2025年探索素數(shù)奧秘實驗室揭秘之旅

素數(shù)一.試驗解讀素數(shù)的問題是數(shù)論里最富有魅力，最吸引人的問題，在本次試驗中我們將研究討論素數(shù)的某些有關(guān)規(guī)律及性質(zhì)，在看似無規(guī)律的素數(shù)中尋找規(guī)律。要想研究素數(shù)，首先要理解素數(shù)的定義，學會用定義去判斷一種數(shù)與否是素數(shù)，考慮合數(shù)與素數(shù)之間具有什么樣的關(guān)聯(lián)。通過某些有關(guān)結(jié)論猜測素數(shù)的無窮性并給出證明，并分別用試除法和篩法列出一定范圍內(nèi)的素數(shù)表，比較這兩種措施的有效性。在試驗過程中，我們發(fā)現(xiàn)素數(shù)并沒有一種簡要的鑒別公式，那么就需要通過試驗構(gòu)造出素數(shù)的鑒別公式。在研究用整系數(shù)多項式來生成素數(shù)時，最關(guān)鍵的是恰當?shù)剡x擇多項式的次數(shù)與變量的個數(shù)。最終，通過研究一定范圍內(nèi)的素數(shù)個數(shù)隨整數(shù)增長而變化的關(guān)系，得出素數(shù)的分布特性。觀測它的變化關(guān)系，并用函數(shù)將素數(shù)的分布表達出來。1.素數(shù)的鑒別與個數(shù)在不小于1的自然數(shù)中，只能被1和它自身整除的數(shù)稱為素在素數(shù)研究中，一種最基本的問題是素數(shù)究竟有多少個，與否是無窮的。調(diào)大n至25,觀測并得出結(jié)論。再將n調(diào)至30,35……,結(jié)論與否發(fā)生了變化。根據(jù)以上的成果，猜測素數(shù)與否有無窮多種的證明。2素數(shù)表的構(gòu)造給出一種范圍，用Eratosthenes篩法和試除法列出所有的素數(shù)，它們的原理為：Eratosthenes篩法的基本原理，將自然數(shù)列從2開始按次序排列至某一整數(shù)N,首先，從上述數(shù)列中劃除所有2的倍數(shù)(不包括2),在剩余的數(shù)中，除2外最小的是3.接著，從數(shù)列中劃除所有3的倍數(shù)(不包括3),然后在剩余的數(shù)中，再劃去5的這個過程一直進行下去，則最終剩余的數(shù)就是不超過N的所有素數(shù)。試除法：假設我們已經(jīng)懂得前n個素數(shù)p1=2,p2=3,..,pn,為找下個素數(shù)，我們從pn+2開始依次檢查每一種整數(shù)N,看與否能被某一種pi(i=1,2,….,n)整除，若N能被前面的某個素數(shù)整除，則N為合數(shù)，否則N即為下一種素數(shù)pn+1。為了提高效率我們只需要用不超過N^(1/2)的素數(shù)清除就可以了。較少。將范圍調(diào)大，用這兩種措施列出10000,100000……以內(nèi)3素數(shù)的鑒別公式得的余數(shù)。將m的值固定，變化n的值為2,3,……100取m=2,觀測2^(n-1)被n整除所得的余數(shù)取m=3,觀測3^(n-1)被n整除所得的余數(shù)取m=4,觀測4^(n-1)被n整除所得的余數(shù)取n=2,m=2,3,4,……,20,觀測m^(2-1)被2整除所得的取n=3,m=2,3,……,20,觀測m^(3-1)被3整除所得的余數(shù)取n=5,m=2,3,……,20,觀測m^(5-1)被5整除所得的余數(shù)形如2^n-1的數(shù)稱為Mersenne數(shù)，通過Mersenne數(shù)我們可以研究數(shù)論中的有關(guān)性質(zhì)。觀測并考慮Mersenne數(shù)與n的4.生成素數(shù)的公式Fermat數(shù)：我們把形如F=22"+1表達出來的數(shù)稱為Fermat數(shù)。Fermat數(shù)與否都是素數(shù)?在程序中增大n的值，很輕易懂得既然Fermat數(shù)不能作為素數(shù)的生成公式，那么能不能尋求首先考慮一次函數(shù)，顯然是不行的。再考慮二次多項式，數(shù)，令f(n)=2n3+2n2+2n+1,f(n)=4n?+3n3+2n2+1,f(n)=n?+n3+n2+n令變量n的次數(shù)不停升高，觀測得出的成果有什么不一樣。若單變量整系數(shù)多項式不能生成所有的素數(shù)，那么多變量整系數(shù)多項式呢?考慮兩個變量的函數(shù)，f(n,m)=n+m+4,將兩個變量的多項式的次數(shù)變?yōu)槎危頵(n,m)=n2+m判斷以上的f(n,m)與否生成的均是素數(shù)，它們之間有什么規(guī)若還是無法找出這樣的兩個變量整系數(shù)多項式，再變化多項式的變量的個數(shù)和次數(shù)。得出概括性的結(jié)論。5.