新高考地區(qū)專用2024-2025三年高考數(shù)學(xué)真題分項匯編專題08計數(shù)原理及概率與統(tǒng)計

專題08計數(shù)原理及概率與統(tǒng)計1．【2024年新高考1卷】從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A．16 B．13 C．12【答案】D【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【解析】從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有C7若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：(2,4故所求概率P=21?721=23.故選：D.

2．【2024年新高考2卷】A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法支配甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【解析】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有3!種排列方式；為使甲不在兩端，必需且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；留意到丙丁兩人的依次可交換，有2種排列方式，故支配這5名同學(xué)共有：3!×2×2=24種不同的排列方式，故選：B

3．【2024年新高考1卷】有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事務(wù)“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事務(wù)“其次次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事務(wù)“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事務(wù)“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【答案】B【分析】依據(jù)獨立事務(wù)概率關(guān)系逐一推斷【解析】，，故選：B.【點睛】推斷事務(wù)是否獨立，先計算對應(yīng)概率，再推斷是否成立

4．【2024年新高考2卷】某物理量的測量結(jié)果聽從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項推斷即可得解.【解析】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在旁邊越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.故選：D.

5．【2024年新高考1卷（山東卷）】6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館支配1名，乙場館支配2名，丙場館支配3名，則不同的支配方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【分析】分別支配各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.【解析】首先從名同學(xué)中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場館，方法數(shù)有；最終剩下的名同學(xué)去丙場館.故不同的支配方法共有種.故選：C【點睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

6．【2024年新高考1卷（山東卷）】某中學(xué)的學(xué)生主動參與體育熬煉，其中有96%的學(xué)生喜愛足球或游泳，60%的學(xué)生喜愛足球，82%的學(xué)生喜愛游泳，則該中學(xué)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（

）A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C【分析】記“該中學(xué)學(xué)生喜愛足球”為事務(wù)，“該中學(xué)學(xué)生喜愛游泳”為事務(wù)，則“該中學(xué)學(xué)生喜愛足球或游泳”為事務(wù)，“該中學(xué)學(xué)生既喜愛足球又喜愛游泳”為事務(wù)，然后依據(jù)積事務(wù)的概率公式可得結(jié)果.【解析】記“該中學(xué)學(xué)生喜愛足球”為事務(wù)，“該中學(xué)學(xué)生喜愛游泳”為事務(wù)，則“該中學(xué)學(xué)生喜愛足球或游泳”為事務(wù)，“該中學(xué)學(xué)生既喜愛足球又喜愛游泳”為事務(wù)，則，，，所以所以該中學(xué)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為.故選：C.【點睛】本題考查了積事務(wù)的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

7．【2024年新高考2卷（海南卷）】要支配3名學(xué)生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的支配方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C【分析】首先將3名學(xué)生分成兩個組，然后將2組學(xué)生支配到2個村即可.【解析】第一步，將3名學(xué)生分成兩個組，有種分法其次步，將2組學(xué)生支配到2個村，有種支配方法所以，不同的支配方法共有種，故選：C.【點睛】解答本類問題時一般實行先組后排的策略.

8．【2024年新高考1卷】有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（

）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有、，即可推斷正誤；依據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可推斷B、D的正誤.【解析】A：且，故平均數(shù)不相同，錯誤；B：若第一組中位數(shù)為，則其次組的中位數(shù)為，明顯不相同，錯誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則其次組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD

9．【2024年新高考2卷】下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是（

）A．樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B．樣本的中位數(shù)C．樣本的極差 D．樣本的平均數(shù)【答案】AC【分析】考查所給的選項哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢即可確定正確選項.【解析】由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選：AC.

10．【2024年新高考1卷（山東卷）】信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X全部可能的取值為，且，定義X的信息熵.（

）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y全部可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【分析】對于A選項，求得，由此推斷出A選項；對于B選項，利用特別值法進(jìn)行解除；對于C選項，計算出，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可推斷出C選項；對于D選項，計算出，利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)推斷出D選項.【解析】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機(jī)變量的全部可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC.【點睛】本小題主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查分析、思索和解決問題的實力，涉及對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運用，屬于難題.

11．【2024年新高考2卷（海南卷）】我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推動復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是A．這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加;B．這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;C．第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%;D．第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;【答案】CD【分析】留意到折線圖中有遞減部分，可判定A錯誤；留意考查第1天和第11天的復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)的差的大小，可判定B錯誤；依據(jù)圖象，結(jié)合復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)的意義和增量的意義可以判定CD正確.【解析】由圖可知，第1天到第2天復(fù)工指數(shù)削減，第7天到第8天復(fù)工指數(shù)削減，第10天到第11復(fù)工指數(shù)削減，第8天到第9天復(fù)產(chǎn)指數(shù)削減，故A錯誤；由圖可知，第一天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差大于第11天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差，所以這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯誤;由圖可知，第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%，故C正確;由圖可知，第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確;故選：CD【點睛】本題考查折線圖表示的函數(shù)的認(rèn)知與理解，考查理解實力，識圖實力，推理實力，難點在于指數(shù)增量的理解與觀測，屬中檔題.

12．【2024年新高考1卷】1?yx(x+y)8的【答案】-28【分析】1?yxx+y8可化為【解析】因為1?y所以1?yxx+y8的綻開式中含1?yxx+y8的綻開故答案為：-28

13．【2024年新高考2卷】已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N2,σ2，且P(2<X≤2.5)=0.36【答案】0.147【分析】依據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．【解析】因為X～N2,σ2因此PX>2.5故答案為：0.14．

14．【2024年新高考1卷】一醫(yī)療團(tuán)隊為探討某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為比照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060比照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事務(wù)“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事務(wù)“選到的人患有該疾病”．P(B|A)P(B|A)與P(B|（ⅰ）證明：R=P(A|B)（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B),P(A|B)的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出附K2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)R=6；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K2的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未黃該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)依據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)依據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求R【解析】(1)由已知K2又P(K2≥6.635)所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.(2)(i)因為R=P(B|A)所以R=P(AB)所以R=P(A|B)(ii)由已知P(A|B)=40100，又P(A|B)=60所以R=P(A|B)P(A|B)?P(A|(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間【答案】(1)44.65歲；(2)0.89；(3)0.0014【分析】（1）依據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；（2）設(shè)A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20,70)}，依據(jù)對立事務(wù)的概率公式P(A)=1?P(A)即可解出；（3）【解析】(1)平均年齡x

+55×0.020+65×0.012+75×0.006+85×0.002)×10=44.65（歲）．(2)設(shè)A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20,70)}，所以P(A)=1?P(A(3)設(shè)B={任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)，C={任選一人患這種疾病}，則由條件概率公式可得P(C|B)=P(BC)P(B)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014．

16．【2024年新高考1卷】某學(xué)校組織“一帶一路”學(xué)問競賽，有A，B兩類問題，每位參與競賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的全部可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個期望的大小即可．【解析】（1）由題可知，的全部可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的全部可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．

17．【2024年新高考2卷】一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后接近滅亡的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）依據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）利用公式計算可得.（2）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點的范圍可得的最小正零點.（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.【解析】（1）.（2）設(shè)，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當(dāng)時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，