·)=52+32+72+2(5×3×cos60°+5×7×cos45°+3×7×cos45°)=98+56,所以AC'≈13.3.10.解(1)證明:設(shè)∠C1CB=θ,=a,=b,=c,依題意知|a|=|b|,于是=-=a-b,∴·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|·cosθ=0,∴CC1⊥BD.(2)當(dāng)=1時,能使A1C⊥平面C1BD.證明如下:若A1C⊥平面C1BD,則必有A1C⊥BD,A1C⊥DC1.連結(jié)AC(圖略),易證得BD⊥平面A1AC,則有BD⊥A1C.令·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c)=|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2=|a|2-|c|2+