素數(shù)的分布在上面的試驗中我們已經(jīng)懂得了素數(shù)是無窮多種的，并且素數(shù)的生成公式并不是很明了，不過它的分布會不會具有什么樣的規(guī)律呢?π(100,200)、π(1000,1100)、π(10000,10100)、π(100000,100100)。從計算成果看，伴隨范圍的擴大，素數(shù)是越來越稀還是越來越密?深入，選用某些更長的區(qū)間，做同樣的試驗。將這些點畫在圖中，從圖中能更清晰的看出素數(shù)的分布狀況。換一種角度考慮，從兩個相鄰素數(shù)間距的大小同樣也可以看出素數(shù)的分布，這時我們還可以發(fā)現(xiàn)某些更有趣的規(guī)律。先求出1000以內(nèi)的所有相鄰素數(shù)的間距，并將點以(pn,d)的形式畫在直角坐標系中，觀測圖像的特點；增大n的值，再在另一種圖中畫出，從這些點的分布可以看出素數(shù)的間隔值的某些特性，以及它們的反復次數(shù)的多少，我們還發(fā)現(xiàn)：在增大N的值的同步，圖中的點也會隨之變高，也就是說最大間隔值在變化，那么,存在最大間隔值嗎?給出結(jié)論及有關(guān)證明。用函數(shù)對素數(shù)的個數(shù)進行擬合。先進行線性擬合，選用2到1000中所有的素數(shù)進行擬合，再變化擬合的多項式的次數(shù)，比較擬合效果。將點(n,π(n))標在平面坐標系中，并且用折線把這些點連接起來，觀測π(n)的變化趨勢，然后在程序中增大N的值，再觀測π(n)的變化趨勢，將π(n)的值與其他函數(shù)的值進行比較，看能否找出最靠近π(n)的值的函數(shù)，即計算素數(shù)個數(shù)的公式，注意此時n應當充足大。NumP[n_Integer]:=Num=Product[Prime[i],{i,1,n}]+1;Print[Num,"",PrimeQ[Num],"",FactorInte9699691FalseFalse{{33160490131True[211False{(61,1},(46491411False{{95False{{277,1},(34391False{(1063,1},{303049,1},{5988NumP[n_Integer]:=Num=Proct[Prime[i],{i,1,n}]+1;Print[n,"",Num,"",PrimeQ[Num20391False{(1063,1},{3030421492284554131False23False[{265739,1},(126924False{{131,1},(1039,1},{25551False{{2336993,1},{13848803,1},{,1}}再變化n的范圍為25到30,輸出成果為：25551False({2336993,1},{13848803,1},2739621128False{{149,1},(13203797,1},(63137,1},(83711293091False證明：反證法，若素數(shù)的個數(shù)是有限的，且最大的素數(shù)是pk。p\1,這與p是素數(shù)相矛盾。故而假設不成立。得證：素數(shù)的個數(shù)是無窮多種的。For[i=2,i<=n,i++,AppendToFor[i=1,Prime[i]<=Sqrt[n],i++,temp=t=Select[t,(#1==templ|Mod[#1,temp]!{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,7,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,34967,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,47499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,63,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,767,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,41,947,953,967,971,977,983,991j=1;divided=False;While[Prime[j]<=Sqrt[i]&&(!didivided=(Mod[i,temp]=If[!divided,AppendTo[t{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,7,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,34967,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,47499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,63,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,767,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,41,947,953,967,971,977,983,991For[i=2,i<=n,i++,AppendToFor[i=1,Prime[i]<=Sqrt[n],i++,temp=Pt=Select[t,(#1==templ|Mod[#1,temp]!=0)&]];]j=1;divided=False;While[Prime[j]<=Sqrt[i]&&(!didivided=(Mod[i,temp]=If[!divided,AppendTo[For[i=2,i<=n,i++,AppendToFor[i=1,Prime[i]<=Sqrt[n],i++,temp=Pt=Select[t,(#1==templ|Mod[#1,temp]!=0)&]];]j=1;divided=False;While[Prime[j]<=Sqrt[i]&&(!didivided=(Mod[i,temp]=If[!divided,AppendTo[對n=2,3,…,100,觀測m^(n-1)被n整除所得的余數(shù)當m=2時運行如下程序：M[n_Integer]:=Module[{y,k],m=2;k=m^(n-1);x=MPrint[n,"",PrimeQ[n],"23456789TrueTrueFalseFalse FalseFalse FalseFalseFalseTrue 0101210421812401184218281210429121212121212121212121212121212121212248118214814218124018411289121212121212121212121212121212121212121212121FalseFalseFalseFalseFalseFalseTrueFalseFalse2124184212121212121212121212運行如下程序：M[n_Integer]:=Module[{y,k},m=3;k=m^(n-1);x=MPrint[n,"",PrimeQ[n],"1113113113111311311311131113113111311311131131113113113111391113111331139111301311311339111311139131311131從運行成果可以發(fā)現(xiàn)：當n(除3以外)為素數(shù)時，3(n-1)被n整除所得的余數(shù)都是1。輸入程序如下：234214010516247118409172411441124114011211441241141624174811241140124141124141121141241142141121412411441124140121141211411241414211412411411214112114FalseFalseFalseFalse12141214414以上我們考慮的是m固定變動n的狀況，接下來分析一下n固定，變動m的狀況。M[m_Integer]:=Module[{y,k},n=2;k=m2(n-1);x=MoPrint[m,"",PrimeQ[m],"",GCD[m,23456789TrueFalseTrueFalseFalseFalseFalseFalseFalseFalseFalseFalse212121212121212121212121212121010101010101010101010101010112011201120112011201120112011201120112011201120M[m_Integer]:=Module[(y,k},n=3;k=m^(n-1);x=MoPrint[m,"",PrimeQ[m],"23456789FalseTrueFalseTrueFalseFalseTrueFalseFalseFalse1311311311311310110110110110111311131113113111311131131113111311131113113111311311131113113111311131113113111311131131113113113111311由以上那么多組數(shù)據(jù)，我們可以得出如下結(jié)論：若n為素數(shù)，并且m與n互素，則m^(n-1).該命題的逆命題為：若m^(n-1)被n整除所得的余數(shù)都是1,并且m與n互素，則n為Print[n,"",FactorInteger[n],"",m,"",Prime由以上的成果可以看出，雖然有有m2(n-1)被n整除所得的余數(shù)都是1,并且m與n互素，不過n不一定就是素數(shù)。如：Mersenne數(shù)的公式為Mn=2^n-1,通過該公式判斷與否所有Mersenne鑒別式得出的數(shù)都是素數(shù)。Print[n,"",PrintQ[n],"",2^n-1,FactorInteger[216PrintQ[16]65535({3,1},{5,1},(17,1},(218PrintQ[18]262143{{3,3},{7,1},{19,1},{73,20PrintQ[20]1048575觀測以上程序輸出的成果，可以很輕易發(fā)現(xiàn)：當n為合數(shù)時，它的Mersenne數(shù)也是合數(shù)。當n為素數(shù)時，Mersenne數(shù)就一定是素數(shù)了嗎?觀測可得當n=11時，M11是2047,是合數(shù)。數(shù)卻不一定是素數(shù)。顯然2^n-1不是素數(shù)。故得證原命題。其鑒別程序如下：If[PrimeQ[2^n-1]==True,a[t]=2~n-Print[b[i],"",a[i],"",PrimeQ[2~a[數(shù)的措施。Do[Fermat[n],{n,1,10}]提出問題：素數(shù)生成的公式究竟會是什么樣的呢?Module[y},y=n2t=0;Eu[n_Integer,m_Integer]:=Do[Eu[n,m],{n,1,10},{m,Module[{y},y=n+mt=0;Eu[n_Integer,m_Integer]:=Do[Eu[n,m],{n,1,10},{m,Module[{y},y=n^2+m*2+4;If[PrimeQt=0;Eu[n_Integer,m_Integer]:=Do[Eu[n,m],{n,1,10},{m,t=0;Eu[n_Integer,m_IntModule[(y},y=n"5+m^5+5;If[PrDo[Eu[n,m],{n,1,10],{m,t=0;Eu[n_Integer,m_IntegDo[Eu[n,m,k],{n,1,10假如多項式為二次的呢?令y=n2+m*2+k^2+5輸出成果為250把100到內(nèi)的素數(shù)在坐標軸上表達出來，程序如下：ListPlot[t,PlotStyle{RGBColor[0,0,1],PointSize[0.04]}]t:=Table[{i,PrimePi[i+100]-PrimePi[i]},{i,1ListPlot[t,PlotStyleRGBColor[0,0,1],PointJoinedTrue]14},{1000,16},{(1100,12},{1200,15},{1300,11),{1400,17),{1500,1t:=Table[{i,PrimePi[i+100]-PrimePi[i]},{i,1ListPlot[t,PlotStyleRGBColor[0,0,1],PlotJoinedT將i擴大到1000到101000的范圍內(nèi)，輸出的圖形如下：ListPlot[t,PlotStyle{RGBColor[987連成折線如下圖：由上圖可以看出，素數(shù)的分布是不規(guī)律的，就整體而言，素數(shù)的分布伴隨整數(shù)的增大而越來越稀了。用將素數(shù)按照大小次序排列pl=2,p2=3,……,用dn表達兩相鄰素數(shù)間的間隔，dn=p(n+1)-pn。將1000以內(nèi)的素數(shù)的間距求出的程序如下：Table[Prime[i+1]-Prime[i],t{1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,6,4,2,4,6,6,2,6,4,2,6,4,6,8,4,2,4,,2,4,2,12,12,4,2,4,6,2,10,6,6,6,2,6,4,2,10,14,4,2,4,14,6,10,2,4,6,8,6,6,4,10,2,6,4,6,8,4,2,4,12,8,4,8,4,6,12,2,18,6,10,6,6,2,6,10,6,6,2,4,6,8,10,8,10,8,6,6,4,8,6,4,8,4,14,10,12,2,10,2,4,2,10,14,4,2,4,14,4,2,4,20,4,84,6,6,14,4,6,6,8,6,12,4,6,2,10,2,6,10,2,10,2,6,18,4,2,4,6,6,8,6,6,22,2,10,8,10,6,6,4,6,6,2,6,12,10,18,2,4,6,2,6,4,2,4,12,2,6,34,6,6,8,18,10,14,4,2,4,6,8,4,22,4,6,12,12,8,12,6,4,6,8,4,8,4,14,4,6,2,4,6,2,6,10,20,6,4,2,24,4,2,10,12,2,10,8,68,6,4,2,12,10,12,8,16,14,6,4,2,4,2,10,12,6,6,18,2,16,2,22,6,8,6,4,2,4,8,,6,12,2,4,2,10,12,2,16,2,6,4,2,10,8,18,24,4,6,8,16,2,4,8,16,2,4,8,6,6,4,12,6,14,6,4,2,6,4,6,12,6,6,14,4,6,12,8,6,4,26,18,10,8,4,6,2,6,22,12,2,16,8,4,8,6,6,4,2,4,6,8,4,2,6,10,2,10,8,4,14,10,12,2,6,4,2,16,14,4,6,8,6,4,18,8,1,14,4,6,6,2,28,2,10,8,4,14,4,8,12,6,12,4,6,20,10,2,16,26,4,2,12,6,4,12,6,8,12,28,2,6,6,6,4,6,2,12,4,12,2,10,2,16,2,16,6,20,16,8,4,2,4,2,22,8,12,6,10,2,12,10,2,10,14,6,4,6,8,6,6,16,12,2,4,14,6,4,8,10,8,6,6,22,6,2,10,14,4,6,2,10,14,4,8,18,4,6,2,4,6,2,12,4,20,22,12,2,4,6,6,2,6,22,2,6,16,6,12,2,6,12,16,2,44,2,18,24,10,6,2,10,2,10,2,10,6,2,10,2,10,6,8,30,10,2,10,8,6,10,18,6,12,12,2,18,6,,18,2,10,14,6,4,2,4,24,2,12,6,16,8,6,6,18,16,2,4,6,2,6,6,10,6,12,12,18,2,62,4,6,2,12,4,14,30,10,6,12,14,6,10,12,2,4,6,8,6,10,2,4,14,6,6,4,6,2,10,2,16,12,8,,12,2,6,6,6,28,6,14,4,8,10,8,12,18,4,2,4,24,12,6,2,16,6,6,14,10,14,4,30,6,2,6,4,2,6,22,6,2,4,18,2,4,12,2,6,4,26,6,6,4,8,10,32,16,2,6,4,2,4,2,10,14,6,4,8,104,2,6,30,4,8,10,6,6,8,6,12,4,6,2,6,4,6,2,10,2,16,6,20,4,12,14,28,6,20,4,18,8,6,4,6,6,10,2,10,12,8,10,2,10,8,12,10,24,2,4,8,6,4,8,18,10,6,6,2,6,10,12,2,10,6,2,6,6,6,10,8,24,6,22,2,18,4,8,10,30,8,18,4,2,10,6,2,6,4,18,8,12,18,16,6,2,12,6,102,6,10,14,4,24,2,16,2,10,2,10,20,4,2,4,8,16,6,6,2,12,16,8,4,6,30,2,10,2,6,4,6,6,82,6,8,12,4,14,12,10,24,6,12,6,2,22,8,18,10,6,14,4,2,6,10,8,6,4,6,30,14,10,2,12,102,18,24,18,6,16,18,6,2,18,4,6,2,10,8,10,6,6,8,4,6,2,10,2,12,4,6,6,2,12,4,14,18,4,,8,6,4,8,4,14,6,4,14,12,4,2,30,4,24,6,6,12,12,14,6,4,2Table[{Prime[i],Prime[i+1]-Prime[i]ListPlot[t,PlotStyleRGBColor[1,0,52000400060t:=Table[{Prime[i],Prime[i+1]-Prime[i]},{i,ListPlot[t,PlotStyleRGBColor[1,0,0]]200004000060000證明：假設相鄰的素數(shù)的間隔值都為有限數(shù)，最大值設為N,不過可以構(gòu)造出N個持續(xù)的自然數(shù)，具它們都是合數(shù)，它們分別是(N+1)!+2,(N+1)!+3…(N+1)!+N+1,其中第一種能被2整除，其中第二個能彼3整除，直到最終一種能妝N+1整除，則此時存在兩相鄰素數(shù)跟離至少為N+1,與原假設矛盾。即得證相鄰的章數(shù)，它們的間跟可以無限的大。b=Table[{n,PrimePi[n]},{n,2,g=Plot[ft,{x,2,10000},PlotStyle{RGBColor[1,0,0]},DisplayFunctionIdentity]f=ListPlot[b,PlotStyleRGBColor[0,1,0],DisplayFunctionIdentShow[g,f,DisplayFun60.9457+0.118897xb=Table[{n,PrimePi[n]